现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
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现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
控制系统的稳定性分析分解课件
控制系统的稳定性分析分 解课件
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)
−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
控制系统的稳定性和特性课件
挑战
控制系统面临着诸多挑战，如鲁 棒性、可靠性、稳定性等问题， 需要不断进行研究和改进。
控制系统的未来发展趋势和展望
发展趋势
未来控制系统的发展趋势将包括更加智能化、微型化和网络化，同时还将更加 注重节能和环保。
展望
随着技术的不断进步和发展，控制系统将实现更加高级别的自动化和智能化， 同时还将更加注重安全性和可靠性。未来控制系统将在更多领域得到应用，为 人类带来更加便捷、高效、安全的生活和工作环境。
控制系统的性能指标
01
02
03
04
快速性
控制系统应能迅速对输入信号 做出响应，并达到期望的输出。
准确性
控制系统应能精确地跟随输入 信号，并尽量减少误差。
抗干扰性
控制系统应能对外部干扰做出 正确的响应，并保持稳定的输
出。
鲁棒性
控制系统应能在不同的条件下 保持稳定的性能。
控制系统的时域特性
01
02
03
阶跃响应
控制系统对阶跃输入的响 应，用于分析系统的稳定 性和性能。
脉冲响应
控制系统对脉冲输入的响 应，用于分析系统的动态 性能。
频率响应
控制系统对正弦输入的响 应，用于分析系统的频率 特性。
控制系统的频域特性
奈奎斯特图
通过绘制奈奎斯特图可以 分析控制系统的稳定性、 性能和阻尼特性。
伯德图
通过绘制伯德图可以分析 控制系统的频率响应、相 位和增益裕度。
智能控制理论
基于人工智能和优化算法进行系统 设计，方法包括模糊控制、神经网 络控制等。
控制系统的优化方法
解析优化
使用数学解析方法求解控制系统 的最优解，例如使用拉格朗日乘
数法进行约束优化。
控制系统面临着诸多挑战，如鲁 棒性、可靠性、稳定性等问题， 需要不断进行研究和改进。
控制系统的未来发展趋势和展望
发展趋势
未来控制系统的发展趋势将包括更加智能化、微型化和网络化，同时还将更加 注重节能和环保。
展望
随着技术的不断进步和发展，控制系统将实现更加高级别的自动化和智能化， 同时还将更加注重安全性和可靠性。未来控制系统将在更多领域得到应用，为 人类带来更加便捷、高效、安全的生活和工作环境。
控制系统的性能指标
01
02
03
04
快速性
控制系统应能迅速对输入信号 做出响应，并达到期望的输出。
准确性
控制系统应能精确地跟随输入 信号，并尽量减少误差。
抗干扰性
控制系统应能对外部干扰做出 正确的响应，并保持稳定的输
出。
鲁棒性
控制系统应能在不同的条件下 保持稳定的性能。
控制系统的时域特性
01
02
03
阶跃响应
控制系统对阶跃输入的响 应，用于分析系统的稳定 性和性能。
脉冲响应
控制系统对脉冲输入的响 应，用于分析系统的动态 性能。
频率响应
控制系统对正弦输入的响 应，用于分析系统的频率 特性。
控制系统的频域特性
奈奎斯特图
通过绘制奈奎斯特图可以 分析控制系统的稳定性、 性能和阻尼特性。
伯德图
通过绘制伯德图可以分析 控制系统的频率响应、相 位和增益裕度。
智能控制理论
基于人工智能和优化算法进行系统 设计，方法包括模糊控制、神经网 络控制等。
控制系统的优化方法
解析优化
使用数学解析方法求解控制系统 的最优解，例如使用拉格朗日乘
数法进行约束优化。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
平衡状态：对所有时间t，如果满足 x&e f ( xe ) 0 ，称xe为系统 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
说明 ： 1、对于线性定常系统：x&e f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
[解]：1）平衡状态
x&1 x&a2 + x22 ) - x1 - x2 ( x12 + x22
)
令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。 2）选取李氏函数
选 V ( x) x12 + x22 ，则 V ( x) x12 + x22 >0 正定的
22
三、稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 x& f ( x) xe 0 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量
函数V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V( x)是正定的。 2） V& ( x)是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 x ， 有 V ( x) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
14
[例4-6]
设系统方程为：
说明 ： 1、对于线性定常系统：x&e f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
[解]：1）平衡状态
x&1 x&a2 + x22 ) - x1 - x2 ( x12 + x22
)
令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。 2）选取李氏函数
选 V ( x) x12 + x22 ，则 V ( x) x12 + x22 >0 正定的
22
三、稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 x& f ( x) xe 0 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量
函数V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V( x)是正定的。 2） V& ( x)是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 x ， 有 V ( x) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
14
[例4-6]
设系统方程为：
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
《现代控制理论》课后习题答案4
V ( x) = ∑∑ pij xi x j
i =1 j =1
n
n
= xT Px = [ x1
x2
⎡ p11 ⎢p " xn ] ⎢ 12 ⎢ # ⎢ ⎣ p1n
p12 p22 # p2 n
p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ # ⎥ ⎥⎢ ⎥ " pnn ⎦ ⎣ xn ⎦ "
2 2 = 2( x12 + x2 ) − 2( x1 − x2 ) 2
是不定的。 4.10 试写出下列系统至少两个李雅普诺夫函数
1 ⎤ ⎡ −1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 −3 ⎦ ⎣ x 2 ⎦
并确定该系统在原点处的稳定性。 答： 原点是系统的唯一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程：
二次型 V ( x ) 可写成
V ( x ) = x Px = [ x1
T
x2
⎡ 1 1 −1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ x3 ] ⎢ ⎢ 1 4 −3⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎣ −1 −3 1 ⎥ ⎦⎢
⎛⎡ 1 1 −1⎤ ⎞
由于矩阵 P 的三个顺序主子式分别是
⎛ ⎡1 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ ⎥⎟ Δ1 = 1 > 0 ， Δ 2 = det ⎜ ⎢ ⎟ > 0 ， Δ 3 = det ⎜ ⎢ 1 4 −3⎥ ⎟ < 0 ⎥ ⎝ ⎣1 4 ⎦ ⎠ ⎜ ⎢ −1 −3 1 ⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣
AT P + PA = −Q
其中，未知对称矩阵具有以下形式
⎡P P = ⎢ 11 ⎣P 12
P 12 ⎤ P22 ⎥ ⎦
代入得：
P P 1⎤ ⎡P ⎡ −1 2 ⎤ ⎡ P 11 12 ⎤ 11 12 ⎤ ⎡ −1 ⎢ 1 −3⎥ ⎢ P P ⎥ + ⎢ P P ⎥ ⎢ 2 −3⎥ = −Q ⎣ ⎦ ⎣ 12 ⎦ 22 ⎦ 22 ⎦ ⎣ ⎣ 12 ⎡1 0 ⎤ ⎡2 1⎤ 分别取 Q = ⎢ 和Q = ⎢ ⎥ 代入上式，可解出对应的矩阵 P 为 ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣1 2 ⎦ ⎡5 2⎤ ⎡ 1.75 0.625⎤ P 和 P2 = ⎢ 1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0.625 0.375⎦ ⎣2 1⎦ 经验证，矩阵 P 1和 P 2 都是正定的。因此，系统在在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 利用矩阵 P 1和 P 2 可得到系统的两个李雅普诺夫函数，分别为：
现代控制理论稳定性的判定课件
李雅普诺夫稳定性判据是通过分析系 统在平衡状态下的行为，判断系统是 否具有抵御外部扰动的能力。
李雅普诺夫稳定性判据的应用
01
李雅普诺夫稳定性判据可以应用 于各种控制系统的稳定性分析， 包括线性控制系统、非线性控制 系统、时变控制系统等。
02
在应用李雅普诺夫稳定性判据时 ，需要选择适当的李雅普诺夫函 数，通过计算函数的导数来判断 系统的稳定性。
鲁棒控制理论
鲁棒控制理论：鲁棒控制理论是一种研究不确定系统 稳定性的方法，能够在存在不确定性和干扰的情况下 保证系统的稳定性和性能。在稳定性判定中，鲁棒控 制理论可用于设计鲁棒控制系统，提高系统的稳定性 和性能。
鲁棒控制理论主要研究不确定系统在干扰下的稳定性 和性能问题。其中，不确定系统指的是系统参数或结 构发生变化时，系统性能发生变化的情况。在鲁棒控 制中，通常假设不确定因素是已知的或在一定范围内 变化的。通过设计鲁棒控制器，可以使系统在存在不 确定性和干扰的情况下保持稳定性和性能。在稳定性 判定中，鲁棒控制理论可帮助设计者提高系统的稳定 性和性能。
霍尔稳定性判据应用案例
总结词
霍尔稳定性判据是一种基于系统模型的稳定性判据，它 通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。
详细描述
霍尔稳定性判据是一种适用于非线性系统的稳定性判据 ，它通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。霍 尔稳定性判据基于系统的模型和参数，考虑了系统的非 线性特性，能够更准确地判断系统的稳定性。
现代控制理论稳定性的判定
• 稳定性概述 • 李雅普诺夫稳定性判据 • 劳斯稳定性判据 • 霍尔稳定性判据 • 现代控制理论在稳定性判定中的应用 • 案例分析
01
稳定性概述
稳定性的定义
稳定性的定义
李雅普诺夫稳定性判据的应用
01
李雅普诺夫稳定性判据可以应用 于各种控制系统的稳定性分析， 包括线性控制系统、非线性控制 系统、时变控制系统等。
02
在应用李雅普诺夫稳定性判据时 ，需要选择适当的李雅普诺夫函 数，通过计算函数的导数来判断 系统的稳定性。
鲁棒控制理论
鲁棒控制理论：鲁棒控制理论是一种研究不确定系统 稳定性的方法，能够在存在不确定性和干扰的情况下 保证系统的稳定性和性能。在稳定性判定中，鲁棒控 制理论可用于设计鲁棒控制系统，提高系统的稳定性 和性能。
鲁棒控制理论主要研究不确定系统在干扰下的稳定性 和性能问题。其中，不确定系统指的是系统参数或结 构发生变化时，系统性能发生变化的情况。在鲁棒控 制中，通常假设不确定因素是已知的或在一定范围内 变化的。通过设计鲁棒控制器，可以使系统在存在不 确定性和干扰的情况下保持稳定性和性能。在稳定性 判定中，鲁棒控制理论可帮助设计者提高系统的稳定 性和性能。
霍尔稳定性判据应用案例
总结词
霍尔稳定性判据是一种基于系统模型的稳定性判据，它 通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。
详细描述
霍尔稳定性判据是一种适用于非线性系统的稳定性判据 ，它通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。霍 尔稳定性判据基于系统的模型和参数，考虑了系统的非 线性特性，能够更准确地判断系统的稳定性。
现代控制理论稳定性的判定
• 稳定性概述 • 李雅普诺夫稳定性判据 • 劳斯稳定性判据 • 霍尔稳定性判据 • 现代控制理论在稳定性判定中的应用 • 案例分析
01
稳定性概述
稳定性的定义
稳定性的定义
系统的稳定性解析
➢ 换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解，当t无限增 长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐近稳定的。
➢ 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空 间中只有一个平衡态。
➢ 对于线性定常系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定 是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统，渐近稳定性是 一个局部性的概念，而非全局性的概念。
5.2.4 不稳定
在初始时刻t0，对于某个给定实
数 >0和任意一个实数 >0，总
存在一个位于平衡态xe的邻域
S(xe,)的初始状态x0，使得从x0
出发的状态方程的解x(t)将脱离 球域S(xe,)，则称系统的平衡态 xe是李雅普诺夫意义下不稳定 的。
x2
x1
x (0 )
5.2.5 线性定常系统状态稳定性与外部稳定性的关系
x2
xe
➢ 若平衡态附近某充分小邻
域内所有状态的运动最后 不 稳 定
都趋于该平衡态，则称该 平 衡 态
xe
平衡态是渐近稳定的;
➢ 若发散掉则称为不稳定的， 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的。
xe
x1 渐近稳定
平衡态 稳定 平衡态
对于线性定常系统，状态方程为
平衡方程为
xAx
Axe 0
趋近于系统的平衡态xe，即
Limt x(t)=xe
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳 定的。
x2
x(0)
x1
渐进稳定
x2
x(0) x(0)
x1
李雅普诺夫稳定
大范围渐近稳定性 对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状
态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的。
➢ 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空 间中只有一个平衡态。
➢ 对于线性定常系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定 是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统，渐近稳定性是 一个局部性的概念，而非全局性的概念。
5.2.4 不稳定
在初始时刻t0，对于某个给定实
数 >0和任意一个实数 >0，总
存在一个位于平衡态xe的邻域
S(xe,)的初始状态x0，使得从x0
出发的状态方程的解x(t)将脱离 球域S(xe,)，则称系统的平衡态 xe是李雅普诺夫意义下不稳定 的。
x2
x1
x (0 )
5.2.5 线性定常系统状态稳定性与外部稳定性的关系
x2
xe
➢ 若平衡态附近某充分小邻
域内所有状态的运动最后 不 稳 定
都趋于该平衡态，则称该 平 衡 态
xe
平衡态是渐近稳定的;
➢ 若发散掉则称为不稳定的， 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的。
xe
x1 渐近稳定
平衡态 稳定 平衡态
对于线性定常系统，状态方程为
平衡方程为
xAx
Axe 0
趋近于系统的平衡态xe，即
Limt x(t)=xe
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳 定的。
x2
x(0)
x1
渐进稳定
x2
x(0) x(0)
x1
李雅普诺夫稳定
大范围渐近稳定性 对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状
态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的。
4.系统的稳定性分析
Chapter4动态系统的稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。
例如在倒立摆装置中，当摆杆受扰动而偏离垂直位置后，系统仍能使摆杆回到垂直位置，并能始终保持在垂直位置附近，这是系统稳定的基本含义。
一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
系统的稳定性 是系统本身所固有的特性，与外部控制)(t u 无关。
所以讨论稳定性时一般只考虑0)(=t u 的自由系统。
4.1 平衡点与Lyapunov 稳定性考虑n 阶自由系统： )),(()(t t x f t x= 状态向量：T n t x t x t x ))(...)(()(1=，向量：T n t t x f t t x f t t x f ))),((...)),((()),((1=对)),(()(t t x f t x= ，若存在某一状态点e x ，使得对所有的t ，)(t x 都不随时间变化，定义e x 为系统的平衡状态（平衡点） 0),(≡=t x f xe （4-1） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。
平衡点大多数在状态空间的原点0=e x 。
若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数0)(=s D 的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统。
1) 根据系数矩阵A 的特征值即0)()()()()det(==-s f s f s f s f A sI O C O C O C CO 系统极点的分布来判别系统的稳定性。
0)(=s f CO 求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；0)(=s f O C 求出的是“能控不能观”、0)(=s f O C 求出的是“不能控能观”、0)(=s f O C 求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出；对线性定常系统，根据平衡点定义0)()(==t Ax t x，当0det ≠A ，则只有0=e x 一个平衡点。
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2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
系统不是渐近稳定的。
-6
l + 1
(l
-
2)(l
+
3)
0
15
4.4 李雅普诺夫判稳第二方法
李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性
▪1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，
即
lim x
t
xe
。那么随着系统的运动，其贮存的能量
)
令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选取李氏函数
选 V ( x) x12 + x22 ，则 V ( x) x12 + x22 >0 正定的
& V
(
x
)
2
x1
x& 1
+
2
x2
x&
2
] ]
2 x1
x2
-
x1( x12
+
x22 )
+ 2x2
的X的运动轨迹有
lim
t
x
-
xe
e
，
则称平衡状态
x
在李雅普诺
e
夫意义下是稳定的。
如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
9
2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋
向于无穷大时，有：
lim x
t
- xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
7
二、状态向量范数
▪ 符号 • 称为向量的范数， x - x e 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为
“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式
] 为：
x - xe
(x1 - xe1)2 + (x2 - xe2 )2 +L+ (xn - xen )2
而 V (x) 就是李氏函数。
16
李雅普诺夫函数说明： 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导 数为(半)负定。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯 一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就 可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型 V(x) xTPx ，P是 正定实对称方阵。
3
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义：
对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定
的有限常数 及k一个标量 ，使a得对于任意的 ，
当系t统t的0, 输入 满足
时u，t 所产生的u(t输) 出k 满
足 ,则称该因果系yt统 是外部y(稳t) 定a的k ，也就是有
界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
判据1：设系统的状态方程为 x& f ( x)
xe 0 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量
函数V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V( x)是正定的。
2）
& V
(
x)是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 x ， 有 V ( x) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
-
x2
试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态 令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选李氏函数
V ( x) x12 + x22 > 0 正定
& V
(
x
)
2 x1 x&1
+ 2 x2 x&2
-
2
x
2 2
&
x1
0,
x2
0
时，
& V
(
x
)
0
x1 0, x2 0 时，V& ( x) 0
17
一、标量函数(x)的符号性质
标量函数V(x)：
1）正定性：当且仅当x=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意 非零X，恒有 V ( x) >0 ，则 V ( x) 为正定。
2）负定性：当仅当X=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意非零 x,恒有 V ( x) <0 ，则V ( x)为负定。
1）二次型 V (x) xT Px 为正定，或实对称矩阵P为正定的充要
条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11
P
p21
p12 p22
L L
p1n
pL2n
pn1
pn2 L
pnn
如果
D1 p11 > 0,
D2
p11 p21
p12 p22
> 0,L , Dn
P
>0
则P为正定，即V(x)正定。
它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：
V(x) 在原点的某一邻域内是正定的，
& V
(
x)
在同样的邻域内是正定的，
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
25
[例] 设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态
x&1 x&2
x2 - x1( x12 + x22 ) - x1 - x2 ( x12 + x22
说明 ： 1、对于线性定常系统：x&e f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
-
x1 -
x2 ( x12
+
x
2 2
)
-2 ( x12 + x22 )2 < 0 负定的
由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
3）当 X
，即
1
x12 +
x
2 2
2
，得V ( x)
x12
+
x22
26
则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
[例] 设系统方程为：
xx&&12
x2 - x1
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
11
4、不稳定
如果对于某一实数e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S(e ) ，则称平衡状态xe是 不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S(e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S(e ) 外的某个极限环。
第四章 控制系统的稳定性分析
1
主要内容
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 李雅普诺夫判稳第二方法 5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
2
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：
1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。
说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没
找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。
23
判据2：设系统的状态方程为 x&f(x)
xe 0 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数
的标量函数 V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V (x) 是正定的。
2）
& V (x )
12
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
系统不是渐近稳定的。
-6
l + 1
(l
-
2)(l
+
3)
0
15
4.4 李雅普诺夫判稳第二方法
李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性
▪1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，
即
lim x
t
xe
。那么随着系统的运动，其贮存的能量
)
令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选取李氏函数
选 V ( x) x12 + x22 ，则 V ( x) x12 + x22 >0 正定的
& V
(
x
)
2
x1
x& 1
+
2
x2
x&
2
] ]
2 x1
x2
-
x1( x12
+
x22 )
+ 2x2
的X的运动轨迹有
lim
t
x
-
xe
e
，
则称平衡状态
x
在李雅普诺
e
夫意义下是稳定的。
如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
9
2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋
向于无穷大时，有：
lim x
t
- xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
7
二、状态向量范数
▪ 符号 • 称为向量的范数， x - x e 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为
“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式
] 为：
x - xe
(x1 - xe1)2 + (x2 - xe2 )2 +L+ (xn - xen )2
而 V (x) 就是李氏函数。
16
李雅普诺夫函数说明： 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导 数为(半)负定。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯 一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就 可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型 V(x) xTPx ，P是 正定实对称方阵。
3
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义：
对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定
的有限常数 及k一个标量 ，使a得对于任意的 ，
当系t统t的0, 输入 满足
时u，t 所产生的u(t输) 出k 满
足 ,则称该因果系yt统 是外部y(稳t) 定a的k ，也就是有
界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
判据1：设系统的状态方程为 x& f ( x)
xe 0 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量
函数V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V( x)是正定的。
2）
& V
(
x)是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 x ， 有 V ( x) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
-
x2
试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态 令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选李氏函数
V ( x) x12 + x22 > 0 正定
& V
(
x
)
2 x1 x&1
+ 2 x2 x&2
-
2
x
2 2
&
x1
0,
x2
0
时，
& V
(
x
)
0
x1 0, x2 0 时，V& ( x) 0
17
一、标量函数(x)的符号性质
标量函数V(x)：
1）正定性：当且仅当x=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意 非零X，恒有 V ( x) >0 ，则 V ( x) 为正定。
2）负定性：当仅当X=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意非零 x,恒有 V ( x) <0 ，则V ( x)为负定。
1）二次型 V (x) xT Px 为正定，或实对称矩阵P为正定的充要
条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11
P
p21
p12 p22
L L
p1n
pL2n
pn1
pn2 L
pnn
如果
D1 p11 > 0,
D2
p11 p21
p12 p22
> 0,L , Dn
P
>0
则P为正定，即V(x)正定。
它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：
V(x) 在原点的某一邻域内是正定的，
& V
(
x)
在同样的邻域内是正定的，
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
25
[例] 设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态
x&1 x&2
x2 - x1( x12 + x22 ) - x1 - x2 ( x12 + x22
说明 ： 1、对于线性定常系统：x&e f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
-
x1 -
x2 ( x12
+
x
2 2
)
-2 ( x12 + x22 )2 < 0 负定的
由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
3）当 X
，即
1
x12 +
x
2 2
2
，得V ( x)
x12
+
x22
26
则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
[例] 设系统方程为：
xx&&12
x2 - x1
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
11
4、不稳定
如果对于某一实数e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S(e ) ，则称平衡状态xe是 不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S(e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S(e ) 外的某个极限环。
第四章 控制系统的稳定性分析
1
主要内容
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 李雅普诺夫判稳第二方法 5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
2
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：
1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。
说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没
找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。
23
判据2：设系统的状态方程为 x&f(x)
xe 0 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数
的标量函数 V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V (x) 是正定的。
2）
& V (x )
12
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法