必修5等差数列基础(一般)

高中数学必修5等差数列基础 一般测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ） A． B． C．D．2．设a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），那么数列{a n }（ ） A ．不是等差数列 B ．是等差数列 C ．可能是等比数列D ．是常数列3．设a n =（n+1）2，b n =n 2-n （n ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ） A ．{a n+1-a n }是等差数列B ．{b n+1-b n }是等差数列C ．{a n -b n }是等差数列D ．{a n +b n }是等差数列4．若数列{a n }是一个以d 为公差的等差数列，b n =2a n +3（n ∈N *），则数列{b n }是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列D ．公差为2d+3的等差数列5．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1+a n =2n ，则该数列前25项之和S 25=（ ） A ．309B ．311C ．313D ．3156．设2a =3，2b =6，2c =12，则数列a ，b ，c 成（ ） A ．等差数列B ．等比数列C ．非等差也非等比数列D ．既等差也等比数列7．已知数列{a n }的a 1=1，a 2=2且a n+2=2a n+1-a n ，则a 2007=（ ） A ．2005B ．2006C ．2007D ．20088．（2015春•丰城市校级期中）从1、2、3、4、5这五个数中任取三个数，则所取的三个数能构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．9．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n-7（n∈N*），若其前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．15B．750C．D．10．设函数f（x）=（x-1）2+n（x∈[-1，3]，n∈N*）的最小值为a n，最大值为b n，记c n=b n2-a n b n，则{c n}是（）A．常数数列B．公比不为1的等比数列C．公差不为0的等差数列D．非等差数列也非等比数列11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n-2C．D．n-212．记数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n-1）+1，则该数列是（）A．公比为2的等比数列B．公差为2的等差数列C．公差为4的等差数列D．以上都不对二．填空题（共__小题）13．在数列{a n}中，2a n=a n-1+a n+1（n≥2），且a2=10，a5=-5，求{a n}前n项和S n的最大值为______．14．等差数列{a n}的公差d∈（-1，0），且=1，仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是______．15．已知数列{a n}对于任意p，q∈N*有a p+a q=a p+q，若a1=，则a2013=______．16．已知数列{a n}满足a n-12=a n2+4，且a1=1，a n＞0，则a n=______．17．在数列{a n}中，已知a n+1=，且a1=1，则a n=______．18．设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．若{S n}是等差数列，则q=______．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=66，a3+a5=60，且满足a n+2-2a n+1+a n=0（n∈N*），若对任意的n∈N*，都有S n≤S k，则k=______．20．数列{a n}满足a n=2a n-1+2n-1（n≥2），若存在一个实数λ，使得为等差数列，则______．三．简答题（共__小题）21．已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：，，的倒数也成等差数列．22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足9=（a n+1），证明数列{b n}是等差数列．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n-1）a n+1+1，且a1=1，求证：{a n}为等差数列．24．在数列{a n}中，a1=2，a n a n+1-2a n+1=0，b n=，求证{b n}是等差数列．25．已知数列{a n}和{b n}满足a n=lg3n-lg2n+1，b n=a3n，判断{b}n是否为等差数列？若是，则写出它的通项公式；若不是，则说明理由．26．是否存在x∈（0，），使得sinx，cosx，tanx，cotx的某种排列为等差数列．27．证明：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．高中数学必修5等差数列基础 一般测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ） A．B． C．D．答案：D 解析： 解：A ．a n+1-a n ==，不是常数，因此不是等差数列；B ．a n =n 2-1不是关于n 的一次函数，因此不是等差数列；C ．a 1=4，a 2=11，a 3=14，2a 2≠a 1+a 3，因此不是等差数列；D ．a n =3n-1是关于n 的一次函数，因此是等差数列． 故选：D ．2．设a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），那么数列{a n }（ ）A ．不是等差数列B ．是等差数列C ．可能是等比数列D ．是常数列答案：B 解析：解：在等差数列中，第n ，m 两项之间存在，a n =a m +（n-m ）d ，所以a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），满足等差数列的性质，所以已知数列是等差数列．在等比数列中，第n，m两项之间存在，a n=a m q n-m，本题的条件，不满足等差数列的基本性质，所以数列不是等比数列．故选B．3．设a n=（n+1）2，b n=n2-n（n∈N*），则下列命题中不正确的是（）A．{a n+1-a n}是等差数列B．{b n+1-b n}是等差数列C．{a n-b n}是等差数列D．{a n+b n}是等差数列答案：D解析：解：对于选项A：∵a n=（n+1）2，∴a n+1-a n=（n+2）2-（n+1）2=3n-3，设C n=3n-3，∴C n+1-C n=3，∴{a n+1-a n}是等差数列，故选项A正确；对于选项B：∵b n=n2-n（n∈N*），∴b n+1-b n =2n，设C n=2n，∴C n+1-C n=2，∴{b n+1-b n}是等差数列；故选项B正确；对于选项C：∵a n=（n+1）2，b n=n2-n（n∈N*），∴a n-b n=（n+1）2-（n2-n），=3n+1，设C n=a n-b n=3n+1，∴C n+1-C n=3，∴{a n-b n}是等差数列，故选项C正确；对于选项D：∵a n=（n+1）2，b n=n2-n（n∈N*），∴a n+b n=（n+1）2+（n2-n），=2n2+n+1，设C n=a n+b n∵C n+1-C n不是常数，∴选项D错误；故选：D．4．若数列{a n}是一个以d为公差的等差数列，b n=2a n+3（n∈N*），则数列{b n}是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．公差为2d+3的等差数列答案：B解析：解：由题意，b n+1-b n=2（a n+1-a n）=2d，∴数列{b n}是公差为2d的等差数列，故选B．5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=2n，则该数列前25项之和S25=（）A．309B．311C．313D．315答案：C解析：解：∵a n+1+a n=2n①，∴a n+2+a n+1=2（n+1）②，②-①可得：a n+2-a n=2∴数列{a n}的奇数项、偶数项是分别以1为首项，2为公差的等差数列∴该数列前25项之和S25=13++12+=313故选C．6．设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c成（）A．等差数列B．等比数列C．非等差也非等比数列D．既等差也等比数列答案：A解析：解：因为2a=3，2b=6，2c=12，根据对数定义得：a=log23，b=log26，c=log212；而b-a=log26-log23=log2=log22=1；c-b=log212-log26=log22=1，所以b-a=c-b，数列a、b、c为等差数列．而，所以数列a、b、c不为等比数列．故选A7．已知数列{a n}的a1=1，a2=2且a n+2=2a n+1-a n，则a2007=（）A．2005B．2006C．2007D．2008答案：C解析：解：∵数列{a n}中，a n+2=2a n+1-a n，∴a n+2-a n+1=a n+1-a n，∴=1，又a1=1，a2=2，故a2-a1=1，∴数列{a n+1-a n}是首项为1，公比为1的等比数列，∴a n+1-a n=1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a2007=1+（2007-1）×1=2007．故选C．8．（2015春•丰城市校级期中）从1、2、3、4、5这五个数中任取三个数，则所取的三个数能构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：从1、2、3、4、5这五个数中任取三个数，其总的取法为=10．则所取的三个数能构成等差数列为：1，2，3或（3，2，1）；2，3，4或（4，3，2）；3，4，5或（5，4，3）；1，3，5或（5，3，1）．则所取的三个数能构成等差数列的概率为==．故选：B．9．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n-7（n∈N*），若其前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．15B．750C．D．答案：C解析：解：由4a n+1=4a n-7，得：，即．∴数列{a n}是以a1=25为首项，以为公差的等差数列．∴=．∵n∈N*，∴当n=15时，．故选：C．10．设函数f（x）=（x-1）2+n（x∈[-1，3]，n∈N*）的最小值为a n，最大值为b n，记c n=b n2-a n b n，则{c n}是（）A．常数数列B．公比不为1的等比数列C．公差不为0的等差数列D．非等差数列也非等比数列答案：C解析：解：∵f（x）=（x-1）2+n，x∈[-1，3]，∴当x=1时，f（x）min=a n=n，当x=-1或x=3时，f（x）max=b n=n+4；∴c n=b n2-a n b n=（n+4）2-n（n+4）=4n+16，∵c n+1-c n=4，∴数列{c n}是公差不为0的等差数列，故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n-2C．D．n-2答案：A解析：解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即-=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n-1）×3=3n-2，∴a n=，故选：A．12．记数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n-1）+1，则该数列是（）A．公比为2的等比数列B．公差为2的等差数列C．公差为4的等差数列D．以上都不对答案：D解析：解：由条件可得n≥2时，a n=S n-S n-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2）=4（n-1），当n=1时，a1=S1=1，代入不满足a n=4（n-1），故a n=4（n-1）不是等差数列，故数列{a n}既不是等差数列也不是等比数列．故选D．二．填空题（共__小题）13．在数列{a n}中，2a n=a n-1+a n+1（n≥2），且a2=10，a5=-5，求{a n}前n项和S n的最大值为______．答案：30解析：解：∵在数列{a n}中，2a n=a n-1+a n+1（n≥2），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d．∵a2=10，a5=-5，∴，解得．∴a n=15-5（n-1）=20-5n．由a n≥0，解得n≤4．∴当n=3或4时，{a n}前n项和S n取得最大值15+10+5，即30，故答案为：30．14．等差数列{a n}的公差d∈（-1，0），且=1，仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是______．答案：{，，，}解析：解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a7=a3+a6，∵=1，∴-cos2a3=sin（a3+a6），∴-cos2a3=sin（a3+a6），∴．∴=sin（a3+a6），化为-sin（a6+a3）sin（a6-a3）=sin（a3+a6），∴sin（a6+a3）=0，或sin（a6-a3）=-1，（*）∵=，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴=9，化为．∵a6+a3=2a1+7d=10d，a6-a3=3d，∴（*）化为sin10d=0或sin3d=-1．∵-1＜d＜0，∴-10＜10d＜0，-3＜3d＜0．∴10d=-π，-2π，-3π.3d=．∴，，，，∴a1=，，，．故答案为{，，，}．15．已知数列{a n}对于任意p，q∈N*有a p+a q=a p+q，若a1=，则a2013=______．答案：解析：解：∵a p+a q=a p+q，令n=p，1=q，代入得a n+1=a n+a1，即a n+1-a n=a1=∴数列{a n}是一个以为首项，d=为公差的等差数列，∴a2013=+2012×=，故答案为：16．已知数列{a n}满足a n-12=a n2+4，且a1=1，a n＞0，则a n=______．答案：解析：解：由已知得a n-12-a n2=4∴{a n2}是以a12=1为首项，d=4为公差的等差数列．∴a n2=1+（n-1）•4=4n-3，又a n＞0，∴a n=故答案为：．17．在数列{a n}中，已知a n+1=，且a1=1，则a n=______．答案：解析：解：∵a n+1=且a1=1，∴a n≠0∴=∴数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列∴=1+（n-1）×=∴a n=故答案为：18．设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．若{S n}是等差数列，则q=______．答案：1解析：解：设首项为a1，则s1=a1，s2=a1+a1qs3=a1+a1q+a1q2由于{S n}是等差数列，故2（a1+a1q）=a1+a1+a1q+a1q2解得q=1．故答案为：1．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=66，a3+a5=60，且满足a n+2-2a n+1+a n=0（n∈N*），若对任意的n∈N*，都有S n≤S k，则k=______．答案：13或14解析：解：数列{a n}中，a n+2-2a n+1+a n=0（n∈N*），∴a n+2+a n=2a n+1，∴数列{a n}是等差数列；又∵a2+a4=66，a3+a5=60，∴解得公差d=-3，首项a1=39；∴通项a n=a1+（n-1）d=39-3（n-1）=42-3n；令a n=0，解得n=14；∴当n≤14时，a n≥0，当n＞15时，a n＜0；∴S n的最大值是S13或S14，∴对任意的n∈N*，都有S n≤S k，则k=13或14．故答案为：13或14．20．数列{a n}满足a n=2a n-1+2n-1（n≥2），若存在一个实数λ，使得为等差数列，则______．答案：-1解析：解：由题意，为常数所以为等差数列，公差为1的等差数列．故答案为-1．三．简答题（共__小题）21．已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：，，的倒数也成等差数列．答案：证明：∵a、b、c的倒数成等差数列，∴=+，∴+=2，∴+=+-1++-1=（+）+（+）-2=+，又由=+可得b==，∴=-1=-1=-1=（+）+1-1=（+），∴2•=+，∴，，的倒数也成等差数列解析：证明：∵a、b、c的倒数成等差数列，∴=+，∴+=2，∴+=+-1++-1=（+）+（+）-2=+，又由=+可得b==，∴=-1=-1=-1=（+）+1-1=（+），∴2•=+，∴，，的倒数也成等差数列22．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足9=（a n+1），证明数列{b n}是等差数列．答案：（1）解：a1=1，a n+1=2S n+1．①即有a2=2a1+1=3，将n换成n-1，可得a n=2S n-1+1，②①-②可得a n+1-a n=2a n，即为a n+1=3a n，即有a n=3•3n-2=3n-1，对n=1也成立．则{a n}的通项公式a n=3n-1；（2）证明：由9=（a n+1），可得=，即有2（b1+b2+…+b n）-nb n=2n，设T n=b1+b2+…+b n，当n=1时，2b1=2+b1，解得b1=2，当n＞1时，2T n-nb n=2n，即有2T n-1-（n-1）b n-1=2（n-1）．两式相减，可得2b n-nb n+（n-1）b n-1=2，将n换成n-1可得，2b n-1-（n-1）b n-1+（n-2）b n-2=2，即有（2-n）b n+（n-1）b n-1=（3-n）b n-1+（n-2）b n-2，（2-n）b n-2+（2-n）b n=2（2-n）b n-1．即为b n-2+b n=2b n-1．即有b n-b n-1=b n-1-b n-2=…=b2-b1．由等差数列的定义可得，数列{b n}是等差数列．解析：（1）解：a1=1，a n+1=2S n+1．①即有a2=2a1+1=3，将n换成n-1，可得a n=2S n-1+1，②①-②可得a n+1-a n=2a n，即为a n+1=3a n，即有a n=3•3n-2=3n-1，对n=1也成立．则{a n}的通项公式a n=3n-1；（2）证明：由9=（a n+1），可得=，即有2（b1+b2+…+b n）-nb n=2n，设T n=b1+b2+…+b n，当n=1时，2b1=2+b1，解得b1=2，当n＞1时，2T n-nb n=2n，即有2T n-1-（n-1）b n-1=2（n-1）．两式相减，可得2b n-nb n+（n-1）b n-1=2，将n换成n-1可得，2b n-1-（n-1）b n-1+（n-2）b n-2=2，即有（2-n）b n+（n-1）b n-1=（3-n）b n-1+（n-2）b n-2，（2-n）b n-2+（2-n）b n=2（2-n）b n-1．即为b n-2+b n=2b n-1．即有b n-b n-1=b n-1-b n-2=…=b2-b1．由等差数列的定义可得，数列{b n}是等差数列．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n-1）a n+1+1，且a1=1，求证：{a n}为等差数列．答案：证明：由已知4S n=（2n-1）a n+1+1，得到4S n-1=（2n-3）a n+1两式相减得4a n=（2n-1）a n+1-（2n-3）a n，整理得（2n+1）a n=（2n-1）a n+1，即所以，…，以上各式相乘得，又a1=1，所以a n=2n-1，所以{a n}是以1为首项2为公差的等差数列；解析：证明：由已知4S n=（2n-1）a n+1+1，得到4S n-1=（2n-3）a n+1两式相减得4a n=（2n-1）a n+1-（2n-3）a n，整理得（2n+1）a n=（2n-1）a n+1，即所以，…，以上各式相乘得，又a1=1，所以a n=2n-1，所以{a n}是以1为首项2为公差的等差数列；24．在数列{a n}中，a1=2，a n a n+1-2a n+1=0，b n=，求证{b n}是等差数列．答案：证明：由于a1=2，a n a n+1-2a n+1=0，b n=，则b1==2，a n+1=2-，b n+1-b n=-=-==2，则{b n}是以2为首项，2为公差的等差数列．解析：证明：由于a1=2，a n a n+1-2a n+1=0，b n=，则b1==2，a n+1=2-，b n+1-b n=-=-==2，则{b n}是以2为首项，2为公差的等差数列．25．已知数列{a n}和{b n}满足a n=lg3n-lg2n+1，b n=a3n，判断{b}n是否为等差数列？若是，则写出它的通项公式；若不是，则说明理由．答案：解：∵数列{a n}的通项公式a n=lg3n-lg2n+1=lg，b n=a3n，∴当n≥2时，b n-b n-1=lg-lg=为常数，故数列{b n}为等差数列．∵b1=lg，∴b n=lg+（n-1）•．解析：解：∵数列{a n}的通项公式a n=lg3n-lg2n+1=lg，b n=a3n，∴当n≥2时，b n-b n-1=lg-lg=为常数，故数列{b n}为等差数列．∵b1=lg，∴b n=lg+（n-1）•．26．是否存在x∈（0，），使得sinx，cosx，tanx，cotx的某种排列为等差数列．答案：①若x∈（0，），则sinx，cosx，tanx，cotx中sinx最小，cotx最大；故若成等差数列，则sinx+cotx=cosx+tanx；即sin2xcosx+cos2x=sinxcos2x+sin2x；∴sinxcosx（sinx-cosx）=（sinx-cosx）（sinx+cosx），即sinxcosx=sinx+cosx；∵sinxcosx＜1，sinx+cosx＞1；故不成立；同理，若x∈（，）时也不成立；故不存在．解析：①若x∈（0，），则sinx，cosx，tanx，cotx中sinx最小，cotx最大；故若成等差数列，则sinx+cotx=cosx+tanx；即sin2xcosx+cos2x=sinxcos2x+sin2x；∴sinxcosx（sinx-cosx）=（sinx-cosx）（sinx+cosx），即sinxcosx=sinx+cosx；∵sinxcosx＜1，sinx+cosx＞1；故不成立；同理，若x∈（，）时也不成立；故不存在．27．证明：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．答案：证明：设两个等差数列分别为{a n}，{b n}，首项分别为a1，b1，公差分别为d1，d2，再设其第n个相同的项为c n，则c n=a i=a1+（i-1）d1，c n=b j=b1+（j-1）d2，再设其第n+1个相同的项为c n+1，则c n+1=a k=a1+（k-1）d1=c n+（k-i）d1，c n+1=b m=b1+（m-1）d2=c n+（m-j）d2，即c n+1-c n=（k-i）d1=（m-j）d2，令k-i=z1，m-j=z2（），则z1d1=z2d2，∴当z1d2为d1，d2的最小公倍数时，能够两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．解析：证明：设两个等差数列分别为{a n}，{b n}，首项分别为a1，b1，公差分别为d1，d2，再设其第n个相同的项为c n，则c n=a i=a1+（i-1）d1，c n=b j=b1+（j-1）d2，再设其第n+1个相同的项为c n+1，则c n+1=a k=a1+（k-1）d1=c n+（k-i）d1，c n+1=b m=b1+（m-1）d2=c n+（m-j）d2，即c n+1-c n=（k-i）d1=（m-j）d2，令k-i=z1，m-j=z2（），则z1d1=z2d2，∴当z1d2为d1，d2的最小公倍数时，能够两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．。