二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵优秀教学设计
二阶行列式与逆矩阵【教学目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵【教学重难点】1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵2．运用行列式求逆矩阵【教学过程】一、行列式与矩阵行列式：我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a bc d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。
计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。
矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。
二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。
则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a bA ad bc c d ==-≠。
当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 三、典例剖析设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。
判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围。
四、课堂练习展开下列行列式，并化简（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779矩阵00a d 可逆的条件为 。
行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。
若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。
2阶矩阵的逆矩阵公式
2阶矩阵的逆矩阵公式在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵可以将其乘以逆矩阵得到单位矩阵。
对于2阶矩阵，我们可以使用一个简单的公式来计算其逆矩阵。
让我们来看看这个公式以及如何使用它来计算逆矩阵。
假设我们有一个2阶矩阵A，它的形式如下：A = [a b][c d]其中a、b、c和d是矩阵A的元素。
要计算A的逆矩阵，我们可以使用下面的公式：A的逆矩阵 = (1/行列式值) * [d -b][-c a]其中行列式值是矩阵A的行列式。
为了计算行列式值，我们可以使用下面的公式：行列式值 = ad - bc现在，让我们举一个例子来说明如何使用这个公式来计算逆矩阵。
假设我们有一个2阶矩阵A，它的元素如下：A = [2 3][1 4]我们需要计算行列式值：行列式值 = (2*4) - (3*1) = 8 - 3 = 5接下来，我们可以使用这个行列式值来计算逆矩阵：A的逆矩阵 = (1/5) * [4 -3][-1 2]我们可以将矩阵A和它的逆矩阵相乘，以验证结果是否为单位矩阵：A * A的逆矩阵 = [2 3] * [4 -3] = [1 0][1 4] [-1 2]我们可以看到，结果是单位矩阵，证明我们计算的逆矩阵是正确的。
通过这个简单的公式，我们可以轻松地计算2阶矩阵的逆矩阵。
然而，对于更高阶的矩阵，计算逆矩阵会更加复杂。
在这种情况下，我们通常会使用其他方法，如高斯消元法或LU分解。
逆矩阵在许多领域中都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。
它可以帮助我们找到矩阵的解，从而解决实际问题。
掌握计算逆矩阵的方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
总结一下，2阶矩阵的逆矩阵可以使用一个简单的公式来计算。
通过计算矩阵的行列式值和使用逆矩阵公式，我们可以轻松地得到逆矩阵。
逆矩阵在解决线性方程组和其他相关问题时非常有用。
对于更高阶的矩阵，我们可以使用其他方法来计算逆矩阵。
掌握逆矩阵的概念和计算方法对于理解线性代数的基本原理至关重要。
人教A版高中数学选修4-2 第三讲 二 二阶行列式与逆矩阵 课件(共23张PPT)
是否可逆?若可逆,求
17 解：det A = 2 －1 =－15≠0,
∴矩阵A 可逆.
17
A－1=
15 15 2 －1 15 15
5.当k去何值时, 矩阵
1 2－k
k 1
可逆?
解：∵
det A =
1 2－k
k =k2－2k+1
1
=(k－1)2=0
∴当k≠1时，矩阵A可逆.
课堂小结
ab
1.若矩阵A=
无解.
∴矩阵A的对角线上的数相乘再相减不等于0 例2中A的对角线上的数相乘再相减等于0.
设A= a b ,是否当ad－bc≠0时, A可逆; cd
当ad－bc=0时, A不可逆.
解: 设A是可逆的,逆矩阵B= x y uv
则有AB=BA=E2.
= 即： x y a b
cd
ab cd
a b 称为二阶矩阵A的行列式,
c d 记：det A 或 A
当det A=ad－bc≠0时,由
ax + cy = 1, bx + dy = 0, 消元法 ∴ au + cv = 0, bu + dv = 1.
(ad－bc)x = d , (ad－bc) y =－b, (ad－bc)u =－c , (ad－bc)v = a.
难点： 用变换的观点认识解二元一次方
程组的意义,并会用系数矩阵的逆矩 阵解系数矩阵可逆的二元一次方程 组
设A= 1 2 ,则A可逆么?若可逆, 20
求逆矩阵. ab
解： 假设A可逆,逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即： 1 2 a b = a b 1 2 = 1 0 20 cd cd 20 01
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目的熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法重点与难点重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念教学内容一、概念的引入逆矩阵: 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得: AB=BA=E 。
则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。
定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则说矩阵A是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A.,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B. ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====∆则设唯一性 .. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A所以0≠A定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*11A AA =-其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A AA A A ==**11所以有逆矩阵的定义，既有*11A AA=-当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B证1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是111*)()(---=====AE A AB A B A A EB B 方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()()1111----=ABB A AB AB1-=AEA ,1E AA==-().111---=∴A B AB例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵解023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在2.11=A6.21=A 4.31-=A3.12-=A 6.22-=A 532=A2.13=A 2.23=A 2.33-=A于是.A 的伴随矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-111253232311.*1A A A注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；3.利用公式*11A AA =-，求1.-A 三、逆矩阵的运算性质;1, 1. 1AA A -=则可逆若;)(, , 2.111A A A A -=--且也可逆则可逆若;)()(, 则 , 3.11T T T A A A A --=且也可逆可逆若证明：()()TTTA A AA 11--=ΘTE=,E =()().11TT A A--=∴().,,0,10kkAAE A A --==≠定义时当另外()为正整数k有为整数时当,,,0μλ≠A().λμμλA A =;1)( 0 4.11--=≠A kkA kA k A 也可逆，且，则可逆，数若 ;)( 5.111---=A B AB AB B A 且也可逆，为同阶可逆矩阵，则，若;)( ,,, 111211211----=A A A A A A A A s s s ΛΛΛ则为同阶可逆阵若Ⅴ.小结与提问小结：、逆矩阵及其求法、 提问：求逆矩阵应注意什么？。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵现代数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广泛用于线性代数、微积分、概率论等领域。
矩阵的两个重要性质是行列式和逆矩阵。
本文将重点探讨矩阵的行列式和逆矩阵，并解释它们的概念、计算方法以及应用场景。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个数值，可以通过矩阵中元素的运算得到。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，计算方式如下：|A| = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 + ... + a1n·A1n，其中a11、a12、a13等表示矩阵A第一行各元素的值，A11、A12、A13等表示对应元素的代数余子式。
行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（或两列）的符号变号；2. 如果矩阵中有一行（或一列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果矩阵中的两行（或两列）相同，那么行列式的值为0；4. 若矩阵中某一行（或一列）的元素都是两数之和，则可将该行（或列）按元素分开计算，得到的两行（或列）的行列式与原矩阵的行列式相等。
行列式在线性代数中有广泛应用，例如：a. 计算矩阵的逆矩阵时，需要先计算矩阵的行列式，若行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵；b. 判断矩阵是否可逆时，可以通过行列式是否为0来判断；c. 计算二次型的矩阵时，常常需要用到行列式。
二、矩阵的逆矩阵逆矩阵是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵I（AB=BA=I）。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么称之为可逆矩阵或非奇异矩阵。
计算方法如下：1. 对于一个2阶方阵A，如果其行列式不为0，那么逆矩阵存在。
假设A的行列式为|A|，则A的逆矩阵记作A^-1，可通过以下公式计算： A^-1 = (1 / |A|) * (a22 -a12, -a21, a11)。
2. 对于一个n(n≥3)阶方阵A，如果其行列式不为0，逆矩阵存在。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵进行，即将A的每个元素转置并求代数余子式所构成的矩阵C，再将矩阵C转置并除以A的行列式，得到A的逆矩阵。
二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。
教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。
教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。
（2）逆矩阵的性质。
二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。
表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。
ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。
当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。
1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换二阶行列式与逆矩阵
D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=
1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21
二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
2阶矩阵的逆矩阵公式
2阶矩阵的逆矩阵公式要得到一个2阶方阵的逆矩阵，我们可以使用以下公式：设A为一个2x2的矩阵，A=[ab;cd]，其中a，b，c，d为实数。
首先，我们需要计算A的行列式det(A)。
对于一个2阶矩阵来说，行列式det(A)可以通过ad-bc来计算。
如果行列式det(A)等于0，那么矩阵A没有逆矩阵。
因为一个矩阵的逆矩阵应该满足逆变性质：AA-1 = A-1A = I，其中I为单位矩阵。
如果行列式det(A)不等于0，那么我们可以计算A的伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵adj(A)通过将矩阵A的各元素的代数余子式转置得到。
代数余子式是将原矩阵中元素所在行和列删除后所得到的新的行列式，再乘以(-1)的幂。
然后，我们将得到的伴随矩阵adj(A)的每个元素除以行列式det(A)来得到A的逆矩阵A-1具体地，A的伴随矩阵adj(A)可以表示为：adj(A) = [d -b; -c a]。
将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)：A-1 = adj(A)/det(A) = [d -b; -c a]/(ad-bc)。
这就是一个2阶矩阵的逆矩阵的计算公式。
让我们通过一个具体的例子来说明这个公式。
假设我们有一个2阶矩阵A=[21;34]，我们想找到它的逆矩阵。
首先，我们需要计算A的行列式det(A)：(2 x 4) - (1 x 3) = 5因为det(A)不等于0，那么我们可以计算其伴随矩阵adj(A)：[4 -1; -3 2]。
最后，我们将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)来得到逆矩阵A-1：[4/5 -1/5; -3/5 2/5]。
所以，矩阵A的逆矩阵是A-1=[4/5-1/5;-3/52/5]。
逆矩阵的定义是如果A×A-1=A-1×A=I（其中I为单位矩阵），那么A-1就是矩阵A的逆矩阵。
我们可以验证一下：A×A-1=[21;34]×[4/5-1/5;-3/52/5]=[8/5-1/5+3/5-3/5;12/5-3/5+12/5-6/5]=[10;01]。
二阶矩阵求逆矩阵的简便方法
二阶矩阵求逆矩阵的简便方法
求一个二阶矩阵的逆矩阵可以使用多种方法，其中一种简便的方法是使用行列式。
设一个二阶矩阵A与逆矩阵A^-1如下所示：
```
A=[ab]
[cd]
A^-1=[ef]
[gh]
```
首先，我们可以通过代数方法求得矩阵A的行列式，记为，A，：
```
A， = ad - bc
```
接下来，我们需要求得矩阵A的伴随矩阵adj(A)，其中每个元素ij 可以通过使用矩阵A的余子式乘以(-1)^(i+j)求得：
```
adj(A) = [ d -b ]
[-ca]
```
通过上述公式，我们可以很容易地求得adj(A)。
然后，我们可以使用行列式和伴随矩阵之间的关系来求得逆矩阵A^-1：
```
A^-1 = (1/，A，) * adj(A)
```
将行列式，A，代入上述公式，我们可以得到如下简便的表达式：
```
A^-1 = (1/(ad - bc)) * [ d -b ]
[-ca]
```
综上所述，求一个二阶矩阵的逆矩阵的简便方法是如下所示：
1. 计算矩阵A的行列式，A， = ad - bc；
2. 计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)；
3. 计算逆矩阵A^-1 = (1/(ad - bc)) * adj(A)。
这种方法适用于任何二阶矩阵，而且非常简便易行。
需要注意的是，这种方法只适用于二阶矩阵，对于更高阶的矩阵，我们需要应用其他方法来求解逆矩阵。
拓展到更高阶的矩阵时，可以使用高斯-约当消元法、矩阵分块法等方法来求解，但这些方法相对较为复杂。
希望本文对您有所帮助！。
二阶矩阵逆矩阵的公式
二阶矩阵逆矩阵的公式在矩阵运算中，矩阵的逆是一个非常重要的概念。
若存在一个矩阵A和它的逆矩阵A的乘积等于单位矩阵，则称A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
其中，单位矩阵是一个n*n的矩阵，它的主对角线元素全为1，其余元素全为0。
对于二维矩阵，其逆矩阵的求解有一个较为简单的公式。
下面，我们将详细介绍这个公式。
二阶矩阵的求逆公式假设二阶矩阵A为以下形式：$$ A=\\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix} $$若A可逆，则其逆矩阵B可表示为：$$ B=\\frac{1}{ad-bc}\\begin{bmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{bmatrix} $$其中，ad-bc被称为A的行列式。
证明为了证明上述公式的正确性，我们需要验证AB是一个单位矩阵：$$ AB=\\frac{1}{ad-bc} \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{bmatrix} $$$$= \\frac{1}{ad-bc} \\begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\\\ 0 & ad-bc \\end{bmatrix} $$$$= \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} $$因此，AB是一个单位矩阵，B是A的逆矩阵。
示例为了更好地理解二阶矩阵逆矩阵的公式，我们来举一个例子。
假设对于矩阵A：$$ A=\\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{bmatrix} $$我们可以先计算出A的行列式：ad−bc=(2∗4)−(3∗1)=5因此，A的逆矩阵为：$$ B=\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \\end{bmatrix} $$当我们将A与B相乘时，应该得到单位矩阵：$$ AB=\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 4 & -3 \\\\ -1 & 2 \\end{bmatrix} $$$$ =\\frac{1}{5} \\begin{bmatrix} 5 & 0 \\\\ 0 & 5 \\end{bmatrix} $$$$ =\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} $$因此，我们验证了A和B确实满足A的定义。
矩阵的行列式和逆矩阵
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
二阶行列式与逆矩阵
x y
.
0
1
该方程组有解,由①×④-②×③,得
(ax+cy)(bu+dv)-(bx+dy)(au+cv)=1,
即 adxv+bcyu-aduy-bcxv=1,
∴ad(xv-uy)-bc(xv-uy)=1.
∴(ad-bc)(xv-uy)=1 成立.∴ad-bc≠0.
由①×b-②×a,得(bc-ad)y=b,
-
det
det
.
∴当 ad-bc≠0,即 ≠0 时,A 存在逆矩阵 A-1=
det
-
det
-
det
det
.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
行列式的计算
【例 1】 计算下列行列式:(1)
3
-1
2
5
;
(2) 7 -9 .
8 4
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
1
-2
-2
-5
6
17
10
-5
4
5
.
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:把矩阵 A 的逆矩阵求错了,应该是 A-1=
-1
-10
-4
-10
-3
-10
-2
-10
1
10
3
10
=
2
5
1
5
, 因而计算时不要用错公式.
4
-2
正解:设 A=
,
3
∵detA=
-2
3
-1
4
= 2 − 12 = −10≠0,
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案1
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案1教学目标设计1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重点及难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学流程设计教学过程一、介绍背景行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ba”、比“a:b”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了．[说明]教师、学生课前收集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种渗透．二、学习新课1、二阶行列式的引入设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等．记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x． 2、例题分析例1：展开并化简下列行列式：（1）85 21 （2）81 25 （3）θθsin cos θθc o ss i n - （4）11-a112++-a a点评：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2：用行列式解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=+61548115y x y x（2）⎩⎨⎧=-+=--012053y x y x[说明] ①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的x D 和y D ；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零． 3、问题拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式ac b 42-可用怎样的二阶行列式来表示等． ②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能？ [说明]问题拓展围绕教学内容（知识点）的基础上进行；同时为下一教学课时作准备． 例3：将下列代数式写成二阶行列式形式：2222(1)(2)1(3)1sin cos (4)x y x y xyz abc θθ---++例4：求函数2()21x x f x x -=-+的最值。
2阶行列式的逆矩阵
2阶行列式的逆矩阵
2阶行列式的逆矩阵是求解线性方程组的有效的方法。
逆矩阵是特殊的矩阵，可以将线性方程组转换为更易于求解的另一种形式。
当且仅当行列式不为零时，才存在该矩阵。
对应2阶行列式的逆矩阵A^-1，由以下公式计算：
A ^ -1 = 1 / det(A) *
[d -b]
[-c a]
其中det(A)表示行列式的值，a, b, c, d分别表示A的第一行、第二行的第一个和第二个元素，例如行列式A=[a b; c d]，a，b，c，d都为常数。
因此，若A为2阶行列式，则其逆矩阵A^-1的元素等于行列式A 的值的倒数乘以以下矩阵：
[d -b]
[-c a]
例如，A= [3 2; 5 6]，则det(A) = 3 × 6 - 5 × 2 = 18，A^-1 = 1/18 ×
[6 -2]
[-5 3]
所以，A^-1 就是上述矩阵，它就是2阶行列式的逆矩阵。
二阶矩阵逆矩阵公式
二阶矩阵逆矩阵公式
我们要找出一个二阶矩阵的逆矩阵的公式。
首先，我们需要了解什么是逆矩阵。
一个矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)，是一个满足以下条件的矩阵：
A × A^(-1) = E，其中E是单位矩阵。
对于二阶矩阵，我们可以使用以下公式来计算其逆矩阵：
设二阶矩阵为：
a b
c d
其逆矩阵为：
d -b
-c a
这个公式是如何得来的呢？
我们知道，对于一个2x2矩阵，其逆矩阵可以通过以下公式计算：
A^(-1) = 1/(行列式(A)) adj(A)，其中adj(A)是A的伴随矩阵。
对于2阶矩阵，其伴随矩阵就是将原矩阵主对角线上的元素变为对应的代数余子式。
而二阶矩阵的行列式值就是ad - bc。
所以，我们可以得到上述公式。
所以，二阶矩阵的逆矩阵公式为：
d/(ad - bc) -b/(ad - bc)
-c/(ad - bc) a/(ad - bc)。
二阶求逆矩阵的方法
二阶求逆矩阵的方法二阶矩阵的求逆是线性代数中一个基础而重要的概念。
在这篇文章中，我们将讨论二阶矩阵的求逆方法。
首先，我们需要明确二阶矩阵的定义。
一个二阶矩阵是一个2行2列的矩阵，可以用如下形式表示：\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是矩阵中的元素。
为了求一个二阶矩阵的逆，我们需要先计算矩阵的行列式。
二阶矩阵的行列式可以通过以下公式计算：\text{det} = ad - bc\]其中，ad表示矩阵的主对角线元素之积，bc表示矩阵的副对角线元素之积。
如果矩阵的行列式(det)不等于零，那么矩阵是可逆的。
在这种情况下，我们可以使用一个公式来计算矩阵的逆：\text{inverse} = \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是原始矩阵的元素，det是矩阵的行列式。
下面，我们将使用一个具体的例子来演示二阶矩阵的求逆过程。
假设我们有一个二阶矩阵：\begin{bmatrix}2&3\\1&4\\\end{bmatrix}\]首先，我们需要计算行列式。
根据上述公式，行列式的值为：\]由于行列式不等于零，该矩阵是可逆的。
接下来，我们可以使用求逆公式来计算逆矩阵：\text{inverse} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix}4&-3\\-1&2\\\end{bmatrix}\]逆矩阵的值为：\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\\end{bmatrix}\]通过求逆操作，我们得到了原始矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，如果一个二阶矩阵的行列式等于零，那么该矩阵是不可逆的。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是指对于一个给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
二阶矩阵是指矩阵有2行2列的形式。
求解二阶矩阵的逆矩阵有多种方法，下面将介绍三种常见的方法：代数方法、几何方法和公式法。
在这些方法中，将详细说明二阶矩阵逆矩阵的求解步骤和原理。
1.代数方法：根据矩阵逆矩阵的定义，求解二阶矩阵的逆矩阵可以通过代数方法进行，即使用行列式和伴随矩阵的运算来求解。
首先，给定一个二阶矩阵A=[ab;cd]，求解其逆矩阵。
a. 计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
b.如果D≠0，则矩阵A存在逆矩阵。
c.进一步，计算矩阵A的伴随矩阵[A*]，其中[A*]的元素为矩阵A的余子式，即[A*]=[d-b;-ca]。
d.最后，求解逆矩阵A^-1=[A*]/D，即将[A*]中的每个元素除以D。
2.几何方法：几何方法是通过向量的几何解释来求解二阶矩阵的逆矩阵。
对于一个二阶矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以被理解为表示坐标点的线性变换的逆变换。
a.首先，将二阶矩阵A视为线性变换矩阵，它将一个二维向量变换为另一个二维向量。
b.然后，找到一个二维向量v，使得Av=I，其中I是单位矩阵。
这样的向量v可以被视为表示逆变换的向量。
c.最后，将向量v视为矩阵A的逆矩阵A^-13.公式法：公式法是通过使用特定的公式来求解二阶矩阵的逆矩阵，这个公式是针对二阶矩阵的特性进行推导得到的。
a. 首先，给定一个二阶矩阵A = [a b; c d]，计算其行列式D = ad - bc。
b.利用公式，求解逆矩阵A^-1=(1/D)*[d-b;-ca]。
以上三种方法是求解二阶矩阵逆矩阵的常见方法，它们都能够得到相同的逆矩阵结果。
但是，在实际计算中，通常会根据具体问题的特点和计算的方便性选取合适的方法来求解二阶矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，在代数方法中，如果矩阵A的行列式D等于0，那么矩阵A不存在逆矩阵。
这是因为行列式D为0意味着矩阵A的行向量或列向量线性相关，无法表示一个一对一的线性变换。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目标1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学过程典型例题例1 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.(2009江苏卷) 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 或由逆矩阵知识a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1db ad bc ad bc A ca ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦直接可得答案．例2 已知曲线C ：1=xy将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；解：由题设条件，0000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'Mx yx x xTy y yy⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x yy y⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')2x x yy y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C的方程为22''2y x-=。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法
二阶矩阵的逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
这个过程可以通过求解线性方程组来完成。
本文将介绍求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法：代数余子式法和伴随矩阵法。
1. 代数余子式法
代数余子式法是求解二阶矩阵逆矩阵比较简单实用的方法之一。
假设有一个二阶矩阵A=[a，b；c，d]，其行列式为：|A|=ad-bc。
若行列式|A|不等于0，则A可逆，其逆矩阵为：
A^-1 = 1/|A| ×
⎡d，-b⎤
⎣-c，a⎦
其中1/|A|为A的行列式的倒数。
若|A|=0，则A不可逆。
2. 伴随矩阵法
伴随矩阵法是通过矩阵的伴随矩阵求解矩阵逆的方法。
伴随矩阵是指将原矩阵的代数余子式转置后构成的矩阵，即
A* =
⎡d，-c⎤
⎣-b，a⎦
其中a，b，c，d为原矩阵的元素。
若原矩阵可逆，则其逆矩阵为：A^-1 = 1/|A| × A*
其中1/|A|为原矩阵的行列式的倒数。
总结：
以上就是求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法，代数余子式法和伴随矩阵法。
对于二阶矩阵来说，两种方法都比较简单易懂，但对于高阶矩阵来说，伴随矩阵法更具有实用价值。
在求解矩阵逆时，一定要注意行列式是否为零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
作业
一上交作业：课本第55页习题2,5
二家庭作业：练习册
2019年2月7日星期四
b d
是可逆的，
则 ad bc 0 。 表达式 记作
a c
ad bc
b d
称为二阶行列式，
a c b d
，即
= ad bc 。
b d
ad bc 也称为行列式
a c
的展开式。
符号记为：detA或|A|
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
定理：二阶矩阵A= 当且仅当 ad bc 0 。 当矩阵A=
。
a c
b d
可逆，
a c
b d
可逆时， 。
2019年2月7日星期四
A
1
=
d det A c det A
-b det A a det A
选修4－2 矩阵与变换
知识应用
1.计算二阶行列式： ①
3 1 4 2
②
2
验证
MN=NM=I
b ad bc 是矩阵 M的逆矩阵 a ad bc
d 矩阵 N ad bc c ad bc
当ad-bc=0时方程组无解,矩阵M不存在逆矩阵
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
如果矩阵A=
a c
二阶行列式 与逆矩阵
选修4－2 矩阵与变换
复习：
1.对于一个二阶矩阵A,如果存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E 2 ，则称矩阵A可逆。
2.设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵 是唯一的. 3.若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩 阵 ,且
(AB)-1=B-1A-1
2019年2月7日星期四
建构数学
例1 设A=
3 4 1 2
选修4－2 矩阵与变换
，问A是否可逆？如果可逆，
求其逆矩阵。
2 设A= 4 1 2
例2
，问A是否可逆？如果
可逆，求其逆矩阵。
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
抽象概括
a b 对任意矩阵 M c d u v 假设它有逆矩阵 N s t
由逆矩阵的定义,有
a b u v au bs av bt 1 0 MN c d s t cu ds cv dt 0 1
实数u,v,s,t必须满足
au bs 1 cu ds 0 av bt 0 cv dt 1
2019年2月7日星期四
练习2
1 1 1 0 1 ; 2 0 2 0 2 ;
选修4－2 矩阵与变换
求下列矩阵的逆矩阵
1 2 3 3 4 ;
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
小结 如何判断一矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一矩阵的逆矩阵?
解
1 6 矩阵M 2 7 的行列式
1 6 2 7
1 7 6 2 5 0
6 7 5 5 1 2 5 5 6 5 1 5
所以矩阵M存在逆矩阵M-1,且
验证
7 1 6 5 1 MM 2 7 2 5
1
2 3
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
ห้องสมุดไป่ตู้
知识应用
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可 逆，求出逆矩阵。
0 1 ① A＝ 1 0 1 1 ② B＝ 0 0
2019年2月7日星期四
练习1
选修4－2 矩阵与变换
1 6 判断矩阵M , 若存在, 2 7 是否存在逆矩阵 求出它的逆矩阵 , 并用逆矩阵的定义验证 .
2019年2月7日星期四
选修4－2 矩阵与变换
即
au bs 1 cu ds 0
av bt 0 且 cv dt 1
满足怎样条件有解?
当ad-bc≠0时有解
d u ad bc s c ad bc b v ad bc 且 t a ad bc
7 1 M 5 2 5
6 7 1 0 1 5 I M M 5 1 0 1 2 5 5
6 1 6 1 0 5 I 1 2 7 0 1 5