第五章定积分及其应用

第五章 定积分

【考试要求】

1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质．

3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式．

5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．

【考试内容】

一、定积分的相关概念

1．定积分的定义

设函数

()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，

把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -，

各个小区间的长度依次为1

10x x x ∆=-，221x x x ∆=-，，1n

n n x x x -∆=-．在

每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤）

，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆ （1,2,

,i n =），并作出和1

()n

i i i S f x ξ==∆∑．

记

12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间

1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极

限I 为函数

()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作

()b

a

f x dx ⎰，即

1

()lim ()n

b

i i

a

i f x dx I f x λξ→===∆∑⎰

，

其中

()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．

说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说

()()()b

b b

a

a

a

f x dx f t dt f u du ==⎰

⎰⎰．

2．定积分存在的充分条件（可积的条件）

（1）设

()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．

（2）设

()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．

说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上

一定可积；若

()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数()

f x 在区间[,]a b 上连续是

()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．

3．定积分的几何意义

在区间[,]a b 上函数

()0f x ≥时，定积分()b

a

f x dx ⎰在几何上表示由曲线

()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积．

在区间[,]a b 上

()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴

所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b

a

f x dx ⎰

在几何上表示上述曲边梯形面积的

负值．

在区间[,]a b 上

()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴

的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分

()b

a

f x dx ⎰

表示x 轴上方图形的面积减去

x 轴下方面积所得之差．

二、定积分的性质

下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的． 性质1．当a

b =时，()0b

a

f x dx =⎰．

性质2．当a

b >时，()()b a

a

b

f x dx f x dx =-⎰⎰．

性质3．

[()()]()()b

a

a

a

b

b

f x

g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰

⎰．

说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．

()()b

b

a a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰ （k 是常数）

． 性质5．

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰．

说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则

1b b

a

a

dx dx b a ==-⎰⎰

．

性质7．如果在区间[,]a b 上

()0f x ≥，则

()0b

a

f x dx ≥⎰

（a b <）

． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则

()()b

b

a a

f x dx

g x dx ≥⎰

⎰ （a b <）

． 推论（2）：

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤⎰

⎰ （a b <）．

性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，

则

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （a b <）

． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少

存在一点ξ，使得下式成立：