运筹学中求检验数的求法
《运筹学》试题及答案大全
《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。
4、在图论中，称无圈的连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
《运筹学》期末考试试题及参考答案
《运筹学》试题参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为 可行解 。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理 变量 为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是 设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式 。
4、在图论中，称 无圈的 连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 最小费用法 、 西北角法 两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题： 1）max z = 6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ， 解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹可行解域为abcda ，最优解为b 点。
由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x =（11，0）T ∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：A B C 甲 9 4 3 70 乙 4 6 10 1203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分） 解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0 x 3+0 x 4+0 x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：∴X *=（11，11，11，0，0）T∴max z =70×11100+120×11300=1143000四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z / =－5x 1－2x 2－4x 3 s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z / =－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7 s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：∴x *=（32，2，0，0，0）T最优目标函数值min z =－max z / =－（－322）=322五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）1）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分） 2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
运筹学作业答案
《运筹学》作业答案作业一一、是非题：下列各题，你认为正确的打在每小题后的括号内打“√”，错的打“×”。
：1. 图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（√ ）2. 线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。
（╳ ）3. 如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
（√ ）4. 用单纯形法求解Max 型的线性规划问题时，检验数Rj ＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
（√ ）5. 单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（√ ）6. 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
（╳ ）7. 若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
（╳ ）8. 对一个有n 个变量，m 个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为m nC个。
（ ╳）9. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（ √）10. 求Max 型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
（ √）二、线性规划建模题：1.某公司一营业部每天需从A 、B 两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。
已知：从A 仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B 仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。
问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A 、B 两仓库各多少部汽车，并使总运费最少？解：设营业部每天应发往A 、B 两仓库各x 1，x 2部汽车,则有：12121212min 200160472402280621200(1,2)j W x x x x x x x x x j =++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2．现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。
《运筹学》知识点总结
1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z2.将下述线性规划问题化成标准形式。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束4,03,2,12321422245243min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，''4'44x x x -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,232142222455243'max 65''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中的可行域的哪个顶点。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 21212121x x x x x x x x z解：①图解法：②单纯形法：将原问题标准化：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++=0,,,825943510max 432142132121x x x x x x x x x x x x z C j10 5 0 0 θ 对应图解法中的点C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0x 48 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj35/2-5/14-25/14最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。
运筹学(首都经济贸易大学)第六章 运输问题
（a）
（b） （c）
（d）
（e）
有关闭回路的一些重要结果
定理6-1 设 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , xis js xis j1是一个闭
回路，则该闭回路中的变量所对应的系数列
向量 Pi1 j1 , Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 , , P P is js is j1 具有下面的
3. m+n-1个变量构成基变量的充要条件 是它们不构成闭回路。
定义6.1 凡是能排成
x , x , x , x , , x x i1 j1 i1 j2 i2 j2 i2 j3
is js is j1
(6-2)
或
x , x , x , x , , x x i1 j1 i2 j1 i2 j2 i3 j2
其对应的列向量
p , i1 j1 p , i1 j2 p , i2 j2 pi2 j3 , , p , is js pis j1
线性相关
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3 eis em js eis em j1
A
1
1
1 1
1 1 1 am
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
运筹学总复习
《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题• 基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。
标准形式：目标函数取“max ”、约束条件取“="、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称 为线性规划的可行域，使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。
•数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法原规划基本解是可行解原规划基本解的检验数小于等于零无可行解解无界计算：nr b । …b9 = min{-a\a > 0] = -i- a ka以a为中心元素进行迭代以a为中心元素进行迭代计算：o = max(o . o , > 0)计算：b = min(b\b < 0)计算:两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。
在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。
第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。
•练习题：1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示：每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅3.min w = x + 2 x + 3 x1 2 3x + 2 x + 3 x = 15s.t < 2x + x + 5x = 20x > 011~34.用对偶单纯形法求解线性规划问题：min w = 5 x + 2 x + 4 x1 2 33 x + x + 2 x > 4s .t < 6 x + 3 x + 5 x > 12x1 > 02 31 1~3第2章整数规划与分配问题•0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握(1)多个取1：¥x = 1，x,= 0,或 1.j=1(2) n 中取 k ：X % = k , x - 0,或 1.j =in 中至少取k ,改为E x > k , x = 0,或1.j -i n 中最多取k , 改为Yx < k , x = 0,或 1.j -i(3)变量取离散数值：x^^^cy.vi =1 i i£y = 1, y = 0或 1i i =1⑷选甲必须选乙，选乙不一定选甲：、 <久，、, 丁或1 （5）两个约束条件只需满足一个:（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选■%+ x w <1< x + x < 1 x , x , x 丙=0或 1I 0,当 x = 0⑼对f (x )= 1 k + cx ,当x > 0可表述为:匈牙利法 步骤：x + x > 2 一 y M < 3 x + 2 x < 10 + y M/ + y 2 = 1,片 y 2 = 0或 1式中：M 为任意大正数 （6）n个约束条件中满足k 个：I x + x > 2 一(1 一 y ) M或1 12一 |3x + 2x < 10 + yM ,y =2ax < 嗔yM< j =1(i = 1,2,L , n )i =1⑺若x 2 < 4，则x 5 >；否则x 2> 4，। x < 4 + y M<x 5>0-y 1M, x 2 > 4- y2Mx 5 < 3 + y 2y 1 +y 2 = y। x < 4 + yMx ： > 0 - yM 或1 5 - x 2 > 4 - (1 - y ) M 「0I f (x ) = yk + cx< y < Mx x < My1.从每行中减去最小数2.再从每列中减去最小数3.⑴先看行,从第一行开始，如该行只有一个0,给该0打A,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行；（2）再看列，如该列只有一个0,给该0打A，划去该0所在行，如无0或两个以上0,转下一列；⑶重复（1）（2）,可能出现三种结局：a.有m个打A的0,令对应A号的xij=1,即为最优.b.存在0的闭回路.对闭回路上的0按顺时针编号，任取单号或双号打A，分别对打A的0都划去所在行（或都划去所在列）返回3（1）C.打A的0的数＜m转44.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3练习题：1.某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如要求：（1）投资额不超过5000万元；（2）至少安排150人员就业；（3）年利润额尽可能地多。
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
《运筹学》 第四章习题及 答案
《运筹学》第四章习题一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于1-+n m ？2． 用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3． 最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到 运输问题的最优方案？4． 沃格尔法（V ogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5． 试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6． 用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7． 试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8． 试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9． 如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（1-+n m ）个非零的{}j i x ，且满足∑==nj i j i a x 1，∑==mi j j i b x 1，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
运筹学讲义_2运输问题
结束
换基
图 2.1.1
由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些 有利条件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。
下面主要讨论运输问题的一些性质基本可行解、检验数以及基的转换等问题。
§1.2 运输问题数学模型解的性质
定理 2.1.1 产销平衡运输问题（2.1.2）必有可行解，也必有最优解.
示产地 Ai 的产量； d j 表示销地 B j 的销量； Cij 表示把物资从产地 Ai
位运价。如果
运往销地 B j 的单
m
n
åSi = åd j
i=1
j =1
则称该运输问题为产销平衡的运输问题；否则，称为产销不平衡的运输问题。
表 2.1.3
销
产
地
地
B1
A1
C 11
A2
┋
Am
销量
C 21
┋
C m1
平衡的运输问题其约束条件为：
mn
åå min f =
Cij xij
i =1 j =1
（2.1.1）
å ì n
ï
x ij
= Si (i = 1,2,Lm)
ï j=1
å ïï n
s.t í
x ij
= d j ( j = 1,2,Ln)
ï i=1
ï ï
x ij
³
0(i
= 1,2,Lm;
j
= 1,2,Ln)
im + n -1 jm + n-1
为对应的基矩阵，
则
x = it jt
det Bt det B
(t =1, 2 , … , m+n-1)
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
运筹学例题解析
运筹学例题解析(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点Vi 表示第i年年初，虚设一个点V6，表示第五年年底；②弧(Vi , Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(Vi , Vj)上的权数表示第i年初购进一台设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
交大《管理运筹学》课程教学大纲
《管理运筹学》课程教学大纲2、具体要求第一章〜第八章规划论（数学规划）［目的要求］主要研究如何有效利用有限资源，合理分配生产任务，选择最佳生产布置以及合理安排物资调运方案，以求取得最好的经济效果。
它包括：线性规划、整数规划和动态规划。
其中线性规划是运筹学中发展较成熟、应用最广泛的一个重要分支，因此是这门课的中心内容。
［教学内容］运筹学概述和线性规划基础；单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划数学模型的建立；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；运输问题；整数规划；动态规划。
［重点难点］单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；0-1整数规划；动态规划；［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］48第九章〜第十一章图论［目的要求］通过把研究的问题构造成网络模型，然后再作数量的分析，以获得最优的决策效果；在交通运输当中可应用于解决物资运输中的最短路、最大流、最小费用最大流等问题。
［教学内容］图与网络的基本概念；最短路径问题；运输网络流；统等方法。
［重点难点］最短路径问题；运输网络流［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］20第十二章排队模型［目的要求］］用数学方法研究如何确定最适当的服务人员和服务设施数目，达到服务质量和服务费用两方面总体效果最理想的目的。
［教学内容］排队模型；排队论在决策中的应用［重点难点］排队模型［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］8第十三章决策论［目的要求］主要是通过对各种客观条件可能出现的概率进行调查分析和对各种方案的经济效益进行计算，研究方案的合理选择问题，从而获得最优的经济效果。
［教学内容］决策的分类；确定型决策问题；风险型决策问题；非确定型决策问题［重点难点］风险型决策问题［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］4三、大纲说明1、考试要求与考试方式：一般要求闭卷考试，考试成绩按照期末考试（70%）+平时成绩（30%）构成2、采用多媒体+黑板讲授方式3、使用教材及主要参考书⑴教材焦永兰.管理运筹学.北京：中国铁道岀版社.2003（2）教学参考书郭耀煌.运筹学原理与方法.四川：西南交通大学出版社.1997钱颂迪.运筹学.北京：清华大学出版社.2002运筹学教材编写组.运筹学.北京：清华大学岀版社，1990许永仁.运筹学试题精选与答题技巧.哈尔滨工业大学岀版社.2000.说明："表示该内容要考，★表示该内容的重要程度（最高五星）。
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
运筹学课件 08运输问题
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
ui
vj
n x a m个 ( i 1 , , m ) ij i j 1 m xij b j ( j 1, , n ) i 1 xij 0 ( i 1 , , m ; j 1 , , n ) n个
例 某货物，其产地A1的产量为10单位，A2的产量为 2单位，销地A3、A4、A5的销量分别为3单位、1单位 和8单位，其中产地A2、销A4又可作为中转站。同时 ，货物可通过纯中转站A6进行运输。各产地、销地及 中转站之间的单位物资运价如表所示，试求一个使总 运费最省的调运方案。
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
§2
计算步骤：
表上作业法
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法或差值法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否 达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 空格 (3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上 闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
§4
运输问题的扩展
供不应求 供过于求
本 节 重 点
运筹学中求检验数的求法
一、闭回路法
1 •定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。
如图示：
顶点
7
3亠
11
■
3
10
A
x21= 3
■
X
x
$23= 1
X
4
■
If
1
9
2
8
A
X
6
X
3
9
7
4
10
5
销量
3
6
5
6
要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变量x11与基变量x13、x23、x21组成唯一的闭回路。
闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2,偶数顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数为
（1）
非基变量
（2）
基变量
（3）
基变量
（4）
基变量
（6）
基变量
非基变量的检验数就等于闭
数顶点（顶点（2）（ 4）
下面通过上例给出说明
T5T
基变量
回路上所有奇数顶点（顶点（
（6））对应的单位运价之和。
1 ）、（ 3）、
（5））对应的单位运价之和减去所有偶
V地
销地
B1
B2
B
产量x1Βιβλιοθήκη = XXx13=4
3
5-4=1。
利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释。 行平衡
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)
第3章 运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。
如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。
即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。
即系数矩阵的秩≤m+n -1。
注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。
闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。
（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。
运筹学中求检验数的求法
第三节求检验数的的求法由于表上作业法也是一个迭代算法，何时终止迭代，总得有一个判定条件，这个判定条件类似于单纯法中的检验数，只是由于运输问题的特殊性，求检验数的方法与单纯形法有所不同，下面给出求检验数的两种方法。
一、闭回路法1．定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。
如图示：顶点（1）（2）非基变量基变量（3）（4）基变量基变量（6）（5）基变量基变量非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点（顶点（1）、（3）、（5））对应的单位运价之和减去所有偶数顶点（顶点（2）（4）、（6））对应的单位运价之和。
下面通过上例给出说明要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变量x11 与基变量 x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路。
闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2，偶数顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数为5-4=1。
利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释。
+1 -1 行平衡3 3-1 +1 行平衡1 2列平衡列平衡就是把运量给x11 处分配一个单位，看看会对目标函数值带来什么影响（增加还是减少）。
由于表上作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数（等于对应产地的产量），所以若给x11（分配前x11=0，是非基变量）分配了1个单位的运量，将增加1×3个单位的运费；同时为保持产量平衡，对应的x13 处就要减少一个单位的运量，这样将减少1×3个单位的运费；与此同时，由于表上作业法中表的每列上分配的运量之和是一个常数（等于对应销地的销量）所以当x13减少了1个单位的运量时，为保持销量平衡x23将增加1个单位的运量，这样将增加1×2个单位的运费；同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运量，将减少1×1个单位的运费。
综上所述，目标函数值增加了3+2，同时又减少了3+1 。
所以目标函数总的变化量为：（3+2） -（3+1）=1。
运筹学中求检验数的求法
运筹学中求检验数的求法Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT第三节求检验数的的求法由于表上作业法也是一个迭代算法，何时终止迭代，总得有一个判定条件，这个判定条件类似于单纯法中的检验数，只是由于运输问题的特殊性，求检验数的方法与单纯形法有所不同，下面给出求检验数的两种方法。
一、闭回路法1．定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。
如图示：顶点（1）（2）非基变量基变量（3）（4）基变量基变量（6）（5）基变量基变量非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点（顶点（1）、（3）、（5））对应的单位运价之和减去所有偶数顶点（顶点（2）（4）、（6））对应的单位运价之和。
下面通过上例给出说明要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变量x11 与基变量 x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路。
闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2，偶数顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数为5-4=1。
利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释。
+1 -1 行平衡3 3-1 +1 行平衡1 2列平衡列平衡就是把运量给x11 处分配一个单位，看看会对目标函数值带来什么影响（增加还是减少）。
由于表上作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数（等于对应产地的产量），所以若给x11（分配前x11=0，是非基变量）分配了1个单位的运量，将增加1×3个单位的运费；同时为保持产量平衡，对应的x13 处就要减少一个单位的运量，这样将减少1×3个单位的运费；与此同时，由于表上作业法中表的每列上分配的运量之和是一个常数（等于对应销地的销量）所以当x13减少了1个单位的运量时，为保持销量平衡x23将增加1个单位的运量，这样将增加1×2个单位的运费；同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运量，将减少1×1个单位的运费。
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第三节求检验数的的求法
由于表上作业法也是一个迭代算法，何时终止迭代，总得有一个判定条件，这个判定条件类似于单纯法中的检验数，只是由于运输问题的特殊性，求检验数的方法与单纯形法有所不同，下面给出求检验数的两种方法。
一、闭回路法
1．定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。
如图示：
顶点（1）（2）
非基变量基变量
（3）（4）
基变量基变量
（6）（5）
基变量基变量
非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点（顶点（1）、（3）、（5））对应的单位运价之和减去所有偶数顶点（顶点（2）（4）、（6））对应的单位运价之和。
下面通过上例给出说明
要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变量x11 与基变量 x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路。
闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2，偶数顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数为5-4=1。
利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释。
+1 -1 行平衡
3 3
-1 +1 行平衡
1 2
列平衡列平衡
就是把运量给x11 处分配一个单位，看看会对目标函数值带来什么影响（增加还是减少）。
由于表上作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数（等于对应产地的产量），所以若给x11（分配前x11=0，
是非基变量）分配了1个单位的运量，将增加1×3个单位的运费；同时为保持产量平衡，对应的x13 处就要减少一个单位的运量，这样将减少1×3个单位的运费；与此同时，由于表上作业法中表的每列上分配的运量之和是一个常数（等于对应销地的销量）所以当x13减少了1个单位的运量时，为保持销量平衡x23将增加1个单位的运量，这样将增加1×2个单位的运费；同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运量，将减少1×1个单位的运费。
综上所述，目标函数值增加了3+2，同时又减少了3+1 。
所以目标函数总的变化量为：（3+2） -（3+1）=1。
这就是说，每给x11分配一个单位的运量，目标函数（总运费）将增加一个单位。
因此在表上作业法中对检验数大于零的地方不再分配运量，若所有非基变量的检验数全大于零，任何形式的运量调整只能使目标函数值增加，所以算法终止，此时的解就是最优解。
请大家参考上面的例子仔细想一想，若非基变量的检验数小于零，是否应该给该处分配运量把非基变量调整成基变量？答案是肯定的，为什么？通过上述的闭回路法，可以把所有非基变量的检验数求出来。
从运算上说，都是加减运算，难就难在寻找闭回路，但是只要多练习，还是比较容易的。
二、位势法
用闭回路法求检验数，需要对每一个非基变量（表上画“×”的地方）寻找闭回路，然后再去求检验数，当一个运输问题的产销点很多时，这种方法的计算工作量是很大的，不如位势法简单，下面通过实例简单介绍一下位势法。
简单的说，位势法就是通过与基变量的对应的单位运价把各行、各列对应的位势（可以先设成未知数）求出来，再利用它求出非基变量检验数的一种方法，这种方法的合理性来自于线性规划问题的对偶理论（有兴趣的同学可以参考文献（1）86页的内容）。
在线性规划问题的对偶理论和单纯型法，在基变量对应的检验数为零，所以有下面的方程组u1 + v3 =3
u1 + v4 =10
u2 + v1 =1
u2 + v3 =2
u3 + v2 =4
u3 + v4 =5
由于是7个未知数6个方程，所以必须给某一变量初始值。
一般是令u1=0，可以解出其它的位势如表上所示。
根据定理（课本上的定理5）非基变量x ij的检验数。