求复数的辐角辐角主值
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
2
1）0 r 2 时，tg 0,
0
2
2）r 2 时，tg 0, tg 1,0
7 2 4
7 z i 的辐角主值取值范围为0, ,2 2 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
（2） cos(
2 cos(
) 2i cos(
)
6
) 0 ，即
4
3 , 3
,
arg( z1 z 2 ) [0,2 )
（3） cos(
) 0 ，即 ( , ) ， 6 3 3
4
5 arg( z1 z 2 ) 4
7 arg u {0} ( ,2 ) 4
小结： （1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
（2） 求复数的辐角主值的取值范围时，首先要看复数所对应点所在象限， 再求辐角主值的正切值的范围，最后求辐角主值的取值范围。
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r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z 2 zi z ( z i) 2 sin (cos i sin )[2 sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
上学期 求复数的辐角主值及取值范围(PPT)3-2
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arg(z1 z2 ) 4
的负半周（ωt=π~π），D反偏截止，D正偏导通，RL上也有自上而下的电流流过，RL上的电压与u相同。可画出整流波形如图Z所示。可见，负载凡上得到的 也是一单向脉动电流和脉动电压。其平均值分别为： 流过二极管D的平均电流（即正向电流）为加在二极管两端的最高反向电压为选择整流二极管时，应以 此二参数； 股票知识：https:// ；为极限参数。 全波整流输出电压的直流成分（较半波）增大，脉动程度减小，但变压器需要中心抽头、 制造麻烦，整流二极管需承受的反向电压高，故一般适用于要求输出电压不太高的场合。 变压器次级中心抽头的全波整流电路。从图的电路很容易看出，它
2
6
2 cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即[0, 3源自)( 43
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
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arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
例 3，已知非零复数 z 的辐角为7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。
4
解：设 z r（cos 7 i sin 7 ），r 0
4
4
2 r （ 2 r）i
2
2
z i 2 r （1 2 r）i
2
2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
设辐角主值为, 0 2
是两个半波整流电路结合而成的，所以也称为双半波整流电路。变压器的中心抽头为地电位，把交流电压正、负半周分成两部分。正弦交流电正半周时二极 管DA导通，电流通过DA到负载；负半周时二极管DB导通，电流通过DB也到负载。和半波整流电路相比，在交流电压的正、负半周上都有电流通过负载。虽 然每个时刻流到负载的电流并未增加，但平均输出电流比半波整流加倍，流过每个管的电流为负载电流的/。有载时平均输出电压是变压器次级半个绕组电压 有效值的.倍 [] 。 经常使用的整流电路是桥式全波整流电路。它的变压器次级只有一个绕组，接在由四只二极管组成的电桥上。四只管又分成两对，没对串 联起来工作。当正弦交流电的正半周到来时，即变压器次级上端为正时，二极管DA和DC导通而二极管DB和DD截止，如图b所示。当正弦交流电压的下半周 到来时，即变压器上端相对于下端为负时，二极管DB和DD导通而二极管DA和DC截止，如图c所示。可以看出，不论是DA和DC导通，或是DB和DD导通，流 过负载的电流方向都是一致的，在负载上产生的电压都是上正下负。输出波形与变压器具有中心抽头的全波整流器的整流波形相同，如图d。每一个脉冲波形 对应两个导通管 [] 。 另外，当DA和DC管导通时，可近似将它们看作短路，变压器次级的反向峰值电压是加到截止管DB和DD上的（两管并联），所以每只 管承受的反向峰值电压为√Erms。加到电阻性或电感性负载上的输出电压为变压器次级有效值电压的.倍；加到电容性负载的输出电压是变压器次级有效值电 压的√倍。一般估算认为，带负载时输出电压为.Erms。两对二极管交替工作，输出电流比半波整流器加大了一倍，每只管流过的电流ID仅为负载电流Id的一 半，即ID=/Id [] 。 单相半波电阻性负载整流电路：由于半导体二极管D的单向导电特性，只有当变
上学期 求复数的辐角主值及取值范围(PPT)4-3
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arg(z1 z2 ) 4
的书，其中介绍了金属锑的制备。世纪时，据说笔名叫巴西利厄斯·华伦提努的圣本笃修会的修士提到了锑的制法，如果此事属实，就早于比林古乔。 一般认 为，纯锑是由贾比尔（Jābir ibn Hayyān）于世纪时最早制得的。然而争议依旧不断，翻译家马塞兰·贝特洛声称贾比尔的书里没有提到锑，但其他人认为贝特 洛只翻译了一些不重要的著作，而；炒股配资 / 炒股配资 ；最相关的那些（可能描述了锑）还没翻译，它们的内容至今还是未知的。 地壳中自然存在的纯锑最早是由瑞典籍英国科学家威廉·亨利·布拉格于7年记载的。品种样本采集自瑞典西曼兰省萨拉市的萨拉银矿。 [4] 应用编辑 %的锑用 于生产阻燃剂，而%的锑用于制造电池中的合金材料、滑动轴承和焊接剂。 阻燃剂 锑的最主要用途是它的氧化物三氧化二锑用于制造耐火材料。除了含卤素 的聚合物阻燃剂以外，它几乎总是与卤化物阻燃剂一起使用。三氧化二锑形成锑的卤化物的过程可以减缓燃烧，即为它具有阻燃效应的原因。这些化合物与
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
氢原子、氧原子和羟基自由基反应，最终使火熄灭。商业中这些阻燃剂应用于儿童服装、玩具、飞机和汽车座套。它也用于玻璃纤维复合材料（俗称玻璃钢 ）工业中聚酯树脂的添加剂，例如轻型飞机的发动机盖。树脂遇火燃烧但火被扑灭后它的燃烧就会自行停止。 [] 合金 锑能与铅形成用途广泛的合金，这种 合金硬度与机械强度相比锑都有所提高。大部分使用铅的场合都加入数量不等的锑来制成合金。在铅酸电池中，这种添加剂改变电极性质，并能减少放电时 副产物氢气的生成。锑也用于减摩合金（例如巴比特合金），子弹、铅弹、网线外套、铅字合金（例如Linotype排字机）、焊料（一些无铅焊接剂含有%的 锑）、铅锡锑合金、以及硬化制作管风琴的含锡较少的合金。 [] 其他应用 其他的锑几乎都用在下文所述的三个方面。第一项应用是生产聚对苯二甲酸乙二 酯的稳定剂和催化剂。第二项应用则是去除玻璃中显微镜下可见的气泡的澄清剂，主要用途是制造电视屏幕；这是因为锑离子与氧气接触后阻碍了气泡继续 生成。第三项应用则是颜料。锑在半导体工业中的应用正不断发展，主要是在超高电导率的n-型硅晶圆中用作掺杂剂，这种材料用于生产二极管、红外线探 测器和霍尔效应元件。世纪年代，小珠装的铅锑合金用于给NPN型合金结晶体管的发射器和接收器上漆。锑化铟是用于制作中红外探测仪的材料。 锑的生物 学或医学应用很少。主要成分为锑的药品称作含锑药剂（antimonial），是一种催吐剂。锑化合物也用作抗原虫剂。从 年起，
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
当a
0 时， tg
1
a2 a
a2
1
1
1 a2
1 a
1
(1 1)2 3 a2 4
0 a 1, 1 1 ， ( 1 1 ) 2 3 1, tg 1
a
a2 4
u 的实部为正，虚部为负， 7 2 .
4
arg u {0} (7 ,2 )
4
小结：（1）复数的三角式中的辐角不一定是复数的辐角主值，要学会把它转化为 复数的辐角主值。
冰尾灯部落不远处又飘来一阵风声，夜之声是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……闪入冰尾灯部落后，身上就有一种清凉的，非常滑爽的感觉。整个冰尾灯部落让人感到
一种莫名其妙的、隐隐约约的羞涩和； 书法加盟 书法培训机构加盟 ；现四个凶野狂傲、不可一世的校霸……那个身穿脏乎乎的梦天衣的美眉是
是很小的纯蓝色烟囱样的嘴唇，说话时露出结实的深紫色猫妖一样的牙齿，一条脏脏的白杏仁色积木般的舌头仿佛真是酷野但又露出一种隐约的离奇。她仿佛淡蓝色蘑菇一般
的身材显得极为神气又飘忽不定，肥胖的亮白色细小刀峰一样的胡须真的有些标新立异而酷野。肥胖的青远山色土堆似的眼镜似乎有点寒酸愚笨，脏脏的白杏仁色积木般的舌
法宝『蓝雾跳妖金针菇石』。他有着敦实的深橙色猪肚模样的身材和扁扁的深绿色洋葱造型的皮肤，好像绝无仅有的强硬和朦胧，他头上是闪光的天青色面具一样的短发，戴
着一顶傲慢的土黄色蘑菇一般的海带雨萍帽，他上穿风光的纯蓝色蛤蟆形态的贝壳蟒鹰碎花袄，下穿异常的的亮红色娃娃样的黑豹仙霞裤，脚穿有角的灰蓝色面包形态的草丛
黑色红薯般的皮肤，好像绝无仅有的正点新奇，她头上是虔诚的火橙色陀螺形态的奇发，戴着一顶有根羽毛的淡灰色陀螺般的船尾遁形帽，她上穿五光十色的纯红色菊花模样
第17讲 复数的三角形式(讲义)解析版
第17讲 复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(n θ)＋isin(n θ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3-；（2.【答案】（1）11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭（277cos isin 244ππ⎛⎫=⎝+⎪⎭【分析】（1）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是(3,在第四象限，求出()11arg 36π=，最后写成三角形式.（2）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出)7arg4π=，最后写成三角形式.【详解】（1）r ==因为与3-对应的点在第四象限，所以()11arg 36π-=，所以11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【巩固训练】1．（202012i +化成三角形式，正确的是（ ） A ．cossin33i ππ+B ．cossin66i ππ+C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解: 因为cos6π=1sin 62π=1cos sin 266i i ππ+=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．2．（2020·全国高一课时练习）复数1-+的三角形式是 A ．222cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．552cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据复数的三角形公式(cos sin )z r i θθ=+求解或利用定义直接求解即可.【详解】解法一：设复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+,则2r ==,tan θ=,可取2arg 3z πθ==,从而复数1-+的三角形式为222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法二：1⎡⎤-=12222cos sin 2233i ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数1z i =-（i 为虚数单位）的三角形式为（ ）A ．45cos 45)z i ︒︒=-B ．45isin 45)z ︒︒=-C ．45)sin(45)]z i ︒︒=---D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是()cos sin z r i θθ=+，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得r ==复数1z i =-对应的点在第四象限，且cos θ=，因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差2π的整数倍即可. 【详解】当复数12,z z 的模与辐角分别相等时，一定有12z z =，充分性成立；但当12z z =时，1z 与2z 的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立.综上，“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中)0r θπ=≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】2155cos sin42266i z i i ππ-====-+=+，所以辐角主值为56π． 故选：D ．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 1cos sin1212i ππ⎫+⎪⎭，z 2cossin66i ππ⎫+⎪⎭，则z 1z 2的代数形式是（ ）A cossin44i ππ⎫+⎪⎭B cossin1212i ππ⎫+⎪⎭C D 【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭[cos()s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题. 例4．（2020·全国高一课时练习）复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为 A ．518π B ．169πC ．29π D ．79π 【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4(cos sin )66i ππ+； （2）2(cossin )33i ππ- 【分析】（1）复数4(cossin )66i ππ+为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，转化为三角形式552cossin 33i ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式； 【详解】（1）复数4(cossin )66i ππ+模r ＝4，辐角的主值为θ＝6π.4(cossin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+1442i =+⨯2i =. （2）2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2cos 2sin 233i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552cos sin 33i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，复数的模为2，辐角的主值为θ＝53π，2cos sin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭552cos 2sin 33i ππ=+12222i ⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭1=. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）442cos sin 55i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （2）33sincos 55i ππ+. 【答案】（1）不是，992cossin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）不是，cos sin 1010i ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【详解】（1）不是.44442cos sin2cos sin 5555i i ππππ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭44992cos sin 2cos sin 5555i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）不是.3333sincos cos sin cos sin 5525251010i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）771333cos sin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3232i ；（2）32i【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得； 【详解】解：（1）771333cossin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2232i ⎫⎛⎫=÷-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 226323222i i ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭113222i ⎛⎫=÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭1422ii⎛⎫-⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.【巩固训练】2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32＝(2)2⎝⎛⎭⎪⎫cos23π＋isin23π＝2⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.(2)12－12i＝22⎝⎛⎭⎪⎫22－22i＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π，所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos512π＋isin512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝32＋12i.(3)因为－12＋32i＝cos23π＋isin23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为()1,0Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A ．122i + B ．122i + C ．122i - D ．122- 【答案】A【分析】设z a bi '=+，根据三角函数的定义可求得a 、b 的值，进而可得出复数z '的值.【详解】设z a bi '=+，由题意知，3cos302a ==1sin 302b ==，所以12z i '=+，故选：A ．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.例2．（2020·全国高一课时练习）将复数1对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是A i -B iC ．iD ．i +【答案】A【分析】先将复数1+写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数1i +对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到的向量为1OM ，那么1OM 对应的复数是 A ．2i BC．22+ D【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】复数1i +cossin44i ππ⎫+⎪⎭,向量1OM 对应的复数cos sin cos sin 4444i ππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数22i -+对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】与所得向量对应的复数为()()22cos75sin75i i -+⨯︒+︒)()cos135sin135cos75sin 75i i =︒+︒⨯︒+︒()()cos 13575sin 13575i =︒+︒+︒+︒⎤⎦)cos210sin 210i =︒+︒=12i ⎫-⎪⎪⎭=.【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设O 为坐标原点，点,A B 所对应的复数分别为12,z z ，且12,z z 的辐角主值分别为,αβ，模长均为1.若AOB 的重心G 对应的复数为11315i +，求()tan αβ+. 【答案】512【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知12cos sin ,cos sin z i z i ααββ=+=+.∵AOB 的重心G 对应的复数为11315i +， ∴12113315z z i +=+，即cos cos 11sin sin 5αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴2cos cos 12212sin cos 225αβαβαβαβ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴1tan 25αβ+=， ∴()22tan 52tan 121tan 2αβαβαβ++==+-. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（ ）A ．2tan 12tan 1θθ+-B ．2tan 12tan 1θθ-+C ．12tan 1θ+D ．12tan 1θ- 【答案】A【分析】先把复数1z 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数2z ，利用复数相等的条件得到sin ϕ和cos ϕ的值，求出tan ϕ.【详解】因为1z ==所以1z ⎫=，设cos β=sin β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则cos tan 2sin θβθ=，23355cos sin cos +sin +4444z i i ππππββββ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭ cos 11tan 2tan 12sin cos 1tan 2tan 112sin θβθθθβθθ+++===---. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将1z 、2z 化为三角形式然后再计算.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】+【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒22822i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 4242i =+.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，求复数z （用代数形式表示）. 【答案】22i 22z =- 【分析】把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°得到()()cos45isin 45i =︒+︒⨯-z ，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为a bi + 的形式.【详解】由题意得()()()22cos 45isin 45i i i 22z⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22i 22=-. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数()()452213i i +-=（ ）A ．13iB ．13i -+C ．13iD ．13i --【答案】B【分析】由复数的三角形式得22cos sin 44i i ππ+=+），1=2(cos sin )33i ππ-，代入运算可得选项.【详解】22cos sin 44i i ππ+=+），故46(22)2(cos sin )i i ππ+=+=62-，1=2(cos sin )33i ππ-，故5555(1)2cos sin 33i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，46512222552(cos sin )33i ππ⎛⎫-- ⎪-===-⎝⎭⎝⎭12()12=--=-+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒； （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【答案】（1）1-；（2）13232i -+ 【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒()5111cos180sin180cos36sin 36i i ===-︒+︒︒+︒ （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 412cos isin 33ππ=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 14 16cos isin 334ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎝⎭12⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭132=-+ 【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题.3．（2020.【答案】8-+【分析】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解51322i ⎫⎪=532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=5532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=13222i ⎛⎫-+ ⎪=)132228i i ⎛⎫-+ ⎪==-+ 【点睛】本题考查复数三角形式的乘方运算及代数形式的除法运算，属于基础题.反思总结：知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…z n＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…r n(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…r n[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．(2)当z1＝z2＝…＝z n＝z时，即r1＝r2＝…＝r n＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有z n＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．。
复数的三角形式与指数形式
那么
n [ (cos i sin )]n n (cos n i sin n )
r n , n 2k ,(k 0, 1, 2, )
n
所以
即
r,
2k
n
2k ,( k 0, 1, 2, ) n n
2、复数的除法
r1 (cos 1 i sin 1 ) z1 z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) r1 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) r2
显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同， 但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。 因此，复数z的n个n次方根为
k r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
), ( k 0,1, 2,
, n 1)
a bi r cos ir sin r (cos i sin )
这样，我们把 r (cos i sin ) 叫做复数a+bi的三角形式
a bi r cos ir sin r (cos i sin )
二、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘 除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。
1、复数的乘法 设 z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos2 i sin2 )
z1z2 [r1(cos1 i sin1 )] [r2 (cos2 i sin2 )]
上学期-求复数的辐角主值及取值范围(2019年10月整理)
即 r 2 2r sin
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
z2 zi z(z i) 2sin (cos i sin )[2sin (cos i sin ) i]
2 sin (cos i sin )(sin 2 i cos 2 )
2
2
6
cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2sin (cos i sin )[cos(2 ) i sin(2 )]
2
2
Hale Waihona Puke 月子中心 / 月子中心；
故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨
14.求复数的辐角、辐角主值
求复数的辐角、辐角主值知识要点： 一、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。
即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。
定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值02≤<arg z π唯一性：复数z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模z r =是唯一的。
⑤z =0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。
辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2）复数的向量表示在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2（如图）何量oz z 11→对应于 何量oz z 22→对应于 何量z z z z z 1221→-=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz →显然oz ∥z 1z 2则arg z 1=∠xoz 1=θ1arg z 2=∠xoz 2=θ2arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
求复数辐角主值最值的四种方法
先利用复数的三角式ｚ＝ｒ（ｃｏｓ臼＋ ｉｓｉｎ口）（ｒ＞ｏ，Ｏ≤臼＜２丌）及其它，把复数模 化成三角函数形式或把复数转化成构造相关 三角函数，再用三角知识推理、计算出所求辐 角主值的最值．三角法的实质是把复数问题 化成三角问题求解． 例１
已知复数ｚ满足Ｉ ２ｚ＋÷Ｉ：１，
由②知，ｏ≠ｏ，结合丌＜臼≤萼７ｒ，有詈＜
・．’戈∈Ｒ，．・．半０另Ⅱ式△＝４（ｔ９８＋１）２— ７（‘９２日＋１）≥Ｏ，化简，得３ｔ９２目一８‘ｇ臼＋３≤
０．
求ａｒｇ三的最大值． 分析：本题若
Ｉ，
用三角法和代数法
解得半酏臼≤半． ．・．（ａｒｇｚ）ｍｉｎ：ａｒｃｔｇ半； （ａ孵）。。：ａｒｃｔｇ半．
例４ 已知复数ｚ＝ｃｏｓ臼＋ｉ（２ｓｉｎ２口一
０（一２００１≤ｙ≤
Ｉ，
．・．点ｚ在以 （０，１）为圆心，１ 为半径的圆或圆内 运动，如图２．
ｚ＋ｉ
Ｉ表示圆或
＜ ≥～
一
２００１），其轨迹是线 段Ｉ
Ａ曰Ｉ．
一２００１
／
＾／’
三
２００１
圆内的点到点Ａ （Ｏ，一１）的距离，向
』ｊ ．｝、
图２ ｏ’Ａ
从图形上知
【ａｒｇ（彳＋２００１
ｉ＋
ｆ
∥ｊ
图３
一２００１
万方数据
求复数辐角主值最值的四种方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 邓光发 四川开江普安中学,636251 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2001(4)
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200104006.aspx
立． ．・．由余弦函数在［０，丌］上的单调性知，
上学期 求复数的辐角主值及取值范围(PPT)5-2
2 12rrFra bibliotek2例1， 已知复数 z1 3 cos i sin ， z2 sin 3i cos ，当 [0,2 ) ，
求arg(z1 z2 ) 的值。
解： z1 z2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )i
2cos( ) 2i cos( )
2
6
2 cos(
)(cos
6 i sin
)
64
4
（1） c os (
)
6
0，即
[0,
3
)
( 4
3
,2
)， arg(z1
z2 )
4
（2）cos( ) 0 ，即 , 4 ,
6
33
arg( z1 z2 ) [0,2 )
（3）cos( ) 0 ，即 ( , 4 ) ，
6
33
5
arg(z1 z2 ) 4
求复数辐角主值最值的四种方法
求复数辐角主值最值的四种方法
邓光发
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2001(000)004
【摘要】@@ 本文以实例来说明求复数辐角主值最值的四种常用方法,供读者参考.rn1 三角法rn先利用复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)(r＞0,0≤θ＜2π)及其它,把复数模化成三角函数形式或把复数转化成构造相关三角函数,再用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最值.三角法的实质是把复数问题化成三角问题求解.
【总页数】3页(P14-15,21)
【作者】邓光发
【作者单位】四川开江普安中学,636251
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.利用复数的性质求无理函数的最值
2.怎样求复数模的最值
3.怎样求复数辐角主值的最值
4.利用复数模的不等式求有关最值问题
5.求复数最值的五条途径
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上学期 求复数的辐角主值及取值范围(PPT)4-1
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
6
33
5
arg(z1 z2 ) 4
别适宜于肝炎、肺结核、大便秘结、急慢性气管炎、上呼吸道感染、高血压、心脏病以及食道癌患者食用 [] 。 梨子含有多种维生素及钾、钙元素，有降压 、清热、镇静和利尿作用，对高血压、心脏病伴有的头晕目眩、心悸、耳鸣症状有一定的治疗效果。梨子生吃，能解除因上呼吸道感染所产生的咽喉干燥痒 痛、；；股票入门 炒股入门知识学习 股市入门基本知识 股票 入门 股票入门基础知识txt 炒股入门知识书籍下载 股票的基础知识入门 ；干 咳及烦渴、潮热等阴虚之症。因此， 教师、播音员及歌唱演员经常吃梨，用来保护嗓子，预防喉癌、肺癌和鼻咽癌，吃梨时最好还是细嚼慢咽，才能更好地 让肠胃吸收在自然界中，凡是有生命的机体，均属于生物。生物应分为几个界，把能固着生活和自养的生物称为植物界，简称植物。 植物 植物(张) 植物有 明显的细胞壁和细胞核，其细胞壁由葡萄糖聚合物——纤维素构成。植物具有光合作用的能力——就是说它可以借助光能及动物体内所不具备的叶绿素，利用 水、矿物质和二氧化碳生产食物。释放氧气后，剩下葡萄糖——含有丰富能量的物质，作为植物细胞的组成部分。 [] 亚里士多德将生物区分成植物（通常是 不移动的）和动物（时常会移动去获取食物）两种。在林奈系统里，则被分为了植物界和动物界两界。后来，人们渐渐了解过原本定义的植物界中包含了数 个不相关的类群，并将真菌和数种藻类移至新的界去。然而，对于植物仍然有许多种看法，不论是在专业上的，还是在一般大众的眼中来看。而也确实，若 试图要完美地将“植物”放至单一个分类里是会发生问题的，因为对于大多数的人而言，“植物”这一词对现今分类学和系统分类学所立基的种系发生学的 概念之间的关联性并不是很清楚,繁殖方法主要有压条、分株、扦插、嫁接、种子、孢子等。 注:现在有泛植物界这个分类。 植物分类编辑 植物家族树状图 植物家族树状图 生命的起源是由化学物质构成的DNA和原生浆液。植物伊始距今二十五亿年前（元古代），地球史上最早出现的植物属于菌类和藻类，其后 藻类一度非常繁盛。直到四亿三千八百万年前（志留纪），绿藻摆脱了水域环境的束缚，首次登陆大地， 进化为裸蕨类植物和蕨类植物。为大地首次添上绿
上学期 求复数的辐角主值及取值范围(PPT)2-2
4
4
2 r （ 2 r）i
2
2
z i 2 r （1 2 r）i
2
2
z i 的辐角主值是第一，第四象限内的角，
设辐角主值为, 0 2
1 2 r
tg 2
2 1
2r
r
2
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； 大鹅视频 大鹅视频
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从小，我就有一个英雄梦，心中也装着个小小江湖。 想身着白衣背负长剑，想一人行走江湖实现抱负。桃花树下与谁弹一曲歌，酌一杯陈酿看那人间繁华。 肖洋，你是……谁的盖世英雄呢？ 你只是万千俗世人中的一个渺小追梦者。
初三:肖洋 曾几次向往桃花铺满路的三月扬州，几次憧憬侠客无所谓世间对错的侠骨柔肠。 总相信着“天生我材必有用千金散尽还复来”，也相信着自己是个盖世英雄。 你不是春山点墨的诗人，也不是提剑披甲的将军，你的意中人也不知道在哪里。
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2 sin[cos(3 ) i sin(3 )]
2
2
1) 0 , 3 0
62
2
arg(z2 zi) 3 2 3 3
2
2
2) 5 ,0 3 2
6
6
2
arg(z2 zi) 3
2
3) 5 ,2 3 5
6
22
arg(z2 zi) 3 2 3 5
2
2
例 3，已知非零复数 z 的辐角为7 ，求 z i r（cos 7 i sin 7 ），r 0
求复数辐角主值最值的四种方法
求ａｒｇ彳的最大值和最小值． 解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓ曰＋ｉｓｉｎ口）（ｒ＞０，０≤臼
詈≤号丌且１－ｃｏｓ曰≠ｏ．
＜２７ｒ），代入Ｊ ２石＋上｛：１，并经整理，得
４ｃ。ｓ２口＋４
由①，得。＝＃南＝ｃｔｇ罢．
１一ＣＯＳ口
ｕ
Ｚ
ｒ２＋圭＝１，即ｃ。ｓ２臼＝｛一（ｒ２＋
①
．・．Ｐ：。２＋。ｉ：ｃｔ９２导＋泐ｇ导
万方数据
求复数辐角主值最值的四种方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 邓光发 四川开江普安中学,636251 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2001(4)
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200104006.aspx
求解会非常复杂， 难于解答．若从条 件与结论的几何意 义去考虑，则可转 化为下述的等价问 题：
＼ 少叭
口
３
图１
号）（ｏ≤口＜２丌），求ａ。ｇｚ的最大值和最小
值． 解：设：＝菇＋∥（菇、ｙ∈Ｒ），则
ｆ茗＝ｃｏｓ口
首尾相接的三条线段中，其中一条线段 的长为３，另两条线段的夹角为ａ，且其长度 之和为４．求丌一ａ的最小值． 解：如图１，借助复平面的直观性，利用 余弦定理，得 ｃｏｓ（丌一ａ）＝一ｃｏｓ口
…＋Ｃ：一１菇“一１＋Ｃ０戈Ｃ０，
例６求证：ｃ‰一ｃ‰＋ｃ｛００—ｃ‰＋… 一ｃ２８０＋ｃ｛８８＝一２５０
证明：考虑等式
取菇＝ｉ与菇＝一ｉ，得
（１＋ｉ）“＝（ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）＋ｉ・ （ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）， 及（１一ｉ）“＝（ｃ２一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）一ｉ・ （ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ二＋…），
搿２＋ｙ２—２ｙ≤０，
上学期-求复数的辐角主值及取值范围
;
；
，像鼠群，人生像仓库。 空间被它霸占，时间被它噬碎，心力被它耗尽。 表面上，人人参与社会机器的庞大运转，但无一是主人，皆奴婢和下人。我们越来越成为自己工具的工具了。 我们的课程太多，作业太重。 我们无休止地准备生活，然而生活迟迟没有开始。 像一个永远留级的学生， 等不来毕业，等不到卸下书包的那一天。 现代人死于累，死于心绞痛，死于童年的消逝。 谁设计了这样的生活？谁捏造了这样的共识？ 想想古代，那会儿灵魂和肉体多轻盈啊。无论时间、空间，都有辽阔的场子、足够的宽松和僻静。古代的最伟大之处在于，它收养了一大帮精神松弛的人， 比如真正的游手好闲者，真正的隐士和散人，且总有生动山林，供之随心所欲使唤。 何谓自由？ 我觉得，大概即一个人能决定哪些事和自己有关或无关。 蟋蟀入我床下纪念虫鸣文化 ? 夜晚，虫子在吹口哨。而世间，人在大声争吵，乃至什么也听 不见。 题记 1 “蟋蟀在堂，岁聿其莫。 今我不乐，日月其除。” 《诗经》无处不充满对光阴的警觉与热爱，提醒同胞惜时和勤勉，比如这首《唐风·蟋蟀》，即在冲人喊：蟋蟀已跑你屋里了，天凉好个秋，赶紧寻乐吧，别磨磨蹭蹭啊。 蟋蟀躯微，入室难见，但可聆察。所以，虫鸣的意义在于醒耳，耳醒则心苏。 在我眼里，史上 最伟大的田园诗要属《豳风·七月》，它不仅是一年农事的全景画，且是一部旷野奏鸣曲。除了天上飞的 “春日载阳，有鸣仓庚（黄莺）”“五月鸣蜩（蝉）”“七月鸣（伯劳鸟）”，我尤喜地上的那一小节：“五月斯螽动股，六月莎鸡振羽。七月在野，八月在宇，九月在户，十月蟋蟀入我 床下。” 在音乐未诞生前，世上最美妙的动静，竟是从虫肚子里发出的。 小小软腹，竟藏得下一把乐器。 喓喓，嘁嘁，嗞嗞， ，唧唧，聒聒，嗤嗤，啨啨 自然音律里，虫声最难绘，但各种象声词还是纷纷扬扬。 古人不仅崇拜光阴，更擅以自然微象提醒时序，每一季都有各自的风物标志 。 秋呢？谁是它的形象大使和新闻发言人？ “以鸟鸣春，以雷鸣夏，以虫鸣秋，以风鸣冬。”（韩愈）该说法基本权威，古人鸣秋，借助最多的即虫，“梧桐飘落叶，秋虫情更痴”，秋风萧飒时，虫是旷野最生动的音符。 虫族中，名声大的属蟋蟀、蝈蝈、油葫芦、金铃子，我儿时亲近过前 两位，喂之辣椒、葱头和苹果。记得课上学“蟋蟀”，怎么也写不对，直恨这字儿咋长那么多腿，结果像画画，不是多一撇，就是少一捺，腿数总不对。除“蛐蛐”，蟋蟀还有个别称：“促织”或“趋织”。据说从魏晋兴叫，原因是农妇一听到它，即知天要凉，得赶紧织布缝衣了，故幽州有 谚：趋织鸣，懒妇惊。 关于虫效，有民间说法：夜晚，将蝈蝈或蛐蛐笼悬于睡榻前，蚊子即躲得远远的。我试过，“ ”声带给神经的兴奋比蚊叮更让我睡不着。 2 若以性情论四季，我以为春烂漫、夏聒烈、秋清幽、冬肃沉。 我最喜秋。秋让生命知觉最细锐、心灵层次最丰富、想象力最驰 远一个人最有和自己对话的冲动。 为何？大概因为静。 秋之静，有虫语之功。秋收后，天空疏阔，旷野清朗，突然，丝丝缕缕、高高低低的“ ”“唧唧”飘来（这时，很像发生了一件事，有人将一根手指竖立唇边：嘘 ），世界便一下子静了，一年的尘嚣都涤散了，吹远了。 虫声制造凉意 ，你会倏地一惊，身体收紧，接着，某些东西开始苏醒。你会清晰地意识到生命进度，触到某个不易觉察的部位和愿 望 少时，虫比其声更诱惑我，虫声在我听来也总是欢悦、灿烂的。而立后，我才品出它的清冷、它的沁凉，才算领会了那些引虫声入诗的古人心境 “喓喓草虫，趯趯阜螽。未 见君子，忧心忡忡。”（《诗经·召南》） “秋月斜明虚白堂，寒蛩唧唧树苍苍。”（李郢） “大火流兮草虫鸣，繁霜降兮草木零。秋为期兮时已征，思美人兮愁屏营。”（张衡） “秋风袅袅入曲房，罗帐含月思心伤。蟋蟀夜鸣断人肠，长夜思君心飞扬。”（汤惠休） 淅淅沥沥之鸣，怎 能不勾起思情离愁？ 3 论精神线条和心灵耳朵，古人比今人要敏细、精巧得多，后者太糙太钝了。试问，我们能识几种虫语？谁配做一只蟋蟀的知音？ 明人袁宏道在《蓄促织》中，论虫语之异：蝈蝈“音声与促织相似，而清越过之凄声彻夜，酸楚异常，俗耳为之一清”。金钟儿，“如金玉 中出，温和亮彻，听之令人气平 见暗则鸣，遇明则止”。 虫微弱，和鸟兽的张扬不同，其性谦怯，其态隐忍，故生命触须极细，对时令、天气、晨暮、地形的体察极敏，这也是其声之幽、之迂、之邃的原因。所以，凡悟其语、知其音者，耳根须异常清静，心灵须有丰富的褶皱与纹理，方能 共鸣 。否则，对牛弹琴。 梅妻鹤子，山鬼结拜，在师法自然上，古人真是身体力行。 他们比今人性灵、彻悟、烂漫，所以能出公冶长那般通鸟语之人，恐怕这也是古典文学出没灵异精怪的原因。一部《太平广记》，近乎仙妖大全。 他们走得远、走得幽，一个人敢往草木深处闯，所遇蹊跷 和神奇也就多。 这和科学及生产力无关。 几千年来，古人的生活美学和精神空间里，虫鸣文化一直是重要构件。 和“天人合一”的心旨有关，也与早年大自然的完整性和纯净度有关。 说到这，忽想起一档游戏来。儿时，有一种“鸡、虎、虫、棒”的斗牌，现在想，后人无论如何发明不出 这玩法了，因为世界的元素变了，常识也变了。不信你看：野虎没了吧？那“虎吃鸡”之经验即立不住了；对笼养鸡来说，“鸡食虫”岂非白日梦？虫也给农药灭净了吧？“虫咬棒”从何谈起？几条生物链都断了，现代视野里只剩棒和鸡，没得玩了。 大自然的完整性一旦受伤，古老游戏的内 在逻辑也就撑不住了。 4 对古人心境而言，虫鸣是一位如约而至、翩然而降的房客。 娉娉、袅袅、衣冠楚楚、玉树临风略含忧郁，但不失笑容与暖意。尤其在百姓和孩童耳朵里，那分明是高亢的快活。 “怀之入茶肆，炫彼养虫儿”“燕都擅巧术，能使节令移，瓦盎植虫种，天寒乃蕃滋” 在《锦灰堆》书里，大师级玩家王世襄忆述了亲历的京城虫戏，从收虫、养虫到听虫（斗虫为我所憎，故本文不及），从罐皿到葫芦的植术造式，淋漓详尽。 为挽续虫语，古人从唐代开始宠虫，“每至秋时，宫中妃妾辈，以小金笼捉蟋蟀闭于笼子，置之枕函畔，夜听其声，庶民之家皆效也” （《开元天宝遗事》）。经一路研习，畜虫术愈发精湛，学得孵化后，虫声即从秋听到冬，听到过年了。 古人会享受，擅享受，懂享受。 想想吧，大雪飘零，风号凛冽，而斗室旮旯里，清越之声蓦起，恍若移步瓜棚豆架而且此天籁，取材皆于大自然，几尾草虫、半盏泥盆、一串葫芦，即大 功告成，成本极低。 有句俗话，叫“入葫听叫”。 太美了，真是点睛之笔啊，正可谓一葫一世界、一虫一神仙。你看，秋虫和葫芦，动静搭配，皆出身草木，多像一副妙联的上下句。 虫声高涨，带动了它的商品房葫芦业。清咸丰年间，有个河北三河县人，别号“三河刘”，他种造的葫芦， 音效特好，至今为收藏界念叨。过去的琉璃厂，一度虫鸣沸腾、葫芦满街，有位叫张连桐的人，也是养葫高手。 那年逛地坛庙会，我购得一玩意儿：一对乌色的草编蟋蟀，翘翅攀在半盏束腰葫芦上，神态警觉，栩栩如生。作者亦有来头，裕庸老先生。该翁1943年生，满族正黄旗，爱新觉罗氏 ，曾拜师北派的齐玉山、南派的毅正文，被誉为京城最后的草编大师。 至今，它仍摆我书案上。冷不丁搭一眼，心头滑过一句“雨中山果落，灯下草虫鸣”或“竹深树密虫鸣处，时有微凉不是风”，甚是 惬意。 5 城市豢养的器官是迟钝的，知音秋虫者，寥寥无几。 王世襄先生乃其一。这 位大爱大痴的老人，那种蚂蚁般的天真，那种对幼小和细微的孜孜求好，那种茂盛的草木情怀和体量 当世恐难见其二。 他在《锦灰堆》里回忆的那番青春好风光，乃中国养虫人最后的黄金时代，亦是虫鸣文化的绝唱和挽歌。 此后，水土、心性、耳根、居境、世风 皆不适宜了。 空间越来越 只为人服务，环境侍奉的对象、卫生标准的主体，都是人。比如水污、地污、光污、音污，比如农药、化肥、除草剂，其量于人不足致命，于虫则不行了，虫清洁成癖，体弱身薄，一点微毒即令之断子绝孙。 古时秋日，不闻虫语是难以想象的。那是耳朵渎职，是心性失察，是人生事故。足以 让人惊悸、懊恼，羞愧难当。 可当今，一年到头，除了人间争吵和汽车喇叭，我们什么也听 不见。 或许耳朵失聪，或许虫儿被惊跑 了，躲得远远的了罢。 总之，不再与人共舞，不再与人同眠。 “七月在野，八月在宇 十月蟋蟀入我床下。” 何年何夕，那尾童年的蟋蟀，能再赴我枕畔窃 窃私语呢？ “我是印第安人，我不懂” ? 我要扶住你，大地。我醉了，我是醉了。 我称山为兄弟，水为姐妹，树林是情人。 海子《醉卧故乡》 很久了，主流世界由三组人组成：追随人格神（比如耶稣、佛祖、真主、孔圣）的人，不奉任何神的人（比如唯物论者），什么都不信的人（虚无 主义者）。 很久了，我们渐渐忘了世上还有一种人：他们讴歌自然神，他们是大地的信徒，他们拥有最古老和神秘的品质 “清晨”的品质；其精神气质近乎儿童，目光清澈，性情烂漫，行为富有诗意 他们被称为某土著或某部落。 因为小，因为弱，因为没有征服的念头，于是被征服了。 甚 至像山谷里的歌声一样，永远消逝了。 我不是其中一员，但一想起“神秘、美好、天真”这些词，即忍不住怀念他们。 我称之为“清晨的人”。那些很少很少的人。 阿尔伯特·爱因斯坦恳求同胞：把爱的范围“扩大到所有生灵及整个大自然吧”。 有一群人，一出生就这么想，就这么做。 奉大地为父，视万物为兄，他们通晓草木、溪流、虫豸的灵性，俯下身去与之交谈；他们没有人的傲慢，不求包括自己在内的任一物种的特权；为生存，他们不得不采猎，但小心翼翼，怀着爱、感恩和歉意；他们坚信大地不属于人，而人属于大地；他们认为鹿、马、鹰、草茎的汁液，和人同 出一家。与崇拜某个事物的族群不同，他们爱的是全部，是大自然的全体成员和全部元素。 火一样的肤色和赤裸的胸膛，他们自称“红人”。 历史和外交上，他们被叫作 印第安人。 公元1851年，美国政府欲以15万美元换他们200万英亩领地，为和平，他们妥协了。在华盛顿州的布格海湾， 前来签字的一位叫西雅图的酋长，对城市和白人发表了这样的演说：“在我们的记忆里，在我们的生命里，每一根晶亮的松板
高三数学课件：上学期_求复数的辐角主值及取值范围
2
3 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
5 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
2
2
例 3，已知非零复数 z 的辐角为
7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。 4 7 7 z r（ cos i sin ）， r 0 解：设 4 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
z a 1 ai （2） u za 1 ai
2 sin (cos i sin )[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2 2
2 sin [cos( 3
1) 0
2
2
) i sin( 3
2
)]
6
,
2
3
2
0
5 ,0 3 2 2) 6 6 2 2 arg( z zi ) 3 2 5 5 3) ,2 3
(a 1 ai)(1 ai) 1 a a 2 a 2i 2 1 a 1 a2 设 u 的辐角主值为 ，当a 0 时，u 1, 0 。
1 1 a2 a 0 时， tg 当 1 1 1 1 3 1 a a2 1 ( )2 2 a a a 2 4
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
辐角主值的确定方法
辐角主值的确定方法辐角的主值是通过将辐角限制在一个特定的区间内来确定的，这个区间通常被称为辐角的主值区间。
最常用的辐角主值区间有两个：(−π,π]和[0,2π)。
然而，在数学和工程应用中，(−π,π]区间更为常见，因为它包含了正实轴和负实轴之间的整个范围，并且与三角函数的周期性保持一致。
确定辐角主值的一般步骤如下：1.计算初始辐角：2.首先，你需要有一个复数的初始辐角表示。
这通常是通过将复数表示为极坐标形式或三角形式来获得的。
例如，复数z=x+yi可以表示为r(cosθ+ isinθ)或re iθ，其中r=√x2+y2是模，θ是辐角（这里θ可能不是主值）。
3.调整辐角到主值区间：4.接下来，你需要将辐角θ调整到主值区间内。
这通常是通过加上或减去2π的整数倍来实现的。
具体步骤如下：5.如果θ在(−π,π]区间内，那么它已经是主值了，无需调整。
6.如果θ≥π，则通过减去2π的整数倍来将其调整到(−π,π]区间内。
具体来说，可以计算θmod 2π−π（但注意，由于计算机中的模运算可能返回非负值，你可能需要进一步调整结果以确保它在(−π,π]内）。
然而，更简单的方法是直接判断θ的大小，并从θ中减去2π直到它小于π，然后再检查是否小于−π，如果是，则加上2π。
7.如果θ≤−π，则通过加上2π的整数倍来将其调整到(−π,π]区间内。
这通常意味着不断给θ加上2π直到它大于−π。
8.考虑特殊情况：9.当z是纯实数或纯虚数时，辐角的确定可能需要特别注意。
例如，正实数的辐角是0，负实数的辐角是π（在(−π,π]区间内），而纯虚数的辐角是±π2（取决于它是正虚数还是负虚数）。
10.应用主值：11.一旦确定了辐角的主值，就可以在复数运算中一致地使用它了。
这确保了复数运算结果的唯一性和准确性。
请注意，虽然这里描述了一种通用的方法来确定辐角的主值，但在实际应用中，可能会根据具体的编程语言、数学库或应用场景而有所不同。
求辐角或辐角主值的几种方法
求辐角或辐角主值的几种方法
仰玉海;臧立本
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】求辐角或辐角主值的几种方法仰玉海（江苏省丹阳市胡桥中学２１２３００）臧立本（江苏省丹阳中学２１２３００）求复数的辐角或辐角主值，涉及知识面广，选用方法灵活多样。
且是历年高考的热点题型，现归纳整理几种求辐角或辐角主值的方法如下，供参考。
一、利用复数的三...
【总页数】3页(P20-22)
【作者】仰玉海;臧立本
【作者单位】[1]江苏省丹阳市胡桥中学;[2]江苏省丹阳中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.几种求三角函数式极值的方法 [J], 贾海峰
2.求三角函数最值的几种方法 [J], 杨旭枝
3.方法得当事半功倍——浅谈求三角函数值域的几种方法 [J], 方凌云
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5.求双曲线中三角形周长的几种方法 [J], 刘世界
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复数辐角主值公式
复数辐角主值公式复数辐角主值公式是数学中的一种重要公式，它能够帮助我们计算复数的辐角主值。
复数是由实部和虚部组成的数，我们可以用复平面来表示它，实部对应x轴，虚部对应y轴。
而复数的辐角就是它在复平面上与x轴的夹角。
为了更好地理解复数辐角主值公式，让我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个复数z，它的实部是x，虚部是y。
那么复数z 可以表示为z=x+yi，其中i是虚数单位。
现在我们想要计算z的辐角。
我们可以通过复数z在复平面上的位置来确定它的辐角。
如果z位于x轴上方，那么它的辐角是正的；如果z位于x轴下方，那么它的辐角是负的。
具体来说，如果z在第一象限，那么它的辐角是正的；如果z在第二象限，那么它的辐角是负的；如果z在第三象限，那么它的辐角是负的；如果z在第四象限，那么它的辐角是正的。
我们可以使用反三角函数来计算复数的辐角主值。
具体来说，如果z的实部和虚部都是非负的，那么它的辐角主值就是arctan(y/x)；如果z的实部是负的，虚部是非负的，那么它的辐角主值就是arctan(y/x)+π；如果z的实部和虚部都是负的，那么它的辐角主值就是arctan(y/x)-π。
通过复数辐角主值公式，我们可以方便地计算复数的辐角主值，从而更好地理解和应用复数的概念。
同时，复数辐角主值公式也为我们解决实际问题提供了便利，例如在电路分析和信号处理中的应用等。
复数辐角主值公式是数学中的一种重要公式，它能够帮助我们计算复数的辐角主值。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解复数的概念，并在实际问题中灵活运用。
希望本文能够对读者有所启发，加深对复数辐角主值公式的理解。
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z对
②除法
z
z1
z2
z1 z2
r1 r2
[cos( 1
2
)
i
sin( 1
2
)]
（其中 z2≠0）
除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述 如下：
则 r a2 b2 辐角为θ 则 tg b ，θ 依点 z（a,b）所在象限确定。 a
如上例 z 1 （ cos i sin ） 2 2 i
2
4
4
44
设辐角为θ 则 tgθ =－1
∵ 点 z（ 2 , 2 ）在第四象限 44
7 2k（k z） 4
而 arg z= 7 4
3）数形结合 主要是复数运算的几何意义得到的解法
如图：其对应的向量分别为 oz1 oz2 oz
显然积对应的辐角是θ 1+θ 2
< 1 > 若θ 2 > 0 则由 oz1 逆时针旋转θ 2 角模变为
oz1 的 r2 倍所得向量便是积 z1·z2=z 的向量 oz 。
< 2 >若θ 2< 0 则由向量 oz1 顺时针旋转 2 角
模变为 r1·r2 所得向量便是积 z1·z2=z 的向量 oz 。
∴ tg θ =tg 7 4
共3页 第3页
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方 等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数 运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。 辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角 主值的求法。
< 1 > 2 0时 oz1 顺时针旋转 ２角 。
< 2 > ２ 0时 oz1 逆时针旋转 ２ 角 。
二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：
1）化复数为三角形式
如
求复数
１ ２
（ cos 4
i sin 4
）的辐角，辐角主值
１ ２
（
cos
4
i
sin
4
）＝
１ ２
［
cos
（－
４
叫复数 z=a+bi 的辐角
因此复数 z 的辐角是θ +2k （k∈z）
③辐角主值 表示法；用 arg z 表示复数 z 的辐角主值。
定义：适合[0，2 ）的角θ 叫辐角主值 0 arg z 2
唯一性：复数 z 的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模 z r 是唯一的。
⑤z=0 时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）
）＋i
sin
（角是 ２k （ k z ） 4
辐角主值为 7 4
∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为
共3页 第2页
1 （ cos 7 i sin 7 ）
2
4
4
2）直接求辐角及主值
主要是使用复数代数式 、三角式的互化：
若 z=a+bi （a,b∈R）
求复数的辐角、辐角主值
知识要点： 一、基础知识
1）复数的三角形式
①定义：复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成 r （cosθ + isinθ ）的形式叫复数 z 的三角形
式。即 z=r（cos θ + isinθ ）
其中 z r
θ 为复数 z 的辐角。
②非零复数 z 辐角θ 的多值性。
以 ox 轴正半轴为始边，向量 oz 所在的射线为终边的角θ
2）复数的向量表示 在复平面内与复数 z1、z2 对应的点分别为 z1、z2（如图）
何量 oz1 对应于z1
何量 oz2 对应于z2
何量 z1z2 对应于z2 z1 z
与复数 z2－z1 对应的向量为 oz
显然 oz∥z1z2
则 argz1=∠xoz1=θ 1
共3页 第1页
argz2=∠xoz2=θ 2 argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如 z1=r1（cosθ 1+isinθ 1） z2=r2（cosθ 2+isinθ 2） ①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]