江苏省2020-2021学年高二数学下学期期初考试试题
江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二下学期期中考试数学Word版含解析
南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南京市中华中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．233x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．2|43x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}04x x <≤D ．{}03x x <<【答案】A【分析】在数轴上分别作出集合A ，集合B ，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为{}03A x x =<<，2|43B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以2|33A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．故答案为：A.2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解 【答案】D【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可 【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定； 故只有D 满足题意； 故选：D3．曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．4250x y +-=C ．250x y ++=D ．4250x y ++=【答案】B【分析】利用导数的几何意义，即得.【详解】∵23ln ,02x y x x =->，∴3y x x '=-，由32y x x'=-=-，可得1x =，3x =-（舍去）当1x =时，12y =， ∴曲线23ln 2x y x =-的斜率为－2的切线方程为()1212y x -=--，即4250x y +-=.故选：B.4．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C5．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u ν，，且()()122212n ν=-=，，，，，，则αβ⊥ B ．若直线l 的方向向量为()103e =，，，平面α的法向量为2203n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则直线l //α C ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】B【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，()22220u ν⋅=++-⨯=，所以u ν⊥，A 正确； 对于B ， 2020e n ⋅=-++=，所以e n ⊥，B 错误对于C ，对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，满足1111442++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确. 故选：B.6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，22AC =，12AA =，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．12【答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F BE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC =，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C CCF =+=11(0,0,,0,0,0,22⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111312cos ,324BE C F BE C F BE C F⋅====⋅． 故选：D ．7．在()*N n n ∈次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4 B ．4：4：3 C ．3：3：2D ．2：2：1【答案】C【分析】事件A ，B ，C 发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【详解】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15设事件A ，B ，C 发生的次数为分别随机变量,,X Y Z ，则有： 2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为：625n ，625n ，425n 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为：3:3:2 故选：C8．袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此，()()()82582599P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱B ．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍C ．已知回归模型为221y x x =++，则样本点()1,3的残差为1-D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】CD【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故A 错误；对B ：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的22022倍，故B 错误； 对C ：当1x =时，1214y =++=，所以样本点()1,3的残差为341-=-，故C 正确； 对D ：对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确. 故选：CD ．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．)002a bab a b +≥>>， B ．()22200a b ab a b +≥>>，C ()10011ab a b a b>>+， D ．()220022a b a b a b ++=≥>，【答案】AC【分析】结合图形和基本不等式可得答案. 【详解】,2+=+===a bAB a b OA OB OD ，由射影定理可知，2CD AC BC ab =⋅=，所以CD ab =Rt OCD 中，OD CD >，当且仅当⊥OD AB 时取等；所以A 正确； 在Rt OCD 中，2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD ≥DE 111ab a b≥+，所以C 正确.故选：AC.11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12A A ，和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ） A ．()922P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．123A A A ，，是两两互斥的事件 【答案】ABD【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,P A P A P A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断.【详解】解：因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确； 因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故A 正确； 由于()()115559()10111022P BA P B P A =⨯≠⨯=，故事件B 与事件1A 不相互独立，故C 错误. 故选：ABD12．如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//,4AD BC AD =，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（ ）A ．PB 与CD 所成的角是60B ．平面PCD 与平面PBA 6C ．PB 与平而PCD 3D ．M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 43【答案】AD【分析】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，可判定A 正确，B 、C 不正确；在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PC ⊥平面BMN ，得到点P 到平面BMN 的距离最大距离为PM ，在直角PBC 中，利用直角三角形的射影定理，求得PM 的长，可判定D 正确.【详解】由题意，以A 为原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D P ，对于A 中，可得(2,0,2),(2,2,0)BP CD =-=-， 所以41cos ,22222BP CD BP CD BP CD⋅===⨯，因为0,180BP CD ≤≤，所以BP 与CD 的夹角为60，所以A 正确； 对于B 中，由平面PAB 的法向量为(0,1,0),(2,2,2)m PC ==-， 又由(2,2,2),(2,2,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则2220220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，可得1,2y z ==，所以(1,1,2)n =，所以1cos ,6m n m n m n⋅==，所以B 错误.对于C 中，由212cos ,12226BP n BP n BP n⋅===⨯，所以C 错误； 对于D 中，在PC 上取点M ，使得BM PC ⊥，连接,,AC MN BN ， 因为ABCN 为正方形，且边长为2，可得BN AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BN PA ⊥， 因为AC PA A ⋂=，且,AC PA ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC ， 又因为PC ⊂平面PAC ，所以BN PC ⊥， 因为BM PC ⊥，且BMBN B =，,BM BN ⊂平面BMN ，所以PC ⊥平面BMN ，此时点P 到平面BMN 的距离最大，最大值即为PM ， 在直角PBC 中，22,2PB BC ==，可得23PC =，由直角三角形的射影定理得2PB PM PC =⋅，即22(22)43323PB PM PC ===， 即点P 到平面BMN 的距离最大值为433，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，()40.84P ξ≤=，则(0)P ξ<=_______. 【答案】0.16425【分析】利用正态分布的对称性可得(0)(4)P P ξξ<=>，然后结合条件即得. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ， 所以(0)(4)P P ξξ<=>， 又()40.84P ξ≤=，所以(0)1(4)10.840.16P P ξξ<=-≤=-=. 故答案为：0.16.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++，则x y z ++=_________．【答案】118【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系，()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1203N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则1121200123232MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z =++=⇒===，，所以131112488x y z ++=++= 故答案为：11815．若0m >，0n >，则214m n m n ++的最小值为___________. 【答案】4【分析】连续使用两次均值不等式即可求出结果. 【详解】22141444224m m n n n n m n m n n n++≥+⋅=+≥⋅=， 当且仅当2142mm n n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2,1n m ==时等号成立，所以214m n m n ++的最小值为4.故答案为：4.16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72.四、解答题17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∈A ，命题q : x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈， (2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可； (2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集. 【详解】(1)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集， 因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦，所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. (2)由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，， 当A B =∅时：22m +<-或24m ->， 解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．已知()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)721792x -和51792x -.【分析】（1）根据题意得到1236n n C C +=，求得8n =，即可求解；（2）由（1）知82)x，得到展开式的通项为34821882()2r r r r r rr T C C x x--+=⋅=⋅，列出不等式组118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，结合组合数的公式，求得56r ≤≤，进而求得67,T T ，即可求解.【详解】(1)解：由题意，()2N nn x *⎫∈⎪⎭的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得1236n n C C +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（舍去），所以8n =.(2)解：由（1）可得二项式82)x，其展开式的通项为34821882()2r r rr r rr T C C x x--+=⋅=⋅， 即展开式中项的系数为82r rC ⋅，设第1r +项的系数最大，则满足118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 可得()()()()()()118!8!228!!9!1!8!8!228!!7!1!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪-⋅-⨯-⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-⨯-⨯-⎩，即2191281r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得56r ≤≤，当=5r 时，7755226821792T C x x --=⋅⋅=；当6r =时，66557821792T C x x --=⋅⋅=，所以展开式中系数最大的项为721792x -和51792x -.19．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表．(1)完成22⨯列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)表格见解析；没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)35【分析】（1）完善2×2列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可求得正整数n 的值，结合临界值，即可求解．（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 【详解】(1)求22⨯列联表可得:根据所给数据得22400(1409011060)=9.6<10.828200200250150K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 故没有超过99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； (2)由于在“不了解冬季奥运会项目”的学生中，按男女比例为2:3， 所以抽取的5人中包含3名女生，2名男生，设“男、女生各抽到一名”的事件为A ，则1132253()5C C P A C ==20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =，因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则P ⎝⎭，)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()1,0AD =--，()AB =，AP ⎛= ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111100y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则1x=，1y()2,m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222200y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 取21z=，则2x=2y =，所以()2,n =，设二面角B PA D --为θ，则1cos 32m n m nθ⋅===+⋅，又[]0,πθ∈，则sin θ=. 21．核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为()01p p <<． (1)若12p =，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率； (2)如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p 在什么范围时，混合化验能减少化验次数？ 【答案】(1)516(2)当01p <<时，4例混合化验能减少化验次数 【分析】（1）根据题意计算即可（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可【详解】(1)解：（1）设4例疑似病例中化验结果为阳性的病例数为X ，则1(4,)2X B ~，041444115(1)(0)(1)C ()+C ()2216P X P X P X ==+=== 所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为516(2)设4例混合化验的化验次数为Y ，则Y 可取1，5．00444(1)C (1)(1)P Y p p p ==-=-，4(5)1(1)1(1)P Y P Y p ==-==--，所以，444()1(1)5[1(1)]54(1)E Y p p p =⨯-+⨯--=--． 要使化验次数减少，须有()4E Y <， 即454(1)4p --<．因为01p <<，解得01p <<所以，当012p <<-时，4例混合化验能减少化验次数． 22．己知函数()()21e 2x h x ax r x ax ax =-=-，(1)令()()()f x h x r x =+，当a e =时，讨论()f x 的单调性: (2)当0x ≥时，()()()3121312h x r x x a x +≥+-+，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1x ∈-∞，时，()f x 单调递减；()1x ∈+∞，时，()f x 单调递增 (2)27e 4a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】（1）由题意得到()21e 2e 2x f x ex x =-+，求得()e 2e e x f x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，取得()e e 0x g x '=+>，且()10g =，进而得到函数()f x 的单调性；（2）根据题意，把不等式可化为3211210exx ax x -++-≤，令()32112 1e x x ax x g x -++=-，求得()g x '，得到()0g x '=的解，分210a +≤、2210a >+>和212a +≥三种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)解：当e a =时，函数()()()2211e e e e e 2e 22x xf x h x r x x x x ex x =+=-+-=-+，可得()e 2e e xf x x =-+'，令()e 2e e x g x x =-+，可得()e e 0xg x '=+>，且()10g =，所以当()1x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增. (2)解：由()()222e 2e 3x x h x r x ax ax ax ax ax +=-+-=-+，不等式可化为()231e 3131,02x ax ax x a x x -+≥+-+≥， 化简可得321e 12xx ax x ≥-++，即321121e x x ax x -++≤，即3211210exx ax x -++-≤， ①令()32112 1e xx ax x g x -++=-， 可得()()()()3213121221222e e x xx a x a x x x x a g x ⎛⎫-++-+⎡⎤---+ ⎪⎣⎦⎝⎭'==， 令()0g x '=，即()()122102x x x a ⎡⎤---+=⎣⎦，解得1230221x x x a ===+，，， 若210a +≤，即12a ≤-时，当()02x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()22741e g x g x a-=-≤，且()00g =，所以()20g >， 即不等式①不恒成立；不合题意； 若2210a >+>，即1122a >>-时 当()0g x '<， ()g x 单调递减；()21,2x a ∈+，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()27421e ag x g -≤=-， 要不等式①恒成立，只需()20g ≤，即27410e a --≤，解得274e a -≥，所以217e 24a ->≥. 若212a +≥， 即12a ≥时，当()0,2x ∈，()0g x '< ()g x 单调递减； 当()2,21x a ∈+，()0g x '> ()g x 单调递增； 当()21,x a ∈+∞，()0g x '< ()g x 单调递减；所以()210g a +≤，即()31121e xx x g x ++≤-， 只需当2x ≥时，311210e x x x ++-≤，就可得到()210g a +≤就恒成立。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列选项中，与36C 相等的是（ ） A ．35C B ．35AC ．25AD ．4!【答案】C【分析】先求出36C 的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C 20=，对于A ，3512C 00=≠，所以A 错误，对于B ， 35A 5436020=⨯⨯=≠，所以B 错误，对于C ，25A 5420=⨯=，所以C 正确，对于D ， 4!43212420=⨯⨯⨯=≠，所以D 错误， 故选：C2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（ ） A ．2 B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为()11234 2.54+++⨯=，故选：B4．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（ ） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5．在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可． 【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点， ∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+，∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．3010B ．22C ．110 D ．25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ， ()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=- ，()1,1,2BM =-130cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅-∴===⋅ 故BM 与AN 30故选：A.8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ） A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A 队伍检测，②2人到A 队伍检测，③1人到A 队伍检测，④0人到A 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种. 故选：C 二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项B ．一个含有5个元素的集合有32个子集C ．正十二边形对角线共有54条D ．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43 【答案】BC【分析】对于A ，利用多项式的乘法分析判断，对于B ，利用求子集个数的公式计算，对于C ，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D ，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A ，乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项，所以A 错误，对于B ，一个含有5个元素的集合有5232=个子集，所以B 正确， 对于C ，正十二边形对角线共有12(123)542⨯-=条，所以C 正确， 对于D ，由题意可得每名工人有3种休息方法，所以4名工人共有43种休息方法，所以D 错误， 故选：BC10．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN 共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a b ⊥，可得l 与m 垂直，B 正确； 对于C ，0110a n ⋅=-+=，故a n ⊥，可得l 在α内或//l α，C 错误； 对于D ，(1,1,1)AB =-，易知n AB ⊥，故10u t -++=，故1u t +=，D 正确. 故选：ABD.11．下列命题中，正确的是（ ）A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立 B ．已知随机变量X 的方差为()V x ，则()23V X -=()4V XC ．已知随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则E （X ）=2D ．已知随机变量X 服从正态分布()21,B σ，若()30.8P X <=，则()110.3P X -<<=【答案】BCD【分析】对A ：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B ：由方差的性质即可判断；对C ：由二项分布的期望公式即可判断；对D ：利用正态分布的对称性即可判断. 【详解】解：对A ：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A 、B 都是概率不为0的事件，若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =，而若事件A 与事件B 是相互独立事件，则()()()0P AB P A P B =≠，故选项A 错误；对B ：由方差的性质可知，随机变量X 的方差为()V X ，则()23V X -=()()224V X V X =，故选项B 正确；对C ：由随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故选项C 正确；对D ：由随机变量X 服从正态分布()21,B σ，()30.8P X <=，则()()()()1113310.80.50.3P X P X P X P X -<<=<<=<-<=-=，故选项D 正确. 故选：BCD.12．如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连接PC ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，它们共面的概率为0.2B ．存在某个位置，使得PC 与BD 所成角为60°C ．PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大 D ．当二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离最大 【答案】AC【分析】对于A ：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断； 对于B ：连结AC 交BD 于E .证明出BD ⊥面PCE ，得到BD ⊥PC .即可判断； 对于C ：证明出ECP ∠=45°时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大，从而三棱锥P -BCD 的体积最大；对于D ：求出二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离12155d =. 求出特殊位置当2PC =时，点D 到面PBC 的距离所以2263d =.判断出12d d <.即可否定结论.【详解】对于A ：任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中共面一共有4种，故概率为40.220=.故A 正确； 对于B ：连结AC 交BD 于E .因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥,即CE BD ⊥,PE BD ⊥. 又CE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PCE ，所以BD ⊥PC . 故B 错误；对于C ：因为BD ⊥面PCE ，所以点P 在底面的射影落在直线AC 上，即ECP ∠为PC 与平面BCD 所成角，即ECP ∠=45°.因为CE PE =，所以45ECP EPC ∠=∠=︒，所以90CEP ∠=︒，即EP EC ⊥. 又EP BD ⊥，BD EC E ⋂=,所以EP ⊥面BCD .此时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大.所以1133P BCD BCDBCDSh SEP V -=≤.所以PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大. 故C 正确； 对于D ：因为BD ⊥面PCE ，所以CEP ∠即为二面角P -BD -C 的平面角，即90CEP ∠=︒. 此时设点D 到面PBC 的距离为1d .因为90CEP ∠=︒，2sin 603CE PE ==︒=，所以22336PC CE PE =+=+=. 所以222116615422222PBCSPC CB PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由等体积法可得：P BCD D PBC V V --=，即1111152333232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：12155d =. 当2PC =时，三棱锥P -BCD 的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D 到面PBC 的距离为2d ，则2d 为正四面体的高. 如图示：过C 作CF PB ⊥于F ,则3sin 6023CF BC =︒==过D 作DG ⊥面PBC 于G ,则G 为△PBC 的中心，所以2233CG CF ==.所以2d DG ==因为(122201515d d -==<，所以12d d <.故D 错误. 故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量； （2）①立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；②立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 三、填空题13．6x⎛+ ⎝的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知6x⎛ ⎝的展开式通项为163622r rr r T x C +-=，令3602r -=，求出4r =，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为6x⎛+ ⎝的展开式通项为36621662rr r r r r r x xT C C -+-==， 令3602r -=，则4r =，所以6x ⎛ ⎝的展开式中常数项是446622240r r C C ==. 故答案为：240.14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A C B B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点， 所以()111,1,13AM AC ==-， 所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2221211222MN ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭21. 15．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为___________. 【答案】31400.775 【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．【详解】解：设该校共有a 名同学，则约有80%0.8a a ⨯=名学生近视，20%0.2a a ⨯=名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有0.290%0.18a a ⨯=名学生近视．所以有0.8a 名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有0.80.180.62a a a -=名学生近视． 所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840a a =． 故答案为：3140． 16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D 正常工作；②元件C 正常工作或部件A ，B 同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N (100，225)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为12，设A 元件能用100小时以上为事件A ，B 元件能用100小时以上为事件B ，C 元件能用100小时以上为事件C ，D 元件能用100小时以上为事件D ， 则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：()()()()()()()()()()()P D P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A B P C P A P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111155522222816⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：516． 四、解答题17．已知n 为偶数，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++.(1)当10n =时，求8a 的值； (2)证明：10242n n a a a a -++++=.【答案】(1)845a = (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x =-和1x =，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n =时，8222291010()45T C x C x x =-=⋅=，故845a =(2)当1x =-时，012(11)nn a a a a +=-+-+即0122n n a a a a -+-+=①当1x =时，012(11)n n a a a a -=++++ 即0120n a a a a ++++=②.由①②相加得：()02422n n a a a a ++++=即有10242n n a a a a -++++=. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =3，2BM MC =，且PB ⊥AM ．(1)求AD 的长；(2)求二面角P -AM -D 的正弦值.【答案】(1)33 213 【分析】(1)以{},,DA DC DP 为一组基底，建立空间直角坐标系，设3BC a =，求出各点坐标，根据0PB AM ⋅=求出a 的值，从而确定AD 的长度；(2)求出平面P AM 和平面DAM 的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值．【详解】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{},,DA DC DP 为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设3BC a =，则()()()()3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,B a P M a A a则()()3,3,3,,3,0PB a AM a =-=-， PB AM ⊥，则2390PB AM a ⋅=-+=，解得3a = 故333AD a ==(2)()()3,3,0,33,0,3AM AP =-=-，设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =， 则11113303330m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13x =，可得()3,1,3m =， ∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为()0,0,1n =，3313cos ,,13131m n m n m n ⋅===⋅⨯ 因此，二面角P AM D --的正弦值为231321311313⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．19．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X .(1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=. X 的分布列为：X 01 2 3 P 112 13 51216所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D -的各个棱的长度均为12,60CDD ∠=，平面11DCC D ⊥平面,,ABCD M N 分别是11,BC A D 的中点.(1)证明：AN ∥平面1C DM ；(2)求点C 到面1C DM 的距离.【答案】(1)证明见解析2 【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1//AN MC ，利用线面平行的判定定理证明//AN 平面1C DM ；（2）以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，用向量法求点C 到面1C DM 的距离. 【详解】(1)由题1111112AN AA A N CC BC CC MC MC =+=+=+= 则1//AN MC 又AN ⊄平面1C DM ，所以//AN 平面1C DM .(2)在平面11CDD C 内，过点D 作DP DC ⊥，由平面11DCC D ⊥平面ABCD 可知：DP ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形.现以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则 ()()()10,0,0,1,2,0,0,3,3D M C设(),,m x y z =为平面1C DM 的法向量，则100m DM m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,330.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1y =-,则()2,1,3m =-.又()0,2,0C ，所以()0,2,0DC =则0202m DC ⋅=-+=-则点C 到面1C DM 的距离为：22.28m DCh m ⋅===21．某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8. ①记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.②小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析，73.8（元）；②不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解； （2）①易得X 可取80，50，110-，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；②由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率1230.1(10.1)0.10.0243P C =⨯⨯-⨯=.(2)①由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为110-元，则X 可取80，50，110-，故()800.9P X ==，()500.10.80.08,P X ==⨯=()1100.10.20.02,P X =-=⨯= 故X 的分布列为：故()800.9500.081100.0273.8E X =⨯+⨯-⨯=（元）.②对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为： 800.9800.164⨯-⨯=（元）又6473.8<故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =.(1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标；②若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .【答案】(1)[0,3,5](2)①32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②2 【分析】（1）根据所给定义可得23a i j k =++，2b i j k =-++，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===，①根据空间向量线性运算法则得到1112ED AB AD AA =-++，即可得解； ②依题意1223AC i j k =++、2AM i tj =+且10AM AC ⋅=根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t ，再根据2(22)AM i j =-及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由[]1,2,3a =，[]1,1,2b =-，知23a i j k =++，2b i j k =-++， 所以(23)(2)a b i j k i j k +=+++-++35j k =+，所以[0,3,5]a b +=；(2)解：设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===， ①11ED AD AE =-()1112AD AA AB AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 112AB AD AA =-++ 3222i j k =-++ 32,2,2⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ②由题11223AC AB AD AA i j k =++=++， 因为[]2,,0AM t =，所以2AM i tj =+， 由1AM AC ⊥知()()122320AM AC i j k i tj ⋅=++⋅+= ()224242630i tj t i j k i tk j ⇒+++⋅+⋅+⋅=()1342423022t t t ⇒+++⋅++= 2t ⇒=-则()22222AM i j i j =-=-22448i j i j +-⋅2=⋅。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。
江苏省徐州市2020_2021学年下学期高二期末考试数学试题(含答案)
……………………6 分
故 f (x) 在 (0，2) 上单调递减，在 ( 2， ) 上单调递增， ……………………8 分
所以 f (x) 存在极小值为 f ( 2) 1 ln 2 1 (1 ln 2) ， 无极大值．………10 分
2
2
18．（1）女生全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个元素，再和 5 个男生全排，
高二数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
所以 P(E) P(AB) P(CD)
C43
( 1 )3 2
1 2
(
1 )4 2
(
1 )4 2
1 2
3 64
.
…………………4 分
（2）X 的可能取值为 8，10，16.
P( X
8)
1
C43
(
1 2
)3
1 2
(1)4 2
11 ， 16
P( X 10) (1 )4 1 ， 2 16
P( X
即
CC11rr00
2r 2r
≥
C r 1 10
≥
C r 1 10
2r 1 2r 1
，…………………………………………………………6 分
即 12≥ 110r0r1rr12≥1 ，
解得 19 ≤ r ≤ 22 ，………………………………………………8 分
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二(下)学情检测数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二（下）学情检测数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．44．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．21605．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、不定项选择题（共4小题）.9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为711．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣612．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝．16．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”解：对于A：∀x0∈R，使得e＞0，故A错误；对于B：对∀x＞1时，，故B错误；对于C：当a＞1，b＞1时，ab＞1，但是当ab＞1时，得到a＞1，b＞1不一定成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故C正确；对于D：当“”时，“”，当“”时，“x＝或（k∈Z）”，故“”充分不必要条件是“”，故D错误．故选：C．2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．解：由已知可得动点P的轨迹E为椭圆，焦点在x轴上，c＝4，2a＝10，所以a＝5故b2＝a2﹣c2＝9，故E的方程为：．故选：A．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．4解：对于①，f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义不相同，f'（x0）表示x在x0处的切线的斜率，而[f（x0）]'表示的是函数f（x0）的导数，故①错误；②求f'（x0）时，可先求f′（x）再求f'（x0），故②错误；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，可能有两个交点，故③正确；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线，不一定正确，例如过抛物线上的点且平行于对称轴的直线，不叫切线，故③错误；⑤函数＝的导数是，故④正确．故选：B．4．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．2160解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝10，a3+a4＝60，∴q2（a1+a2）＝10q2＝60，解得：q2＝6．则a7+a8＝q6（a1+a2）＝10×63＝2160．故选：D．5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2解：∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，由f′（x0）＝2，得lnx0+1＝2，即lnx0＝1，则x0＝e，故选：B．6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝解：由抛物线的方程可得焦点F（0，），半径r＝，由题意＝，解得：p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，所以准线的方程为：y＝﹣1，故选：A．7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）解：根据题意，曲线y＝e x，则y′＝e x，在点P（x0，y0）处切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），即y﹣＝（x﹣x0），变形可得：y＝x+（1﹣x0），其在y轴上的截距为（1﹣x0），若该切线在y轴上的截距小于0，则有（1﹣x0）＜0，解可得：x0＞1，则x0的取值范围是（1，+∞）；故选：C．8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝10+．当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，（a+b）min＝16．若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则﹣x2+4x+18﹣m≤16，即m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，∵﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6≤6，∴m≥6．∴实数m的取值范围是[6，+∞）．故选：D．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤解：对于A：若a＜b，c＜0，则ac＞bc，故A正确；对于B：当a为正数时，才成立，故B错误；对于C：由于a＜b＜0，所以，故，故C正确，对于D：根据平方平均值和算数平均值的关系，≥0，所以，故D正确；故选：ACD．10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为7解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，可知a＝1，b＝，c＝2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，如果P在双曲线左支上，则|PF2|＝7，然后P在右支上，则|PF2|＝3，双曲线的离心率为：e＝2，虚轴长为2，故选：BCD．11．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣6解：点P（0，1，2）到平面α的距离，即在平面α的法向量上的投影的绝对值，，平面α的法向量为，则，即，解得x＝2或x＝﹣6．故选：AD．12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4解：x＞0，y＞0，且2x+y＝2，由基本不等式得，2＝2x+y，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，解得，xy，此时xy取得最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝4﹣4xy≥4﹣2＝2，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x2+y2的最小值2，B错误；4x+2y＝＝4，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x+2y的最小值4，C正确；＝＝2＝4，当且仅当且2x+y＝2即x＝y＝时取等号，此时取得最小值4，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于﹣4．解：根据题意，f（x）＝x2+2xf'（1），则f′（x）＝2x+2f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+2f'（1），解可得f′（1）＝﹣2，则f′（x）＝2x﹣4，则f′（0）＝﹣4；故答案为：﹣4．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝8．解：抛物线y2＝4x（p＞0）中p＝2，∵x1+x2＝6，∴由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|+|QF|＝x1++x2 +＝（x1+x2）+p＝6+2＝8，故答案为：8．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝1．解：由题意可得，y1′＝，y2′＝3x2﹣2x+2设曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率分别为k1，k2由导数的几何意义可知，k1k2＝＝3，解得x0＝1故答案为：116．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为1，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为24．解：记△PF1F2的边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为K、N、D，易见M、D横坐标相等，|PK|＝|PN|，|F1K|＝|F1D|，|F2N|＝|F2D|，由|PF1|﹣|PF2|＝2a，即：|PK|+|KF1|﹣（|PN|+|NF2|）＝2a，得|KF1|﹣|NF2|＝2a即|F1D|﹣|F2D|＝2a，记M的横坐标为x0，则D（x0，0），于是：x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，双曲线的a＝1，b＝2，c＝3，所以M的横坐标为1；设M（1，r），而F1（﹣3，0），由题意可得|F1M|+r＝4，即有+r＝4，解得r＝，则tan∠MF1F2＝＝，可得∠MF1F2＝30°，即有∠PF1F2＝60°，cos∠PF1F2＝＝，解得|PK|＝12，所以△PF1F2的面积为S＝×6×16×＝24．故答案为：1，24．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．解：由p：|x﹣1|＜c（c＞0）得1﹣c＜x＜1+c；由q：|x﹣5|＞2得x＞7或x＜3，∵p是q的充分条件，则1+c≤3或1﹣c≥7，∴c≤2或c≤﹣6，又c＞0，∴0＜c≤2．∴c的取值范围是（0，2]．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，所以f′（x）＝1+，当x＝1时，f（1）＝1，f′（1）＝1＝1+1＝2，切点为（1，1），则切线方程y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．（2）因为f′（x）＝1+（x＞0），所以f′（2）＝1+＝2，解得a＝2，则f（x）＝x+2lnx，所以f（2）＝2+2ln2．则2+2ln2＝4+b，解得b＝2ln2﹣2．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：y＝＝（50≤x≤100）（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．解：a1＝1，（1）选择条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；则a n+1﹣a n＝2n﹣1，n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n﹣2．∴a n＝a1+（a2﹣a1）+……+a n﹣a n﹣1＝1+1+2+……+2n﹣2＝1+＝2n﹣1．n＝1时也成立，∴a n＝2n﹣1．选择条件②：S n+1＝a n+1．n≥2时，S n﹣1+1＝a n，相减可得：a n＝a n+1﹣a n，即a n+1＝2a n，n＝1时，a1+1＝a2＝2，∴a2＝2a1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝log2a2n+1＝+1＝2n，∴a n•b n＝2n•2n﹣1＝n•2n．∴数列{a n•b n}的前n项和T n＝2+2×22+3×23+……+n•2n，∴2T n＝2×2+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．解：（1）证明：连结PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点，又PB＝PD，∴BD⊥PG，又BD⊥AC，AC，PG⊂平面PAC，AC∩PG＝G，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：连结EG，∵PA＝PC，且G为AC的中点，∴PG⊥AC，又BD⊥AC，BD，PG⊂平面PBD，BD∩PG＝G，∴AC⊥平面PBD，∵EG⊂平面PBD，∴AC⊥EG，∴∠EGD是二面角E﹣AC﹣D的平面角，由题意PG＝DG＝，在Rt△PGD中，GE＝DE＝，∴tan∠EGD＝＝1，∵∠EGD∈（0，），∠EGD＝，∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．解：（1）根据题意可得＝，＝2，解得a2＝4，c2＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），所以过点A的直线方程为y＝k1（x+2），联立，得（1+2k12）x2+8k12x+8k12﹣4＝0，所以（﹣2）•x E＝，解得x E＝，所以y E＝k1（+2）＝，所以E（，），同理可得F（，），又因为k1＝3k2，所以F（，），由点E，F，P三点共线可得＝，即4k14+8k13+12k1﹣9＝0，所以（2k12+3）（2k12+4k1﹣3）＝0，所以2k12+4k1﹣3＝0，所以直线EF的斜率为＝＝＝1，所以直线EF的方程为y＝x+1．。
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。
江苏省连云港市2020-2021学年高二下学期期末数学试题
2020~2021学年第二学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若12i z a =+，234i z =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．38B ．83C ．3D ．82．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A ．6种B ．24种C ．64种D ．8l 种3．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则n 的值为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．204．已知加工某一零件共需两道工序，第1，2道工序的不合格品率分别为3%和5%，且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是（ ） A ．4.85%B ．7.85%C ．8.85%D ．1l.85%5．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()480.18P P ξξ≤=≥=，则()68P ξ<<=（ ）A ．0.12B ．0.22C ．0.32D ．0.426．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4） A ．563B ．583C ．20D ．217．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A ．216种 B ．240种C ．288种D ．384种8．的三棱柱111ABC A B C -，所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C 是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°．则球O 的表面积是（ ） A ．7π3B ．7π6C ．14π3D ．7π12二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．设1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（ ） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z = 10．在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则EF （ ） A ．与1BB 垂直B ．与BD 垂直C ．与11AC 异面D ．与CD 异面11．现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A ．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种 B ．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种 C ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种 D ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种12．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，π4CAD ∠=，π3BCD ∠=．现将Rt ACD 沿斜边AC 翻折成1D AC （1D 不在平面ABC 内）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD 翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．MN平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C --D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y bx a e =++（单位：亿元），其中0.8b =， 1.5a =，0.5e ≤．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元．14．若(4234012342x a a x a x a x a x =++++，则1234a a a a +++=________．15．已知复数1z ，2z 满足12z =，23z =，124z z -=，则12z z +=________．16．已知正方形ABCD 的边长为4，将ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到三棱锥B ACD -．若O 为AC 的中点，点M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =，则当点N 到平面ACD 的距离为________时，三棱锥N AMC -的体积取得最大值，且最大值是________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①2724i z =--，②()15i z z =-+，③1z z+是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 已知z 是虚数，且________，求z ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）（1）求60.996的近似值；（结果精确到0.001）（2）设a ∈Z ，且013a ≤<，若202151a +能被13整除，求a 的值．19．（本小题满分12分）如图，有一块正四棱柱的木料，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，4AB =，16BB =．（1）作出过B ，E ，F 的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长； （2）求点1B 到平面BEF 的距离．20．（本小题满分12分）为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示（单位：人）．（1）根据所选择的100个病人的数据，能否有95%的把握认为给药方式和药的效果有关？（2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD ，点E 在线段SB 上，30ASB ABS ∠=∠=︒，2AB AD =．（1）当E 为线段SB 的中点时，求证：平面DAE ⊥平面SBC ； （2）当4SB SE =时，求锐二面角C AE D --的余弦值．22．（本小题满分12分）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为12，且每次投篮的结果相互独立． （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X 的分布列与期望；（2）若参与者连续玩()*2n n ∈N 局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有n k =和1n k =+两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．高二数学参考答案及评分建议0627一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．AC 10．ABD 11．BCD 12．ACD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．10 14．88- 15 16 43（第一空2分，第二空3分） 四、解答题17．解：若选择①，设()i ,,0z a b a b R b =+∈≠，则()()2222i 2i 724i z a b a bab =+=-+=--由227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩解得34a b =-⎧⎨=⎩或34a b =⎧⎨=-⎩，5分所以34i z =-+或34i z =-，则5z =．10分若选择②，设()i ,,0z a b a b R b =+∈≠则())i 15i 15i z a b z =-=-+=+由15a b ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解得125a b =⎧⎨=-⎩，5分所以125i z =-，则13z =．10分 若选择③，设()i ,,0z a b a b R b =+∈≠，则2211ii a b z a b a b-==++ 2222221i a bi a b z a bi a b z a b a b a b -⎛⎫⎛⎫+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭是实数，则220b b a b -=+，5分 又0b ≠，所以221a b +=，则1z =．10分18．解：（1）①()()()61260126660.99610.0040.0040.004C C C =-=-++10.0240.00024=-++0.976≈ 6分（2）()20212021020********2019202012021202120212021202120215152152525252a a C C C C C a +=-+=-+++-+其中02021120202201920201202120212021202152525252C C C C -+++能被13整除，10分只需20212021C a -+能被13整除，由013a ≤<，得10a -=，故1a =．12分19．解：（1）连接AC ，过点B 作直线MN ，分别交直线DC ，DA 的延长线于N ，M 两点，连接EM ，FN 分别交1AA ，1CC 与P ，Q 两点，连接PB ，BQ ，则五边形EPBQF 为所求截面 3分 在正方形1111A B C D中，1112EF A C ==在Rt AMB 中，45AMB DAC ∠=∠=︒，45ABM ∠=︒，故，4AM AB ==，由1AMP A EP ∽，故1112A P A E PA AM ==，故12A P =，4AP =，故PE ==PB == 5分同理，可求得FQ =BQ =EPBQF周长为：EF EP PB BQ QF ++++=则截面周长为 6分（2）分别取AD ，DC 的中点R ，T ，连接ER ，FT ，在Rt ABR中，BR =在Rt ERB，BE =BF =求得等腰EBF的面积为EBFS=1EB F 的面积为16EB FS= 9分设1B 到平面BEF 的距离为h ，由11B EBF B EB F V V --=，得111133EBFEB FS h S BB=，故11EB FEBFSBBh S===1B 到平面BEF 的距离为 12分 （本题第（2）问，也可以利用“综合法”或者“向量法”求出结果） 20．解：（1）提出假设0H ：给药方式和药的效果无关，由表格数据得：()2210040203010100 3.8417030505021K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，4分因为当0H 成立时，2 3.841K ≥的概率约为0.05，所以，我们有95%的把握认为给药方式和药的效果有关．6分（2）依题意，从样本的注射病人（50人）中按分层抽样的方法取出的5人中， 有效的305350⨯=人，无效的有2人，记抽取的3人中有i 人有效的为事件()2,3i A i =， 则()2132235320.610C C P A C ⨯===；8分 ()3333510.110C P A C === 10分因为1A 和2A 互斥，所以抽取的这3个病人中至少有2人有效的概率为()()()22230.60.10.7P A A P A P A +=+=+=．答：其中至少2个病人有效的概率为0.7．12分21．解（1）∵四棱锥S ABCD -的底面是矩形，∴AD AB ⊥， 又∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD BS ⊥，2分∵ASB ABS ∠=∠，∴AS AB =，又E 为BS 的中点，∴AE BS ⊥， 又ADAE A =，∴BS ⊥平面DAE ，4分∵BS ⊂平面SBC ，∴平面DAE ⊥平面SBC ．5分（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -，6分设24AB AD a ==，14SE SB =， ∴()0,0,0A ，()0,4,0B a ，()0,4,2C a a ，()0,0,2D a，(),2,0S a -，(),6,0SB a =-,,02a E ⎫-⎪⎪⎝⎭，则()0,4,2AC a a =，3,,022a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2AD a = 设平面CAE 的法向量为(),,n x y z =，∴0,0,nAC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即420,0,2ay az ay +=⎧-=令1x =，则y =z =-， ∴(1,33,n =-是平面CAE 的一个法向量，9分 设平面DAE 的法向量为(),,n x y z ''''=，∴0,0,n AD n AE⎧'⋅=⎪⎨'⎪⋅=⎩即20,0,2az ay =⎧-=得()1,33,0n '= 10分∴28cos ,28n n n n n n '⋅'==='⋅ ∴锐二面角C AE D -- 12分 22．解：（1）由题意知1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()303110C 28P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2131131228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231132C 228P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33311328P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，4分所以X 的分布列为()322E X =⨯=．6分（不列表不扣分，分布列每对1个，得1分） （2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为311882+=，得1分的概率为131882+=，若选择n k =，此时要能获得大奖，则需2k 次游戏的总得分大于4k ， 设2k 局游戏中，得3分的局数为m ，则()324m k m k +->，即m k >． 易知1~2,2m B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故此时获大奖的概率()11222122122211111C C C 22222k k k k kk k kk k k P P m k +-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=⨯⨯+⨯⨯++⨯ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21222221CCC 2kk k k kkk++⎛⎫=+++⨯ ⎪⎝⎭()2012222211C C C C 22kk kk k k k ⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎝⎭()22211222kk k k C ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭221122k k k C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭9分同理可以求出当1n k =+，获大奖的概率为122222C 1122k k k P +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭10分因为()()()()()()()()()()2222112222222!C 4!!41214C 2122!C C 22212121!1!k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++====>++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以122222222k k k k k k C C +++>，则12P P < 答：甲选择1n k =+时，获奖的概率更大．12分。
扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.82.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+C.a b c-++D.a b c+-r r r3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13C.19D.1184.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.85.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.7156.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.2D.37.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.6B.3C.3D.68.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a =C.()56a a b⊥+D.a 与b夹角的余弦值为6-10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ<B.12()()E E ξξ>C.12()()D D ξξ<D.12()()D D ξξ>11.已知)66016xa a x a x -=+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.)251236360a a a++++= 12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D.设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P0.2a0.514.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.15.若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.16.已知函数()e ln xaf x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n n A A =，求正整数n .18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .19.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．20.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA =，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ 是否为定值？若是定值，求OQ 的值；若不是，请说明理由．22.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34ea ≥，证明：()0f x <.江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.8【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为236⨯=种.故选：C2.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+ C.a b c-++ D.a b c+-r r r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得111A B A A AB C C CB CA a b c =+=+-=-+-，故选：A.3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13 C.19 D.118【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】因为两个独立事件A 和B ，所以()()()P AB P A P B =⋅,(()(),P AB P A P B =()()(),P AB P A P B =结合1()()()(),()()9P A P B P A P B P A P B ==,()1(),P A P A =-()1(P B P B =-即可求出答案.【详解】由题设条件可得,1()()((),(()9P A P B P A P B P A P B ==,又()1()()1()P A P A P B P B =-=-且,解得1(()3P A P B ==.所以2()1(3P A P A =-=.故选：A.4.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.8【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a ，b 的值，列出方程求出m .【详解】2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为2m m C ，故2m ma C =，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为21m m C +或121m m C ++，两者相等，不妨令21m m b C +=，则有221158m mm m C C +=，解得：7m =.故选：C5.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.715【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是131********⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1B.1C.2D.3【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用2POF V 为等边三角形，构造焦点三角形12F PF ，根据几何关系以及椭圆定义，得到,a c 的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接1F P，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-=-=，故可得：3131c a ==+．故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.336B.33C.33D.36【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，进而可求直线1AD 与平面BDE 所成角.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB = ，()0,2,1DE = ，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z=，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.8.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b<< B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2(3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()xf x x=，则222ln 3(33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xtx =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln tt x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a=--，()3,4,5b=，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a = C.()56a a b⊥+ D.a 与b夹角的余弦值为6-【9题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A 选项：2(1,2,7)ab +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B选项：55a ====，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b += ，6)281191350a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D选项：a ==，b == 6455a b ⋅=--+=-所以c 6os ,a b a b a b⋅===-，故D 正确；故选：BCD.10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ< B.12()()E E ξξ> C.12()()D D ξξ< D.12()()D D ξξ>【10题答案】【答案】AC 【解析】【分析】由已知得12102p p <<<，2111112p p <-<-<，由期望公式求出1122(),()E p E p ξξ==，再根据方差公式求出12,()()D D ξξ，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，又()()1111101E p p p ξ=⨯+⨯-=，2222101E p p p ξ=⨯+⨯-=（）（），∴12()()E E ξξ<,又()()()()2221111111101D p p p p p p ξ=-+--=-，()()()()2222222222101D p p p p p p ξ=-+--=-，所以()()()()()22121122211210D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<，所以12()()D D ξξ<．故选：AC.11.已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.25123636a a a ++++= 【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为61606r r r r TC x r r N-+=-≤≤∈(),,对于A ，令0x =，得608a ==，则20log 3a =，A 正确．对于B ，016,,a a a ⋯这7个数中，当r 为偶数时，对应0246,,,a a a a 为有理数，B 错误．对于C ，()33336C1a=-=-C 正确．对于D ，对)66016x a a x a x=+++ 两边同时求导，得)55126626x a a x a x --=+++ ，令x =251236360a a a ++++= ，D 正确．故选：ACD12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB+是定值4D.设OMN OABS S λ=△△，则2λ≥【12题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用弦长公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线2C 的焦点为()0,1F ，若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，则124x x =-，121212121164y y x x k k x x ===-，A 对；对于B 选项，设10k >，则20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =，不妨设点A在第三象限，则A ⎛⎫ ⎝，设点B在第四象限，同理可得B ⎛⎫，点B 到直线OA 的距离为d =，OA =，所以，1111122112122OABk k S OA d k k +=⋅==+△，B 对；对于C 选项，()()22221222221212414133241414141k k OA OB k k k k +++=+=++++++()()()()2222121222221212344234422254424141k k k k k k kk ++++=+=+=++++，C 错；对于D 选项，1214OMN OABOM ONx x S S OB OA ⋅===⋅△2≥=，当且仅当112k=±时，等号成立，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P 0.2a 0.5【13题答案】【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数a ，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，()()()1231P X P X P X =+=+==，可解得0.3a =，故()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：2.314.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.【14题答案】【解析】【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA ===，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =.15.若(2)(0)n a x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为___________.【15题答案】【答案】(,104【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n 的值，再求出第r +1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2)n ax -的展开式中各项的二项式系数之和为256，则2256n =，解得8n =，(2)n a x -的展开式中第r +1项的系数为88(1)(2)C r r r a --⋅，N,8r r ∈≤，而0a >，则当r 为奇数时，第r +1项的系数为负，当r 为偶数时，第r +1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：446288442688(2)C (2)C (2)C (2)C a a a a ⎧>⎨>⎩，化简整理得：215108a <<，解得104a <<，所以a的取值范围为,)104.故答案为：,)104【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16.已知函数()e ln x a f x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．【16题答案】【答案】①.(e 1)1y x =--②.e 【解析】【分析】求导，代入1x =求出(1)e 1f '=-，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到e a x x ≤，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a 的最大值.【详解】由题意当1a=时，()e ln 2x f x x x =+-，1()e 2xf x x'=+-，则(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为(e 1)1y x =--．因为(1,),()0x f x ∈+∞≥，即e ln 0x a a x x x +--≥，则ln ln e e a a x x x x -≥-，令()ln ,1m t t t t =->，故11()10tm t t t-'=-=<，在(1,)+∞上恒成立，故()m t 在(1,)+∞上单调递减，故e a x x ≤，得ln a x x ≤，即ln x a x≤，记()(1)ln xx x x ϕ=>，则2ln 1()(1)ln x x x xϕ-'=>，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'<，当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故函数()ϕx 在(1,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，故()ϕx 的最小值是(e)e ϕ=，故e a ≤，即实数a 的最大值是e ．故答案为：(e 1)1y x =--；e .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n nA A =，求正整数n .【17题答案】【答案】（1）1；（2）8.【解析】【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）54888589272876547876518765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯；（2）∵33210n nA A =，∴2(21)(22)10(1)(2)⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-n n n n n n ，又3n ≥，化简得42510n n -=-，解得8n =.18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【18题答案】【答案】（1）2-（2）1094-（3）2187【解析】【分析】（1）分别令0x =、1x =可求得0a 、01234567+++++++a a a a a a a a 的值，即可求得1237a a a a ++++ 的值；（2）分别令1x =、1x =-，将所得两式作差可求得1357a a a a +++的值；（3）分析可知当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令1x =-可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-，①因此，()12372370102a a a a a a a a a a ++++++++=+-=- .【小问2详解】解：令1x =-可得70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--，②①-②可得13571218710942aa a a --+++==-.【小问3详解】解：()712x -的展开式通项为()()177C 2C 2k kk k kk Tx x+=⋅-=⋅-，则()7C 2kk ka=⋅-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <.所以，7012345601234567732187a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++==----.20.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【20题答案】【答案】（1）91100（2）910【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P 的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C ，则“这四次投球均未命中”是事件C 的对立事件，则()1199112225100P C =-⨯⨯=【小问2详解】依题意，29(1)25P -=，则25P =记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),()()2525P A P B P A P B ====甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，()()13302510P P AB ξ===⨯=，()()()13121125252P P AB P AB ξ==+=+=，()()1212255P P AB ξ===⨯=，则ξ的分布列为：ξ012P31012153119()012102510E ξ=⨯+⨯+⨯=22.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE⊥平面BCD ，得出CD ⊥AE ，再由CD ⊥EF 可得CD ⊥平面AEF ，即可得出平面ACD ⊥平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当0,cos y =θ最大，θ最小，即可得出此时点G 为BD 的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ，又因为BD⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ,设BC =4，则EA =，DF =FC =l ，E F 以{,,}EH EF EA为正交基底，建立如图空间直角坐标系E -xyz ,则(0,0,0),(0,0,(1,(1,E A C D -,设(1,,0)G y ，则(0,0,(1,EA AD ==- ,(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z →=,由1100n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)n y →=-，设平面ACD 的法向量为2222(,,)nx y z →=，则2200n CD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2222200x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n →=,设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ,则12cos |cos ,||n n →→=<>==θ，当0,cos y =θ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA = ，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:ly kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ是否为定值？若是定值，求OQ的值；若不是，请说明理由．【24题答案】【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，OQ =【解析】【分析】（1）设出点P 的坐标，进而根据3AB PA →→=求出它的坐标代入椭圆方程，再根据BF BP ⊥，结合斜率公式求得答案；（2）联立22184y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简，根据判别式为0得到k ,m 的关系，再联立()12y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩求出点Q 的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设()00,P x y ，易知()0,B b ，因为3AB PA →→=，所以()()002,32,b x y -=--，所以083x =，03b y =-．因为P 在椭圆C 上，所以22264991b a b+=，所以28a =．因为BF BP ⊥，所以12b b c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以22b c =．因为222a b c =+，所以28a =，224b c ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()222216412280k m k m ∆=-+-=，得2284m k =+．当0k =时，直线l 的方程为2y =±，OQ =当0k ≠时，直线AQ 的方程为()12y x k=--，联立方程组()12y x k y kx m⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，得Q 的坐标为2222,11km m k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()()222222222224111km m k m OQk k k -++=+=+++．因为2284m k =+，所以22284481k OQ ++==+，所以OQ =故OQ为定值，且OQ =．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.26.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34e a≥，证明：()0f x <.【26题答案】【答案】（1）1ey x =--（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得e ()ln xf x x x=-，即可得到()1f ，再求出函数的导函数，即可求出()1f '，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证2e ln 0x a x x x ->，令2e ()x a g x x=、ln ()x h x x=，,()0x ∈+∞，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】21解：当1a =时e ()ln x f x x x=-，所以()1e 1ln1e 1f =-=-，又()21e 1()x x f x x x -'=-，所以()11f '=，即切点为()1,e -，切线的斜率1k =，所以切线方程为()()e 11y x --=-，即1ey x =--【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，,()0x ∈+∞，所以3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min3e 4e 1()(2)4e 4e a g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，,()0x ∈+∞，所以21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)e h x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x->成立，所以()0f x <.。
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．433．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．45．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．127．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、多选题（每小题5分）.9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x 10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1三、填空题（每小题5分）.13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的充分条件，f（x）在（a，b）内是单调递增的，则对任意x∈（a，b），有f′（x）≥0，则甲是乙的不必要条件，故甲是乙的充分不必要条件，故选：A．2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．43解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34．故选：C．3．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sin x，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函数f（x）在内单调递增，在内单调递减．∴x＝时函数f（x）取得极大值即最大值．＝﹣＝．故选：B．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．4解：∵（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝8 ①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0 ②，则①+②，并除以2，可得a0+a2+a4+a6＝4，故选：D．5．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种．故选：B．6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．12解：∵a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a＝（52﹣1）2021+a＝×522021﹣×522020+522016+…+×52﹣+a能被13整除，∴﹣+a＝﹣1+a能被13整除，则a＝1，故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项D；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项A、B；故选：C．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：令g（x）＝f（x）•lnx（x＞0），所以g′（x）＝f′（x）lnx+，当x＞0时，有xlnx•f′（x）+f（x）＜0，得f′（x）lnx+＜0，则g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0m当x＞1时，f（x）lnx＜0，得f（x）＜0，当0＜x＜1时，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，因为f（x）为连续函数，且f（1）≠0，所以f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，又f（x）为定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，f（x）＞0，不等式（x2﹣4）f（x）＞0，即或，解得x＜﹣2或0＜x＜2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x解：直线的斜率为k＝，由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；由f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，而cos x＝有解，故C可以选；由f（x）＝e x的导数为f′（x）＝e x，而e x＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC解：∵＝，而＝•＝，故A错误；∵﹣＝（n+1）n（n﹣1）•••（n﹣m+1）﹣n（n﹣1）•••（n﹣m+1）＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1）[n+1﹣1]＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），n2＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故B正确；∵＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1），n＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C正确；n＝n，+k＝+k＝+＝，故D错误，故选：BC．11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项解：∵（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，∴4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5，故展开式中偶数项的二项式系数之和为＝24，故A错误．二项展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，展开式中，故当r＝2或3时，即第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误．故当r＝4时，展开式中第r+1项的系数•3r最大，即第五项得系数最大．由于（+3x2）n展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，故C正确．故当r＝2 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1解：因为f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x＝处，不是极值点，故A错误．所以对于∀x∈[0，π]，f（x）≤f（0）＝0，故B正确，令g（x）＝，g′（x）＝，由上可知，当x∈（0，π）时，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上是减函数，若0＜x1＜x2＜π所以，即，故C正确，当x＞0时，“”等价于“sin x﹣ax＞0”，令g（x）＝sin x﹣cx，g′（x）＝cos x﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）恒成立，当c≥1时，因为对∀∈（0，），g′（x）＝cos x﹣c＜0，所以g（x）在区间（0，）上单调递减，从而，g（x）＜g（0）＝0，对∀x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g（x0）＝cos x0﹣c＝0成立，若x∈（0，x0），g′（x0）＞0，g（x）在（0，x0）上单调递增，且g（x）＞g（0）＝0，若x∈（x0，），g′（x0）＜0，g（x）在（x0，）上单调递减，且g（x）＝sin x﹣cx＞0，在（x0，）上恒成立，必须使g（）＝sin﹣c＝1﹣≥0恒成立，即0＜c≤，综上所述，当c≤时，g（x）＞0，对任意x∈（0，）恒成立，当c≥1时，g（x）＜0，对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b，对x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为﹣21．解：（﹣3）7的展开式的通项．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣21．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．解：由已知f′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a），又a＞0，所以由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，所以f（x）在x＝2a处取得极小值0，即f（x）极小值＝f（2a）＝（2a）3﹣3a（2a）2+2a2＝﹣4a3+2a2＝0，又a＞0，解得a＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（0，）．解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2ax﹣2+＝，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝0有两个不相等的正实数根，即2ax2﹣2x+1＝0两个不相等的正实数根x1，x2，∴，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有480种不同的坐法．解：根据题意，分3步进行分析：①将甲乙两人安排在丙的同侧，有2A22＝4种安排方法，②将丁安排在三人的空位中，有4种安排方法，③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，有5C42＝30种安排方法，则有4×4×30＝480种安排方法，故答案为：480．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x2+3，定义域为（0，+∞），∴f'（x）＝﹣x＝，令f'（x）＞0，则0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，则x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）f（x），f'（x）在区间[，e]上随x的变化情况如下表：x（，1）1（1，e）ef'（x）+0﹣f（x）2﹣↑极大值↓4﹣e2∴f（x）max＝，f（x）min＝4﹣e2．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？解：（1）依题意，所有奇数的个数为＝36个；（2）数字1和3相邻的个数有＝36个；（3）比30124小的数的个数为：＝48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解：（Ⅰ）每个盒至少一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44＝24种不同的放法；（Ⅱ）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43＝144种不同的放法；（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C41＝4种情况，其它小球的放法只有2种，例如：4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为，（2，3，1），（3，1，2），共2种，故每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有2C41＝8种；（Ⅳ）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，C41＝4种选法，再将其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有C31＝3种选法，所以，总方法数为3×4＝12种．20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，解得n＝10．因为通项：T r+1＝•（﹣2）r•，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92•+…+910﹣1•＝＝＝．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝lnx+﹣．f′（x）＝﹣＝，∴f′（2）＝，f（2）＝ln2，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：y﹣ln2＝（x﹣2），整理为：x﹣4y+4ln2﹣2＝0．（2）证明：函数g（x）＝e x f（x）＝e x（lnx++a），x∈（0，+∞）．g′（x）＝e x（lnx+﹣+a），设h（x）＝lnx+﹣+a，∵∀x∈R，e x＞0，因此g′（x）与h（x）的符号相同．h′（x）＝﹣+＝，显然，当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．又h（1）＝0+2﹣1+a＝1+a＞0，h（）＝ln+4﹣4+a＝a﹣ln2＜0．（a∈（0，ln2）），∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0．对于g（x），则有x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．∴函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，x0∈（，1）．由h（x0）＝0，可得：lnx0+﹣+a＝0，解得a＝﹣lnx0﹣+，∴g（x0）＝（lnx0++﹣lnx0﹣）＝（﹣）＝，∵x0∈（，1），∴g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣ae x+a，所以f'（x）＝lnx+1﹣ae x，因为f（x）在定义域内是单调递减函数，则f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，若f'（x）≤0，则a≥，令G（x）＝（x＞0），得G′（x）＝，易知G'（1）＝0，且函数y＝−lnx−1在（0，+∞）上单调递减，当x＞0时，e x＞1，所以在区间（0，1）上，G'（x）＞0；在（1，+∞）上G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时G（x）的最大值为G（1）＝，所以当a≥时，f（x）在定义域上单调递减；即a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣e x+1，要证f（x）＜cos x，即证xlnx＜e x+cos x﹣1，当0＜x≤1时，xlnx≤0，而e x+cos x﹣1＞1+cos1﹣1＝cos1＞0，故xlnx＜e x+cos x﹣1成立，即f（x）＜cos x成立，当x＞1时，令h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1（x＞1），则h′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，设g（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1（x＞1），则g′（x）＝e x﹣cos x﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝e x﹣cos x﹣＞e﹣1﹣1＞0，故x＞1时，g（x）单调递增，故g（x）＞e﹣sin x﹣1＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，故h（x）＞e+cos1﹣1＞0，即f（x）＜cos x成立，综上：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．。
2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研(期中)数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题一、单选题1．若2C 36n =，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【分析】直接解组合数方程，即可求解.【详解】因为2C 36n =，所以()13621n n ⨯-=⨯，解得：n =9.故选：C2．下列求导数的运算中错误的是（ ） A ．(3x )′＝3x ln3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC ．cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭′＝2sin cos x x x x - D ．(sin x ·cos x )′＝cos2x 【答案】C【解析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项． 【详解】由指数函数求导法则得A 正确； 22221(ln )()ln (ln )2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x'''=+=+⨯=+，B 正确； 22cos (cos )cos sin cos x x x x x x x x x x x '''-⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，C 错误；11(sin cos )sin 2cos 22cos 222x x x x x '⎛⎫'⋅==⨯= ⎪⎝⎭，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键．3．现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ）A．模型一B．模型二C．模型三D．模型四【答案】D【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断.【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.故选:D4．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（）A．（34，34）B．（43，34）C．（34，43）D．（A43，A43）【答案】C【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.故选：C．5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )． 6．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为（ ）附：若随机变量()()2~,0X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈.A ．32B ．16C ．8D ．24【答案】B【分析】计算出()8090P X ≤<，乘以48即可得解.【详解】因为数学成绩X 服从正态分布()280,10N ，所以，90μσ=+，所以，()()()80900.341352P X P X P X μσμσμμσ-<<+≤<=≤<+=≈，因此，理论上说在80分到90分的人数约为480.3413516⨯≈. 故选：B.7．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A ．29B ．310 C ．13D ．710【答案】B【分析】设事件1A ：表示第1次取到黑球，事件2A ：表示第1次取到白球，事件B ：表示第2次取到黑球，结合12()(|)(|)P B P B A P B A =+，即可求解.【详解】设事件1A ：表示第1次取到黑球，事件2A ：表示第1次取到白球， 事件B ：表示第2次取到黑球，可得1237(),()1010P A P A ==， 则1232733()(|)(|)10910910P B P B A P B A =+=⨯+⨯=. 故选：B.8．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ） A ．49 B ．48 C ．47 D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}， 而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题. 二、多选题9．下列诗句所描述的两个对象之间是相关关系的为（ ）A ．苏轼诗句 “粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华”，谈吐文雅程度与阅读量之间的关系B ．王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，落霞面积与鹜鸟飞行速度之间的关系C ．李隆基诗句“为知勤恤意，先此示年丰”，瑞雪的量与粮食产量之间的关系D ．李白诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，理想状态下自由落体的速度与下落距离之间的关系 【答案】AC【分析】直接利用相关关系的定义判断即可.【详解】通过对诗句的理解可判断选项A 和C 为相关关系，选项B 不是相关关系，选项D 中理想状态下自由下落的距离为212s gt =，与速度无关，选项D 不是相关关系， 故选：AC .10．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，5，6 B ．随机变量X 服从超几何分布 C ．()(04)P X P X ＝＝＝ D ．()1625D X =【答案】BD【分析】根据题意知随机变量X 服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公式即可求解.【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量X 服从超几何分布，故B 正确； 由题意可知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，故A 不正确；44104C 1(0)C 210P X ===；6341041C C 4(1)C 35P X ===；2264410C C 3(2)C 7P X ===6141043C C 8(3)C 21P X ===， 44106C 1(4)C 14P X ===.所以()(04)P X P X =≠=，故C 不正确； ()143818401234210357211435E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()2222284184484384884116012343521035353573521351425D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BD.11．若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2C ．a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35D ．a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝－1【答案】ACD【分析】用赋值法求系数的代数和． 【详解】由题意令0x =得01a =，A 正确； 令1x =得0151a a a +++=-，所以1252a a a +++=-，B 错；令1x =-得50123453a a a a a a -+-+-=，C 正确；由题意024,,a a a 均为正，135,,a a a 均为负，因此a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|0123451a a a a a a =+++++=-，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f (x )＝x ln(1＋x )，则（ ） A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增 B ．f (x )有两个零点C ．(0，0)是f (x )的极小值点D ．若方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，则x 1＋x 2＞0 【答案】AD【分析】求出导函数()'f x ，由()'f x 的正负确定函数的单调性，极值点，零点，判断ABC ，在讨论过程中得出0m >时，()f x m =有两个不同的实数解12,x x ，不妨设 1210x x -<<<，然后构造函数()()(),(10)F x f x f x x =---<<，利用导数确定单调性得出1()0F x >，结合()f x 单调性可得结论从而判断D ． 【详解】()f x 的定义域是(1,)-+∞， )ln(1)1(xx f xx =+'++1ln(1)11x x =++-+，0x >时，11x +>，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是单调递增，A 正确； 设1()ln(1)11g x x x=++-+，则211()1(1)g x x x '=+++，1x >-时，()0g x '>恒成立，()g x 即()'f x 是增函数，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<，0x >时，()0f x '>，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增，所以0x =是函数的极小值点．极小值点是一个数，不是点，C 错；由于(0)0f =是极小值，因此()f x 只有一个零点0x =，B 错；由以上讨论知0m >时，()ln(1)f x x x m =+=有两个不同的实数解12,x x ，不妨设12x x <， 则1210x x -<<<，设()()()F x f x f x =--（10x -<<）， 则11()()()ln(1)1ln(1)111F x f x f x x x x x'''=+-=++-+-+-+-222ln(1)21x x =-+--，10x -<<，则201x <<，2011x <-<，所以()0F x '<，()F x 是减函数，所以1()(0)0F x F >=，即11()()0f x f x -->，所以211()()()f x f x f x =>-，又10x ->，20x >，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以21x x >-，即120x x +>，D 正确． 故选：AD ．【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，在证明方程的解有关的不等式120x x +>时，关键是构造新函数，利用单调性得出11()()f x f x >-，目的是得出21()()f x f x >-，再由函数单调性得出12,x x 的关系．本题对学生的逻辑思维能力、转化与化归能力要求较高，属于难题． 三、填空题13．《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以．．．命制_________个名字. 【答案】22【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有24种不同命名分式，即可求解.【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有4424A =种不同命名分式，所以还可以命制24222-=个名字. 故答案为：22.14．设随机试验的结果只有A 发生和A 不发生，令随机变量10A X A ⎧=⎨⎩，发生，不发生，若P (X＝1)＝2P (X ＝0)，则P (A )等于_______. 【答案】23【分析】根据概率的性质求出()1P X =，再根据()()1P A P X ==即可得解. 【详解】解：因为P (X ＝1)＝2P (X ＝0)， 则()()()10301P X P X P X =+====，所以()103P X ==，所以()()213P A P X ===. 故答案为：23.15．若方程x －m ＝e x 在区间[0，1]有且只有一解，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[1e,1]--【分析】方程变形为e x m x =-，引入函数()e x f x x =-，[0,1]x ∈，由导数得单调性，得最值，从而得参数范围． 【详解】已知方程化为e x m x =-，设()e x f x x =-，[0,1]x ∈，则()1e 0x f x '=-≤，()f x 在[0,1]上单调递减，(0)1f =-，(1)1e f =-，所以1e 1m -≤≤-． 故答案为：[1e,1]--．16．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围为_______. 【答案】10<2p <【分析】求出随机变量X 的分布列，可得期望，进而可根据E (X )＞1.75解得. 【详解】有题意知()()()()()21,21,31,P X p P X p p P X p ====-==-所以()()()22131>1.75E X p p p p =+-+-，解得52p >或2p 1<，由()0,1p ∈，所以10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭.故答案为：10<2p < 四、解答题17．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目两两互不相邻，有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法? 【答案】(1)14400 (2)37440【分析】（1）先在除去开始和结尾的位置选3个位置排舞蹈节目,再排5个演唱节目即可；（2）将8个节目全排,再减去前四个节目没有舞蹈节目的排法，即可得解.【详解】(1)先排5个演唱节目有55A 种方法种数，再把3个舞蹈节目用插空法排在演唱节目的首尾或之间，由36A 种方法种数，所以一共有5356A A 12012014400⋅=⨯=种.(2)前四个节目要有舞蹈节目，有853854A A A 403202412037440-⋅=-⨯=18．已知函数()sin f x x ax+b -＝ (a ，b ∈R)的图象在点()()00f ，处的切线方程为y ＝1. (1)实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[0]1，上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为sin11b -+.【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】(1)因为函数()sin f x x ax+b -＝，则()cos f x x a '-＝. 所以()0cos01f a a '-=-＝.又函数()f x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， 所以()010f a '=-=，解得：1a =.(2)由（1）知，()sin f x x x+b -＝，()cos 1f x x '-＝.在]1[0x ∈，时，有()cos 10f x x '-≤＝，所以函数f (x )在区间[0]1，上单减， 所以()()max 0f x f b ==，()()min sin111f b x f ==-+.19．已知1+22nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中前三项的二项式系数之和等于79.(1)求正整数n 的值；(2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)12 (2)1016896x【分析】（1）根据题意得到012(1)C C C 1792n n n n n n -++=++=且n *∈N ，即可求得n 的值. （2）化简二项式为12121()(14)2x +，得到12(14)x +展开式的通项为112C 4r r r r T x +=⋅，设展开式的第1k +项的系数最大，列出不等式组，求得10k =，进而求得展开式中系数最大的项.【详解】(1)解：由题意，1+22nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，可得012(1)C C C 1792n n n n n n -++=++=且n *∈N ，解得12n =. (2)解：由（1）知，二项式12121211+2()(14)22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则12(14)x +展开式的通项为11212C (4)C 4r r r r rr T x x +==⋅，设展开式的第1k +项的系数最大，则111212111212C 4C 4C 4C 4k k k k k k k k --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 解得9.410.4k ≤≤，所以10k =，所以展开式中系数最大的项为121010101011121()C 4168962T x x =⋅⋅=，所以其展开式中系数最大的项为1016896x .20．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是23，13.设小球向左的次数为随机变量X .(1)求随机变量X 的概率分布列；(2)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)小球落入A 袋和B 袋中的概率分别为13和23【分析】（1）易得23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布可得出答案； （2）小球落入A 袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A 袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入B 袋的概率. 【详解】(1)解：由题意可知，23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，其中将向左的概率看成成功概率， 则()()3321C 0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，列表如下：P0 12 3 X1272949827(2)解：小球落入A 袋的概率()()()1813027273P A P X P X ==+==+=， 小球落入B 袋中的概率()12133P B =-=，所以小球落入A 袋和B 袋中的概率分别为13和23.21．2022年，受新冠疫情的影响，苏州学生基本上进行了居家线上学习，以保证安全与健康；然而随着居家时间越来越长，学生焦虑程度越强.经有关机构调查，得出居家周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表： 周数x 1 2 3 4 5 6 正常值y 556372809099(1)作出散点图；(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；(精确到0.01) (3)根据经验观测值为正常值的0.85~1.06为正常，1.06~1.12为轻度焦虑，1.12~1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑.小明同学在第7周时观测值为110，试预测小明同学的焦虑程度，并给小明同学一些建议.参考数据与公式：其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，611761i i i x y ==∑，2191ni i x ==∑，ˆˆa y bx =-. 【答案】(1)见解析 (2)ˆ8.8345.60yx =+ (3)小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯 【分析】（1）根据已知的数据直接描点即可，（2）先求出,x y ，然后根据已知的数据和公式求解即可， （3）将7x =代入回归方程中，求出y 的值，然后计算110y的值，再进行判断 【详解】(1)散点图如图(2)因为1(123456) 3.56x =⨯+++++=，1(556372809099)76.56x =⨯+++++=，611761i ii x y==∑，2191ni i x ==∑，所以6162221617616 3.576.5ˆ8.83916 3.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，所以ˆˆ76.58.83 3.545.60ay bx =-=-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程ˆ8.8345.60yx =+； (3)当7x =时，8.83745.60107.41y =⨯+=， 所以1101.02107.41≈ 因为0.85 1.02 1.06<<，所以小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯22．已知x ＝2是三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )的极值点，且直线3x ＋y －5＝0与曲线y ＝f (x )相切与点(1，f （1）). (1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若f (t )＝－1，f (s )＝5，求f (t ＋s )的值；(3)若对于任意实数x ，都有f (x 2－2x ＋4)＋f (x 2＋λx )＞4恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)3,0,4a b c =-==； (2)0 (3)26λ-<<【分析】（1）求出导函数()'f x ，由(2)0f '=，(1)3f '=-，(1)2f =可求得,,a b c ； （2）由导函数确定()f x 的单调性，极值，得出(,1)s -和(,5)t 都是()y f x =图象上唯一的点，证明()f x 的图象关于点(1,2)对称，由对称可得2s t +=，从而得函数值； （3）由对称性，把不等式化为22(24)(2)f x x f x x λ-+>--，再利用2243x x -+≥，(3)4f =，结合单调性、极值，即可转化为22242x x x x λ-+>--恒成立，由二次不等式知识可得．参数范围．【详解】(1)2()32f x x ax b '=++，在350x y +-=中令1x =得2y =，即(1)2f =， 所以(2)1240(1)323(1)12f a b f a b f a b c =++=⎧⎪=++=-⎨⎪=+++='⎩'，解得304a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩；(2)由（1）32()34f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上递增，在(0,2)上递减，极大值为(0)4f =，极小值为(2)0f =，()10f s =-<，()54f t =>，因此,s t 都是唯一的实数． (1)(1)f x f x ++-3232(1)3(1)4(1)3(1)4x x x x =+-+++---+2322321333(12)41333(12)4x x x x x x x x x x =+++-++++-+---++4=，所以()f x 的图象关于(1,2)对称，而()()4f s f t +=， 又(,1)s -和(,5)t 都是()y f x =图象上唯一的点， 所以2s t +=， ()(2)0f s t f +==；(3)2224(1)33x x x -+=-+≥，当且仅当1x =时，2243x x -+=，所以()()()224340f x x f f -+≥==，且3x ≤时，()4f x ≤，由f (x 2－2x ＋4)＋f (x 2＋λx )＞4恒成立，得22(24)4()f x x f x x λ-+>-+（）, 又()y f x =的图象关于点(1,2)对称，所以(2)4()f x f x -=-， 所以不等式（）为22(24)(2)f x x f x x λ-+>--，所以22242x x x x λ-+>--，所以22(2)20x x λ+-+>恒成立， 2(2)160λ∆=--<，所以26λ-<<．。
江苏省南京市2020-2021学年高二下学期期初数学试题(word版 含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“ ”的否定为（）
A． B．
C． D．
2．如图在平行六面体 中， 为 的中点，设 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．设 为数列 的前n项和， ，则 （）
A． B．
C． D．
8．已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选项正确的是（）
A． B．
3、裂项相消法求和，适用于能变形为 ；
4、分组转化法求和，适用于 ；
5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.
（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当 平面BEF时，求线段MN的最小值.
19．如图，已知椭圆 左､右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ， 为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若 ，求椭圆的离心率；
（2）若 ，求直线 的斜率 .
不等式 的解为 .
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
6．A
【分析】
用 表示出 ，计算 ，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形 是平行四边形，
,
,
,
,
，
即 .
故选：A
7．A
【分析】
江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期期初考试数学试卷 (含解析)
江苏省苏州中学2020-2021学年高二（下）期初考试数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（）A．120 B．60 C．160 D．804．“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜55．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A．3天B．4天C．5天D．6天7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（）A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．8二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．）9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（）A．2a+4b的最小值是B．ab的最小值是C．a2+4b2的最小值是D．的最小值是10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线C1的离心率为B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2C．双曲线C1的渐近线方程为D．11．定义H n＝为数列{a n}的“优值”．已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n，前n项和为S n，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．D．S2，S4，S6成等差数列12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R，三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为．14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是．15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为，椭圆的离心率为．四、解答题（共6小题，共70分．）17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB 交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．（1）将y表示成x的函数，并求定义域：（2）求△ADP面积的最大值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝，a n＝2﹣，n≥2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜1．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．江苏省苏州中学2020-2021学年高二（下）期初考试数学参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故选：B．2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a＞b＞﹣1，所以a+1＞b+1＞0，所以＜，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分条件；当＜时，①当a+1＞0，b+1＞0时，则0＜b+1＜a+1，所以﹣1＜b＜a；②当a+1＜0，b+1＞0时，则a+1＜b+1，则a＜b，所以“a＞b＞﹣1”是“＜”的不必要条件；故“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分不必要条件．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（）A．120 B．60 C．160 D．80解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝54，a11+a12+a13＝27，∴，解得a1＝，d＝，∴S16＝16×+＝120．故选：A．4．“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜5解：a＝0时，不等式为1＞0恒成立”，a≠0时，满足，解得0＜a＜4，此时不等式恒成立，综上知，“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的充要条件是0≤a＜4．所以“∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是选项C中0＜a＜3．故选：C．5．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．解：由椭圆C的离心率为，可得a＝2c，∵a2＝b2+c2，可得，再由abπ＝2，解得ab＝，所以a＝2，b＝，因椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为：，故选：A．6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（）A．3天B．4天C．5天D．6天解：大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为1，公比分别为2，．设两鼠穿透此墙至少在第n天，由题意可得：+＝10，化为：2n﹣2×﹣9＝0，令f（x）＝2x﹣21﹣x﹣9，则f（3）＝8﹣﹣9＝﹣＜0，f（4）＝16﹣﹣9＝＞0．∴两鼠穿透此墙至少在第4天．故选：B．7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（）A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x解：从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，可得P（，2），入射光线FP的斜率为，所以＝，解得p＝1或p＝﹣4（舍去），所以抛物线方程为：y2＝2x．故选：D．8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．8解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），由x∈（0，2]，可得e x∈（1，e2]，由t＝e x﹣e﹣x在x∈（0，2]递增，可得t∈（0，e2﹣e ﹣2]，存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，即存在x∈（0，2]，不等式（e2x+e﹣2x）﹣m•（e x﹣e﹣x）≤0即m≥成立，可得m≥，由＝t+≥2，当且仅当t＝∈（0，e2﹣e﹣2]，取得等号，即有m≥2，可得m≥4，即m的最小值为4．故选：B．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（）A．2a+4b的最小值是B．ab的最小值是C．a2+4b2的最小值是D．的最小值是解：选项A：2a+4b＝2a+22b，当且仅当2a＝22b，即a＝时取等号，此时2a+4b的最小值为2；故A正确，选项B：因为a+2b＝1，解得ab，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，此时ab的最大值为，故B错误，选项C：因为a+2b＝1，所以a2+4b2+4ab＝1，所以ab＝，解得a，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，故C正确，选项D：，当且仅当a＝b时取等号，此时的最小值为3+2，故D错误，故选：AC．10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线C1的离心率为B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2C．双曲线C1的渐近线方程为D．解：由题意可得2a＝2，即a＝1，抛物线的焦点F（2，0），即有c＝2，b＝＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝2，又抛物线的准线方程为x＝﹣2，联立解得，则|AF|+|BF|＝2×（3+2）＝10，故BC正确；AD错误．故选：BC．11．定义H n＝为数列{a n}的“优值”．已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n，前n项和为S n，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．D．S2，S4，S6成等差数列解：由题意，H n＝＝2n，即a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，又当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，两式相减得：2n﹣1a n＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，整理得a n＝n+1（n≥2），当n＝1时，a1＝1×2＝2适合上式，∴a n＝n+1，而a n+1﹣a n＝n+1+1﹣n﹣1＝1，则数列{a n}为等差数列，故A正确；不是常数，则数列{a n}不是等比数列，故B错误；，则，故C正确；S2＝5，，，则S2，S4，S6不是等差数列，故D错误．故选：AC．12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．∀x∈R，解：对于A，当x＝1.7时，3x＝5.1，则[3x]＝5，3[x]＝3，则[3x]＝3[x]+2，故A正确；对于B，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，故B正确；对于C，设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1），则[x+y]＝[[x]+a+[y]+b]＝[[x]+[y]+a+b]＝[x]+[y]+[a+b]，当a+b∈[0，1）时，[a+b]＝0，则[x+y]＝[x]+[y]；当a+b∈[1，2）时，[a+b]＝1，则[x+y]＝[x]+[y]+1≥[x]+[y]，故C错误；对于D，设[x]＝x﹣a，[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，当a∈[0，）时，a+∈[，1），则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝[2[x]+2a]，∵a∈[0，），∴2a∈[0，1），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＝[x]+[x+]，当a∈[，1）时，a+∈[1，），则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]＝[2[x]+2a]，∵a∈[，1），∴2a∈[1，2），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+1＝[x]+[x+]．故D正确．故选：ABD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．故答案为：∃x∈（2，+∞），x2≤4．14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是1．解：满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上．而|z﹣1+i|表示复数z在复平面内对应点Z到点A（1，﹣）的距离，∵OA＝＝2，∴|z﹣2i+3|的最小值是2﹣1＝1．故答案为：1．15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．解：点P在函数上，则|CP|＝，点Q在函数y＝3x2上，则，的|AQ|＝，∴|AQ|+|CP|＝≥2＝2，当且仅当，即a＝时取等号，由＞1知，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．故答案为：．16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为﹣，椭圆的离心率为．解：设P（m，n），则Q（﹣m，﹣n），设B（x0，y0），由题意可得＝（0，﹣2n），而，所以A（m，n），所以k QB＝k QA＝＝＝，而k BP＝，所以可得k BP•k QB＝•＝，因为P，B在椭圆上，所以，两式相减整理可得：＝﹣，即k BP•k QB＝﹣，可得k BP＝﹣•，因为BP⊥PQ，所以k BP•k PQ＝﹣1，即﹣•＝﹣1，所以＝，所以k BP•k QB＝﹣，离心率e＝＝＝＝＝，故答案分别为：﹣，．四、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：集合A＝{x||x﹣1|＜a}＝{x|1﹣a＜x＜a+1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝（﹣1，5），（1）当a＝3时，A＝（﹣2，4），故A∪B＝（﹣2，5）；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，则有，解得a≤2，故实数a的取值范围为a≤2．18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB 交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．（1）将y表示成x的函数，并求定义域：（2）求△ADP面积的最大值．解：因为AD＝x，所以AB＝10﹣x，又PD＝y，所以PC＝PA＝10﹣x﹣y，则在直角三角形ADP中，AP2＝AD2+DP2，即（10﹣x﹣y）2＝x2+y2，整理可得：y＝，令，解得0＜x＜5，即y＝，且函数的定义域为（0，5）；（2）△ADP面积为：S＝＝，令10﹣x＝t，则x＝10﹣t，所以S＝＝＝﹣（）≤75﹣2＝75﹣50．当且仅当t＝5，此时x＝10﹣5，△ADP面积的最大值：75﹣50．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，∵PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，∴PA∥平面MNC．（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB ＝1．∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），N（﹣，0，），M（0，0，0），C（﹣1，2，0），＝（﹣，0，），＝（﹣），＝（﹣1，2，0），设平面MNC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，），设AN与平面MNC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．解：（1）因为双曲线E：（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，可得a＝b，设双曲线的焦距为2c，c＞0，故c2＝a2+b2＝2a2，即c＝a，因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将xB＝c＝a代入双曲线的方程可得|y B|＝a，故|BC|＝2a，又三角形的面积为1+，即|BC|•|AF|＝×2a×（a+c）＝1+，解得a＝1，故双曲线的方程为x2﹣y2＝1；（2）由题意可得直线l：y＝kx﹣1与双曲线的左右两支交于M，N两点，联立，可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，所以1﹣k2≠0，△＝（2k）2﹣4（1﹣k2）（﹣2）＞0，解得﹣1＜k＜1，且x M+x N＝﹣，x M x N＝，所以|MN|＝＝|x M﹣x N|＝•＝•＝，联立可得x P＝，同理可得x Q＝，所以|PQ|＝|x P﹣x Q|＝•|﹣|＝，所以＝＝，其中﹣1＜k＜1，所以∈（1，]，21．已知数列{a n}满足a1＝，a n＝2﹣，n≥2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵a n＝2﹣＝（n≥2），∴a n﹣1＝﹣1＝，∴＝＝+1（n≥2），∴﹣＝1，又a1＝，∴＝2，∴数列是以首项为2，公差为1的等差数列，∴＝2+（n﹣1）×1＝n+1，则a n＝．即数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）c n＝＝＝2（﹣）•＝2（﹣），∴数列{c n}的前n项和为T n＝2[﹣+﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]，∵0＜≤，﹣≤﹣＜0，≤﹣，∴≤T n＜1．22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y ﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y ﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．。
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第二学期期初考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线35y x x =-相切且过原点的直线的斜率为（ ） A ．2B ．-5C ．-1D ．-22．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，则8a 的值是（ ） A ．4B ．16C ．2D ．83．已知复数z 满足+=z ii z，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --4．已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.4)ξB ，则()ηE ，()ηD 分别是（ ） A ．4和2.4B ．2和2.4C ．6和2.4D ．4和5.65．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．86．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10B ．24C ．32D ．567．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．28．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（ ） A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列10．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则423AB =. 12．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。
13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.15．若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________. 16．已知函数()()2ln pf x px x f x x=--，若在定义域内为单调递增函数，则实数p 的最小值为_________；若p >0，在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()002ef x x >成立，则实数p 的取值范围为_________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。
请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d ≠，且8a 是5a 与13a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()11n n n b n N a a *+=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车4S 店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问（1）求A 型、B 型、C 型各车型汽车抽取的数目；（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S 店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系？请说明原因．（参考公式：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ）附表：19．(本小题满分12分)设函数2()(ln 1)f x x a x =-+.（1）当1a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当2e a >时，判断函数()f x 在区间⎛ ⎝是否存在零点？并证明.20．(本小题满分12分)甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25. （1）求甲对以4:3获胜的概率；（2）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望.21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r. （1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.22．(本小题满分12分)已知函数()ln (2)(f x x a x a =+-是常数），此函数对应的曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求a 的值，并求()f x 的最大值； （2）设0m >，函数()31,(1,2)3g x mx mx x =-∈，若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()0f x g x -= ，求实数m 的取值范围.高二数学参考答案及评分建议一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线35y x x =-相切且过原点的直线的斜率为（ ） A ．2 B ．-5C ．-1D ．-2【答案】B2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，则8a 的值是（ ） A ．4 B ．16C ．2D ．8【答案】D 3．已知复数z 满足+=z ii z，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】A4．已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.4)ξB ，则()ηE ，()ηD 分别是（ ） A ．4和2.4 B ．2和2.4 C ．6和2.4 D ．4和5.6【答案】A5．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．8【答案】C 6．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D7．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．2【答案】B8．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．D ．【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（ ） A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD10．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点 【答案】BD11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =【答案】BD12．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。