电磁场与电磁波课件之分离变量法
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第9讲 分离变量法-电工
注意：分离常数取
k 2或k 2 由齐次边界条件所决定 x0,a 0 or x x0,a 0取 k 2
y 0,b
y 0,b 0 or y
0 取k2
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
1、直角坐标系 方程通解为：
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
0
a
0
a
② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为
(, ) E0 x C E0 cos C
第九讲 分离变量法
（续上例）通解为
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
通解为：
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
n 1
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
3、球坐标系下
1 2 u 1 u 1 2u u 2 r =0 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
(r a)
( r 1)na 2 n 1r ( n1) Pn (cos ) n 1 n 1 [ n( r 1) 1]d
(r a)
第九讲 分离变量法
作
业
3.21 , 3.23 , 3.26, 3.31
根据② ，得 C C，D 0, 0 0
n 1
An 0
( , ) C E0 cos
A1 D1
电磁场与电磁波 第3章 静电场的边值问题PPT课件
q q
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q’’必须位于 球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及 q’在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q’’ 以提供一定的电位。
24.09.2020 16
（3）线电荷与带电的导体圆柱。
r0
r0PLeabharlann arO -l
l
d
f
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
24.09.2020 12
点电荷与2个半无限大导体面
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅 当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。 为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如， 夹角为 的导电π 劈需引入 5 个镜像电荷。
求得
21 drd0
rdr dr
C1lnrC2
24.09.2020 21
利用边界条件： V ra
0 rb
求得
CC11
ln ln
a b
C2 C2
V 0
V C 1 ln a
b
V ln b C 2 ln a
b
最后求得
Vlnbr
lna b
Erˆrˆ V
r rlna b
24.09.2020 22
X(x)A ejkxxB ejkxx 或者 X (x) C sikx n x D co kxxs
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q’’必须位于 球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及 q’在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q’’ 以提供一定的电位。
24.09.2020 16
（3）线电荷与带电的导体圆柱。
r0
r0PLeabharlann arO -l
l
d
f
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
24.09.2020 12
点电荷与2个半无限大导体面
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅 当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。 为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如， 夹角为 的导电π 劈需引入 5 个镜像电荷。
求得
21 drd0
rdr dr
C1lnrC2
24.09.2020 21
利用边界条件： V ra
0 rb
求得
CC11
ln ln
a b
C2 C2
V 0
V C 1 ln a
b
V ln b C 2 ln a
b
最后求得
Vlnbr
lna b
Erˆrˆ V
r rlna b
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X(x)A ejkxxB ejkxx 或者 X (x) C sikx n x D co kxxs
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
大学 电磁场理论 完整 课件 第14讲 柱球坐标分离变量法例题
电磁场理论讲稿第14讲柱、球坐标分离变量法例题电子信息工程学院例题①图示为一个在z 方向无限长、半径为a ，带有面电荷密度的圆柱面。
若已知1、（常数）2、求：空间的电位分布。
ηϕηη2cos 0=0ηη=)/(2m C )/(2m C解：对于整个空间，除了的圆柱面，都没有电荷分布。
因此将空间分为两个区域。
其电位分布都满足拉普拉斯方程，即有：)/(20m C ηη=a r c =)0(0)(12a r r c <≤=Φ∇)(0)(22a r r c >=Φ∇边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=)()(,)2(21r r a r cΦ=Φ=021)()(,)3(εη=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar在的边界面上，有a r c =crn i i ˆˆ-=系统在z 方向上无限长，所以无限远处，电位不趋于零，而电场趋于零。
2(4),()0c r E r →∞→cr B A r ln )(111+=Φcr B A r ln )(222+=Φ试探解由边界条件，应有：a B A A ln 221+=002εη=-a B 01=B 所以02εηaB -=但是，不确定。
所以得21,A A )0()(11a r A r c <≤=Φ)(ln )(0022a r r a A r c c>-=Φεη解：不确定，但他们的关系为：21,A A aaA A ln 0021εη-=由电位分布可得到电场的分布为：)0(0)(1a r r E c <≤=020ˆ()()cr c ca E r i r a r ηε=>边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=2(2),()0c r E r →∞→)()(,)3(21r r a r cΦ=Φ=ϕεη2cos )()(,)4(0021=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar试探解的形式为：ϕ2cos )()(22cc r B Ar r +=Φ cos ηηϕ=02为了满足边界条件（1）、（2）应选择由边界条件（3）、（4）空间电位分布为：)0(2cos )(211a r r A r c c <≤=Φϕ)(2cos )(22a r r Br c c>=Φϕ3020014,4εηεηaB a A ==)0(2cos 4)(2001a r r a r c c <≤=Φϕεη )(2cos 4)(20302a r r a r c c>=Φϕεη 电场分布为：)0()2sin ˆ2cos ˆ(2)(01a r i i r a r E c r c c<≤+-=ϕϕεηϕ )()2sin ˆ2cos ˆ(2)(3302a r i i r a r E c r c >+=ϕϕεηϕ一个半径为R ，带有面电荷密度η的球面，若已知θηηcos 0=1、（常数）0ηη=)/(2m C )/(2m C 2、求空间电位分布。
3.6分离变量法
2 2 d dR ( ) 1 d Φ( ) 2 上式各项乘以 得： ( ) k 2 R ( ) d d Φ ( ) d R( )Φ( )
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题
由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程
1 1 2 2 ( ) 2 2 0 2 z
在圆柱坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为
1 1 2 ( ) 2 2 0
令其解为
( , ) R( ) ( )
2 1 d dR ( ) 1 d Φ( ) 代入方程，可得到 Φ( ) ( ) R( ) 2 0 2 d d d
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题
nπx ) 展开为傅里叶级数，即 将U0 在（0, a）上按 sin( a nπx U 0 f n sin( ) a n 1 4U 0 a n 1,3,5, 2 nπx f n U 0 sin( )dx nπ 其中 0 a a n 2, 4, 6, 0 nπx nπb nπx 由 An sin( )sinh( ) U 0 f n sin( ) a a a n 1 n 1 4U 0 n 1,3,5, fn A 'n nπ sinh(nπb / a) nπb sinh( ) 0 n 2, 4, 6, a
求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形
式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题
精品课件-电磁场与电磁波(曹祥玉)-第5章
(5－14a)和式(5－14c)都不满足边界条件，X(x)的解只能 是三角函数，即
X(x)＝a1 sinkxx＋b1 coskxx
第5章 静电场边值问题的解法
32
将边界条件(1) |x＝0＝0代入上式，得b1＝0，再将边界条 件(2) |x＝a＝0代入，有
sinkxa＝0 即kxa＝nπ或kx＝nπ/a(n＝1，2，3，…)，这样得到X(x) ＝a1sin(nπx/a)。由于kx2 ky2 0 ，Y(y)的形式为指数函 数或双曲函数，即
第5章 静电场边值问题的解法
22
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标 面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。 下面以直角坐标系和圆柱坐标系中的二维场为例说明分离 变量法的应用。
第5章 静电场边值问题的解法
23
5.4.1 直角坐标系中的二维场问题 设电位函数为 (x，y)，其满足拉普拉斯方程：
第5章 静电场边值问题的解法
4
静电场边值问题的解法分为解析法和数值法两大类。 用解析法得到的场量表达式是准确值，但是它只能解决规 则边界的边值问题。本章主要介绍解析法，包括积分法、 分离变量法、镜像法。数值解属于近似计算，但对于不规 则边界等复杂的静电场问题是非常有用的方法。随着计算 机的广泛使用，数值法已成为边值问题求解的主要方法。 由于篇幅所限，因而本章只简单介绍数值法中的一种—— 有限差分法。
x
2U 0 n
1
cos
n
0
Bn
4U0
3
前面我们讨论了基于库仑定律与叠加原理或高斯定理 计算电场的方法，这些方法只能适用于已知电荷分布十分 简单的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一类问题： 给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零)，同时给定该 区域边界上的电位或电场(即边值，或称边界条件)，在这 种条件下求解该区域内的电位函数或电场强度分布。从数 学上来讲，这些问题都是在给定的定解条件——边界条件 下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题，称为边值 问题。
X(x)＝a1 sinkxx＋b1 coskxx
第5章 静电场边值问题的解法
32
将边界条件(1) |x＝0＝0代入上式，得b1＝0，再将边界条 件(2) |x＝a＝0代入，有
sinkxa＝0 即kxa＝nπ或kx＝nπ/a(n＝1，2，3，…)，这样得到X(x) ＝a1sin(nπx/a)。由于kx2 ky2 0 ，Y(y)的形式为指数函 数或双曲函数，即
第5章 静电场边值问题的解法
22
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标 面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。 下面以直角坐标系和圆柱坐标系中的二维场为例说明分离 变量法的应用。
第5章 静电场边值问题的解法
23
5.4.1 直角坐标系中的二维场问题 设电位函数为 (x，y)，其满足拉普拉斯方程：
第5章 静电场边值问题的解法
4
静电场边值问题的解法分为解析法和数值法两大类。 用解析法得到的场量表达式是准确值，但是它只能解决规 则边界的边值问题。本章主要介绍解析法，包括积分法、 分离变量法、镜像法。数值解属于近似计算，但对于不规 则边界等复杂的静电场问题是非常有用的方法。随着计算 机的广泛使用，数值法已成为边值问题求解的主要方法。 由于篇幅所限，因而本章只简单介绍数值法中的一种—— 有限差分法。
x
2U 0 n
1
cos
n
0
Bn
4U0
3
前面我们讨论了基于库仑定律与叠加原理或高斯定理 计算电场的方法，这些方法只能适用于已知电荷分布十分 简单的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一类问题： 给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零)，同时给定该 区域边界上的电位或电场(即边值，或称边界条件)，在这 种条件下求解该区域内的电位函数或电场强度分布。从数 学上来讲，这些问题都是在给定的定解条件——边界条件 下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题，称为边值 问题。
电磁场课件5 分离变量法、有限差分法、有限元法
(1)
右式 ＝ 代入式（1）
0
mn
a
0
nπ a E n sin ( x )dx E n m n a 2
2
2 aU 0 a a E n Fn ' sh( n π ) mπ 2 2 4U 0 Fn ' m n 1,3,5,... n πsh n π
代入通解
4U 0 1 nπ nπ ( x, y ) sin( x )sh( y ) π n 1 nsh nπ a a ncos （自然边界条件），得 当 ， n 1 时，A0 B 0 0， A1 E
当 ， n 1 时，A0 B o An 0
1 ( , ) E cos
2 2 0
1 2 2
0
1 2 0
0 a
a
0， 1 根据对称性
Ex E cos
自然边界条件
( , ) ( , ) 及 ( , ) 0 2
2）分离变量,设
x x x x
若 k 0，
2 n
双曲函数 ( x, y ) 1 ( x ) 2 ( y ) ( An cos k n x Bn sin k n x )(C n chk n y Dn shk n y )
( An chk n x B n shk n x )(C n cos k n y D n sin k n y )
Bn ' Dn 'sin kn a Fn 'sin kn a 0
kn
n n ( x , y ) Fn ' sin( x ) sh y a a n 1
《电磁场与电磁波教程》教学课件—静电场和恒定电场
解 首先使用圆柱坐标系，长细直导线放在z轴上，由电荷分布 特点，可以看出此电场具有轴对称性，即电场强度E只有沿ρ方 向的分量。由于线电荷无限长，场沿长度方向无变化，所以每
个垂直于线电荷平面上的场分布相同。故以细导线为轴的圆柱
面上E值相同，即E与 、z无关。以细直导线为轴作一闭合的圆
柱形高斯面。其半径为r，高度为l。应用高斯定律
解 设在导线与圆筒间加上电压U，导线单位长度上的电荷量为
ρl，则由对称性和高斯定律得
E dS E 2rL l L
s
0
E l 2 0 r
U
b
E dl
b
Edr
l
b dr
l
ln b
a
a
20 a r 20 a
C Q l L 20L
U U ln(b / a)
例3.12 一球形电容器由两个同心的薄金属球壳构成，两壳
s DdS q
s
E
dS
q
s DdS V V dV
例 计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电 荷密度为 ）
E
E
解：
S E dS 21 2
2 0 1 ES
S E dS 2ES
qi S
i
2ES S
E
0
2 0
2 是侧面 通量,
1是底面 通量
E
E
0 场强方向指离平面; 0 场强方向指向平面。
• 多导体系统的电容
如大地与架空三相输电线之间
1 a11q1 a12q2 ... a1nqn
2
a21q1
a22q2 ... ........
a2nqn
n an1q1 an2q2 ... annqn
大学物理讲义电磁场与电磁波PPT课件
S
(
j0
D) t
d
S
(11.12)
12 首 页 上 页 下 页退 出
在一般情况下，电介质中的电流主要是位移电流， 传导电流可忽略不计；而在导体中主要是传导电流， 位移电流可忽略不计. 在超高频电流情况下，导体内的传导电流和位移电 流均起作用，不可忽略.
因为在电介质中D＝ε0E＋P，所以位移电流密度jD
s D d S q0
l E dl 0
(11.1)
(11.2)
3 首 页 上 页 下 页退 出
对于稳恒磁场，由毕奥—萨伐尔定律和场强叠加原 理，可以导出描述稳恒磁场性质的“高斯定理”和 安培环路定理
s BdS 0
l H dl I0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(11.3)
(11.4)
s BdS 0
4.磁场强度沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以 该曲线为边界的曲面的全电流。
l H dl
I0
s
D t
d
S
19 首 页 上 页 下 页退 出
归纳起来，麦克斯韦方程组的积分形式为
s D d S q0
B
l E dl S t d S
t
具有电流密度的性质，麦克斯韦把它称做位移电流
密度jD
11 首 页 上 页 下 页退 出
即
dD j D dt
(11.10)
而把
dD dt
称为位移电流ID
ID
dD dt
d dt
DdS
S
D dS S t
S jD dS
《电磁场与电磁波》第三版 电子课件003
(3-3-4)
如果将无限大导电平面看做半径为无限大的圆， 则在无限大导
d
( 2 h 2 )
3 2 2 0
d －q
(3-3-5)
可见， 导体表面感应的总电荷正是预期值－q。
第3章
边值问题的解法
当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷数趋
于无穷。然而，对于两相交平面，若两平面的夹角为θ，且 360°/θ为偶数，则可以用镜像法来求解，此时镜像电荷的个数
S f1 (S )
问题。
(3-1-1)
称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值
第3章
边值问题的解法
(2) 已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定
(3-1-2) S f 2 (S ) n 称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值 问题。 (3) 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组 合值，即给定 ( ) S f3 (S ) (3-1-3) n 称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边 值问题。
第3章
边值问题的解法
图3-3 接地导体球外的点电荷
第3章
边值问题的解法
q 1 m ( － ) 4π 0 r1 r2
(3-3-6)
式中，
r1 r 2 d 2－2rdcos r2 r 2 b 2－2rbcos
电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，即在r = a
处对任意角度θ，有
(3-3-1)
第3章
边值问题的解法
图3-1 平面边界上的点电荷与其镜像
第3章
边值问题的解法
下面来验证解的正确性。
在上半平面(除点电荷所在的点外)均满 显然，电位函数
电磁场理论讲稿 第十五讲 静电场球坐标分离变量法
关于 的解
1 R
d drs
(rs2
dR) 1
drs sin
d
d
(sin
d) m2
d sin2
0
关于rs 的函数
关于 的函数
1 R
d drs
(rs2
dR ) drs
n(n
1)
1
sin
d
d
(sin
d m2
d ) sin2
n(n 1)
北京航空航天大学电磁场理论教学团队
变量代换
rs et
2(r)
2
0
北京航空航天大学电磁场理论教学团队
变量可分离解
(r) R(rs )( )()
代入方程
rs2
d drs
(rs2
dR) drs
R
rs2 sin
d
d
(sin
d)
d
R
rs2 sin2
d 2
d 2
0
北京航空航天大学电磁场理论教学团队
平凡解
平凡解
d drs
(rs2
dR ) drs
0
dR dt
n(n
1)R
0
求解线性常微分方程
d 2R dt2
dR dt
n(n
1)R
0
特性方程 p2 p n(n 1) 0
特征根 p1 n, p2 (n 1)
解 R Aent Be(n1)t
r 将变量换为 S R(rs )
北京航空航天大学电磁场理论教学团队
ArSn
B rSn1
关于 的解
平凡解
R(rs )
A
B rs
位于坐标原点的点 电荷的电位分布
电磁场第2章-分离变量法与镜像法
2 当kx为虚数( k x 0
直角坐标中的分离变量法
)时
x x
当kx=0时 ，f(x)的解为
k x j x
f ( x) A3 x B3
f ( x ) A1e jk x x B1e jk x x
f ( x) A2 e
xx
B2 e
同理 可得g(y)和 h(z)的通解 同理，可得
ab n s, m t C 4 st n s, m t 0
n 2 m 2 4Uab ab b U b Cst sinh c 2 4 a b st
Cnm 16Uab nm 2 n 1, 2,5, 1 n 2 m 2 m 1, 2,5, sinh c a b Yan Liping - SCU 26
Dn1 1
1
理想介质
1 2 2 S n n
1 2
tan 1 E1t E 2n 1 tan 2 E1n E 2t 2
4 2011/9/26 Yan Liping - SCU 5
问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标 面平行或相合，或分段地与坐标面平行或 相合。 全泽松，电磁场理论，电子科技大学出版 社，pp64-72
f '' ( x) k x2 f ( x)
h '' ( z ) k z2 h( z )
g '' ( y) 2 k y g ( y)
2 k x2 k y k z2 0
用 f x g y h z 除上式，得到
电磁场与电磁波课件之分离变量法
R(r)Crn D rn1
将此结果代入上式，得
d d sind d n(n1)sin sm i2 n 0
令 cos，则x上式变为
d d x (1x2)d d x n(n1)1 m x 22 0
上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 Pnm (x)与
第二类连带勒让德函数
§3.6 分 离 变 量 法
基本思想: ①把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知
函数仅是一个坐标变量的函数。 ②代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常
微分方程。 ③分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的
待定常数，从而得到位函数的解。
方 式： 所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。
(,) C 0 D 0 ln ( A n cn o B n sn i) ( n C nn D n n ) n 1
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
y
a
x
E0
电场线
等位面
3. 球坐标系中的分离变量法 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在球坐标系中的展开式为
(0,y)0 (0yb)
x
(a ,y ) U 0 (0 y b )
0 x
O 0
U0
ax
2. 圆柱坐标系中的分离变量法 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
2(,)
1 12
2
2 0
令其解为
(,)R () ()
代入上式求得
RddddR 1dd2 2 0
与前同理， 的解应为
将此结果代入上式，得
d d sind d n(n1)sin sm i2 n 0
令 cos，则x上式变为
d d x (1x2)d d x n(n1)1 m x 22 0
上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 Pnm (x)与
第二类连带勒让德函数
§3.6 分 离 变 量 法
基本思想: ①把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知
函数仅是一个坐标变量的函数。 ②代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常
微分方程。 ③分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的
待定常数，从而得到位函数的解。
方 式： 所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。
(,) C 0 D 0 ln ( A n cn o B n sn i) ( n C nn D n n ) n 1
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
y
a
x
E0
电场线
等位面
3. 球坐标系中的分离变量法 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在球坐标系中的展开式为
(0,y)0 (0yb)
x
(a ,y ) U 0 (0 y b )
0 x
O 0
U0
ax
2. 圆柱坐标系中的分离变量法 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
2(,)
1 12
2
2 0
令其解为
(,)R () ()
代入上式求得
RddddR 1dd2 2 0
与前同理， 的解应为
电磁场分离变量法
利用边界条件: x 0
A2 sin(k x x) X ( x) m 1 Am sin(
xa
A1 0 m a m 1, 2,3... kx m x) a
X ( x) A1 cos(k x x) A2 sin(k x x)
利用边界条件: y 0
B2 sin(k y y ) Y ( y ) n 1 Bn sin(
d
e m ( x, y) Cm
m x d
m sin y d
方程的线性无关特解
通解为所有线性无关特解的线性组合：
m m sin( y) V e sin y (0, y) Cm ( x, y) Cm d d m1 m1 常数V在[0，d]区域的正弦级数展开： m
a
V b a (1 cos( s ) 2 s V a b s 1,3,5... s 4V Cs ,1 s 4 V y s x ( x, y , z ) sin( ) sin( ) sh{ s ,1 z} a b s 1,3,5 s sh s ,1 c s ,1 [( s 2 2 1 2 ) ( ) ] a b
yb
B1 0 n b n 1, 2,3... ky
Y ( y ) B1 cos(k y y ) B2 sin( k y y )
n y) b
2 2
由X,Y的解,我们有:
m n k z j j m,n a b m ,n m n a b
k k 0
2 x 2 y
k 0
kx k
ky jk ky k
电磁场第二章8-9
r3
q q 1 ( r ) ( ) 4 1 r1 r2
P (r )
2 ( r )
1 S 2 S
q q 1 q 1 1 ( ) (q q ) q 4 1 r r 4 2 r 1 2 1
q
q
r
上页
1 1
q
2 2
r
2-8 分离变量法
泛定方程：
2
0
2
定解条件： ( r ) u( rs )
S
n
u( rs )
S
• 其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件； • 界面的衔接条件：
1 2
1 2 1 2 n n
分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积， 每个函数仅与一个坐标变量有关。把三维偏微分方 程变为三个常微分方程。 使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。如 平面、球面、柱面等。
2-9
镜 像 法
唯一性定理：当电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边 界上满足三类边界条件之一时，电位的解是唯一的。
两问题的等效条件：研究域内源的分布不变；边界上电位的边界
条件不变。
把电荷分布未知的问题化简为已知电荷分布的问题。 该等效电荷叫镜像电荷。该方法叫镜像法。
1 导电平面上方点电荷的电场
2 无限大介质平面上点电荷的电场
Y ( y ) Ce
j ky y
y
d V
0
De
j ky y
Y ( y ) C sin k y y D cos k y y
0
沿X方向指数 衰减，Y方向 周期变化。
x
k x jk
解为：
X ( x ) Ae
q q 1 ( r ) ( ) 4 1 r1 r2
P (r )
2 ( r )
1 S 2 S
q q 1 q 1 1 ( ) (q q ) q 4 1 r r 4 2 r 1 2 1
q
q
r
上页
1 1
q
2 2
r
2-8 分离变量法
泛定方程：
2
0
2
定解条件： ( r ) u( rs )
S
n
u( rs )
S
• 其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件； • 界面的衔接条件：
1 2
1 2 1 2 n n
分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积， 每个函数仅与一个坐标变量有关。把三维偏微分方 程变为三个常微分方程。 使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。如 平面、球面、柱面等。
2-9
镜 像 法
唯一性定理：当电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边 界上满足三类边界条件之一时，电位的解是唯一的。
两问题的等效条件：研究域内源的分布不变；边界上电位的边界
条件不变。
把电荷分布未知的问题化简为已知电荷分布的问题。 该等效电荷叫镜像电荷。该方法叫镜像法。
1 导电平面上方点电荷的电场
2 无限大介质平面上点电荷的电场
Y ( y ) Ce
j ky y
y
d V
0
De
j ky y
Y ( y ) C sin k y y D cos k y y
0
沿X方向指数 衰减，Y方向 周期变化。
x
k x jk
解为：
X ( x ) Ae
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( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sinh k x B
n 1 n n
n
cosh kn x)(Cn sin kn y Dn cos kn y)
(4)
解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。
解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。
例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 U 的金属 0
盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试
求此导体槽内的电位分布。 解: 导体槽在 z 方向为无限长，槽内电 位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯
b
U0
方程。
2 0
（导体槽内D域）
(0 , y) 0
(a , y ) 0
A0 0
An sin kn a 0 (n 1,2,) sin kn a 0
其中 A不能为零，否则 ，故有 0 n
得
kn
n a
(n 1,2, )
则 ( x , y) A0 x(C0 y D0 ) An sin kn x(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
则 An 0
Dn 0 (n 1,2,)
则 ( x , y) An sin
n 1
nx ny ny (Cn sinh Dn cosh ) a a a
nx ny AnCn sin sinh a a n 1 sin An
n 1
nx ny sinh a a
( A sin k x B
n 1 n n
n
cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
(3)
(0 , y) 0
(0 y b) 代入上式，得
n 1
0 B0 (C0 y D0 ) Bn (Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
双曲函 数
( x , y) ( A sin kx B coskx)(C sinh ky D cosh ky)
式中 A, B, C, D 为待定常数。
(2)
为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值 kn （n=1，2，┄）。
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的
d 2Y ( y) 2 k Y ( y) 0 2 dy
由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一
维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。 式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不
同的形式。
当 k = 0 时，二常微分方程的为
n 1
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n 1
为使上式对 y在 0 内成立，则 b
(0 y b)
(0 y b) (0 x a)
( x , 0) 0
( x , b) U0
(0 x a)
由于槽内电位 和 0 x 0
，则其通解形式为 0 x a
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
为使上式对 y在 0 内成立，则 b
Bn 0 (n 0,1,2,)
则 ( x , y) A0 x(C0 y D0 ) An sin kn x(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n 1
(a , y ) 0
(0 y b) 代入上式，得
1. 直角坐标系中的分离变量法 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中 的分离变量法。
无源区中电位满足的拉普拉斯方程为
在直角坐标系中的展开式为 令
2 0
2 2 2 0 2 x y
( x, y) X ( x)Y ( y)
d 2 X ( x) d 2Y ( y) Y ( x) X ( x) 0 2 2 dx dy
AnCn An
( x , b) U0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx nb sinh a a
sin U 0 An
代入上式，得
两边再除以 X(x)Y(y)，得
1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y) 0 2 2 X ( x) dx Y ( y) dy
只与x有 关
只与y有 关
要使上式成立，式中每一项都必须为常数。此常数写成 k 2 。
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
n 1
An sin
n 1
nx ny ny (Cn sinh Dn cosh ) a a a
( x , 0) 0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx a
0 An Dn sin
nx 0 An Dn sin a n 1
为使上式对 x在 0 内成立，且 a
X ( x) A0 x B0
Y ( y) C0 y D0 (1)
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
当 k ≠ 0 时，二常微分方程的解为
X ( x) A sin kx B coskx Y ( y) C sinh ky D cosh ky
线性组合仍然是方程的解。
位函数 ( x , y)的通解为
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sin k x B
n 1 n n
2 若令 k 代替
n
cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
(3)
k 2 ，可得另一形式通解