积分第一中值定理及其推广证明

2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:

如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在

闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),()

b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰

⎰成立。证明如下：

由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同

乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有

()()()()

mg x f x g x Mg x ≤≤成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到

()()()()b b

b

a

a

a

m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰。

此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有

()()()b

b

a

a

f x

g x dx g x dx

μ=⎰

⎰成立。

由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使

()f ξμ=成立。此时即可得到

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰，

命题得证。

2.2积分第一中值定理的推广

定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，

()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),(,)

b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰

⎰成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x

a

F x f t g t dt =⎰，()()x

a

G x g t dt =⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连

续。并且()0,()()()b a

F a F b f t g t dt ==⎰，()0,()()b

a

G a G b g t dt ==⎰，

()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= 。由柯西中值定理即可得到

()()()

,(,)()()()

F b F a F a b

G b G a G ξξξ'-=∈'-，

化简，即

()()()()

()

()b

a

b

a

f t

g t dt

f g g g t dt

ξξξ=

⎰

⎰

，

根据上式我们很容易得出

()()()(),(,)b

b

a a

f t

g t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰

⎰，

命题得证。

证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥。而

函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，

{}sup ()|[,]M f x x a b =∈。假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即

()(),[,]F x f x x a b '=∈。我们就可以得到下面等式

()()()()b

b

b

a

a

a

m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰（2.2.1）

此时由于()0g x ≥，则会有()0b

a

g x dx ≥⎰，由于存在两种可能性，那么下面我们

就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：

(1).如果()0b

a

g x dx =⎰，由等式（2.2.1）可得出()()0b

a

f x

g x dx =⎰，那么对

于(,)

a b ξ∀∈都有

()()0()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx

ξ==⎰

⎰恒成立。

(2).如果()0b

a

g x dx >⎰，将（2.2.1）除以()b

a g x dx ⎰可得

()()()b

a

b

a

f x

g x dx

m M g x dx

≤

≤⎰⎰

，（2.2.2）

我们记

()()()b

a

b

a

f x

g x dx

g x dx

μ=

⎰⎰

，（2.2.3）

此时我们又分两种情形继续进行讨论：

（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有()()()b

a

b a

f x

g x dx

m M g x dx

<

<⎰⎰

成立

，则此时一定就存在m M μ<<，可以使得

12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，

我们不妨假设12x x <，这其中12,[,]x x a b ∈。因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则会

有

1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=。

此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有

12()()()(),(,)[,]

b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰

⎰成立，从而结论成立。

（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M μ=，因为()0b

a g x dx >⎰，此时一定存在区间11[,](,)a

b a b ∈（其中11a b <），使得

11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化

()()()b

b

a

a

g x dx f x g x dx μ⋅=⎰⎰，

因为M μ=，则有

[()]()0b

a

M f x g x dx -=⎰

（2.2.4）

而且我们已知[()]()0M f x g x -≥，则

1

1

0[()]()[()]0x b

y a

M f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰。

于是