第五章定积分及其应用

第五章 定积分【考试要求】1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质．3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式．5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．【考试内容】一、定积分的相关概念1．定积分的定义设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -，各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，，1nn n x x x -∆=-．在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤），作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆ （1,2,,i n =），并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑．记12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi iai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰，其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰．2．定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．（2）设()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一定可积；若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．3．定积分的几何意义在区间[,]a b 上函数()0f x ≥时，定积分()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积．在区间[,]a b 上()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()baf x dx ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在区间[,]a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形的面积减去x 轴下方面积所得之差．二、定积分的性质下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的． 性质1．当ab =时，()0baf x dx =⎰．性质2．当ab >时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰．性质3．[()()]()()baaabbf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 是常数）． 性质5．()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则1b baadx dx b a ==-⎰⎰．性质7．如果在区间[,]a b 上()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰（a b <）． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则()()bba af x dxg x dx ≥⎰⎰ （a b <）． 推论（2）：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ （a b <）．性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （a b <）． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）． 说明：该公式称为积分中值公式，1()()ba f f x dxb aξ=-⎰称为函数()f x 在区间[,]a b 上的平均值．三、积分上限函数及其导数1．积分上限函数的定义设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，并且设x 为[,]a b 上的一点，由于()f x 在区间[,]a x 上仍旧连续，因此定积分()x af x dx ⎰存在．这里，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其 他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成()xaf t dt ⎰．如果上限x 在区间[,]a b 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[,]a b 上定义了一 个函数，记作()x Φ：()()xa x f t dt Φ=⎰ （a xb ≤≤），这个函数即为积分上限 函数（或称变上限定积分）．2．积分上限函数的导数定理1：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，并且它的导数()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰ （a x b ≤≤）． 定理2：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则函数()()xax f t dt Φ=⎰就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数．说明：对于积分上限函数的复合函数()()()x ax f t dt ϕΦ=⎰，求导法则可按下述公式进行： ()()()[()]()x ad x f t dt f x x dx ϕϕϕ''Φ==⎰．若积分下限为函数()x ϕ，即()()()ax x f t dt ϕΦ=⎰，求导法则可按下述公式进行：()()()()(())[()]()a x x ad dx f t dt f t dt f x x dx dx ϕϕϕϕ''Φ==-=-⎰⎰．若积分上限和下限均有函数，即()()()()h x x x f t dt ϕΦ=⎰，求导法则可按下述公式进行：()()0()0()()()(()())h x h x x x d d x f t dt f t dt f t dt dx dx ϕϕ'Φ==+⎰⎰⎰()()00(()())[()]()[()]()h x x d f t dt f t dt f h x h x f x x dxϕϕϕ''=-=-⎰⎰．四、牛顿——莱布尼茨公式定理3：如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这个定理表明，一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间[,]a b 上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为微积分基本公式．五、定积分的换元法和分部积分法1．定积分的换元法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，函数()x t ϕ=满足条件：（1）()a ϕα=，()b ϕβ=；（2）()t ϕ在[,]αβ（或[,]βα）上具有连续导数，且其值域[,]R a b ϕ=，则有()[()]()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰．说明：应用换元公式时有两点值得注意：① 用()x t ϕ=把原来变量x 代换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；② 求出[()]()f t t ϕϕ'的一个原函数()t Φ后，不必像计算不定积分那样再要把()t Φ变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上下限分别代入()t Φ中然后相减就行了．例如：计算0a⎰（0a >）解：设sin xa t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =，当x a =时，2t π=．于是2222200cos (1cos 2)2aa tdt t dt ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224a a t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦．2．定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得()()()()()()()()b bba a au x v x dx u x v x dx u x v x v x u x dx ⎡⎤⎡⎤'''==-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰[]()()()()bba au x v x v x u x dx '=-⎰，简记作[]bbba aauv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 或[]bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰ ．这就是定积分的分部积分公式．3．定积分的两个简便公式（1）若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数，则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰．（2）设220sin cos nn n I xdx xdx ππ==⎰⎰，则当n 为正偶数时，13312422nn n I n n π--=⋅⋅⋅⋅⋅- ； 当n 为大于1的正奇数时，1342253nn n I n n --=⋅⋅⋅⋅- ．六、无穷限的广义积分1．函数在无穷区间[,)a +∞上的反常积分设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取t a >，如果极限lim ()tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分，记作()af x dx +∞⎰，即()lim ()taat f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰，这时也称反常积分()af x dx +∞⎰收敛；如果上述极限不存在，则函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()af x dx +∞⎰就没有意义，习惯上称为反常积分()af x dx +∞⎰发散，这时记号()af x dx +∞⎰就不再表示数值了．2．函数在无穷区间(,]b -∞上的反常积分设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续，取t b <，如果极限lim ()btt f x dx →-∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分，记作()bf x dx -∞⎰，即()lim ()bbtt f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰，这时也称反常积分()bf x dx -∞⎰收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分()b f x dx -∞⎰发散．3．函数在无穷区间(,)-∞+∞上的反常积分设函数()f x 在区间(,)-∞+∞上连续，如果反常积分()f x dx-∞⎰和()f x dx +∞⎰都收敛，则称上述两反常积分之和为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上的反常积分，记作()f x dx +∞-∞⎰，即00()()()f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，这时也称反常积分()f x dx +∞-∞⎰收敛；否则就称反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散．4．无穷限广义积分的计算方法设()F x 为在[,)a +∞上的一个原函数，若lim ()x F x →+∞存在，则反常积分[]()()()()lim ()()a a x f x dx F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰；[]()()()()()lim ()bbx f x dx F x F b F F b F x -∞-∞→-∞==--∞=-⎰；[]()()()()lim ()lim ()x x f x dx F x F F F x F x +∞+∞-∞-∞→+∞→-∞==+∞--∞=-⎰．说明：当()F -∞与()F +∞有一个不存在时，反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散．七、求平面图形的面积1．X-型区域X -型区域是指：平面图形是由上下两条曲线()y f x =、()y g x =（()()f x g x ≥）及直线x a =、x b =所围成，面积计算公式为[()()]baA f x g x dx =-⎰．2．Y -型区域Y -型区域是指：平面图形是由左右两条曲线()x y φ=、()x y ϕ=（()()y y φϕ≥）及直线y c =、y d =所围成，面积计算公式为[()()]d cA y y dy φϕ=-⎰．【典型例题】【例5-1】计算下列定积分．1．52cos sin x xdx π⎰．解：原式2562111cos (cos )cos 0()666xd x x ππ⎡⎤=-=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰．2．1ln exdx x⎰． 解：2111ln 111ln (ln )ln 0222eee x dx xd x x x ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰．3．226cosxdx ππ⎰．解：22226661cos 211cos ()sin 22226468x xdx dx x πππππππππ+⎡⎤==-+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰．4．132l(115)dx x -+⎰．解：原式1123221l 1151(115)(115)5(115)52512d x x x ---⎡⎤=+=-+=⎢⎥+⎣⎦⎰． 5．22tan xdx π⎰．解：原式[]2244400(sec 1)sec tan 1222x dx xdx x ππππππ=-=-=-=-⎰⎰．6．π⎰．解：32sin cos x x dx πππ==⎰⎰⎰333322222222sin cos sin cos sin (sin )sin (sin )x xdx x xdx xd x xd x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰552220222224sin sin ()55555x x πππ⎡⎤⎡⎤=-=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．7．a⎰（0a >）． 解：设sin xa t =，则cos dx a tdt =，当0x =时，0t =；当x a =时，2t π=．故22222001cos 224aaa tdt a πππ==⋅⋅=⎰⎰．8．4⎰．t =，则212t x -=，dx tdt =，且当0x =时，1t =； 当4x=时，3t =．故2334332011112112(3)3223t t dt t dt t t -+⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦． 【例5-2】计算下列定积分． 1．cos x xdx π⎰．解：[][]000cos (sin )sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x πππππ==-==-⎰⎰⎰．2．12arcsin xdx ⎰．解：[]11122201arcsin arcsin 26xdx x x π=-=⋅+⎰⎰11222001(1)1212122x ππ-=+=+-⎰．3．1ln ex xdx ⎰．解：2222111111ln ln ()ln 22222eee e e x x x e x x xdx xd x dx dx x ⎡⎤==-⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰22222111()242444ee x e e e ⎡⎤+=-=--=⎢⎥⎣⎦． 4．4⎰．解：令t =，则 2x t =，2dx tdt =，且当0x =时，0t =；当4x =时，2t =．故42222000022()22ttt tte dt td e te e dt ⎡⎤===-⎣⎦⎰⎰⎰⎰2224222te e e ⎡⎤=-=+⎣⎦． 【例5-3】计算下列广义积分．1．x e dx +∞-⎰．解：00lim ()(1)011xxxx e dx e e +∞+∞---→+∞⎡⎤=-=---=+=⎣⎦⎰．2．2111dx x+∞+⎰． 解：[]2111arctan lim arctan arctan11244x dx x x x πππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰． 3．211dx x +∞-∞+⎰．解：[]21arctan lim arctan lim arctan 1x x dx x x x x +∞+∞-∞-∞→+∞→-∞==-+⎰ ()22πππ=--=．4．2211sin dx x xπ+∞⎰． 解：2222111111sin sin ()cos lim cos 01x dx d x x x x x x πππ+∞+∞+∞→+∞⎡⎤=-==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．1．0d dx ⎰．解：0d dx =⎰．2．20x d dx⎰．解：220()2x d x dx '==⎰3．1sin ln(1)x d t dt dx+⎰．解：1sin sin 1ln(1)ln(1)cos ln(1sin )xx d d t dt t dt x x dx dx +=-+=-+⎰⎰．4．32arctan x x d tdt dx⎰． 解：323322arctan arctan ()arctan ()x x d tdt x x x x dx''=⋅-⋅⎰2323arctan 2arctan x x x x =-．【例5-5】求下列极限．1．20cos limxx t dt x→⎰．解：应用洛必达法则，220cos cos limlim 11xx x t dt x x→→==⎰． 2．02arctan limxx tdt x→⎰．解：020arctan arctan 1limlim 22xx x tdt x x x →→==⎰（0x →时，arctan ~x x ）． 3．22limx x x→⎰．解：22002limlim 12x x x x x x x→→→===⎰． 4．22220()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰．解：22222222002020()2limlim2lim2lim 2xxxt t x t x xx x x x x t e dt e dt ee dt e xxete dt→→→→⋅====⎰⎰⎰⎰．【例5-6】设函数2,0,()1,0,1cos x xe x f x x xπ-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩ 计算 41(2)f x dx -⎰． 解：设2x t -=，则dxdt =，且当1x =时，1t =-；当4x =时，2t =．于是242211101(2)()1cos t f x dx f t dt dt te dt t ----==++⎰⎰⎰⎰22022210210111()tan 2222cos 2t t t dt e d t e t ----⎡⎤⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 4111tan 222e -=-+．【例5-7】计算定积分121(sin )x x x dx -+⎰．解：11112223111(sin )sin 20x x x dx x x dx x xdx x dx ---+=+=+⎰⎰⎰⎰14011242x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦．【例5-8】求下列平面图形的面积． 1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的平面图形的面积．解：此区域既可看成X-型区域，又可看作Y -型区域．按X -型区域解法如下：两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，故面积1312320021211)33333S x dx x x ⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰．2x =，直线y x =-及1y =所围成的平面图形的面积．解：按Y-型区域来做，先求出图形边界曲线的交点(0,0)、(1,1)-及(1,1)，故面积131220021217)32326S y dy y y ⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰．3．计算由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的平面图形的面积．解：此区域既可看成X -型区域，又可看作Y -型区域，但按Y -型区域解较为简便．先求两曲线的交点，由 224y xy x ⎧=⎨=-⎩ 可解得交点为(2,2)-和(8,4)，故面积424232211(4)418226y S y dy y y y --⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）设2()x t x e dt ϕ-=⎰，则()x ϕ'等于（ ）（A ）2x e- （B ）2x e-- （C ）22x xe- （D ）22x xe--解：22220()()2x t x x x e dt e x xe ϕ---'⎛⎫''==⋅= ⎪⎝⎭⎰，选项（C ）正确． 2．（2010年，1分）曲线2yx =与直线1y =所围成的图形的面积为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43（D ）1解：曲线2yx =与曲线1y =的交点坐标为(1,1)-和(1,1)，则所围图形的面积为1312114(1)33x x dx x --⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦⎰．选项（C ）正确． 3．（2010年，1分）定积分22cos x xdx -⎰等于（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）12解：因被积函数cos x x 在[2,2]-上为奇函数，故22cos 0x xdx -=⎰．选（B ）． 二、填空题 1．（2010年，2分）=⎰．解：由定积分的几何意义，⎰表示曲线y =0x =，1x =和x 轴所围成的图形的面积，即14圆面积，故201144ππ=⋅⋅=⎰． 2．（2009年，2分）设21()ln 1xf t dt x x =+-⎰，则()f x = ．解：等式21()ln 1xf t dt x x =+-⎰两边对x 求导可得，21()(ln 1)2f x x x x x'=+-=+． 3．（2009年，2分）由曲线x y e =，y e =及y 轴围成的图形的面积是 ．解：曲线x ye =与直线y e =的交点坐标为(1,)e ，故所围图形的面积为1100()1xx S e e dx ex e ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰． 4．（2007年，4分）积分1e⎰的值等于 ．解：1122111(1ln )(1ln )2(1ln )2eeex d x x -⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰．5．（2006年，2分）积分211xx e dx e --=-⎰ ．解：2221111(1)ln 11ln(1)11x x x x x e dx d e e e e e ------⎡⎤=--=--=-+⎣⎦--⎰⎰．6．（2006年，2分）30ln(1)limsin xx t dt t x x→+=-⎰． 解：当0x →时，30ln(1)0xt dt t +→⎰，sin 0x x -→，故原极限为“0”型的 极限，应用洛必达法则可得，33300ln(1)ln(1)ln(1)limlim limsin 1cos (1cos )xx x x t x dt x t x x x x x x →→→+++==---⎰302lim 212x x x x →==⋅． 7．（2005年，3分）31231(sin )x x x e dx -+=⎰．解：[1,1]x ∈-时，23sin xx 为奇函数，在对称积分区间上的定积分为零，故333111232111111(sin )()33x xx x x e dx x e dx e e e ---⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求定积分1ln ex xdx ⎰．解：2221111ln ln ()ln (ln )222eeee xx x x xdx xd x d x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰222222221111112222242444eeee x e x e x e e e dx dx x ⎡⎤+=-⋅=-=-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰．2．（2010年，5分）求定积分10x xdxe e -+⎰．解：1111220000()arctan arctan 11()4x x x x x x x dx e dx d e e e e e e e π-⎡⎤====-⎣⎦+++⎰⎰⎰． 3．（2008年，5分）求定积分2sin x xdx π⎰．解：用分部积分法，[]222200sin (cos )cos cos x xdx xd x x x xdx ππππ=-=-+⎰⎰⎰[]200sin 1x π=+=．4．（2008年，7分）求广义积分2x xedx +∞-⎰．解：222011111lim ()()022222xx x x xe dx e e +∞+∞---→+∞⎡⎤=-=---=+=⎢⎥⎣⎦⎰．5．（2007年，5分）求定积分xdx．解：用分部积分法，[00arctan(arctan) xdx x x xd x=-22220 001111(1)ln(1)3132132x dx d x xx x⎡=-⋅=-+=-+⎣⎦++1(2ln20)ln2323=--=-．6．（2006年，4分）设函数1sin,0()20,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求()()xF x f t dt=⎰在(,)-∞+∞内的表达式．解：当0x<时，0()()()0xxF x f t dt f t dt==-=⎰⎰；当0xπ≤≤时，001111()()sin cos cos2222xx xF x f t dt tdt t x⎡⎤===-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰；当xπ>时，00011()()()()sin cos22xF x f t dt f t dt f t dt tdt tππππ+∞⎡⎤==+==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰11()122=--=．故()()xF x f t dt=⎰在(,)-∞+∞内的表达式为0,011()()cos,0221,xxF x f t dt x xxππ<⎧⎪⎪==-+≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰．7．（2006年，4分）求定积分1xx ee dx+⎰．解：111000x x xx e x e e ee dx e e dx e e e+⎡⎤=⋅==-⎣⎦⎰⎰．8．（2005年，5分）求定积分222sin4cosdππθθθ--⎰．解：222222002sin sin 122(cos )4cos 4cos 4cos d d d ππππθθθθθθθθ-==----⎰⎰⎰令cos tθ=，则当0θ=时，1t =；当2πθ=时，0t =．故原式01112210001111(2)22()4422222dt dt d t dt t t t t t+=-==+=--+-+⎰⎰⎰⎰ 11100011111(2)ln 2ln 2(ln3ln 2)22222d t t t t ⎡⎤⎡⎤--=+--=-⎣⎦⎣⎦-⎰ 11(0ln 2)ln322--=． 9．（2005年，8分）求由曲线ln y x =与直线0y =，1x e=，x e =所围平面图形的面积． 解：因曲线ln y x =与直线1x e =和x e =的交点分别为1(,1)e和(,1)e ，故所围图形的面积111111ln ln ln ln eeeeS xdx x dx xdx xdx =+=-+⎰⎰⎰⎰[][]11111111ln ln e eeex x x dx x x x dx x x =-+⋅+-⋅⎰⎰11201(1)2e e e e e=-+-+--=-．。