第11章 光学

11-11 由汞弧灯发出的光，通过一绿色滤光片后，照射到相距为0.60mm 的双缝上，在距双缝2.5m 远处的屏幕上出现干涉条纹。现测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm ，求入射光的波长。

解：由公式 λd

D

x =∆得

)(105.55

.2106.01027.273

3m D d x ---⨯=⨯⨯⨯=

⋅∆=λ

11-12 在双缝装置中，用一很薄的云母片(n = 1.58)覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明条纹的位置。如果入射光的波长为550nm ，则这云母片的厚度应为多少？

解：设云母片的厚度为e ，根据题意，插入云母片而引起的光程差为

λδ7)1(=-=-=e n e ne )(106.61

58.11055071769

m n e --⨯=-⨯⨯=-=λ

11-16 波长范围为400-700nm 的白光垂直入射在肥皂膜上，膜的厚度为550nm ，折射率为1.35，试问在反射光中哪些波长的光干涉加强？哪些波长的干涉光相消？

解：垂直入射时，考虑到半波损失，反射干涉光的光程差为 2

2λ

δ+=ne

当λλ

k ne =+2

2，k = 1，2，…时，干涉相长，

211055.035.122123

-

⨯⨯⨯=-=k k ne λ，取k = 3时，λ = 594nm ；取k = 4时，λ = 424nm 。 当2)12(22λ

λ+=+k ne ，k = 0，1，2，…时，干涉相消，

k

ne 2=λ，取k = 3，λ = 495nm 。

11-18 有一楔形薄膜，折射率n = 1.4，楔角rad 410-=θ。在某一单色光的垂直照射下，可测得两相邻明条纹之间的距离为0.25cm 。试求：

(1) 此单色光在真空中的波长；(2) 如果薄膜长为3.5cm ，总共可出现多少条明条纹？

解：(1) 由楔形薄膜的干涉条件得两相邻明条纹间距：θ

λ

θλ

n n x 2sin 2≈=∆

所以 x n ∆⋅=θλ2

以n = 1.4，rad 410-=θ，△x = 0.25×10-2m 代入上式得 nm m 700107.06=⨯=-λ

(2) 在长为3.5×10-2m 的楔形薄膜上，明条纹总数为14=∆=x

l

m (条)

11-21 (1) 若用波长不同的光观察牛顿环，λ1 = 600nm ，λ2 = 450nm ，观察到用λ1时的第k 个暗环与用λ2时的第k +1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm 。求用λ1时第k 个暗环的半

径。(2) 若在牛顿环中波长为500nm 的光的第5个明环与波长为λ的光的第6个明环重合，求波长λ。

解：(1) 牛顿环中k 级暗条纹半径 λkR r k =

据题意，当λ1光的第k 级暗条纹与用λ2光的第k +1级暗条纹在r 处重合时满足 1λkR r = ① 2)1(λR k r += ② 由以上两式可得 2

12λλλ-=

k ③

将③式代入①式得 2

12

1λλλλ-=

R r =1.85×10-3 (m ) (2) 用波长λ1 = 500nm 的光照射，k 1 = 5级的明环与用波长λ的光照射时，k 2 = 6级的明环重合，

则有关系式 2

)12(2)12(211λ

λR k R k r -=

-=

所以，1.4095001

621521212121=⨯-⨯-⨯=--=

λλk k (nm )

11-28 波长为500nm 的平行光线垂直地入射到一宽为1mm 的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm 的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到以下各点的距离如何：(1) 第一级暗纹中心；(2) 第一级明纹中心；(3) 第三级暗纹中心。 解：(1) 单缝衍射各级极小的条件为 asin φ = ±k λ (k = 1，2，…) 衍射图形的第一级极小，可令k = 1求得 它离中心点距离：)(105sin tan 4111m a

f

f f x -⨯====λ

φφ

(2) 第一级明条纹近似位置可由下两式⎩⎨⎧='=φλ

φtan 5.1sin 1

f x a

求得 )(75.05.1sin 1

mm a

f f x =⋅=='λ

φ (3) 第三级极小位置为 )(105.1333m a

f x -⨯=⋅=λ

11-29 有一单缝，宽a = 0.10mm ，在缝后放一焦距为50cm 的会聚透镜，用波长为546nm 的平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。 解：中央明纹角宽度满足公式：λφλ<<-sin na 空气中，n = 1又f >> a ，所以φφtan sin ≈，中央明条纹宽度为

)(105.52tan 23m a

f f x -⨯=⋅==∆λ

φ

11-30 一单色平行光垂直入射于一单缝，其衍射第三级明纹中心恰与波长为600nm 的单色光

垂直入射该缝时的第二级明纹中心重合，试求该单色光波长。 解：设该单色光波长为λ，根据题意，

2

600

)122(2)132(⋅+⨯=⋅+⨯λ 得 λ ≈ 429 nm

11-34 为了测定一个给定光栅的光栅常数，用氦氖激光器的红光(632.8nm )垂直地照射光栅，做弗朗禾费衍射实验。已知第一级明条纹出现在38°的方向，问这光栅的光栅常数是多少？1cm 内有多少条缝？第二级明条纹出现在什么角度？ 解：由衍射光栅明纹公式：λφk b a =+sin )(得

)(1003.138sin 108.6321sin )(47

cm k b a --⨯=︒

⨯⨯==+φλ

1cm 内缝的条数：3

4

1071.9110

03.11⨯=+⨯=-N (条) 第二级明条纹不出现，因为按公式应有 110

03.1108.6322sin 4

7

>⨯⨯⨯=+=--b a k λφ

11-33 波长为600nm 的单色光垂直入射在以光栅上。第二级明条纹出现在20.0sin =φ处。第四级缺级。试问：(1) 光栅上相邻两缝的间距是多少？(2) 光栅上狭缝的最小宽度有多大？(3) 按上述选定的a ，b 值，在︒<<︒-9090φ范围内，实际呈现的全部级数。 解：(1) 光栅的明条纹的条件是：λφk b a =+sin )(

对应于20.0sin =φ处满足：0.20(a +b ) = 2×600×10-7 可得光栅相邻两缝间的距离(a +b ) = 6.0×10-4cm

(2) 由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明条纹落在单缝衍射暗条纹上，因此须满足方

程组：⎪⎩

⎪

⎨⎧'==+22sin 4sin )(λ

φλ

φk a b a ，解得 k k b a a '⨯='+=-4105.14 取k '= 1，得光栅上狭缝的最小宽度为 1.5×10-4cm 。

(3) 由λφk b a =+sin )(得，λφ

sin )(b a k +=

当2

π

φ=

时，

1010

600100.674=⨯⨯=+--λ

b

a 所以在︒<<︒-9090φ范围内，实际呈现的全部级数为97653210±±±±±±±=，，，，，，，

k 级明条纹(k = ±10时明条纹在φ = 90°处)。

11-35 一双缝，缝间距d = 0.10mm ，缝宽a = 0.02mm ，用波长λ = 480nm 的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为50cm 的透镜，试求：(1) 透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距；(2) 单缝衍射中央亮纹的宽度；(3) 单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。

解：(1) 由光栅方程λφk d =sin 得 d k k λφ=s i n ，d

k k λφ)1(sin 1+=+