圆和圆的位置关系课件
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高中数学课件-2 2圆与圆的位置关系(共25张PPT)
解法一：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
圆和圆位置关系课件
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外离
d>R+r
外切
d=R+r
外离R-r <d<R+r 内切
d=R-r
内含
d＜R-r
没有
一个
两个
一个
没有
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能力提升
1、（2008•宁波）已知半径分别可能是 （C ） A．1cm B．3cm C．10cm D．15cm
温馨提示：把两圆的半径差，半径和算一算
相 离
相 切
相 交
圆与圆的位置关系的判断依据：圆心距 (d) 与大圆半径（R)小圆半径（r)的关系
内含 外离
内切
相交
外切
0
内含: 0 ≤ d < R-r
R-r
d R+r
相交: R-r <d < R+r
内切: d=R-r 外离: d>R+r
外切: d=R+r
相离、相切、相交
图 形
性 质 及 判 定 公 共 点 个 数
2、（2009•滨州）已知两圆半径分别为2
和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则 下列结论正确的是（ D ） A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5 D．0≤d＜1或d＞5
温馨提示：外离，内含
3、．（2011· 来宾）已知⊙O1和⊙O2的
半径分别是4和5，且O 1O2＝8，则这两 个圆的位置关系是（C ） A外离 B外切 C相交 D内含 4、（2011•昭通）已知两圆的半径R，r 分别为方程x2-3x+2=0的两根，这两圆的 圆心距为3，则这两圆的位置关系是 （ A ） A外切 B内切 C相交 D外离
圆九年级数学《与圆的位置关系》课件
4、如图，圆O1、圆O2相交于点A、B，过点A的 作CD⊥AB交两圆于点C、D，求证：CD=2O1O2
C
A
D
O2
O1
B
圆与圆的位置关系
新课引入
O1
O2
圆O1沿直线O1O2向右运动，它与 圆O2的交点数有何变化情况？
学习目标
了解圆与圆的五种位置关系，会根据圆 心距判断圆与圆的位置关系
自学探究
自学课本45~46页，回答下列问题 1、圆与圆有几种位置关系？如何判断？ 2、当两圆相交、外切、内切时连心线有何性 质？
疑探交流
当圆心O1和圆心O2重合时，即d=0时，两圆 是同心圆
A
O1 C
O2
B
定理：两圆相交时， 连心线垂直平分两 圆的公共弦
O1
C
O2
定理：两圆 相切时，连 心线过切点
当堂检测 1、圆O1、圆O2的半径分别为3cm、4cm.若设： （1）O1O2=8cm，（2）O1O2=7cm，（3）O1O2=5cm， （4）O1O2=1cm，（5）O1O2=0cm，（6）O1O2=0.5cm 2、已知：两圆的圆心距为6cm，其中一个圆的半 径为1cm，在下列条件下，求另一个圆的半径r或 取值范围 （1）两圆外切 （2）两圆内切 （3）两圆内含 3、三角形三边分别为2、3、4，以各顶点作圆， 三个圆两两外切，求这三个圆的半径.
针对上述问题，组内交流合作，先对议， 再组议
学教新课
O1
O2
外离
Hale Waihona Puke O1O2外切
O1
O2
O1
O2
O1 O2
相交
内切
内含
连接O1O2，上述五种位置关系中，圆心距d与 两圆半径R、r有何关系？
人教版新课标高中数学圆和圆的位置关系 (共30张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
线是两圆公共弦 AB所在的直线
①-②得
y
x2y10 ③
探究：画出圆C1与圆 C2以及直线方程③ ， 你发现了什么？
A
O
C2 Bx
C1
题型 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-
4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.
圆与圆的位置关系ppt课件
4
将图（1）中的⊙O1固定，将⊙O2沿直线O1O2向右（左） 移动，当移动到如图外切（内切）时，A、B两点一定 重合，这一点就是外切（内切）两圆的切点，由此可 知两圆相切时切点在连心线上。
相切两圆的性质定理：
相切两圆的连心线经过切点.
5
例题 1.已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、
B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C， CA、CB的延长线分别交⊙O1于点D、E. 求证：AD=BE.
12
个圆的圆心是（1，-2），半径是2，则两圆的
位置关系是
。
2
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴 经过两圆圆心的直线叫做连心线 连接相交两圆的两个交点的线段 叫做公共弦
3
探究1.如图，两圆相交，连心线O1O2与公共弦AB
有怎样的关系？
你已能相知用交：推两⊙理圆O的的1和方性⊙法质O来定2相说理交明于吗点？A、B. 求相证交：两直圆线的O连1O心2是线A垂B的直垂平直分平公分共线弦 .
27.5（3）圆与圆的位置关系
1
练习
1.两圆外切时，圆心距为9cm，内切时圆心距
为4cm，则这两圆的半径为
cm 。
2.两圆相切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
5cm,则另一个圆的半径是
cm 。
3.两圆内切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
2cm,则另一个圆的半径是
cm 。
4.一个圆的圆心是（-2，2），半径是3，另一
7
8
9
10
11
1相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.
2、能力方法： 在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公 共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系， 创造条件.
将图（1）中的⊙O1固定，将⊙O2沿直线O1O2向右（左） 移动，当移动到如图外切（内切）时，A、B两点一定 重合，这一点就是外切（内切）两圆的切点，由此可 知两圆相切时切点在连心线上。
相切两圆的性质定理：
相切两圆的连心线经过切点.
5
例题 1.已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、
B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C， CA、CB的延长线分别交⊙O1于点D、E. 求证：AD=BE.
12
个圆的圆心是（1，-2），半径是2，则两圆的
位置关系是
。
2
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴 经过两圆圆心的直线叫做连心线 连接相交两圆的两个交点的线段 叫做公共弦
3
探究1.如图，两圆相交，连心线O1O2与公共弦AB
有怎样的关系？
你已能相知用交：推两⊙理圆O的的1和方性⊙法质O来定2相说理交明于吗点？A、B. 求相证交：两直圆线的O连1O心2是线A垂B的直垂平直分平公分共线弦 .
27.5（3）圆与圆的位置关系
1
练习
1.两圆外切时，圆心距为9cm，内切时圆心距
为4cm，则这两圆的半径为
cm 。
2.两圆相切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
5cm,则另一个圆的半径是
cm 。
3.两圆内切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
2cm,则另一个圆的半径是
cm 。
4.一个圆的圆心是（-2，2），半径是3，另一
7
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11
1相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.
2、能力方法： 在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公 共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系， 创造条件.
初三数学圆和圆的位置关系课件
两圆内含
0
1.填空 （1）两圆有两个公共点，两圆的位置关系为 相交 ______ （2）两圆没有公共点，两圆的位置关系为 相离或内含 ___________ （3）两圆有一个公共点，两圆的位置关系为 外切或内切 ___________
2、如图，奥运五环上的五个环可以近似的看 成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位 相交 外离 置关系有_________或者_________.
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
同心圆
24.2.3圆和圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内 d＞r d＝r d＜r
直线与圆的位置关系
没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 d＞r d＝r d＜r
初步感知1
初步感知2
圆与圆有哪几种位置关系？
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 离
相 切
相交
相 交
两圆位置与交点个数关系
位置关系 交点
0 1 2 1
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
两个半径相等的圆有那 几种位置关系？
外离 外切 相交 重合
0
1.填空 （1）两圆有两个公共点，两圆的位置关系为 相交 ______ （2）两圆没有公共点，两圆的位置关系为 相离或内含 ___________ （3）两圆有一个公共点，两圆的位置关系为 外切或内切 ___________
2、如图，奥运五环上的五个环可以近似的看 成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位 相交 外离 置关系有_________或者_________.
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
同心圆
24.2.3圆和圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内 d＞r d＝r d＜r
直线与圆的位置关系
没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 d＞r d＝r d＜r
初步感知1
初步感知2
圆与圆有哪几种位置关系？
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 离
相 切
相交
相 交
两圆位置与交点个数关系
位置关系 交点
0 1 2 1
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
两个半径相等的圆有那 几种位置关系？
外离 外切 相交 重合
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
初中数学圆和圆的位置关系课件(共8张PPT)
第5页，共8页。
探索：
（1）你能分别构造出圆和圆的几种位置关系吗？
（2）当圆和圆相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴在哪里？
当两圆（外3离）、外当切、两相圆交、相内切切和内（含内时，、d与外R和切r之间）具有时怎，样的图数量形关系是？轴反之对，当称d与图R和形r之间吗满？足一你定的能数量在关课系时本，我上们能判
（设4两）圆外探的讨切半两径圆、分位别置相为关R系和交与r（两、R圆＞半内r）径，切和圆圆心和心距距为内的d数。含量关时系之，间的d联与系。R和r之间具有怎样的数量关系？
反之，当d与R和r之间满足一定的数量关系时 （41）探你讨能两分圆别位构置造关出系 圆与和两圆圆的半几径种和位圆置心关距系的吗数？量关系之间的联系。
初R－中r数<学d 圆< R和+圆r的位置关系课件
，我们能判定
两圆之
间的位置关系吗？ 0（≤2）d <当R圆－和圆r 相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？
（R－1）r <在d刚<才R的+实r 验中，你发现了几种位置关系？
（R－3）r <究d竟<如R何+进r 一步区分外离和内含，外切和内切呢？
例题：两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O,是圆 心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切 线，求∠TPN的大小.
N T
P
O， O
Q
第8页，共8页。
初中数学圆和圆的位置关系课 件
第1页，共8页。
通过观察，你发现生活中哪些与圆 和圆位置关系有关的事例和图案？ 请你将自己课前所收集到的图案 （可以是照片、资料、还可以是实 物或模型）向同学展示，并尝试说 明所提供的图案中圆和圆的位置关 系。
探索：
（1）你能分别构造出圆和圆的几种位置关系吗？
（2）当圆和圆相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴在哪里？
当两圆（外3离）、外当切、两相圆交、相内切切和内（含内时，、d与外R和切r之间）具有时怎，样的图数量形关系是？轴反之对，当称d与图R和形r之间吗满？足一你定的能数量在关课系时本，我上们能判
（设4两）圆外探的讨切半两径圆、分位别置相为关R系和交与r（两、R圆＞半内r）径，切和圆圆心和心距距为内的d数。含量关时系之，间的d联与系。R和r之间具有怎样的数量关系？
反之，当d与R和r之间满足一定的数量关系时 （41）探你讨能两分圆别位构置造关出系 圆与和两圆圆的半几径种和位圆置心关距系的吗数？量关系之间的联系。
初R－中r数<学d 圆< R和+圆r的位置关系课件
，我们能判定
两圆之
间的位置关系吗？ 0（≤2）d <当R圆－和圆r 相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？
（R－1）r <在d刚<才R的+实r 验中，你发现了几种位置关系？
（R－3）r <究d竟<如R何+进r 一步区分外离和内含，外切和内切呢？
例题：两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O,是圆 心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切 线，求∠TPN的大小.
N T
P
O， O
Q
第8页，共8页。
初中数学圆和圆的位置关系课 件
第1页，共8页。
通过观察，你发现生活中哪些与圆 和圆位置关系有关的事例和图案？ 请你将自己课前所收集到的图案 （可以是照片、资料、还可以是实 物或模型）向同学展示，并尝试说 明所提供的图案中圆和圆的位置关 系。
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
两圆五种位置关系中 两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
2.5.2圆与圆的位置关系ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
2圆和圆的位置关系课件
小 组交流
r1 O1
r2 O2
外离
d >r1+r2
r1 r2
O1
O2
外切
d =r1+r2
r1 r2 O1 O2
相交
|r1-r2 | < d < r1+r2
r1
O1 O2 r2
内切
0< d = | r1 - r2 |
r1
O
1
O2
r2
r1
O1O2r2
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
0≤ d < | r1 - r2 |
27.5 圆和圆的位置关系(1)
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. O1
. O2
操作演示
. .O1 O2
操作演示
. .O1 O2
操作演示
. O1O2
归纳总结
两圆公共点的个数 与 两圆的位置关系： 两圆外离
两圆没有公共点
两圆相离
两圆内含
两圆外切
两圆有唯一公共点
两圆相切
例题讲解
解：设⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C的两两外切，所以
x+ y=3 y+ z=5 z+ x=6
x=2 解得 y=1
z=4
所以⊙A 、⊙B 、⊙C的半径分别为2厘米、1厘米、 4厘米。
交流小结
小 结：
本节课有哪些收获？
d =0
归纳总结
圆和圆的位置关系与这两圆的半径及圆心距 （即两圆圆心的距离）的大小有关：
r 如果两圆半径分别为 r1 和 2 ,圆心距为d，那么
两圆外离 两圆外切
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A
B
C
一个内径3cm的圆钢管在内径为 10cm的钢管内沿管壁滚动。
（1）小钢管的圆心与大钢管的圆心的距 离是多少？ （2）小钢管的圆心经过的路线是什么？
试一试
今有一圆形硬币，在这 硬币的周围排列几枚同样 大小的硬币，使所有的硬 币都与这枚硬币相切，并 彼此外切，则需硬币多少 枚？
小结:
1)两圆的五种位置关系
重点： 识别圆和圆的位置关系及判定。 难点： 是两园的内切与外切的位置关系 既判定方法，它是两圆各种位置关系 的分界线，如何把观察到的现象变成 数学的表达是关键，也是今后应用的 核心。同时会利用圆和圆的位置关系 的知识解决一些实际问题。
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
则 PA=OP-OA。 PA=3cm
B O O A
A
p P
(2)设OO与OP内切于点B， 则 PB=OP+OB PB=13cm
答 案
请 你 参 加
设圆O和圆P的半径分别为R、r，圆心 距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎 样？
R=6，r=3，d=4 R=6，r=3，d=0 R=3，r=7，d=4 R=5，r=3，d=3
两个圆有唯一的公共点，并且除了 这个公共点以外，每个圆上的点都在另 一个圆的外部时，叫做这两个圆 外切 这个唯一的公共点叫做 切点
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切 这个唯一公共点叫做 切点 外切和内切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫 做这两个圆 相交
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
作业：
1、写一篇数学日记，并解决2—3个问题。 2、课下探究：相交两圆的连心线与公共弦 有什么样的结论。
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切 这个唯一公共点叫做 切点 外切和内切统称为相切
两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内含
两圆同心是两圆内含的一种特例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆 和 圆 的 位 置 关 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点
相 离
一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 切
相 交
O
P
O’
想一想：这个图形是不是轴对称图形？
圆心距：两圆心之间的距离
两圆组成的图形是轴对称图形，它 们的对称轴是连心线所在的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
外切
内切
精彩源于发现
o1 R d
r o2
d>R+r
1、若两圆有唯一公共点，且两圆 半径分别为5和2，则两圆圆心距 为 。
2、 已知，两圆相外切，半径分别 是1㎝和2㎝ ，要作和这两个已知 圆都相切且半径等于3㎝的圆，可 作_____个。
这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经 测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各 顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半 径。
——北京•2008奥运
新人教版九年级数学上册
24.2.3 圆和圆的位置关系
根据教学大纲的要求和我们学生的实际情况，制定了以下教 学目标。
1 、知识目标
1)经历探索两个圆位置关系的过程。
2)了解圆和圆之间的几种位置关系。 3)了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关 系的 联系。 2 、能力目标： 培养学生的观察、想象、分析、动手操作、概括的能力和 “分类讨论”的数学思想。 3 、情感目标： 体现数学学习的快乐，在快乐中体现知识源于实践，又运 用于生活。同时培养学生运用类比的思想解决生活问题的能力。
o1
T
R d r
o2
d=R+r
o1
R
r
d
o2
R-r<d<R+r (R>r)
o 2 o1
T
r
R
d
d=R-r (R>r)
O1 O2
O
d r
R
d<R-r (R>r)
例 如图，OO的半径为5cm，点P是OO外一点， OP=8cm。求 （1）以P为圆心作OP与OO外切，小圆OP的半径是多少？ （2）以P为圆心作OP与OO内切，大圆OP的半径是多少？ 解: (1)设OO与OP外切于点A，
B
C
一个内径3cm的圆钢管在内径为 10cm的钢管内沿管壁滚动。
（1）小钢管的圆心与大钢管的圆心的距 离是多少？ （2）小钢管的圆心经过的路线是什么？
试一试
今有一圆形硬币，在这 硬币的周围排列几枚同样 大小的硬币，使所有的硬 币都与这枚硬币相切，并 彼此外切，则需硬币多少 枚？
小结:
1)两圆的五种位置关系
重点： 识别圆和圆的位置关系及判定。 难点： 是两园的内切与外切的位置关系 既判定方法，它是两圆各种位置关系 的分界线，如何把观察到的现象变成 数学的表达是关键，也是今后应用的 核心。同时会利用圆和圆的位置关系 的知识解决一些实际问题。
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
则 PA=OP-OA。 PA=3cm
B O O A
A
p P
(2)设OO与OP内切于点B， 则 PB=OP+OB PB=13cm
答 案
请 你 参 加
设圆O和圆P的半径分别为R、r，圆心 距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎 样？
R=6，r=3，d=4 R=6，r=3，d=0 R=3，r=7，d=4 R=5，r=3，d=3
两个圆有唯一的公共点，并且除了 这个公共点以外，每个圆上的点都在另 一个圆的外部时，叫做这两个圆 外切 这个唯一的公共点叫做 切点
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切 这个唯一公共点叫做 切点 外切和内切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫 做这两个圆 相交
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
作业：
1、写一篇数学日记，并解决2—3个问题。 2、课下探究：相交两圆的连心线与公共弦 有什么样的结论。
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切 这个唯一公共点叫做 切点 外切和内切统称为相切
两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内含
两圆同心是两圆内含的一种特例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆 和 圆 的 位 置 关 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点
相 离
一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 切
相 交
O
P
O’
想一想：这个图形是不是轴对称图形？
圆心距：两圆心之间的距离
两圆组成的图形是轴对称图形，它 们的对称轴是连心线所在的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
外切
内切
精彩源于发现
o1 R d
r o2
d>R+r
1、若两圆有唯一公共点，且两圆 半径分别为5和2，则两圆圆心距 为 。
2、 已知，两圆相外切，半径分别 是1㎝和2㎝ ，要作和这两个已知 圆都相切且半径等于3㎝的圆，可 作_____个。
这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经 测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各 顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半 径。
——北京•2008奥运
新人教版九年级数学上册
24.2.3 圆和圆的位置关系
根据教学大纲的要求和我们学生的实际情况，制定了以下教 学目标。
1 、知识目标
1)经历探索两个圆位置关系的过程。
2)了解圆和圆之间的几种位置关系。 3)了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关 系的 联系。 2 、能力目标： 培养学生的观察、想象、分析、动手操作、概括的能力和 “分类讨论”的数学思想。 3 、情感目标： 体现数学学习的快乐，在快乐中体现知识源于实践，又运 用于生活。同时培养学生运用类比的思想解决生活问题的能力。
o1
T
R d r
o2
d=R+r
o1
R
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R-r<d<R+r (R>r)
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T
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O1 O2
O
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d<R-r (R>r)
例 如图，OO的半径为5cm，点P是OO外一点， OP=8cm。求 （1）以P为圆心作OP与OO外切，小圆OP的半径是多少？ （2）以P为圆心作OP与OO内切，大圆OP的半径是多少？ 解: (1)设OO与OP外切于点A，