《参数方程和普通方程的互化》导学案3

《参数方程和普通方程的互化》导学案3
1. 了解参数方程化为普通方程的意义.
2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.
课标解读
3 .掌握参数方程化为普通方程的方法
知识梳理
参数方程与普通方程的互化
(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.
(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,
|x= f t
求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数
i y= g t
方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.
思考探究
普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？
【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参
数不同，那么所得的参数方程的形式也不同
课堂互动
|x= a+1 cos 0 ,
例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，
(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数
0，化成普通方程，进而判定曲线形状.
x = a + t cos 0 ,
①
【自主解答】
方程*
(a , b 是正常数)，
|y = b + t sin 0 ,
②
(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得
x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.
■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.
(2) ( i )当t 为非零常数时，
即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.
(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).
1•消去参数的常用方法
将参数方程化为普通方程，
关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，
常用的消元法
有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要
做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如
sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —
x )2
2
x —x 2
1 — k
2 2k 2
-(e -e )
=4,("+ E=1 等.
2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y
的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.
将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:
x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );
|y = 2s in 0
r
4
4
x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2
( 0为参数)；
|y = 1 — 2sin 0 cos 0
2 2
x — a
③2+④得
—cos 0，
—sin
0 . 2
y — b
2
■=1, ④
「X —
a I t
原方程组为\
¥
（a , b 为大于零的常数，1为参数）•
x = 1 — 2sin 22 0 ,
• x — y = 0. 2
T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.
2 2
1 一
所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.
⑶ T x = |(t + p),
由 x =a (t +1),
2 a 2
1
两边平方可得x = -（t + 2 +严）①
b 1
由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1
y 2= 7( t 2
— 2+右)②
2 2
1
1
x y
①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b
1
t +1
【解】
x= 2cos
y = 2sin
两式平方相加，得
x 2+ y 2= 4.
T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.
所以方程的曲线表示圆心为
（0,0）
，半径为2的圆的上半部分. （2）由彳
f
・ 4 c 4小
x = sin 0 + cos 0 ,
I I
2 2
y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,
x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 2
2 0 cos 0 ,
2
0 cos 0 ,
即』
| y = 1 — 2sin 22 0 ,
••• t >0 时，x € [a , +
) , t <0 时，x € ( —a.
a ] •
0的常数），这就是所求的曲线方程,
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解
【思路探究】 联想sin 2 B+ cos 2 0 = 1可得参数方程.
x — 1
y + 2
【自主解答】 设 =cos 0 ,
= sin 0 ,
x = 1 + 3cos 0 ,
则^
( 0为参数)，即为所求的参数方程.
y = — 2 + 5sin 0 ,
1•将圆的普通方程化为参数方程 (1) 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为
x = r cos 0 (0为参数);
y = r sin 0
2
2
2
x= a + r cos 0
(2) 圆(x — a ) + (y — b ) = r 的参数方程为*」 (0为参数).
y = b + r si n 0
2.
普通方程化为参数方程关键是引入参数
(例如x = f (t ),再计算y = g (t )),并且要保 证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x = f (t ),
y = g (t )，调整t 的取
值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，
x , y 的取值范围保持一致.
设y = tx (t 为参数)，则圆x 2+ y 2—4y = 0的参数方程是 _______________
4t
x
= 1 + t 2
利用参数思想解题
例题3 已知x 、y 满足x 2 + (y — 1) 2= 1,求:
(1) 3 x + 4y 的最大值和最小值；
例题2曲线的普通方程为 x-1 3 y+2 5
1，写出它的参数方程.
【解析】 把 y = tx 代入 x 2
+ y 2
— 4y = 0 得 x = +孑,
4t
2,
4t (t 为参数).
【答案】
4t 2
y
= 1+
2・
(t 为参数)
•••参数方
程为
1 + t
4t 2 1 + t 2.
(2) ( x—3)2+ (y+ 3)2的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解
r
A
x = cos 0 ,
【自主解答】 由圆的普通方程 X 1 2 3+ (y — 1)2= 1得圆的参数方程为＜
y = 1 + sin 0 ,
(0 € [0,2 n )).
(1)3 x + 4y = 3cos 0 + 4sin
0 + 4
=4+ 5sin( 0+0 ),
3
其中tan 0 = 4,且0的终边过点(4,3)
-—5W 5sin( 0 + 0 ) w 5,
••• — 1w 4+ 5sin( 0 + 0 ) w 9,
••• 3x + 4y 的最大值为9,最小值为一1.
2 2
(2)( x — 3) + (y + 3)
=26 + 8sin 0 — 6cos 0
=26 + 10sin( 0 + 0 )・ 其中 tan 0 = — ^, 且0的终边过点(4 , — 3).
••• — 10w 10sin( 0 + 0 ) w 10,
•- 16w 26+ 10sin( 0 + 0 ) w 36
所以(x — 3)2 + (y + 3)2的最大值为36,最小值为16.
1 参数思想是解决数学问题的重要思想， 在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用, 它是联系曲线
上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数 0，间接建立曲线上任意一 点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程.它是研究解析几何问题的重要工具.
2 运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于 与两个坐标产生
联系.由于三角函数的巨大作用， 选择时间为参数.
3 (1)解决与圆有关的最大值和最小值问题， 函数的最大值和最小值问题. (2)注意运用三角恒等式求最值：
a sin 0 +
b cos 0 = , a 2 + b 2sin( 0+0 ).
决.
2
=(cos 0 — 3) + (sin 0 + 4)
常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常
常常设圆的参数方程， 然后转化为求三角
b
其中tan 0 =-（a z 0），且0的终边过点（a , b ）.
a
若本例条件不变，如何求 缶的取值范围?
k =凹=3 +前0
x + 1 1 + cos 0
/• sin 0 — k cos 0 = k —3
即钉 1 + k sin( 0 + 0 ) = k — 3.( © 由 tan 0 = — k 确定)
k 一 3
sin( 0 + 0 ) = ----------- 2
k — 3
依题意，得I —” k 』w 1, •••(-门2w 4, 解得 k 》3. 所以缶的取值范围是［
|，+m ）
.
）课堂练习
l|x= 2 + sin 5 0
1 .将参数方程 2
（ 0为参数）化为普通方程为（
）
|y = sin 0
C. y = x — 2(2 w x w 3) D . y = x + 2(0 < y w 1)
【解析】 消去sin 20，得x = 2 + y ,
2
又 0w sin
【答案】
4
x
= t 1
【解】 由于 =cos 0 ,
y = 1 + sin 0,
( 0C [0'
2 n ))
，
2.把方程 xy = 1化为以t 为参数的参数方程是（
） x = sin t A. 5 y = t —
B. 1 y
= sin t
A. y = x — 2
B . y = x + 2
0 w 1,.・.2w x w 3.
x = cos t
1
y = -------
cos t
,=tan t
1 y
= ta n t
【答案】 D
【答案】 D
数），若以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆
C 的极坐标方程为
【解析】 消去a 得圆的方程为x 2 + (y — 2)2= 4. 2 2
0 代入得(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4,整理得 p
4sin 0 .
【答案】
p = 4sin 0
课后练习
（时间40分钟，满分60分）
x = |sin 0 |
1 .曲线
（0为参数）的方程等价于（ ）
y = cos 0
C.<
3.圆 x 2 + (y + 1) =2的参数方程为（
）
x = 2cos 0
y = 1 + 2si n 0
0为参数）
B. *
X = ^J2cos 0 y = 1 + 2sin
（0为参数）
x = 2cos 0
叫=—1 + 2sin
（0为参数）
x = ^/2cos 0 y = —
1 + *.』2si n
（0为参数）
【解析】 由x = 2cos
0 , y + 1= 2sin 0知参数方程为
x = ^2cos 0 ,
y =— 1 + 2sin 0 .
（0为参数）.故选D.
4. （2013 •郑州模拟）在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为
x = 2cos a , y = 2 + 2si n a
（a 为参
将 x =p cos 0 , y =p sin
、选择题（每小题5分,
20分)
2
C . x = 1 -
1
x = cos 0
D. i y = sin 2 0
【答案】
3sin 0 + cos 0 = 2sin( 0+^6),
故x + . 3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B
二、填空题（每小题5分，共10分）
x = 3+ cos 0 ,
5.曲线/
（ 0为参数）上的点到原点的最大距离为
y = — 4 + sin 0 ,
A. x =
1 — y 2
C. y =±
1 — x 2
D .
【解析】 由x = |sin B . y = 1 —
x 2
0 | 得 O w x w 1;由 y = cos 得—K y w 1.故选A.
【答案】 A 2. 参数方程= 3t + 2
yd -1,
（0w t w 5）
表示的曲线是
A. 线段 •双曲线的一支 C. 圆弧
.射线
【解析】
消去t , 得 x — 3y — 5 =
0.
•/ 0w t w 5,
【答案】 A
3.能化为普通方程
x 2 + y — 1 = 0的参数方程为（
x = sin t A. i 2 y = cos t
B. x = tan © 4
y = 1 一 tan ©
【解析】 排除A D,只有B 符合.
4. 右x , y 满足x 2 + y 2= 1，则x + 3y 的最大值为 A. C.
【解
析】
由于圆x 2
+ y 2
= 1的参数方程为
x = cos y = sin
（0 为参数），则 x +'：；：；： 3y =
【解析】 设Mx , y )是曲线 上任意一点,
y =— 4+ sin 0
3 + cos~0
2+ — 4+ sin 0 2
= 26 + 6cos 0 — 8sin 0 --------- -- ------------------ 3
=\ '26 + [1 ]] 0 + $ ( $ 由 tan $= — 确定)
当sin （ 0 + $ ） = 1时，|OM 取最大值6.
【答案】 6
6. （2013 •重庆高考）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 ,，一十 亠,，一、十,
,，亠八,,,,, x = t 2, ,、 立极坐标系.若极坐标方程为 p cos 0 = 4的直线与曲线 3
（t 为参数）相交于A ,
i y =t B 两点，贝U | AB = _______ . 【解析】
由P c os 0 = 4，知 x = 4. 又严t 2,
• x 3= y 2(x >0). y =t ，
x = 4,
x= 4, x = 4, 由
3 2 得* 或* x = y , y = 8
y = — 8 •••I AB = 1—1 2+ 屮 2= 16.
【答案】 16
三、解答题（每小题10分，共30分）
通方程.
— 1 2 1
【解】 由x = t —一两边平方得x = t + - — 2,
1 1 y
又 y = 3(t + f )，则 t +1 = 3(y 》6).
代入 x 2= t +1 — 2,得 x 2 = y — 2.
2
• 3x — y + 6 = 0( y >6).
故曲线C 的普通方程为3x 2— y + 6= 0(y >6).
8.已知P (x , y )是圆x + y — 2y = 0上的动点.
(1)求2x + y 的取值范围；
x = 3+ cos 0 （t 为参数，t >0） •求曲线C 的普
7.已知曲线C 的参数方程为 y = t +
⑵若X+ y + O0恒成立，求实数c的取值范围.
【解】方程X2+ y2— 2y = 0变形为x2+ (y —1) 2= 1.
「•1 — W2 x+ y w 1 +、..:5.
(2)若x+ y + O0 恒成立，即c>— (cos 0 + sin 0 + 1)对一切0 € R恒成立.
一(cos 0 + sin 0 + 1)的最大值是i'2 —1.
•••当且仅当O 2—1时，x + y+ c>0恒成立.
9. (2012 •福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M N的极坐标分别为(2,0),(学，寺)，圆C的参数
"x = 2 + 2cos 0 ,
方程为(0为参数).
①设P为线段MN勺中点，求直线OP的平面直角坐标方程;
②判断直线I与圆C的位置关系.
【解】①由题意知，M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 ,
l上两点M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 , —),
所以直线l的平面直角坐标方程为x+ 3y —2 = 0.
又圆C的圆心坐标为(2 , —3)，半径为r = 2,
|2 一3 一2| 3
圆心到直线I的距离d= _2—= 2<r,故直线l与圆C相交.
2
x + y—1 = 0,知x € R, y w 1.
其参数方程为
X = cos 0 ,
为参数)
.
乎).又P为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为(1 , ，故直线OP的平面直角坐标方程为
②因为直线
所以直线
y = 1 + sin 0 .。