高二数学导数知识点总结及习题练习

高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

(1)曲线yf(x)在x x处的切线的斜率等于f(x0)，切线方程为

0 y f(x)(xx)f(x)

000

(2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f x。反之，不成立。

()0

(3)对于可导函数f(x)，不等式f(x)0（0）的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。

(4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：xIf(x)0(0)恒成立

(5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程

fx在区间I上有实根且为非二重根。（若f(x)为二次函数且I=R，则有0）。

()0

(6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或

fx0在I上恒成立

()

(7)若xI，f(x)0恒成立，则f x0;若xI，f(x)0恒成立，则

()

min f(x)0

max

(8)若x0I，使得f(x)0，则f(x)max0；若x0I，使得

0 f x0，则f(x)min0. ()

(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若xDf(x)g(x)恒成立则有f(x)g(x)0

min

(10)若对x1I1、x I，

22 f(x)g(x)恒成立，则

12

f xgx.

()()

minmax

若对x1I1，x2I2，使得f xgx,则

()()

12 f xgx.

()()

minmin

若对xI，x

2I2，使得

11 f xgx，则f(x)max g(x)max. ()()

12

（11）已知f(x)在区间I上的值域为A,，g(x)在区间

1 I上值域为B，2

若对x I,

11 x I，使得f(x1)=

22

g(x)成立，则AB。

2

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根x1、x2，且极大值大

于0，极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:

x

①lnxx1(x0)②ln（x+1）x(x1)③e1x

x

④e1x⑤ln1(1)

xx

x

x12 ⑥l nx11

22

x22x

(x0)

考点一：导数几何意义：角度一求切线方程

1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′3

过曲线y＝x 上一点P(a，b)的切线方程为() π

，f′(x)是f(x)的导函数，则4

A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

解析：选A由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′ππ

＝3－2sin 42

π

32322

＋2cos2＝1.由y＝x上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a

得y′＝3x，过曲线y＝x＝3×1＝3.又b

＝a

3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.

角度二求切点坐标

2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则

点P0的坐标是()

A．(0,1)B．(1，－1)

C．(1,3)D．(1,0)

3

解析：选

C由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0

x

的坐标是(1,3)．

角度三求参数的值

1

2＋mx＋7

3．已知f(x)＝lnx，g(x)＝2(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)

2x

图像的切点为(1，f(1))，则m等于()

A．－1B．－3

C．－4D．－2

1

解析：选

D∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为

y

x

＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为

(x0，y0)，

1 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝2x

7

2

0＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2，故选

D.

2

考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。

2－e x试判断f(x)的单调性并给予证明．

[典例1]已知函数f(x)＝x

解：f(x)＝x

2－e x，f(x)在R上单调递减，

x，只要证明f′(x)≤0恒成立即可．设g(x)＝f′(x)＝2x－e x，则g′(x)＝2－e x，

f′(x)＝2x－e

当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0. ∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2<0，∴f′(x)<0恒成立，∴f(x)在R上单调递减．

[典例2](2012北·京高考改编)已知函数f(x)＝ax

2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．

(2)当a

2＋b，[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x

f1＝a＋1＝c，

g1＝1＋b＝c，解得a＝b＝3.由已知可得