2019届北京市第四中学高三第三次调研考试数学(文)试题(解析版)

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2019届北京市第四中学高三第三次调研考试数学(文)试题及答案

经过定点（ -4,0），
，则点
，
因为点 B 在圆
上，
故有
，
化简整理得：
，
所以点 M 的轨迹是圆心为（ -3,0），半径为 1 的圆，
圆心（ -3,0）到直线所以点 M 到直线
的距离为
，
的最大距离为 4。
故选 B。
【】
本题考查了直线与圆的位置关系、动点轨迹等问题，解决动点轨迹常见的方法有直译法、
含的条件 .
2．下列函数中 ,与函数 A．
的单调性和奇偶性相同的函数是 B．
C．
D．
【答案】 D
【】可以判断函数
是定义在 R 上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析
出选项 A 、 B、 C 均不能成立，由此可以得出正确选项。
解：函数
的定义域为 R，
因为
，
所以得到
为奇函数，
又因为
恒成立，
故
在 R 上为单调递增函数，
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的
. 其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方
向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化
.
第三步：求结果 .
4．设满足约束条件
则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
的标准形
10 ．已知数列
的前项和为
是公差为 2 的等差数列，则数列
，的通项公式为 __________．
【答案】
，若数列
【】分析：由
，求得数列
是公差的等差数列，再求得

北京市第四中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京市第四中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D2．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π3．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 4．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D5．图1是由哪个平面图形旋转得到的（）A ．B ．C ．D ．6．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥7．椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．8．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==9．设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-10．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（） A ．720 B ．270 C ．390 D ．30011．已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 12．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A ．B ．12+C ．122+ D ．122+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是．14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．15．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

2019届北师大附中高三第三次调研考试文科数学答案

2019届高三第3次调研考试文科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCBAADCBDBB1.【解析】因为[]=0,4B ，∴选B ．2.【解析】z i z i =-∴= ，∴选D ．3.【解析】 (0)2f =∴4a =.∴(2)a f +-=2，∴选C ．4.【解析】总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，∴选B ．5.【解析】1=，计算2e =，∴选A .6.【解析】经验证1,2,3,4,5N =必须返回，6N =时通过，∴选A.7.【解析】AB AC AC +=- ，两边平方可得3BAC π∠=，CB CA ⋅=9()2CA AB CA +⋅=8.【解析】化简可得：22226475()()0a a a a -+-=，即64752()2()0d a a d a a +++=，560a a ∴+=，100S ∴=，∴选C.9.【解析】1()cos 1xxe f x x e -=+，∴()f x 为奇函数，令1x =，则(1)0f <，∴选B .10.【解析】设1122(,),(,)Ax y B x y ，由条件3AF FB =容易得到123y y -=，又因为直线l 过抛物线的焦点∴2124y y p =-=-，解得1(3,(,)33A B -,k ∴=选D.11.【解析】由三视图可知该几何体为棱长均为2的正三棱柱，设球心为O ,小圆的圆心为1O 球半径为R ,小圆的半径为r ，则22211O R r O O =+，即22713R =+=，∴283S π=，∴选B ．12.【解析】2234z x xy y =-+ ，又,,x y z 均为正实数，2234xy xy z x xy y ∴=-+143x y y x =≤+-1=，当且仅当2x y =时等号成立，因此当xy z 取得最大值1时，2x y =，此时222342z x xy y y =-+= ，因此，2212111x y z y y y +-=+-21(1)11y=--+≤，当且仅当1y =时等号成立，因此212x y z+-的最大值为1，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.11614.1315.251316.10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13.【解析】由132455,24a a a a +=+=，可得16112,216a q a ==∴=.14.【解析】21cos(2)12sin ()363ππθθ-=--=.15.【解析】因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数z ＝ax ＋by 过点(4,6)时取最大值，则4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，即a 2＋b 2的最小值是2513.16.【解析】问题转化为||xy xe y m ==与有三个交点时，m 的取值范围。

北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版页数：4页题数：20题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A Bð等于 CA .{|11}x x -<≤B .{|11}x x -<<C .{|1}x x <-C .{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于 DA . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 CA ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 DA . 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B . 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C . 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D . 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟. 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A A . 3:1 B . 4:1 C . 5:1D . 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m // 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 CA ．152π；B ．203π；C ．1521π-；D ．2031π-8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：12x x y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x =+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 B A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9．曲线()2x f x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 20x y -+= ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为28 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m na ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += 44 ．12. 已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm 的值为 xe .13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=__－3__．14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 911-或 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n nS a a n N =+∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b的前n 项和n T ．解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．详细分析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n =（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+.（1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Zπϕπ⨯+=∈22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<<∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bxx-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ，ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑，a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y ==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD =又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥，又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ，且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ，由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=，所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，即四面体ACDE -的体积为89.12分19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B两点．若OAB △的面积为，求直线l 的方程．（1）因为椭圆C 的焦点为12(FF ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB的面积为，所以1262AB OP=，从而7AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=，所以()()2022216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则212y =，因此P 的坐标为22⎛ ⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．(1)由()32f x x x bx=++，得()232f x x x b'=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b'=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++-⎪⎝⎭， ∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-. (2)由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩- 11 - 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*)是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解，①当01t <<时，方程(*)为∴()()232320t t t t t -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解； ②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a =+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数， ∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。

精品解析：【全国百强校】北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题(解析版)

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

2019北京市第四中学高三调研卷数学(文)含答案

2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）页数：4页题数：20题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()UA B 等于A.{|11}x x -<≤B.{|11}x x -<<C.{|1}x x <-C.{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m //7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．152π； B ．203π； C ．1521π-； D ．2031π- 8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：22221212112x x x y y x y x y +-+-+的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．曲线()2xf x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m n a ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += ． 12.已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm的值为 . 13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=____． 14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n n S a a n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+. （1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值． 17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CDCDADCB二．填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9． 20x y -+= ． 10． 28 ． 11． 44 ．12. xe . 13．_－3__． 14． .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n=（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Z πϕπ⨯+=∈911-或22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<< ∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（ 17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555ii x==++++=∑ ，ni i i=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A == 18．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD = 又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥，又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ，且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ，由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=，所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即四面体A CDE -的体积为89.12分 19.（1）因为椭圆C 的焦点为，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*） 12(F F因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB，所以1262AB OP=，从而AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,2024x x y=+，所以()()()()222222012122222048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则2012y =，因此P 的坐标为2⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+． 20．(1)由()32f x x x bx =++，得()232f x x x b '=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b '=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-.(2)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥， ∴()t x 在[]1,e 上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*) 是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解， ①当01t <<时，方程(*)为 ∴()()232320t t t tt -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解；②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。

北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题(解析版)

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(四)(含答案)

2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i +等于（）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，bπ6A =，则B =（） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A ．328B ．332C ．532D ．5565．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF的斜率为MAF △的面积为（）AB． C．D．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（） ABC ．13D10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则班级姓名准考证号考场号座位号n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·凉山二诊]设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则在区间()2,6-内关于x 的方程()()8log 20f x x -+=解得个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·郴州期末]已知直线y x a =+与圆()2222500x y ax a a +-+-=>交于不同的两点A ，B，若AB ≤，则a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos 12sin sin B C B C +=．（1）求A ∠的大小．（2）若4b c +=，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）[2019·莆田质检]为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）．最后该公司共收回有效评分表600份，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m ；（2）已知40个样本数据的平均数80a =，记m 与a 的最大值为M ．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M 的为“满意型”，评分小于M 的为“需改进型”．①请以40个样本数据的频率分布来估计收回的600份评分表中，评分小于M 的份数； ②请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：根据22⨯列联表判断能否有99％的把握认为“认定类型”与性别有关？19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，145A AC ∠=︒，D 为1CC 的中点，求三棱锥111D A B C -的体积．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ，使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立．（1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（四）答案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ，设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ，由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B ，故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ．5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤．故选D ． 7．【答案】D【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=，故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-，直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或．故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ，抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF的斜率AF k =，准线与x 轴的交点为N，则2tan3πAN ==，(A -，则(M ，∴11422MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角，即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角，在直角1ACA △中，11cos AC ACA AC ∠===，即m 与1A CB ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，则99910100100100200101010n n nW n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-，即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】C【解析】对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-，∴()()()()42222f x f xf x f x +=++=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =．又∵当[]2,0x ∈-时，()12xf x =-⎝⎭，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()61f =，则函数()y f x =与()8log 2y x =+在区间()2,6-上的图象如下图所示：根据图象可得()y f x =与()8log 2y x =+在区间()2,6-上有3个不同的交点．故选C ．二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可）【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<，又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=，即121210a d +=，即1765a d a +==， ()113713721313136522a a a Sa +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】【解析】角ϕ终边经过点()1,2sin P ϕ-⇒==，cos ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=，即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+，sin sin cos cos sin 12444ππππf ϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题正确结果 16．【答案】⎡⎢⎣⎭【解析】()2222500x y ax a a +-+-=>，可得圆心坐标为(),0C a，半径为r =根据圆的弦长公式，得l =，因为直线y x a =+与交于不同的两点A ，B，且AB ≤，则≤d <d ≤，又由点到直线的距离公式可得圆心(),0C a 到直线y x a =+的距离为d =<1a ≤<即实数a 的取值范围是⎡⎢⎣⎭．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（2 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =．（2）22π114sin sin 22322ABCb c S bc A bc +⎫⎛⎫===≤==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △ 18．【答案】（1）81；（2）①300；②见解析．【解析】（1）由茎叶图知8082812m +==．（2）因为81m =，80a =，所以81M =．①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，所以在40个样本数据中，评分不小于81的频率为1550.540+=，可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为6000.5300⨯=； ②根据题意得22⨯列联表：由于()224015155510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.010P K ≈≥，所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关． 19．【答案】（1）见解析；（2）16．【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥，又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒，所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =，因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥．（2）由（1）可知，OA OB =，因为AB 12BB =，故1OA OB ==，又因为145A AC ∠=︒，CO AO ⊥，所以1CO AO ==，1111111113D A B C B A C D A C D V V S h --==⨯⋅△，11111122A C D S =⨯⨯=△，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以1h OB ==，故1111111326B A C D V -=⨯⨯=，所以三棱锥111D A B C -的体积为16．20．【答案】（1）22184x y+=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意．【解析】（1）因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为22b a=，且离心率是2，所以c a =24b =，28a =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+== ()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-，上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2，显然此时PQA PQB ∠=∠，综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增；当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增；当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减．（2）由题意得()()1e x f x x =-，即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'，当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意；当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>，00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由0012x x +≥，得02k <<，又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->， 01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x x x x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-，又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k = 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=．联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立，又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号，47a b ∴+的最小值为9．。

2019届高三年级第三次四校联考

2019届高三年级第三次四校联考数学(文)试题本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分，考试时间为120分钟．参考公式：锥体体积公式V ＝13sh 其中s 为底面面积，h 为高柱体体积公式V ＝sh 其中s 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式s ＝4πR 2V ＝43πR 3 其中R 为球的半径随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i 为虚数单位，复数121i z i+=-，则复数z 的虚部是( )A ．i 23B ．23C ．i 21-D ．21-2．已知集合{}{}=>=∈-==B A x x B x x y y A 则,0log ,,122R ( ) A ．{}1>x x B ．{}0>x x C ．{}1-<x x D ．{}11>-<x x x 或 3．下列命题 ① ②③若q p ∨为真④“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件．其中真 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1且a ·b ＋b ·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．函数2()sin cos f x x x x =图象的一个对称中心是( )A ．2(π,3B ．5π(,6C ．2(π3-D ．)0,3π( 6．两个正数1，9的等差中项是a ，等比中项是b ，则曲线122=+by a x 的离心率为( ) A ．105 B ．2105 C ．45 D ．105与21057．读下面的程序：INPUT N I ＝1 S ＝1WHILE I ＜＝N S ＝S*I I ＝I ＋1 WENDPRINT S END上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为( ) A ．6 B ．720 C ．120 D ．18．若实数y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥02240y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是( )A ．[－1，31] B ．[－21，31]C ．[－21，2)D ．[－21，＋∞)9．设}{n a 为等差数列，它的前n 项和为n S 若0,0109<>S S ，则993322122,2,2a a a a 中最大的是( )A ．12a B ．552a C ．662aD ．992a10．已知a 是函数x x f x 21log 2)(-=的零点，若)(,000x f a x 则<<的值满足( ) A ．0()0f x = B ．0()0f x > C ．0()0f x < D ．0()f x 的符号不能确定 11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面．．积．为( ) A ．π12 B ．π34 C ．π3 D ．π31212．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为( ) A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在边长为1的正方形ABCD 内随机选一点M ，则点M 到点D 的距离小于正方形的边长的概率是________.14．,02)2()2()(时，当为偶函数，且已知≤≤--=+x x f x f x f ,2)(xx f =*N n ∈若，==2011),(a n f a n 则_________. 15．已知函数⎩⎨⎧<+≥=)2)(2()2(2)(x x f x x f x ，则)5(log 4f 等于__________.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值为______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤) 17．(本小题满分12分)如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=，45CBA ∠=，且100AB =米. (1)求sin 75；(2)求该河段的宽度.18．(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：生的概率为35．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，321,,A A A 还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．19．(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .(1)求证：⊥AF 平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．20．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距．(1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f(1)若函数)(x f 在1=x 处与直线21-=y 相切，①求实数a ，b 的值；②求函数],1[)(e ex f 在上的最大值；(2)当0=b 时，若不等式x m x f +≥)(对所有的(]2,1],23,0[e x a ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.选做题(本小题满分10分．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．)22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，直线OB 交⊙O 于点E D ，，连接EC CD ，．(1)试判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(2)若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知过点P(1，1)的直线l 的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= (1)写出直线l 的极坐标方程；(2)设l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数.1)(a x x x f -+-=(1)若1a =-，解不等式()3f x ≥；(2)如果(),2x f x ∀∈≥R ，求a 的取值范围.2019届高三年级第三次四校联考数学(文)答案页二、填空题．共4个小题，每空5分，共20分．13．__________________ 14．__________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、解答题．共6个小题，共70分．18．(12分)解：(1)19．(12分)解：20．(12分)解：21．(12分)解：选做(10分)：题号____________ 解：2019届四校联考数学试题(文)参考答案一、选择题：(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)13．π414．21 15．54 16．1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤) 17．(本小题满分12分)解：(1)sin 75sin(3045)=+sin 30cos 45cos30sin 45=+1222=⨯=4分(2)∵75CAB ∠=，45CBA ∠=∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=，由正弦定理得：sin sin AB BC ACBCAB=∠∠∴sin 75sin 60AB BC = (6)分如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=，sin ,BDBCD BC∠=…………8分∴sin 45BD BC =＝100sin 75sin 45sin 60AB ⋅==米)……………11分∴该河段的宽度12分18．(本小题满分12分)解：(1)列联表补充如下：……………………3分(2)∵250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ (5)分∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.………………6分(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下： 111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132(),A B C ，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，332()A B C ，，，322331()()A B C A B C ，，，，，，基本事件的总数为18，………………9分用M 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于M 由111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，3个基本事件组成，所以61183)(==M P ，……………………11分由对立事件的概率公式得15()1()166P M P M =-=-=.…………12分19.(本小题满分12分)解析： (1)证明：平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面 ABCD 平面ABEF ＝AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，…2分又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ……………………3分 ⊥∴AF 平面CBF ． ……………………4分(2)设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形， …………………6分 //OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， //OM ∴平面DAF ． …………………8分(3)过点F 作AB FG ⊥于G ，平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-，…………10分⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=，………11分ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． (12)分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b +=>>设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离=1c =.……………2分又ac e =＝22，故a ＝2，b ＝1∴所求椭圆方程为2212x y +=． (4)分(Ⅱ)假设存在点()(),001M m m <<满足条件，使得以,MP MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y由()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()2222124220k xk x k +-+-=． (6)分由0∆>恒成立，∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．设线段PQ 的中点为00(,)N x y ，则202221021)1(,2122k kx k y k k x x x +-=-=+=+= (8)分∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，∴MN⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K ……………10分即222121212kk k k mk -+⋅=--+，2222110012122k m k m k k ∴==∴>∴<<++……………12分21．(本小题满分12分)解：(1)①'()2a f x bx x =-函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切'(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩………3分 ②22111()ln ,'()2x f x x x f x x x x-=-=-=………4分当1x e e ≤≤时，令'()0f x >得11x e<<；令'()0f x <，得1;x e << 1(),1f x e ⎛⎤∴ ⎥⎝⎦在上单调递增，在[1，e]上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==-………6分(2)当b ＝0时，()ln f x a x =若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，则ln a x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，即,ln x x a m -≤对所有的(]2,1],23,0[e x a ∈∈都成立，……8分令)(,ln )(a h x x a a h 则-=为一次函数，min ()m h a ≤(21,,ln 0,x e x ⎤∈∴>⎦3()[0,]2h a a ∴∈在上单调递增 min ()(0)h a h x ∴==-，m x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立……10分221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=- (12)分(注：也可令()ln ,()h x a x x m h x =-≤则所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，分类讨论得2min ()2m h x a e ≤=-对所有的3[0,]2a ∈都成立，22min (2)m a e e ∴≤-=-，四、选做题(本小题满分10分．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂嘿． 22．解：(Ⅰ)证明：如图，连接OC ．OA OB =，CA CB =， OC AB ∴⊥．∴AB 是⊙O 的切线． ……3分 (Ⅱ)1tan 2E ∠=，∴12CD EC =．BCD BEC △∽△，∴12BD CD BC EC ==．设BD x =，则2BC x =． (6)分又BC 2＝BD ·BE ，∴2(2)(6)x x x =+．…………… 8分解得10x =，22x =．0BD x =>，∴2BD =． 235OA OB BD OD ∴==+=+=．…………10分23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)因为直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=．所以直线l 的普通方程是)1(331-=-x y ．化为极坐标方程为33sin 3cos 3-=-θρθρ (4)分(Ⅱ)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++. ………6分圆2ρ=化为直角坐标系的方程422=+y x ．……………… 8分以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2．所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝|－2|＝2． ………………… 10分24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲解：(1)当1a =-时，()11f x x x =-++．由()3f x ≥得311≥++-x x ①当1x ≤-时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. ②当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立.其解集为∅.③当1x ≥时，不等式化为113,x x -++≥即23x ≥.其解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23. 综上得()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …………4分(2)若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件.若()()()21,1,1,121,1x a x aa f x a a x f x x a x -++≤⎧⎪<=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -.若()()()21,11,1,121,x a x a f x a x a f x x a x a -++≤⎧⎪>=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -所以(),2x f x ∀∈≥R .a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞…………10分。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(含答案)

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是 A ．y =2x B ．y =1x C ．y =lgx D ．y =cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9? 4．在△ABC 中，a ＝3√3，b ＝3，A ＝π3，则C 为A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π35．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4) C ．y =4sin(π8x −π4) D ．y =4sin(π8x +π4)6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ⋅n <0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |二、填空题9．i 为虚数单位，计算(−3−i)i =_______________。

2019届北京市第四中学高三调研(一)数学(文)试题(解析版)

2019届北京市第四中学高三调研（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D ．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正方形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形=×16=4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S 阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是： P=1﹣=1﹣π，故选：A ．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积. 4．阅读如图所示的程序框图，若输入a 的值为178，则输出的k 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行10213s k =+=⨯，；第二次运行11031335s k =++=⨯⨯，；…∴第n次运行()()111013352121s n n =+++⋯+⨯⨯-+111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭，当输入817a =时，由n a >得8n >，程序运行了9次，输出的k 值为10．【考点】程序框图.5．已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示， A ， B ， C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为平面DEHG ⊥平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A ．6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】D【解析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7．ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知cos b a C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2a =， 3c =C =（） A ．34π B ．3π C ．6π D ．4π【答案】D 【解析】cos ,b a C C ⎛⎫=∴ ⎪ ⎪⎝⎭由正弦定理可得sin sin cos sin B A C A C =+，可得()s i nc o s3si nAC A +==，cos sin sin A C A C ∴=，由sin 0C ≠，可得sin A A =，tan A ∴=，由A 为三角形内角，可得,2,3A a c π===， ∴由正弦定理可得sin sin c A C a ⋅==∴由c a <，可得4C π=，故选D.8．已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（） A ．或B ．或C ．D ．【答案】B 【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B ．二、填空题9．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________．【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率，由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(解析版)

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y=√x−2018的定义域为M，函数y=e x的值域为P，则M∩P=A．(0,+∞)B．[2018,+∞)C．[0,+∞)D．(2018,+∞)2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是A．y=2x B．y=1xC．y=lgx D．y=cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A．n>6? B．n≥7? C．n>8? D．n>9?4．在△ABC中，a＝3√3，b＝3，A＝π3，则C为A．π6B．π4C．π2D．2π35．函数y=A sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2,x∈R）的部分图像如图所示，则函数表达式为A．y=−4sin(π8x−π4)B．y=−4sin(π8x+π4)C．y=4sin(π8x−π4)D．y=4sin(π8x+π4)6．设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数()2222,2{log,2x x xf xx x-+≤=>，若Rx∃∈，使得()254f x m m≤-成立，则实数m的取值范围为A．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x∈R，定义符合函数sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，则下列等式正确的是A．sinx⋅sgn(x)=sin|x|B．sinx⋅sgn(x)=|sinx|C．|sinx|⋅sgn(x)=sin|x|D．sin|x|⋅sgn(x)=|sinx|二、填空题9．i为虚数单位，计算(−3−i)i=_______________。

2019届北京市中国人民大学附属中学高三下学期第三次调研考试文科数学试题

外…………○…………装…学校:___________姓名：内…………○…………装…绝密★启用前2019届北京市中国人民大学附属中学高三下学期第三次调研考试文科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（） A ．i B ．1 C ．i -D ．1-2．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（） A ．1B ．5C ．6D ．无数个3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）A ．18B ．14C ．38D ．124．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（）○……○…………装………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※○……○…………装………………线…………○……A ．64B ．73C ．512D ．5855．某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点(),D x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，向圆221x y +=内均匀撒M 粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是N ，则圆周率π为（） A ．NMB ．2NMC ．2MND ．2M N6．已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =.现有以下四个结论：①//AD 平面SBC ； ②//l AD ；③若E 是底面圆周上的动点，则SAE ∆的最大面积等于SAB ∆的面积； ④l 与平面SCD 所成的角为45︒. 其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P ，ΔPF F 是以PF 为底边的等腰三角形，若|PF |=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则e 2−e 1的取值范围是（） A ．(23,+∞)B ．(43,+∞)C ．(0,23)D ．(23,43)8．在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）()()()()231a a d a d a d a n d +++++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦和等比级数（数列）231n a aq aq aq aq-++++⋅⋅⋅+，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若224a =，则这9个数和的最小值为（） A ．64 B ．94C ．36D ．16第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为__________．10．若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________．11．已知a ，b ，c 分别是锐角ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，3C π=，若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，则a =______；12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-，则数列276n n n b a a =-+的最小值为__________.13．已知抛物线()220y px p =>上有三个不同的点A ，B ，C ，抛物线的焦点为F ，且满足0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，若边BC 所在直线的方程为4200x y +-=，则p =______；………订…………※※线※※内※※答※※题※※………订…………_______. 三、解答题15．如图所示，正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,AB BC 和CA 上，D 为AB 的中点，()90,090EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒．（Ⅰ）当tan DEF ∠=θ的大小；（Ⅱ）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值．16．在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n +1的等差中项（1）求证：数列{11n a -}是等差数列，并求{a n }的通项公式（2）求数列{21nn a }的前n 项和S n17．某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[][](]02241416L ，，，，，，（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.○…………外……………………订…………○…………线…………○……级：___________考号：___________○…………内……………………订…………○…………线…………○……(Ⅰ）求频率分布直方图中字母a 的值，并求该组的频率；（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m 的值（保留两位小数）；（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费y （元）与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233.y x =+若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.18．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA =且1AA ⊥底面ABCD ，点P 为1DD 的中点.…………○……※※答※※题※※…………○……（2）在BC 边上找一点Q ，使//PQ 平面11A ABB ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 19．已知()ln x f x e a x a =--，（其中常数0a >）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =有两个零点1212,0()x x x x <<，求证：121x x a a<<1<<. 20．如图，抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，以()()111,0A x y x ≥为直角顶点的等腰直角ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上.（1）过()0,3Q -作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；（2）求ABC ∆面积的最小值.参考答案1．D 【解析】【分析】利用)ni n N *∈（的周期求解. 【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=，且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅，所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的计算和)ni n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．C 【解析】【分析】直接列举求出A 和A 中元素的个数得解. 【详解】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6. 故选C 【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．C 【解析】【分析】先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2根阳线和1根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算. 【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦， ∴概率为38.故选：C. 【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力. 4．B 【解析】试题分析：运行程序，1S =，否，2x =，145S =+=，否，4x =，549S =+=，否，8x =，96473S =+=，是，输出73S =.考点：程序框图. 5．D 【解析】【分析】作出平面区域，根据黄豆落在区域内的概率列方程得出π的值．【详解】作出点D 所在的平面区域如图所示：∴黄豆落在AOB ∆内的概率AOB O S NP S M∆==圆，即12N M π=，故2MNπ=．故选：D ．本题考查利用随机模拟求π，考查几何概型的概率计算，属于中档题． 6．C 【解析】【分析】利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角，判断选项的正误即可．【详解】对①，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =，所以ABCD 是正方形．所以//AD BC ，BC ⊂平面SBC ，所以//AD 平面SBC ；故①正确；对②，因为l ，AD ⊂平面SAD ，l 、BC ⊂平面SBC ，//AD 平面SBC ，所以//l AD ；故②正确；对③，若E 是底面圆周上的动点，当90ASB ∠︒…时，则SAE ∆的最大面积等于SAB ∆的面积；当90ASB ∠>︒时，SAE ∆的最大面积等于两条母线的夹角为90︒的截面三角形的面积，故③不正确；对④，因为//l AD ，l 与平面SCD 所成的角就是AD 与平面所成角，就是45ADB ∠=︒；故④正确；综上所述正确的个数为3个，故选：C.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力. 7．A试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1=r 1，PF 2=r 2．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出e 2−e 1的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1=r 1，PF 2=r 2．由题意知r 1=10，r 2=2c ，且r 1＞r 2，2r 2＞r 1， ∴2c ＜10，2c +2c ＞10， ∴52＜c ＜5,∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1−r 2=2c 10−2c ＝c5−c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1+r 2=c5+c ，∴e 2−e 1=c 5−c −c5+c =2c 225−c 2=225c 2−1>23，故选A ．考点：椭圆与双曲线离心率问题． 8．C 【解析】【分析】简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这9个数的和为43(44)3[436q q +++=…，得解．【详解】由数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，设12a ，22a ，32a 的公比为q ，因为224a =，所以124a q=，324a q =，所以这9个数的和为43(44)3[436q q +++=…，即这9个数和的最小值为36，故选：C ．【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法.9．【解析】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由渐近线过点()3,4-，可得34b a -=-，即43b a =，53c a ===，可得53c e a ==，故答案为53.10．20x y --= 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数可得0a =，得到函数解析式，则可得()1f ，再求()f x 在x 1=处的导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】()()3212f x a x ax x =++-为奇函数,则0a =，()32f x x x ∴=-， ()2'32f x x =-，()2'13121f ∴=⨯-=，又()11f =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11y x +=-,即20x y --=. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数解析式是本题解题关键.11 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换将条件进行化简得sin 2sin B A =，由正弦定理，得2b a =，根据余弦定理解得a 的值．【详解】sin sin()2sin 2C B A A +-=Q ，∴由已知得sin()sin()4sin cos A B B A A A ++-=，又cos 0A >，sin 2sin B A ∴=，由正弦定理，得2b a =．由2c =，3C π=，根据余弦定理得：22222442a b ab a a a =+-=+-，解得：a =故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想． 12．6- 【解析】【分析】由已知求得12n n a -=，再由配方法求数列276n n n b a a =-+的最小值．【详解】由21nn S =-，得111a S ==，当2n …时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=， 11a =适合上式， ∴12n n a -=．则2272576()24n n n n b a a a =-+=--．∴当4n a =时2725()(4)624n min b =--=-．故答案为6-．【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题． 13．8 【解析】【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合直线l 与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，即可求得p 值，从而解决问题．【详解】由242002x y y px+-=⎧⎨=⎩可得22200y py p +-=．由△0>，有0p >，或160p <-．设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则122p y y +=-， 1212(5)(5)10448y y p x x ∴+=-+-=+. 设3(A x ，3)y ，抛物线的焦点为F ，且满足0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u rr，112233(,)(,)(,)0222p p px y x y x y ∴-+-+-=， 12332px x x ∴++=，1230y y y ++=，311108x p ∴=-，32p y =，Q 点A 在抛物线上，211()2(10)28p p p ∴=-，8p ∴=.故答案为：8．【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算. 14．6π 【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，高为ℎ，则球的半径R =√r 2+（ℎ2）2，由圆柱的侧面积，求得ℎ2=1r ，得出R =√r 2+1r2，得到R 得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为r ，高为ℎ，则球的半径R =√r 2+（ℎ2）.因为球体积V =4π3R 3，故V 最小当且仅当R 最小.圆柱的侧面积为2πrℎ=4π，所以rℎ=2，所以ℎ2=1r ，所以R =√r 2+1r 2≥√2，当且仅当r 2=1r 2时，即r =1时取“=”号，此时R 取最小值，所以r =1，ℎ=2,圆柱的表面积为2π+2π×1×2=6π. 【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.15．（Ⅰ）60θ=︒（Ⅱ）当45θ=︒时，S 取最小值62- 【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在EDF ∆中，tan DF DEF DE ∠==①，而在DBE ∆中，利用正弦定理，用θ表示DE ，在ADF ∆中，利用正弦定理，用θ表示DF ，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan θ，利用特殊角的三角函数值求角θ；第二问，将第一问得到的DF 和DE 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S 的最小值．试题解析：在BDE V 中，由正弦定理得000sin 60sin(120)2sin(60)BD DE θθ==-+，在ADF V 中，由正弦定理得00sin 60sin(30)AD DF θ==+tan DEF ∠=，得sin(60)sin(30)θθ+=+tan θ=60θ=︒．（2）1·2S DE DF =＝0038sin(60)sin(30)θθ=++==．当45θ=︒时，S=考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式． 16．（1）证明见解析，a n ＝11n +；（2）S n ＝1nn +．【解析】【分析】（1）由等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得所求；（2）求得()2111111n n a n n n n ==-++，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（1）a 1＝2，a n 是1与a n a n +1的等差中项，可得2a n ＝1+a n a n +1，即a n +121n na a -=，a n +1﹣11n n a a -=，可得11111n n a a +=+--1，可得数列{11n a -}是首项和公差均为1的等差数列，即有11n a =-n ，可得a n ＝11n+；（2）()2111111n n a n n n n ==-++，则前n 项和S n ＝1111112231n n -+-++-=+L 1111n n n -=++．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意变形和等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．17．（1）0.10.a =第四组的频率为0.2（2）8.15（3）15 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据小长方形的面积之和为1，即可求出a ；（Ⅱ）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方；（Ⅲ）根据回归方程即可求出答案.详解：（Ⅰ）0.020.040.080.130.080.030.02)21a +++++++⨯=Q（， 0.10.a ∴=第四组的频率为：0.120.2.⨯=（Ⅱ）因为0.0220.0420.0820.1028)0.130.5,m ⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=（所以0.50.4888.15.0.13m -=+≈（Ⅲ）()17123456,62x =+++++=Q 且233,y x =+723340.2y ∴=⨯+=所以张某7月份的用水费为312-64072.⨯= 设张某7月份的用水吨数x 吨，1244872⨯=<Q12412)872,15.x x ∴⨯+-⨯==（则张某7月份的用水吨数15吨.点睛：这个题目考查了频率分布直方图的应用，方图中求中位数的方法，即出现在概率是0.5的地方，以及回归方程的求法，在频率分布直方图中求平均值，需要将每个长方条的中点值乘以相应的概率值相加即可. 18．(1)证明见解析. (2)1B BPQ V -6=. 【解析】分析：(1) 取1AA 中点M ，由平几相似得1BM AB ⊥，再由1AA ⊥底面ABCD 得1AA BC ⊥ ，又BCD 是正方形，有AB BC ⊥，因此BC ⊥平面11ABB A ，即得1BC AB ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在BC 边上取一点Q ，使3BQ =，由平几知识得四边形PMBQ 是平行四边形，即有////PQ BM PQ ，平面11A ABB . 设1AB BM N ⋂=，由（1）得1B N 为高，最后根据锥体体积公式求结果. 详解：（1）取1AA 中点M ，连结BM ，PM ，在////PM AD BC ，∴BM ⊂平面PBC .∵1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴1AA BC ⊥，∵ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥，又AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，1AB AA A ⋂=， ∴BC ⊥平面11ABB A ，∵1AB ⊂平面11ABB A ，∴1BC AB ⊥.∵14AB AA ==，1190BAM B A A ∠=∠=o，112AM B A ==，∴11ABM A AB ∆≅∆，∴11MBA B AA ∠=∠，∵11190BAB B AA o∠=∠=，∴190MBA BAB ∠+∠=o ，∴1BM AB ⊥，∵BM ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BM BC B ⋂=， ∴1AB ⊥平面PBC .（2）在BC 边上取一点Q ，使3BQ =，∵PM 为梯形11ADD A 的中位线，112A D =，4AD =， ∴3PM =，//PM AD ，又∵//BQ AD ， ∴//PM BQ ，∴四边形PMBQ 是平行四边形，∴//PQ BM ，又BM ⊂平面11A ABB ，PQ ⊄平面11A ABB ， ∴//PQ 平面11A ABB .∵BC ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ， ∴BQ BM ⊥，∵14AB AA ==，112AM A B ==，∴1BM AB ==，设1AB BM N ⋂=，则AB AM AN BM ⋅==.∴11B N AB AN =-=∴1113B BPQ BPQ V S B N -∆=⋅ 1136325=⨯⨯⨯=.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）()f x 有极小值(1)0f =，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出a ＝e 的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f （x ）≥0恒成立时，有 0＜a ≤e 成立．若10x e ≤＜，则f （x ）＝e x ﹣a （lnx +1）≥0显然成立；若1x e＞，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,+∞，（1）当a e =时，()ln xf x e e x e =--，()xe f x e x '=-，()xe f x e x'=-在()0,+∞单调递增且()10f '=当01x <<时，()()10f x f ''<=，所以()f x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()()10f x f ''>=，则()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()f x 有极小值()10f =，无极大值.（2）先证明：当()0f x ≥恒成立时，有0a e <≤成立若10x e<≤，则()()ln 10xf x e a x =-+≥显然成立；若1x e >，由()0f x ≥得1ln xe a x ≤+，令()1ln xe g x x=+，则()()21ln 11ln x e x x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+'，令()11ln 1()h x x x x e =+->，由()2110h x x =+>'得()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又∵()10h =，所以()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为负，递减，在()1,+∞上为正，递增，∴()()min 1g x g e ==，从而0a e <≤.因而函数()y f x =若有两个零点，则a e >，所以()10f e a =-<，由()ln ()a f a e a a a a e =-->得()ln 2af a e a =--'，则()1110a a f a e e e a e e=->->-'>'， ∴()ln 2a f a e a =--'在(),e +∞上单调递增，∴()()2330a f a f e e e >=->-'>'， ∴()ln a f a e a a a =--在(),e +∞上单调递增∴()()2220e f a f e e e e e >=->->，则()()10f f a <∴21x a <<，由a e >得111111ln ln ln 0a a a a f e a a e a a a e a e a e a a ⎛⎫=--=+->+-=> ⎪⎝⎭，则()110f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴111x a <<，综上1211x x a a <<<<. 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．20．（1）24x y =（2）24p【解析】【分析】（1）设出过点Q 的抛物线C 的切线l 的方程，联立抛物线C 的方程，消去y 得关于x 的方程，利用△0=以及F 到切线l 的距离，求出p 的值即可；（2）由题意设直线AB 的方程，联立抛物线方程，得关于x 的方程，利用根与系数的关系，以及||||AB AC =，求得ABC ∆面积的最小值．【详解】（1）过点()0,3Q -的抛物线C 的切线l ：3y kx =-，联立抛物线C ：()220x py p =>，得2260x pkx p -+=，224460p k p ∆=-⨯=，即26pk =.∵0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，F 到切线l的距离为2d ==，化简得()()226161p k +=+，∴()()216666161p p p p +⎛⎫+=+=⎪⎝⎭， ∵0p >，∴60p +>，得()()2616820p p p p +-=+-=， ∴2p =，∴抛物线方程为24x y =.（2）已知直线AB 不会与坐标轴平行，设直线AB ：()()110y y t x x t -=->，联立抛物线方程得()211220x ptx p tx y -+-=，则12B x x pt +=，12B x pt x =-，同理可得12C px x t=--； ∵AB AC =11B C x x -=-， ∴()11B C t x x x x -=-，即2111p t t x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。