2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性课件理

非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都
有
，那么就称函数y＝f(xf()x为＋周T)＝期f(函x) 数，
称T为这个函数的周期．
• (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 期中
• 就存叫在做一f个(x最) 小
的正数，那么这个最小正数
• 最小
正周期．
• 诊断自测
• 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x. 又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 则 f(x)＝－x2－4x(x<0)，
x2－4x，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
答案
(1)(0,1)
【训练 1】 (1)(2017·扬州中学质检)给出下列四个函数： ①y＝x＋sin 2x；②y＝x2－cos x；③y＝2x＋21x； ④y＝x2＋sin x. 其中既不是奇函数，也不是偶函数的是________(填序号)． (2)(2014·全国Ⅰ卷改编)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，给出下列四个结论： ①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数； ③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数． 则上述结论中正确的是________(填序号)．
• 规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定 区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇 偶性，由待求区间转化到已知区间．
• (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函 数f(x)的一个周期．
【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f1x， 当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝______. 解析 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－fx＋1 2＝f(x)． 故函数的周期为 4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 答案 2.5
解析 (1)当 x>12时，由 f(x＋12)＝f(x－12)， 得 f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)， 又由题意知 f(1)＝－f(－1)，且 f(－1)＝(－1)3－1＝－2. 因此 f(6)＝－f(－1)＝2. (2)由 y＝f(x)为偶函数，且 f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)． ∴f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)， 又 f(log2a)＝f(|log2a|)且 f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴|log2a|≤1⇔－1≤log2a≤1.解得12≤a≤2. 答案 (1)2 (2)12，2
考点二 函数奇偶性的应用 【例 2】 (1)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，
且 f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1)等于________． (2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ________.
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝|lxg－12－|－x22 ； (3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，<x0>，0.
解 (1)由3x2－－x32≥≥00，， 得 x2＝3，解得 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|>≠0， 2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－－xx2.
• (1) 函 数 y ＝ x2 在 x∈(0 ， ＋ ∞ ) 时 是 偶 函 数 ． ()
• (2)若函数f(x)为奇函数，Biblioteka Baidu一定有f(0)＝0. ()
• (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x) 的图象关于直线x＝a对称． ()
• (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x) 的图象关于点(b,0)中心对称． ()
• 规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采 用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待 求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或 方程(组)，进而得出参数的值．
• (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓 住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变 量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充 分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式或函数值．
考点四 函数性质的综合运用 【例 4】(1)(2016·山东卷改编)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，
f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝ fx－12.则 f(6)＝________. (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单 调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则 a 的取值范 围是________．
是其定义域关于 对称)．
原点
• (2)奇函数的图象关于
对称，偶函数的图
象关于 对称． 原点
y轴
• (3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝ .
• (4)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可 以唯一表示成一个奇函数与一个偶0 函数之和．
• 3．函数的周期性
• (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个
3．(必修 1P43 习题 4 改编)已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上
的偶函数，那么 a＋b 的值是________．
解析 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝13，则 a＋b＝13.
答案
1 3
4．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x) ＝－ x，40x2≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f32＝________. 解析 ∵f(x)的周期为 2，∴f32＝f－12， 又∵当－1≤x<0 时，f(x)＝－4x2＋2， ∴f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1. 答案 1
• 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．
• (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0 处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错．
• 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(2015·福建卷改编)给出下列函数： ①y＝ x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝ex－e－x.其中为奇函数的 是________(填序号)． 解析 因为函数 y＝ x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 所以函数 y＝ x为非奇非偶函数，排除①；因为 y＝|sin x|为偶函 数，所以排除②；因为 y＝cos x 为偶函数，所以排除③；因为 y ＝f(x)＝ex－e－x 定义域为 R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)， 所以函数 y＝ex－e－x 为奇函数． 答案 ④
第3讲 函数的奇偶性与周期性
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求； 2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级
要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期
性的判断及应用，B级要求．
•知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
偶函数 都有
又∵f(－x)＝lg[1－x－x2]＝－lg1－x x2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． (3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函 数 f(x)为奇函数.
解析 (1)对于①，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于②，定义域为 R，f(－x)＝(－x)2－cos(－ x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于③，定义域为 R，f(－x)＝2－x ＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x 既不是偶函数也不是 奇函数． (2)依题意得对任意 x∈R，都有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此， f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，①错；|f(－ x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，②错；f(－ x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，③正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，④错． 答案 (1)④ (2)③
x2－4x，x>0， (2)0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
考点三 函数的周期性及其应用 【例 3】 (2016·四川卷)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函
数，当 0<x<1 时，f(x)＝4x，则 f－52＋f(2)＝________.
解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0， 又 f(x)在 R 上的周期为 2， ∴f(2)＝f(0)＝0. 又 f－52＝f－12＝－f12＝－412＝－2， ∴f－52＋f(2)＝－2. 答案 －2
• 5．(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线 x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
• 解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． • 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， • ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3. • 答案 3
考点一 函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性：
【训练 2】 (1)(2015·山东卷改编)若函数 f(x)＝22xx＋ －1a是奇函数，则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为________． (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则 f(x)＝________. 解析 (1)易知 f(－x)＝22－ －xx＋ －1a＝12－x＋a21x， 由 f(－x)＝－f(x)，得12－x＋a21x＝－22xx＋－1a， 即 1－a2x＝－2x＋a，化简得 a(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1， f(x)＝22xx＋ －11，由 f(x)>3，得 0<x<1.
• 规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必 备条件：
• (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
• (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
• 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性 的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x) ＝0(偶函数)是否成立．
f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是 关于 y轴 对称
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 奇函数 都有 f(－x)＝－f，(x)那么函数f(x)是奇 关于原点对称
函数
• 2.奇、偶函数的性质
• (1)具有奇偶性的函数，其定原义点域关于
对
称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件
解析 (1)因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(1)＋g(1)＝f(－1) －g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. (2)f(x)为偶函数，则 ln(x＋ a＋x2)为奇函数， 所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0， 则 ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1. 答案 (1)1 (2)1