复变函数与积分变换试题B==2015

海南大学2015-2016学年度第1学期试卷

科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷)

学院： 专业班级： 姓名： 学 号：

成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）

阅卷教师： 年 月 日

考试说明：本课程为闭卷考试。

一、 判断题(每题1分，共5分)

（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。）

（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（ ）3、如果 ，则z =0。 （ ）4、z =0是 的一级极点。

（ ）5、如果 在区域D

内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。

二、 填空题(每题3分，共15分)

1、 。

2、设f(z)=z cos z ，则 。

)('z f =)0()2016(f 0=z e =⎰dz z z 2

0sin )1

sin()(z z f =

3、 的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、 。

三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。）

1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：

2、求

3、求).31(i Ln -

4、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.3,

0,31,

2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分）

1、计算积分 dz z z z z C ⎰++-)

4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算

其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分）

3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。 (10分)

4、设函数 (1)把函数 f(z) 在

内展开成洛朗级数。 （10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数，

=⎰+∞∞

dt )(-t δn

n n z i ∑∞

=+0)43(.522

i i i -+.

)33(31i ++∞<<||1z .

)(3||dz z f z ⎰=,1

)/1sin()(-=z z z z f ).()()(4

4

t f t y t y dt d =+⎰+-C dz z z z ，)

1()1(34

(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。 (5分)

(2)证明f(z) 是常数。 （10分）

判断题

（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。）

（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（ ）3、如果 ，则z =0。

（ ）4、z =0是 的一级极点。 （ ）5、如果

在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。 填空题

1、 。

2、设f(z)=z cos z ，则 。

3、 的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、 。

计算题

1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：

2、若i w 333+=，求.w

3、若i e w 31-=，求.w

4、求函数252)(z

z z f +=无穷远点的留数. 5、计算积分 232||5sin (1)(3)

z z dz z z =+-⎰. )('z f =)0()2016(f =⎰+∞∞

dt )(-t δn n n z i ∑∞=+0)43(0=z e =⎰dz z z 2

0sin .5

22i i i -+)1sin()(z

z f =

6、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.

3,0,

31,2,

10,

1)(t t t t f 的Laplace 变换.

解答题

1、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2.

（10分） 2、解微分方程⎰∞-=-'t

t dt t x t x )(2)()(δ. (10分)

3、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。 （10分）

(2)求积分 （5分）

4、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且|f (z )|是一个常数，

(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。 (5分)

(2)证明f(z) 是常数。 （10分）

+∞<<||1z .)(3||dz z f z ⎰=,

1)

/1sin()(-=z z z z f ⎰+-C dz z z z

，)1()1(34