运筹学中求检验数的求法

第三节求检验数的的求法

由于表上作业法也是一个迭代算法，何时终止迭代，总得有一个判定条件，这个判定条件类似于单纯法中的检验数，只是由于运输问题的特殊性，求检验数的方法与单纯形法有所不同，下面给出求检验数的两种方法。

一、闭回路法

1．定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。

如图示：

顶点（1）（2）

非基变量基变量

（3）（4）

基变量基变量

（6）（5）

基变量基变量

非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点（顶点（1）、（3）、（5））对应的单位运价之和减去所有偶数顶点（顶点（2）（4）、（6））对应的单位运价之和。

下面通过上例给出说明

要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变量x11 与基变量 x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路。闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2，偶数顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数为5-4=1。

利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释。

+1 -1 行平衡

3 3

-1 +1 行平衡

1 2

列平衡列平衡

就是把运量给x11 处分配一个单位，看看会对目标函数值带来什么影响（增加还是减少）。由于表上作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数（等于对应产地的产量），所以若给x11（分配前x11=0，

是非基变量）分配了1个单位的运量，将增加1×3个单位的运费；同时为保持产量平衡，对应的x13 处就要减少一个单位的运量，这样将减少1×3个单位的运费；与此同时，由于表上作业法中表的每列上分配的运量之和是一个常数（等于对应销地的销量）所以当x13减少了1个单位的运量时，为保持销量平衡x23将增加1个单位的运量，这样将增加1×2个单位的运费；同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运量，将减少1×1个单位的运费。

综上所述，目标函数值增加了3+2，同时又减少了3+1 。所以目标函数总的变化量为：（3+2） -（3+1）=1。这就是说，每给x11分配一个单位的运量，目标函数（总运费）将增加一个单位。因此在表上作业法中对检验数大于零的地方不再分配运量，若所有非基变量的检验数全大于零，任何形式的运量调整只能使目标函数值增加，所以算法终止，此时的解就是最优解。请大家参考上面的例子仔细想一想，若非基变量的检验数小于零，是否应该给该处分配运量把非基变量调整成基变量？答案是肯定的，为什么？通过上述的闭回路法，可以把所有非基变量的检验数求出来。

从运算上说，都是加减运算，难就难在寻找闭回路，但是只要多练习，还是比较容易的。

二、位势法

用闭回路法求检验数，需要对每一个非基变量（表上画“×”的地方）寻找闭回路，然后再去求检验数，当一个运输问题的产销点很多时，这种方法的计算工作量是很大的，不如位势法简单，下面通过实例简单介绍一下位势法。

简单的说，位势法就是通过与基变量的对应的单位运价把各行、各列对应的位势（可以先设成未知数）求出来，再利用它求出非基变量检验数的一种方法，这种方法的合理性来自于线性规划问题的对偶理论（有兴趣的同学可以参考文献（1）86页的内容）。

在线性规划问题的对偶理论和单纯型法，在基变量对应的检验数为零，所以有下面的方程组u1 + v3 =3

u1 + v4 =10

u2 + v1 =1

u2 + v3 =2

u3 + v2 =4

u3 + v4 =5

由于是7个未知数6个方程，所以必须给某一变量初始值。一般是令u1=0，可以解出其它的位势如表上所示。

根据定理（课本上的定理5）非基变量x ij的检验数