1.1.1 命题 教案
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否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数，假；
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数，真。
【例8】设原命题是“当 ，若 ，则 ”，写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
【分析】“当 时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是 ，结论是 ；
【解析】逆命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题；
真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题。
上述 个命题中，⑻是假命题，其它 个都是真命题。
【练习】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
⑴空集是任何集合的子集；
⑵若整数 是素数，则 是奇数；
⑶ 小于或等于 ；
⑷对数函数是增函数吗？
⑸ ；
⑹平面内不相交的ห้องสมุดไป่ตู้条直线一定平行；
⑷ 是 的约数；
⑸两条直线相交，有且只有一个交点；
⑹他是个高个子；
⑺如果直线 ，那么直线 和直线 无公共点；
⑻ ；
⑼平行于同一条直线的两条直线平行。
二、新课讲解：
命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。上述 个语句中，⑴⑷⑸⑺⑻⑼是命题，其他的都不是命题，不涉及真假(问题)无法判断真假，“这是一棵大树”；“ ”都不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假；由于 是未知数，也不能判断“ ”是否成立。
将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式：
从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成。在数学中，命题常常写成“若 ，则 ”或者“如果 ，那么 ”的形式，练习中的⑵就是一个“若 ，则 ”的命题形式，通常我们把其中的 叫做命题的条件， 叫做命题的结论。
【理解】①“若 则 ”形式的命题，也是一种复合命题，其中的 与 ，可以是命题，也可以是开语句，例如，命题“若 ,则 全为 ”，其中的 与 ，就是开语句；
⑵这个命题是 或 的形式，其中 李强是篮球运动员， 李强是跳高运动员；
⑶这个命题是非 的形式，其中 平行线相交。
【例5】命题“方程 的解是 ”中，使用的逻辑联结词是或
【例6】若函数 的定义域为 是真命题，则实数 的取值范围为
【例7】把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
开语句：语句中含有变量 或 ，在没有给定这些变量的值之前，无法确定语句真假，这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。例如， 。
也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同。
【例9】写出命题：“若 ，则 且 ”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假
【解析】逆命题：若 且 ，则 （真）
否命题：若 ，则 且 （真）
逆否命题：若 或 ，则 （假）
【例10】命题“若 ，则 ”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假
【解析】逆命题：若 ，则 （假，如 ）
否命题：若 ，则 （假，如 ）
非
真
假
假
真
②“ 且 ”形式的复合命题
【探究2】如果 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”，试写出 且 ， 且 的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律。
【解析】 且 即“ 是 的约数且是 的约数”为真（ 为真）；
且 即“ 是 的约数且是8的约数”为假（ 为假）
【小结】“ 且 ”形式的复合命题真假判断：当 为真时， 且 为真；当 中至少有一个为假时， 且 为假 可用下表表示
是
都是
有
任意
任意两个
所有的
至少有一个
至多有一个
至多有 个
否定
不等于
不大（小）于
不是
不都是
无
某个
某两个
某些
一个也没有
至少有两个
至少有 个
⑷四种命题间的关系：
三、典例精析：
基础自测
【例1】下列语句是命题的有③④⑤
1等边三角形难道不是等腰直角三角形吗？
2垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
3一个实数不是正数就是负数；
课题：§1.1.1命题、1.1.2-1.1.3四种命题及其关系
教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式；
教学重点：命题的改写；
教学难点：命题概念的理解。
教学过程：
一、复习引入：
【思考】阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
⑴矩形的对角线相等；
⑵ ；
⑶ 吗？
判断复合命题真假的方法
①“非 ”形式的复合命题
【探究1】⑴如果 表示“ 是 的约数”，试判断非 的真假.
⑵如果 表示“ ”，那么非 表示什么？并判断其真假.
【解析】⑴中 表示的复合命题为真，而非 “ 不是 的约数”为假；
⑵中 表示的命题“ ”为假，非 表示的命题为“ ”，其显然为真。
【小结】非 复合命题判断真假的方法：当 为真时，非 为假；当 为假时，非 为真，即“非 ”形式的复合命题的真假与 的真假相反，可用下表表示：
⑴两个全等的三角形的三边对应相等；
⑵四边相等的四边形是正方形；
⑶负数的平方是正数。
【解析】⑴原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；
逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，逆命题为真；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的三边对应不相等，否命题为真；
逆否命题：若两个三角形的三边不对应相等，则这两个三角形不全等，逆否命题为真。
4大角所对的边大于小角所对的边；
5若 为有理数，则 也都是有理数；
6作
【例2】下列有五个命题：
1函数 的最小正周期为 ；
2终边在 轴上的角的集合是 ；
3在同一个坐标系中，函数 的图像和函数 的图像有三个公共点；
4把函数 的图像向右平移 得到 的图像；
5函数 在 上是减函数。
其中真命题的序号是①④
【例3】分别指出由下列各组命题构成的“ 或 ”，“ 且 ”，“非 ”形式的复合命题的真假：
q
且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
③“ 或 ”形式的复合命题：
【探究3】如果 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”，写出 或 或 或 的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.
【解析】 或 即“ 是 的约数或是 的约数”为真（ 为假、 为真）；
或 即“ 是 的约数或是 的约数”为假（ 为假）
⑵菱形的对角线互相垂直且平分；（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）
⑶ 非整数。(非“ 是整数”)
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题与复合命题：
⑴简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题；
⑵复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
如：或：不等式 的解集 或 ；
① ；【答案】真，假，真；
② 是质数， 是 的约数；【答案】假，假，真；
③ ；【答案】真，真，假；
④ ；【答案】真，假，假。
【例4】分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：
⑴ 既是 的倍数，也是 的被数；
⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶平行线不相交。
【解析】⑴这个命题是 且 的形式，其中 是 的倍数， 是 的倍数；
⑵原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形，假；
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等，真；
否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形，假；
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等，假；
⑶原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数，真；
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数，假；
否命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题；
逆否命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题。
【总结】四种命题间真假关系：
⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；
⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；
⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真
【结论】两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题 逆否命题；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
且：不等式 的解集 。
【理解】数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别：
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“ 或 ”是指 中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释。例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能；二是“可兼有”，即“ 或 ”是指 中的任何一个或两者。“ 或 ”，是指 可能属于 但不属于 （这里的“但”等价于“且”）， 也可能不属于 但属于 ， 还可能既属于 又属于 （即 ）。数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”。另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的。
【理解】⑴否命题与命题的否定是两个不同的概念，命题 的否定为“ ”，一般只是否定命题的结论；否命题是对原命题“若 ，则 ”既否定条件也否定结论，即命题 的否命题为“若 ，则 ”；⑵复合命题的否定形式：“ 或 ”的否定形式是“ 且 ”；“ 且 ”的否定形式是“ 或 ”；⑶关键词的否定：
关键词
等于
大（小）于
【小结】“ 或 ”形式的复合命题真假判断
当 中至少有一个为真时，“ 或 ”为真；当 都为假时，“ 或 ”为假，即“ 或 ”形式的复合命题，当 与 同为假时为假，其他情况时为真.可用下表表示.
或
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表。在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
逆否命题：若 ，则 。（真）
【例11】证明：如果 ，那么 。
电路：
或门电路（或） 与门电路（且）
复合命题的构成形式
如果用 表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：
即：⑴ 或 ，记作 ；⑵ 且 ，记作 ；⑶非 (命题的否定)，记作 。
【理解】“ 或 ”是指 中的任何一个或两者都成立，例如，“ 或 ”，是指 可能属于 但不属于 （这里的“但”等价于“且”）， 也可能不属于 但属于 ， 还可能既属于 又属于 （即 ）；又如在“ 真或 真”中，可能只有 真，也可能只有 真，还可能 都为真；“ 且 ”是指 中的两者都成立，例如，“ 且 ”，是指 属于 ，同时 也属于 （即 ）；“非 ”是指 的否定，即不是 。例如， 是“ ”，则“非 ”表示 不是集合 的元素（即 ）。
⑺明天下雨；
⑻矩形的对角线互相垂直且平分；
⑼函数 有两个零点。
【理解】①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的；
②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能判断真假的语句，就不是命题；
逻辑连接词
⑴ 可以被 或 整除；（ 可以被 整除或 可以被 整除）
②关键是找出原命题的条件 、结论 ，然后适当改写成更明显的形式。
【练习】将下列命题改写成“若 ，则 ”的形式。
⑴两条直线相交有且只有一个交点；
⑵对顶角相等；
⑶全等的两个三角形面积也相等。
四种命题：
对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”；一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”；一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互逆否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”。
学习逻辑的意义
一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例。可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的。同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子。
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数，真。
【例8】设原命题是“当 ，若 ，则 ”，写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
【分析】“当 时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是 ，结论是 ；
【解析】逆命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题；
真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题。
上述 个命题中，⑻是假命题，其它 个都是真命题。
【练习】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
⑴空集是任何集合的子集；
⑵若整数 是素数，则 是奇数；
⑶ 小于或等于 ；
⑷对数函数是增函数吗？
⑸ ；
⑹平面内不相交的ห้องสมุดไป่ตู้条直线一定平行；
⑷ 是 的约数；
⑸两条直线相交，有且只有一个交点；
⑹他是个高个子；
⑺如果直线 ，那么直线 和直线 无公共点；
⑻ ；
⑼平行于同一条直线的两条直线平行。
二、新课讲解：
命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。上述 个语句中，⑴⑷⑸⑺⑻⑼是命题，其他的都不是命题，不涉及真假(问题)无法判断真假，“这是一棵大树”；“ ”都不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假；由于 是未知数，也不能判断“ ”是否成立。
将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式：
从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成。在数学中，命题常常写成“若 ，则 ”或者“如果 ，那么 ”的形式，练习中的⑵就是一个“若 ，则 ”的命题形式，通常我们把其中的 叫做命题的条件， 叫做命题的结论。
【理解】①“若 则 ”形式的命题，也是一种复合命题，其中的 与 ，可以是命题，也可以是开语句，例如，命题“若 ,则 全为 ”，其中的 与 ，就是开语句；
⑵这个命题是 或 的形式，其中 李强是篮球运动员， 李强是跳高运动员；
⑶这个命题是非 的形式，其中 平行线相交。
【例5】命题“方程 的解是 ”中，使用的逻辑联结词是或
【例6】若函数 的定义域为 是真命题，则实数 的取值范围为
【例7】把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
开语句：语句中含有变量 或 ，在没有给定这些变量的值之前，无法确定语句真假，这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。例如， 。
也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同。
【例9】写出命题：“若 ，则 且 ”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假
【解析】逆命题：若 且 ，则 （真）
否命题：若 ，则 且 （真）
逆否命题：若 或 ，则 （假）
【例10】命题“若 ，则 ”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假
【解析】逆命题：若 ，则 （假，如 ）
否命题：若 ，则 （假，如 ）
非
真
假
假
真
②“ 且 ”形式的复合命题
【探究2】如果 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”，试写出 且 ， 且 的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律。
【解析】 且 即“ 是 的约数且是 的约数”为真（ 为真）；
且 即“ 是 的约数且是8的约数”为假（ 为假）
【小结】“ 且 ”形式的复合命题真假判断：当 为真时， 且 为真；当 中至少有一个为假时， 且 为假 可用下表表示
是
都是
有
任意
任意两个
所有的
至少有一个
至多有一个
至多有 个
否定
不等于
不大（小）于
不是
不都是
无
某个
某两个
某些
一个也没有
至少有两个
至少有 个
⑷四种命题间的关系：
三、典例精析：
基础自测
【例1】下列语句是命题的有③④⑤
1等边三角形难道不是等腰直角三角形吗？
2垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
3一个实数不是正数就是负数；
课题：§1.1.1命题、1.1.2-1.1.3四种命题及其关系
教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若 ，则 ”的形式；
教学重点：命题的改写；
教学难点：命题概念的理解。
教学过程：
一、复习引入：
【思考】阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
⑴矩形的对角线相等；
⑵ ；
⑶ 吗？
判断复合命题真假的方法
①“非 ”形式的复合命题
【探究1】⑴如果 表示“ 是 的约数”，试判断非 的真假.
⑵如果 表示“ ”，那么非 表示什么？并判断其真假.
【解析】⑴中 表示的复合命题为真，而非 “ 不是 的约数”为假；
⑵中 表示的命题“ ”为假，非 表示的命题为“ ”，其显然为真。
【小结】非 复合命题判断真假的方法：当 为真时，非 为假；当 为假时，非 为真，即“非 ”形式的复合命题的真假与 的真假相反，可用下表表示：
⑴两个全等的三角形的三边对应相等；
⑵四边相等的四边形是正方形；
⑶负数的平方是正数。
【解析】⑴原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；
逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，逆命题为真；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的三边对应不相等，否命题为真；
逆否命题：若两个三角形的三边不对应相等，则这两个三角形不全等，逆否命题为真。
4大角所对的边大于小角所对的边；
5若 为有理数，则 也都是有理数；
6作
【例2】下列有五个命题：
1函数 的最小正周期为 ；
2终边在 轴上的角的集合是 ；
3在同一个坐标系中，函数 的图像和函数 的图像有三个公共点；
4把函数 的图像向右平移 得到 的图像；
5函数 在 上是减函数。
其中真命题的序号是①④
【例3】分别指出由下列各组命题构成的“ 或 ”，“ 且 ”，“非 ”形式的复合命题的真假：
q
且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
③“ 或 ”形式的复合命题：
【探究3】如果 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”， 表示“ 是 的约数”，写出 或 或 或 的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.
【解析】 或 即“ 是 的约数或是 的约数”为真（ 为假、 为真）；
或 即“ 是 的约数或是 的约数”为假（ 为假）
⑵菱形的对角线互相垂直且平分；（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）
⑶ 非整数。(非“ 是整数”)
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题与复合命题：
⑴简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题；
⑵复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
如：或：不等式 的解集 或 ；
① ；【答案】真，假，真；
② 是质数， 是 的约数；【答案】假，假，真；
③ ；【答案】真，真，假；
④ ；【答案】真，假，假。
【例4】分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：
⑴ 既是 的倍数，也是 的被数；
⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶平行线不相交。
【解析】⑴这个命题是 且 的形式，其中 是 的倍数， 是 的倍数；
⑵原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形，假；
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等，真；
否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形，假；
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等，假；
⑶原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数，真；
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数，假；
否命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题；
逆否命题：当 时，若 ，则 ，它是真命题。
【总结】四种命题间真假关系：
⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；
⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；
⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真
【结论】两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题 逆否命题；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
且：不等式 的解集 。
【理解】数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别：
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“ 或 ”是指 中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释。例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能；二是“可兼有”，即“ 或 ”是指 中的任何一个或两者。“ 或 ”，是指 可能属于 但不属于 （这里的“但”等价于“且”）， 也可能不属于 但属于 ， 还可能既属于 又属于 （即 ）。数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”。另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的。
【理解】⑴否命题与命题的否定是两个不同的概念，命题 的否定为“ ”，一般只是否定命题的结论；否命题是对原命题“若 ，则 ”既否定条件也否定结论，即命题 的否命题为“若 ，则 ”；⑵复合命题的否定形式：“ 或 ”的否定形式是“ 且 ”；“ 且 ”的否定形式是“ 或 ”；⑶关键词的否定：
关键词
等于
大（小）于
【小结】“ 或 ”形式的复合命题真假判断
当 中至少有一个为真时，“ 或 ”为真；当 都为假时，“ 或 ”为假，即“ 或 ”形式的复合命题，当 与 同为假时为假，其他情况时为真.可用下表表示.
或
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表。在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
逆否命题：若 ，则 。（真）
【例11】证明：如果 ，那么 。
电路：
或门电路（或） 与门电路（且）
复合命题的构成形式
如果用 表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：
即：⑴ 或 ，记作 ；⑵ 且 ，记作 ；⑶非 (命题的否定)，记作 。
【理解】“ 或 ”是指 中的任何一个或两者都成立，例如，“ 或 ”，是指 可能属于 但不属于 （这里的“但”等价于“且”）， 也可能不属于 但属于 ， 还可能既属于 又属于 （即 ）；又如在“ 真或 真”中，可能只有 真，也可能只有 真，还可能 都为真；“ 且 ”是指 中的两者都成立，例如，“ 且 ”，是指 属于 ，同时 也属于 （即 ）；“非 ”是指 的否定，即不是 。例如， 是“ ”，则“非 ”表示 不是集合 的元素（即 ）。
⑺明天下雨；
⑻矩形的对角线互相垂直且平分；
⑼函数 有两个零点。
【理解】①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的；
②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能判断真假的语句，就不是命题；
逻辑连接词
⑴ 可以被 或 整除；（ 可以被 整除或 可以被 整除）
②关键是找出原命题的条件 、结论 ，然后适当改写成更明显的形式。
【练习】将下列命题改写成“若 ，则 ”的形式。
⑴两条直线相交有且只有一个交点；
⑵对顶角相等；
⑶全等的两个三角形面积也相等。
四种命题：
对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”；一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”；一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互逆否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题，即原命题为“若 ，则 ”，则逆命题为“若 ，则 ”。
学习逻辑的意义
一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例。可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的。同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子。