电磁场与电磁波课件之分离变量法

( A sin k x B
n 1 n n
n
cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
(3)
(0 , y) 0
(0 y b) 代入上式，得
n 1
0 B0 (C0 y D0 ) Bn (Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
X ( x) A0 x B0
Y ( y) C0 y D0 (1)
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
当 k ≠ 0 时，二常微分方程的解为
X ( x) A sin kx B coskx Y ( y) C sinh ky D cosh ky
线性组合仍然是方程的解。
位函数 ( x , y)的通解为
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sin k x B
n 1 n n
2 若令 k 代替

n
cos kn x)(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
(3)
k 2 ，可得另一形式通解
为使上式对 y在 0 内成立，则 b

Bn 0 (n 0,1,2,)
则 ( x , y) A0 x(C0 y D0 ) An sin kn x(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n 1
(a , y ) 0
(0 y b) 代入上式，得
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sinh k x B
n 1 n n

n
cosh kn x)(Cn sin kn y Dn cos kn y)
(4)
解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。
解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。
n 1
An sin
n 1

nx ny ny (Cn sinh Dn cosh ) a a a
( x , 0) 0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx a
0 An Dn sin
nx 0 An Dn sin a n 1

为使上式对 x在 0 内成立，且 a
(0 y b)
(0 y b) (0 x a)
( x , 0) 0
( x , b) U0
(0 x a)
由于槽内电位 和 0 x 0

，则其通解形式为 0 x a
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
双曲函 数
( x , y) ( A sin kx B coskx)(C sinh ky D cosh ky)
式中 A, B, C, D 为待定常数。
(2)
为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值 kn （n=1，2，┄）。
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的
AnCn An
( x , b) U0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx nb sinh a a
sin U 0 An
d 2Y ( y) 2 k Y ( y) 0 2 dy
由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一
维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。 式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不
同的形式。
当 k = 0 时，二常微分方程的解为
n 1
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
n 1

为使上式对 y在 0 内成立，则 b
1. 直角坐标系中的分离变量法 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中 的分离变量法。
无源区中电位满足的拉普拉斯方程为
在直角坐标系中的展开式பைடு நூலகம் 令
2 0
2 2 2 0 2 x y
( x, y) X ( x)Y ( y)
d 2 X ( x) d 2Y ( y) Y ( x) X ( x) 0 2 2 dx dy
例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 U 的金属 0
盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试
求此导体槽内的电位分布。 解: 导体槽在 z 方向为无限长，槽内电 位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯
b
U0
方程。
2 0
（导体槽内D域）
(0 , y) 0
(a , y ) 0
A0 0
An sin kn a 0 (n 1,2,) sin kn a 0
其中 A不能为零，否则 ，故有 0 n
得
kn
n a
(n 1,2, )

则 ( x , y) A0 x(C0 y D0 ) An sin kn x(Cn sinh kn y Dn cosh kn y)
代入上式，得
两边再除以 X(x)Y(y)，得
1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y) 0 2 2 X ( x) dx Y ( y) dy
只与x有 关
只与y有 关
要使上式成立，式中每一项都必须为常数。此常数写成 k 2 。
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
则 An 0
Dn 0 (n 1,2,)
则 ( x , y) An sin
n 1
nx ny ny (Cn sinh Dn cosh ) a a a
nx ny AnCn sin sinh a a n 1 sin An
n 1
nx ny sinh a a