17、向量综合应用
含有向量的综合应用题
含有向量的综合应用题在数学和物理学中，向量是一种常见且重要的概念。
它不仅仅是一种数值，更是一个有方向和大小的量。
向量的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将通过几个综合应用题，来探讨向量在实际问题中的运用。
问题一：风的影响某船沿着河流平行岸边行驶，船速为v米/秒。
当船行驶到一特定地点时，风使船受到了风压的侧向作用，导致船的速度相对于水流有一个斜角α。
已知风的速度为u米/秒，水流速度为w米/秒，请问船的速度v是多少？解析：为了解决这个问题，我们可以利用向量的方法。
以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，建立一个坐标系。
设船的速度v的向量表示为V，风速向量u表示为U，水流速度向量w表示为W。
由题目可知，船的速度相对于水流速度的角度为α，即向量V和向量W 之间的夹角为α。
由于船的速度受到了风的影响，船的速度与风速的向量和向量的和为零。
根据向量的性质，可以得到以下方程组：Vx + Ux = 0Vy + Wy = 0其中Vx，Vy分别表示向量V在x轴和y轴上的分量，Ux，Wy分别表示向量U和向量W在x轴和y轴上的分量。
又根据勾股定理可得：|V|^2 = Vx^2 + Vy^2|U|^2 = Ux^2 + Uy^2|W|^2 = Wx^2 + Wy^2利用向量的内积和模的定义，可以得到：Vx = -UxVy = -WyVx^2 + Vy^2 = (Ux + Wx)^2 + (Uy + Wy)^2将上述方程带入，再利用三角函数的关系，即可求得v的数值。
问题二：力的合成一个力的向量可以表示为F1 = 3i + 4j，另一个力的向量表示为F2 = 2i - 6j，若力F1和力F2的夹角为θ，求力的合成F。
解析：要求两个力的合成，可以使用向量的加法。
力F1和力F2的合成向量F可以表示为F = F1 + F2。
根据向量的加法运算，可以得到：F = (3i + 4j) + (2i - 6j)化简得：F = 5i - 2j力的合成F是一个向量，其中i和j分别表示x轴和y轴方向上的分量。
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用在高中数学学科中，归纳是一种重要的思维方法，它帮助我们总结和推广已有的数学知识，使之更加系统和全面。
而三角函数和向量是数学中的重要工具和概念，在解决实际问题时发挥着重要的作用。
本文将探讨高中数学中归纳、三角函数与向量的综合应用。
1. 归纳推理在三角函数中的应用三角函数是描述角度和长度关系的数学工具，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
在归纳推理中，我们可以通过观察、总结和推广已有的数学关系，来求解一些特殊情况下的三角函数值。
以正弦函数为例，我们知道在单位圆上，正弦值是以角度为自变量的函数。
通过观察正弦函数的图像和数值表，我们可以总结出正弦函数的周期性特征和取值范围。
进一步地，我们可以利用这些结论来解决三角函数相关的问题。
2. 向量与三角函数的综合应用在物理学、几何学等领域，向量是一种非常基础且重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
在解决实际问题时，我们常常需要使用向量来分析和求解。
与三角函数的综合应用相结合，向量可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，在平面几何中，我们可以利用向量和三角函数来求解两条直线的夹角、判断线段是否相交等问题。
在物理学中，我们可以通过向量和三角函数来分析物体的受力情况、解决平衡条件等问题。
3. 综合应用的例题分析下面我们通过一个例题来进一步探讨归纳、三角函数和向量的综合应用。
例题：一架飞机从A点出发，向北飞行80km到达B点，然后改变航向向东飞行150km，到达C点。
求飞机从A点到达C点的位移和距离。
解析：首先我们可以将该问题转化为向量问题。
设A点为原点O(0, 0)，则B点的位置向量为\(\vec{OB}\) = 80\(\vec{i}\)，其中\(\vec{i}\)为x轴的单位向量。
同理，C点的位置向量为\(\vec{OC}\) = 80\(\vec{i}\) + 150\(\vec{j}\)，其中\(\vec{j}\)为y轴的单位向量。
平面向量综合运用知识点
平面向量综合运用知识点一、知识概述《平面向量综合运用知识点》①基本定义：平面向量啊，就是在一个平面内既有大小又有方向的量。
这么说吧，就像你要描述一个人在操场上跑，只说跑多远不行，还得说往哪个方向跑，这就是向量的直观感觉。
大小就是向量的长度嘛，方向就是它指向哪儿。
②重要程度：在数学学科里特别重要。
很多几何问题、物理问题（像是力的合成啥的）都得靠它来解决。
要是没有平面向量，很多复杂的图形关系和物理真实现象都不好处理。
③前置知识：你得先知道基本的代数运算，像加减乘除这些。
还得了解一些几何的基本概念，比如点线面之类的，因为很多向量的问题都和几何图形有关。
④应用价值：实际应用那就太多了。
在建筑工程里，计算一些力的合成与分解就得用到向量。
比如说想知道一个斜着的梁受到的几个力合起来多大，往哪个方向，用向量就很容易。
还有在导航里，如果说一个飞机的速度是有方向有大小的向量，风的速度也是向量，那求飞机实际飞行方向和速度就得向量的知识。
二、知识体系①知识图谱：平面向量综合运用知识在数学里属于向量这一块内容。
它就像是各个向量知识的集大成者，用到向量的基本运算、向量与几何图形关系这些基础知识。
②关联知识：和三角学、解析几何联系很紧密。
比如向量的方向可以用三角函数表示，在解析几何里很多直线和曲线的关系可以转化成向量关系。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话有点难。
因为它是综合运用，需要把好多知识点揉在一起。
- 关键点：要能清楚地把向量问题转化成可计算的形式，不管是用坐标表示也好，还是用几何关系推导也好。
④考点分析：- 在考试中的重要性：非常重要。
数学考试里常常会有和向量综合起来的题目。
- 考查方式：有选择题问向量关系的判断，填空题让你求向量的值，还有大题综合几何和向量让你证明或者求值。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则就是把两个向量当成平行四边形的相邻两边，那它们的和向量就是这个平行四边形的对角线（同一起点）。
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
向量数量积的综合应用
高中数学：向量数量积的综合应用(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( C )A ．内心 B.外心 C ．重心D.垂心解析：由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．(2)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为π6＜A ＋π6＜7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2， 所以B ＝π－π3－π2＝π6.(3)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为6__.解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 23＝1，解得y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.【条件探究1】 本典例(1)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心__．解析：由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， 即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， 而AB →|AB →|和AC→|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ， 即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心． 【条件探究2】 本典例(1)中，将条件变为“已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →”，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的外__心、重 心、垂 心．解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝0，所以CA →·PB →＝0，所以CA →⊥PB →，即CA ⊥PB ，同理AP ⊥BC ，CP ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解.(1)(2019·安徽淮北一模)已知直线l 1与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于不同的A ，B 两点，对平面内任意点Q 都有QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →，λ∈R .又点P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，则P A →·PB →的最小值为( C )A ．21 B.9 C ．5D.0解析：如图，∵对平面内的任意点Q 都有QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →，λ∈R ， ∴A ，B ，C 三点共线，即AB 为圆C 的直径． ∴BA →＝P A →－PB →，2PC →＝P A →＋PB →， ∴BA →2＝P A →2＋PB →2－2P A →·PB →①， 4PC →2＝P A →2＋PB →2＋2P A →·PB →②.②－①，得P A →·PB →＝PC →2－14BA →2＝PC →2－4. ∵点C 到直线l 2的距离为3，∴PC →2≥9，∴P A →·PB →的最小值为5，故选C.(2)(2019·兰州诊断)已知向量a ＝(cos2x ，sin2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m .①求f (x )的最小正周期；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值． 解：①f (x )＝(cos2x ，sin2x )·(3，1)＋m ＝3cos2x ＋sin2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π|ω|＝π.②由①知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3时，f (x )的最小值为－3＋m ， 又∵f (x )的最小值为5，∴－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.。
高考数学中的立体几何与概率与数列与数学归纳法与指数对数与向量的综合运用方法
高考数学中的立体几何与概率与数列与数学归纳法与指数对数与向量的综合运用方法在高考数学中，立体几何、概率、数列、数学归纳法、指数对数和向量是常见的考点。
这些概念在数学中是相对独立的，但在解决实际问题时，可以进行综合运用，有效提升解题能力。
本文将围绕这些内容，详细介绍高考数学中的综合运用方法。
一、立体几何与概率的综合运用方法立体几何是高考数学中的重要考点之一，而概率则是数学中的一门独立分支。
然而，在某些问题中，立体几何和概率可以相互结合，帮助我们解决一些更复杂的问题。
以一个简单例子来说明，假设有一个正方体，如果骰子掷出的点数是奇数，则取一个白色的小球放入一个盒子里；如果骰子掷出的点数是偶数，则取一个黑色的小球放入盒子里。
现在假设有人从盒子中随机取出一个小球，问取出的小球是白色的概率是多少？解决这个问题可以综合运用立体几何和概率的知识。
首先，我们知道正方体共有6个面，每个面上的点数是1、2、3、4、5、6。
而在这6个数字中，奇数有1、3、5，偶数有2、4、6。
根据概率的定义，概率可以用“事件发生的次数/总的可能性次数”来表示。
在这个问题中，白色小球出现的次数是3（奇数），总的可能性次数是6。
所以，取出白色小球的概率是3/6=1/2。
这个例子中，我们综合运用了立体几何中正方体的知识和概率的计算方法，帮助我们解决了一个复杂的问题。
在高考数学中，类似的综合运用方法还可以遇见很多。
通过积极梳理知识点，善于思考，我们可以更好地应用所学知识解决难题。
二、数列与数学归纳法与指数对数的综合运用方法数列是高考数学中经常出现的考点，在解题过程中常常需要运用到数学归纳法。
而指数对数作为数学中的另一重要知识点，也有着广泛的应用，它们和数列可以相互结合，形成综合运用的方法。
假设有一个数列：1，2，4，8，16，...，其中每一项都是前一项的2倍。
现在要求证明这个数列可以写成2的n次方形式，其中n为正整数。
解决这个问题可以综合运用数列、数学归纳法和指数的知识。
向量在生活中的应用159661[整理版]
![向量在生活中的应用159661[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a5aa2e3e657d27284b73f242336c1eb91a373366.png)
向量在生活中的应用159661在生活中向量也有一些具体表现形式，有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系，将生活与数学知识之间进行沟通，使动静转换充实到解题过程之中。
一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。
而速度等于位移除以时间，由三角知识可求出坐标表示的速度向量。
⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解。
解：⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|AB|＝(-5)2+52＝52，∠xOB＝135°⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24?＋2?)＝0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?。
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?，10百米”处。
平面向量综合应用 - 举例,详尽
平面向量的综合应用题型一 向量的运算判断三角形的形状：1.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形2．已知△ABC 中，AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 解析：选D.AB →·BC →＋AB →2＝0化为AB →·(BC →＋AB →)＝0，即AB →·AC →＝0，所以AB →⊥AC →. 所以△ABC 为直角三角形． 又根据条件，不能得到|AB →|＝|AC →|.3．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0. (AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．4.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5 AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示．故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →.所以△ABM 与△ABC 的面积之比为35.题型二 三角形的心的向量形式应用1.已知点G 是△ABC 的重心，∠BAC ＝120°，AB →·CA →＝2，则|AB →＋AG →＋AC →| 的最小值为________．因为∠BAC ＝120°，AB →·CA →＝2，所以|AB →||CA →|cos(180°－120°)＝2，所以|AB →||AC →|＝4.因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以|AB →＋AG →＋AC →|2＝⎣⎡⎦⎤43（AB →＋AC →）2＝169(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝169(AB →2＋AC →2－4)≥169(2|AB →||AC →|－4)＝169×(2×4－4)＝649， 当且仅当|AB |＝|AC |时等号成立故|AB →＋AG →＋AC →|的最小值为83.2.(2015·云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心设BC 边的中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，MD →⊥BC →，MD ⊥BC ，MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心，故选C.3.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________.解析：由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c2＝32，又0＜A ＜π，所以A ＝π6.答案：π64.ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，其中2,3==c b ，o 为ABC ∆的外心，则=⋅， A 213 B 25 C 25- D 6+=,)(21+=,-=法二：题型三 三点共线向量形式的应用1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于________.解：∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，∴a 1＋a 200＝1，∵{a n }是等差数列，∴S 200＝200×（a 1＋a 200）2＝100.故填100.2.(2014·西安模拟)若直线l 上不同的三个点A ，B ，C 与直线l 外一点O ，使得x 2OA →＋xOB →＝2BC →成立，则满足条件的实数x 的集合为( )A.{－1，0}B.}251,251{-+ C. }251,251{--+- D.{－1} 解：由x 2OA →＋xOB →＝2BC →＝2(OC →－OB →)可得，OC →＝x 22OA →＋)12(+x OB →，由A ，B ，C 共线知，x22＋)12(+x ＝1，解得x ＝－1或x ＝0(舍)，故选D. 题型四 用向量形式表示的最值 方法一 几何意义法 方法二 坐标化方法1.直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM →＋ON →|≤|MN →|，则实数t 的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)B.[]－2，2C.[]－2，－2∪[]2，2D.[]－2，2解：|OM →＋ON →|≤|MN →|＝|ON →－OM →| ，两边平方得OM →·ON →≤0，∴圆心O 到直线x ＋y ＋t ＝0的距离d ＝|t |2≤22r ＝1，解得－2≤t ≤2.故选D.2.(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.解法一：设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆C 的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.解法二：动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3＋cos θ，sin θ)，则OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos θ，3＋sin θ). |OA →＋OB →＋OD →|＝（2＋cos θ）2＋（3＋sin θ）2＝8＋2（2cos θ＋3sin θ）＝8＋27sin （θ＋φ）.其中tan φ＝233，当sin(θ＋φ)＝1时，|OA →＋OB →＋OD →|的取值最大值为1＋7.故填1＋7.3.(2013·湖南)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －|＝1，则|c |的取值范围是( )A.[]2－1，2＋1B.[]2－1，2＋2C.[]1，2＋1D.[]1，2＋2解：依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，由︱c －－︱＝1得，(x －1)2＋(y －1)2＝1.∵︱c ︱表示点C (x ，y )到原点的距离，且点C (x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2＝1，画出圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴|c |即为圆C 1上一动点C (x ，y )到原点的距离|OC |，由图可知直线OC 1和圆C 1相交于点A ，B ，则|OC |最大值为|OC 1|＋1，最小值为|OC 1|－1，又|OC 1|＝12＋12＝2，所以2－1≤|OC |≤2＋1.故选A 4.(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：选D.设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3，0)，得(x －3)2＋y 2＝1.又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2. ∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离．由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.5.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)∵a 与b 反向，∴a 与b 共线，∴m (2m ＋1)－2×3＝0⇒2m 2＋m －6＝0⇒m ＝－2或m ＝32.当m ＝－2时，a ＝(－3，3)，b ＝(2，－2)，a 与b 反向，此时|b |＝22；当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝)23,2(，a 与b 同向，不合题意.故选D.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.6.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[解] 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A (1,0)，B )23,21(-，设∠AOC ＝α]32,0[πα∈，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12ysin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin )6(πα+，又α∈]32,0[π， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.7.(2016·河南商丘二模)已知a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0.若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是 ( )A ．[3，10] B.[3,5] C ．[3,4] D.[10，5]B [∵a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0，∴设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )， 代入|c －4a |＋|c －3b |＝5，得(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝5.即(x ，y )到A (4,0)和B (0,3)的距离和为5.∴c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段， 又|c ＋a |＝(x ＋1)2＋y 2，表示M (－1,0)到线段AB 上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x ＋4y －12＝0的距离，∴|c ＋a |min ＝|－3－12|5＝3. 又最大值为|MA |＝5，∴|c ＋a |的取值范围是[3,5]．故选B.]8.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得20)23(-x ＋20)23(-y ＝14，所以点M 的轨迹方程为41)23()23(22=-+-y x ，它表示以)23,23(为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝22)023()323(-++＋12＝72，所以|BM →|2max＝494. 答案494设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则||F A →＋||FB →＋||FC→的值为_________. 解：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，由于F (1，0)，则F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0得x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，x 1＋x 2＋x 3＝3.则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋3＝3＋3＝6.故填6.如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →的坐标为(1，1)．(1)求|OP →|；(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．解：(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N . |ON →|＝1，|OM →|＝|NP →|＝1，∠ONP ＝120°， ∴|OP →|＝|ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →|cos 120°＝ 3.(2)设|OA →|＝x ，|OB →|＝y .OP →＝mOA →＋nOB →(m ＋n ＝1)，则OP →＝mOA →＋nOB →＝mx e 1＋ny e 2.得⎩⎪⎨⎪⎧mx ＝1ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin 60°＝12xy sin 60°＝34xy .因为1x ＋1y ＝1≥2xy ，所以xy ≥2，S △AOB ＝34xy ≥3，当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB面积最小，最小值为 3.题型五 平面向量与三角函数联系在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，2分即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.5分 (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，7分即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，9分 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.12分 题型六 平面向量与解析几何相联系 坐标化方法： 1.过点()2,2-A 作直线l 交y 轴于点B ，交直线x y l 21:1-=于点C ，且=2，求直线l 的一般式方程解：设),(),,0(00y x C b B ，则有⎩⎨⎧-=-+=-2)(220)0(200b b y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-==223100b y x 代入，可得⎪⎩⎪⎨⎧==3110b x ， 直线的一般方程 为0265=++y x2.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3440x y -+=与圆C 相切. （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3Q -的直线l 与圆C 交于不同的两点()11,A x y ， ()22,B x y 且为3=⋅OB OA 时，求：求直线l 的一般式方程解：（1）设圆心为C （a ，0），（a ＞0），则圆C 的方程为（x ﹣a ）2+y 2=4． 因为圆C 与3x ﹣4y +4=0相切，所以=2，解得：a=2或a=﹣（舍），所以圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2=4．…（4分）（2）设M （x ，y ），P （a ，b ），由题意，M 是PQ 的中点，所以2x=a ，2y=3+b ， 所以a=2x ，b=2y ﹣3，即P （2x ，2y ﹣3）在圆C 上， 所以：（2x ﹣2）2+（2y ﹣3）2=4为M 的轨迹方程； （3）依题意：设直线l 的方程为：y=kx ﹣3， 由得（1+k 2）x 2﹣（4+6k ）x +9=0，∵l 与圆C 相交于不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴△=（4+6k 2）﹣4（1+k 2）×9＞0，且x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1﹣3）（kx2﹣3）=k2•x1x2﹣3k （x1x 2）+9=﹣+9，又∵x 1x 2+y 1y 2=3， ∴+﹣+9=3，整理得：k 2+4k ﹣5=0解得k=1或k=﹣5（舍）．∴直线l 的方程为：y=x ﹣3．…（8分） 圆心C 到l 的距离d==，在△ABC 中，∵|AB |=2=，原点O 到直线l 的距离，即△AOB 底边AB 边上的高h==，∴S △AOB=|AB |•h=••=．…（12已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅ 的值为A. 3B.C. 2D. 3-【解析】动直线l 与圆O ： 224x y +=相交于A ， B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l为2y =+，根据题意可得()2,0B -，(A -，∵M 是线段AB 的中点，∴32M ⎛- ⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA = ，∴()()52,12x y x y ---=--，∴())5212{ 52x x y y--=---=，解得13{x y =-=，∴13C ⎛- ⎝⎭，∴131533222OC OM ⎛⎛⋅=-⋅-=+= ⎝⎭⎝⎭，故选A ． 太麻烦了，其实与C 点无关，利用OC OM ⋅θcos ||||OM OC =,可得,或者+=。
平面向量的综合应用
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )题组二 教材改编2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)，∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.题组三 易错自纠。
向量的应用
向量的应用向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，就来源而言，向量的概念来自对物理学中的力、速度以及加速度这一类矢量的研究。
由于向量具有大小和方向，而我们的学生对数及其运算较为熟悉，而在学了向量后，思维得以开阔，可使学生增长知识，对数及其运算的认识加深了一步，更重要的是由于向量具有的几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。
向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
为学习三角、复数、几何等作了准备。
1、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。
利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。
由于用向量解决问题时常常是以三角形为载体的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。
2、向量在代数中的应用向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。
用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。
但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。
这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。
因而变选学内容也就不难理解了。
另外我们在求一元函数的取值范围时，往往利用重要不等式或一元二次函数的性质，而当函数中含有根式时，问题就要复杂得多，这时巧妙运用“向量数量积小于等于向量的积”这一性质，可得到求解的新方法。
在不等式的证明、求解无理函数的最值中运用向量性4、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。
平面向量的综合应用
2、向量数量积： a b a b cos a， b 若a x1，y1 、 b x 2，y 2 则a b x1x 2 y1y 2 3、 a与b的夹角： cos a， b a b ab x1x 2 y1 y 2 x 21 y 21 x 2 2 y 2 2
2
2
2
C
3、已知向量OA 1, 2 , OB 2, m ，若OA OB，则向量OA与 AB
C
3 2 A、 B、 C、 D、 4 4 3 3 重 心。 4、已知在 ABC中， OA OB OB OC OC OA, 则O是 ABC的____
1
y
2
6、平移公式：
x xh
'
y yk
'
或
x x h
'
y y' k
基础检测
1、已知正方形ABCD的边长为1， AB a、 BC =b、 AC =c，则a b c 的模等于
C
2
A、 0 B、 3 C、 2 2 D、
2、设a、是两个非零向量，则 b a b a b 是a b的 A、充分不必要 C、充要条件 夹角为 B、必要不充分 D、既不充分也不必要条件
1、求函数的正周期. 2 、若x 0,2 ,当OP OQ
1时，求x的取值范围.
例2：已知向量a、 b、 c、，设实数 d x、y满足 a b 1， c a x 2 3 b d ya xb, 若a b、 c d，且 c 10
向量的综合应用（一）
娄底一中：刘瑞华
知识网络
概念
1 5730 p 2
向量的综合应用——专题培优、能力提升复习讲义
向量的综合应用——专题培优、能力提升
复习讲义
一、向量基础知识回顾
1. 向量的定义：向量是有方向和大小的量，用箭头表示。
2. 向量的表示方法：常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解表示法。
3. 向量的运算：向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。
二、向量的专题培优
1. 向量的模：向量的模是向量的长度，可以用勾股定理计算。
2. 向量的方向角：向量的方向角是与正坐标轴的夹角，可以用三角函数计算。
3. 向量的投影：向量的投影是指向量在某一方向上的分量，可以用点乘法计算。
三、向量的能力提升复
1. 向量的相等性：向量相等的条件是大小相等且方向相同。
2. 向量的平行性：向量平行的条件是方向相同或相反。
3. 向量的垂直性：向量垂直的条件是它们的点乘积为零。
四、综合应用练
1. 通过练题加深对向量基础知识的理解。
2. 进行向量的模、方向角、投影、相等性、平行性和垂直性的练。
3. 解答练题过程中要注意运用向量的运算法则和相关公式。
五、总结与归纳
1. 复向量基础知识是理解向量综合应用的前提。
2. 向量的综合应用需要灵活运用向量的运算法则和相关公式。
3. 通过练题巩固向量的应用技巧，提高应试能力。
六、附录
1. 相关公式和定理的整理。
2. 常见的向量综合应用题库。
向量的综合应用
向量的综合应用引言：向量作为数学中的重要概念，不仅在理论研究中有着广泛的应用，同时也被广泛运用于各个领域的实践中。
本文将从几个方面介绍向量的综合应用，包括向量的几何意义、向量与力的关系以及向量在导航系统中的应用等。
第一部分：向量的几何意义1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
在空间中，向量通常有三个分量：x、y和z。
2. 向量的运算向量的几何运算包括加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等。
3. 向量的平行和垂直关系两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或者相反；两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
第二部分：向量与力的关系1. 力的概念和性质力是物体之间相互作用的产物，具有大小和方向。
力的作用可以改变物体的状态或者形状。
2. 向量描述力的特点根据牛顿第二定律，力可以用向量表示，即力的大小和方向有明确关系。
通过向量的运算，可以得到多个力合成后的结果。
3. 向量力的分解对于一个斜向上施加的力，可以通过向量的分解，将它拆分为与斜面平行和垂直的两个力，从而更好地理解力的作用。
第三部分：向量在导航系统中的应用1. GPS定位原理GPS定位系统通过卫星发射的信号，计算出接收器与卫星之间的距离，并利用向量的几何关系，确定接收器所在的具体位置。
2. 导航中的向量分析导航系统中，通过对当前位置和目标位置的向量进行分析，可以计算出最短路径，并指导行进方向，提高导航的准确性和效率。
3. 向量导航在现实生活中的应用向量导航不仅在汽车导航系统中得到广泛应用，同时也在航空、航海和无人机等领域中发挥着重要的作用，为人们提供方便和安全。
结论：通过上述内容，我们可以看到向量在几何、力学和导航系统等领域的广泛应用。
向量的综合应用不仅丰富了数学理论研究，同时也为我们日常生活中的各个方面提供了便利和解决问题的方法。
因此，理解和掌握向量的概念和运算是非常重要的。
平面向量和立体向量的综合应用
平面向量和立体向量的综合应用在数学和物理学中，向量是一种重要的数学工具，被广泛应用于不同领域。
平面向量和立体向量是两种常见的向量类型，它们具有不同的特点和应用。
本文将探讨平面向量和立体向量的综合应用，以及它们在实际问题中的用途和意义。
一、平面向量的综合应用平面向量主要用于描述平面内的运动和变换。
在物理学中，平面向量广泛应用于描述力、速度和位移等概念。
在几何学中，平面向量用于求解直线、平面以及多边形等几何形体的性质。
1. 力的平行四边形法则根据平行四边形法则，平面上两个力的合力可以用两个力的夹角和大小来表示。
通过将两个力的末端连接起来，形成一个平行四边形，合力即为对角线的向量。
2. 速度的矢量和法则在运动学中，速度可以用矢量来表示。
当物体在平面上做复合运动时，可以将各个分速度的向量相加得到物体的合速度。
根据矢量和法则，将各个分速度的向量首尾相接，合速度即为连接首尾的向量。
3. 位移与向量共线在平面上，物体的位移可以用向量来表示。
当物体做直线运动时，位移向量与速度向量方向相同。
而当物体做曲线运动时，位移向量与速度向量可能不再共线，需要考虑运动路径的曲率。
二、立体向量的综合应用立体向量是用于描述三维空间中的运动和变换的工具。
在几何学和物理学中，立体向量被广泛应用于描述力矩、力矩偶和力的三元组等概念。
1. 力矩的向量表达当物体受到一个力矩作用时，可以用一个向量来表示力矩的大小和方向。
根据右手法则，将原点与力的作用点相连，并用右手的四指指向力的方向，此时大拇指所指的方向即为力矩的方向。
力矩的大小则由力和力臂的乘积来表示。
2. 力矩偶与平衡条件在静力学中，力矩偶是由两个大小相等、方向相反的力矩组成的。
当一个物体受到力矩偶的作用时，物体处于平衡状态，力矩偶的合力为零。
根据向量的加法规则，将两个力矩偶的向量相加得到力矩偶的合力，当合力为零时，物体处于平衡。
3. 力的三元组表示在空间中，力可以由三个分力组成，分别沿着x、y、z轴的方向。
空间向量与平面的综合应用
空间向量与平面的综合应用在几何学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，它可以在三维空间中表示位置、方向或力量。
而平面则是由无限多个共面的点组成的。
本文将探讨空间向量与平面的综合应用。
一、平面方程的向量表示平面可以通过向量的形式来表示。
设平面上一点为A，平面的法向量为n，则平面上任意一点P到点A的向量形式为AP。
利用法向量n，可以得到平面方程的向量表示形式。
二、空间直线与平面的交点当空间直线与平面相交时，我们可以利用向量的运算求得交点的坐标。
设直线上一点为P，直线的方向向量为v，平面上一点为A，平面的法向量为n，则直线与平面的交点坐标可以通过如下公式求得：交点的坐标 = 直线上一点坐标 + (直线方向向量与平面的法向量的叉积) / (直线方向向量与平面的法向量的点积)三、平面之间的夹角夹角是平面之间的重要概念，可以通过向量的点积公式求得。
设平面A和平面B的法向量分别为n1和n2，则平面A和平面B的夹角θ可以通过如下公式求得：cosθ = (n1 · n2) / (|n1| |n2|)四、平面与平面的交线当两个平面相交时，它们之间会形成一个交线。
这个交线同时位于两个平面上。
我们可以通过求解两个平面的方程来确定交线的参数方程。
五、向量在平面内的投影当一个向量在平面内的投影时，我们可以利用向量的投影公式求得投影向量的坐标。
设向量v在平面n上的投影向量为p，则投影向量的坐标可以通过如下公式求得：p = v - (v · n) / (n · n) * n六、平面的旋转在三维空间中，平面也可以发生旋转。
我们可以利用旋转矩阵来描述平面的旋转。
给定平面的法向量n和旋转角度θ，旋转后的平面的法向量n'可以通过以下公式求得：n' = R(θ) * n其中R(θ)是绕法向量n旋转角度θ的旋转矩阵。
总结：空间向量与平面的综合应用非常广泛，它们在数学、物理、工程等领域中都扮演着重要的角色。
向量的综合的应用与概率
向量的综合应用举例与概率1. 设平面内的向量)7,1(=OA , )1,5(=OB , )1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PB PA ⋅取最小值时，OP 的坐标及∠APB 的余弦值．2. 已知向量→a =（2，2），向量→b 与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围.3. 设x , y ∈R ，i 、j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量，若a =x i +（y+2）j ，b =x i +(y－2) j 且a 2+b 2=16.（1）求点M （x, y ）的轨迹C 的方程；（2）过定点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，若不存在说明理由.1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球 2.如果事件A ，B 互斥，那么( ).A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A 是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( ).A ．61 B ．365 C ．121 D ．214.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S ”的概率为 ．5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有 个．6.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率7.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．8.设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2 ＝0．若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．。
空间向量的综合应用
空间向量的综合应用1.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE 丄平面ABCD, AF // DE , DE = 3AF , BE 与平面ABCD所成角为60° .(1)求证：AC丄平面BDE;(2)求二面角F -BE -D的余弦值;(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点AM //平面BEF，并证明你的结论.解：⑴证明：因为DE丄平面ABCD,所以DE IAC,又因为四边形ABCD为正方形，所以ACJBD.因为BD n DE = D，所以AC丄平面BDE.(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系.因为BE与平面ABCD所成角为60° ,即ZDBE = 60°，所以DB =帀・由AD= 3 可知DE = W e, AF = ^6.则 A(3,0,0), F(3,0, V 6), E(0,0,3V6), B(3,3,0), C(0,3,0),所以"B = (0,— 3, V 6),= (3,0,— 2/6).设平面BEF 的法向量为n = (x , y , z),「n —F = 0, J 3y + V 6z = 0, 由＜ 即＜L n "A= 0, j3x — 2辰=0, 令北=&,则 n =(4,2, V 6). 因为AC 丄平面BDE ,所以"尺为平面BDE 的法向量，且 "A = (3,— 3,0),⑶设 M(t , t,0)，则 AI A= (t — 3, 因为AM //平面BEF , 所以入Mf n = 0, 即 4(t — 3)+ 2t = 0, 解得t = 2. 1此时，点M 坐标为(2,2,0), BM = 3BD ，符合题意.At2•如图，在正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB = 1,MB所以 cos 〈n , CA 〉A伍|n||CA|V 26X 3^2= 13 .因为二面角为锐角，所以二面角F -BE -D 的余弦值为斗?・t,0),AA i = 2, M 为AB 的中点，P 是侧棱CC i 上的一点，CP = m.(1) 求直线AP 与直线DM 所成角的余弦值的取值范围; (2) 在线段A i C i 上是否存在一个定点 Q ,使得对任 意的m , D i Q 在平面APD i 上的射影垂直于 AP ,并证 明你的结论.解：以D 为坐标原点，DA , DC , DD i 所在直线分D i (0,0,2).(1)设直线DM 与AP 所成的角为0,( i y可知—ivr= i , 2, 0, ―=(-i,i ,\ 2J即直线AP 与直线DM 所成角的余弦值的取值范围为(2)假设在A i C i 上存在一点Q,使得对任意的m,D i Q 在平面APD i 上的射影垂直于AP ・别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则A(i,0,0), B(i,i,0), C(0,i,0), D(0,0,0), M i , 舟，0],P(0,i,m),C i (0,i,2),所以cos 0=理化|D M I 11—p |12Ii2 + m 2V 52+ m 2)又g 代2'所以五鶴'MUm),pI pIIp/SQ L30 ,全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）证明如下:由题意可设Q 点的横坐标为X , 则 Q(x,1 - x,2),依据题意，对任意的m ,要使D i Q 在平面APD i 上的射影垂直于 AP 等价于D i QIAP ,即亦―Q = 0,又石= (— 1,1, m), Di Q = (x,1 — x,0), i所以一x + i — x = 0,即x = 2・ 故Q 为A i C i 的中点时，满足要求. 3.（优质试题常州期末）如图，在四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面 ADD i A i 丄底面 ABCD ,D i A = D i D = V 2,底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC / AD , AB l AD , AD = 2AB = 2BC = 2.（1）在平面ABCD 内找一点F ,使得D i F 丄平面AB i C ;所以 AE lAi D i .又 A i D i /AD ，所以 AElAD.因为侧面 ADD i A i l 底面ABCD ，侧面 ADD i A i Q 底面ABCD =⑵求二面角C-B i A-B 的余弦值. 解：⑴取A i D i 的中点E ,因为D i A = D i D , 所以 D i A = A i A ,门AD, AE?侧面ADD i A i,所以AE丄平面ABCD.则以A为原点，以AB, AD, AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(1,0,0),D i(0,1,1), B i(1, - 1,1),设F(a, b,0),则亦= (a, b—1, = (1,1,0), A B1 = (1,- 1,1),因为D1F丄平面AB1C,[Dt A C = 0,所以｛[亦 DC = 0,得a= b= 2所以存在AC中点F，使D1F丄平面AB1C.1(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1 = Di C = ?,设平面B1AB的法向量n2= (x, y, z),因为—= (1,0,0),*2 -A B = 0, 「x= 0,所以｛即＜l n2DC = 0, l x—y+ z= 0,令y= 1,得n2= (0,1,1). -1), AC「a+ b-1= 0,即＜l a—b= 0,所以F(2, 2,0｝即F为AC的中点.2,-1._ 3 — 2 V 3则 cos < m, n2>=一73 ----- =—牙由图知二面角C-B i A-B 为锐角, 所以二面角C-B 1A-B 的余弦值为爭.4.(优质试题 南师大附中检测)如图1所示，正△ ABC 的边长为 4, CD 是AB 边上的高，E , F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，如图2所示.(1)求二面角E-DF-C 的余弦值;图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,2), B(2,0,0), C(0, W3,0), E(0, V 3, 1), F(1, V 3, 0),易知平面CDF 的法向量为 b A = (0,0,2),(2)在线段BC 上是否存在一点P , 解：使AP 丄DE ?证明你的结论.C打C图2(1)由题意D 为原点，建立如全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）设平面EDF 的法向量为n = （x , y , z ）, [x + \/3y = 0,即< 厂 取 n = (3,—/3, 3), W 3y + z = 0,所以 cos <"D X ,斗回2X ^21由图知二面角E-DF-C 为锐角, 所以二面角E-DF-C 的余弦值为普1.⑵设 P(x , y0),则亦= (x , y ,— 2),尢= (0,73,1), 由题意，:AC 4C = V3y — 2= 0,解得y = 警 又亦=(x — 2, y0),戶C = (— X ,2/3— y,0), 因为—C //PC ，所以(x — 2)(273— y)= — xy , 所以^/3x + y = 2^/3.把y =響代入上式得x =3,所以―C=1—C , 所以在线段BC 上存在点P ^,晋，0）使APIDE.二上台阶，自主选做志在冲刺名校 （优质试题•无锡期末）如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AD = 1, D 1D = 2,点 P 为棱 CC 1 的中点.（1）设二面角A-A i B-P 的大小为0,求sin 0的值;「n * = 0, L n •DE = 0,flCAM⑵设M为线段A1B上的一点，求MP的取值范围.解:7Cy fi⑴如图，以点D为原点，DA，DC, DD i所在直线分别为x轴, y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0)，A i(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1, 1,0),所以"PA1 =(1,—1,1),曲= (1,0,—1),设平面PAB的法向量为m= (x, y, z),「m —1 = 0, 「X—y+ z= 0,则｛即<L m —B = 0, l x—z= 0,令x= 1, 得m= (1,2,1).又平面AA1B的一个法向量n = -D^ = (1,0,0),审" / \ n m 心所以 89 5, m〉=|n||m|= 6 ,⑵设M(x, y, z),因为M在A1B上，所以B Mf= ZBA1，即(X —1, y—1, z)= 40，—1,2)(0< w 1),2 — 1令 2"t 4— 1,1]'则5?工2 5t 2 + 2t + 5' 4t 4当 t 4— W 时’5t 2+ 2t + 5 = 5t+^4t4当跑1]时’E =下4t4t 「当"0时’5t 2右二0，所以越匚5 4则 AM 惜'23311 2,所以 M （1,1—入 2?）,4t。
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17、向量的综合应用
1、 如何研究y Asin( x )性质：
2、 正余弦叠加公式
3、 二倍角公式
r r r r
4、 向量数量积的坐标表示：设 a (x 1, y-i ), b (x 2, y 2)，贝U a b _____________________
r
5、 如何求a (x,y)的模。
_______________________________
r _
_ 例 2：设向量 m (cos ,sin ) , n (2、, 2 sin ,2、、2 cos ),
的值(2) cos(—)的值. 12
17、向量的综合应用巩固拓展
1、已知 a (cosx,sin x),b (cosx 3sinx, 3cosx sinx), f(x) a b (1 )求 f (x)的解析式及其最小正周
期；(2)求f (x)的单调增区间. 例1:已知： a (、、3si nx,cosx),b (cos x,cos x) , f (x) 2a b 2m 1。
(1)求 f (x)关于 x 的表达式，并求
6、双勾函数的性质: f(x)的最小正周期; ⑵若x [0,-]时f(x)的最小值为 5,求m 的值.
(i )，若 m?n 1，求：(1) sin( ) 4 x (t
2)a (t 2 试求出函数k (J3, 5)b , f(t)在 t ( 1) ka (雳)(1)证
4b ,且x y ,试 2,2)上的最小值。
⑵若存在实数k 和t ,满足 求出k 关于t 的关系式，即k f (t)；⑶根据⑵ 的结论,
uv
v —
2、已知锐角厶 ABC 三个内角为 A 、B 、C,向量 p= (2- 2si nA,cosA+s inA )与向量 q = (s in A- cosA,1+si nA ) C - 3B 是共线向量•⑴求角A.⑵求函数y= 2sin 2B+cos 的最大值. 2 .亠=—> —>
n n 3、已知向量 AB = (1 + tanx , 1 — tanx ), AC = (sin(x —
sin(x + 4)) n uuiu
n ，求|BC |的取值范围.
型1的最小值。
f(x)
1
5、二次函数 f (x)对任意 x R ，都有 f (1 x) f (1 x)成立，设向量 a ( sinx , 2), b (2sinx , — )
, c
2 (cos2x , 1) , d (1, 2),当 x [0, n 时，求不等式 f ( a b )> f ( c d )的解集。
a ( 1,2)，又点 A(8,0), B(n,t),C(ksin ,t)(0 uuu r uuu — uuu -)(1 )若 AB a,且| AB| , 5 | OA|，求向
uuiu _
量OB ; (2)若向量AC 与向量a 共线，当k 4时，且tsin 取最大值为4时，求OA ? OC uuur uuu n (1)求证：AB 丄 AC (2)若 x € [ — 4, 4、已知函f(x)=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,
AB 2i 2] ( i, j 分别是与x 轴和y 轴正半轴同 方向的单位向量) 2 ，函数g(x)= x — x — 6,(1)求k 、b 的值(2)求不等式
f(x)>g(x)的解集 M (3)当 x M 时，求函数
6、已知向量 uuur uurr uuuv。