《参数方程和普通方程的互化》导学案3

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《参数方程和普通方程的互化》导学案3

1. 了解参数方程化为普通方程的意义.

2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.

课标解读

3 .掌握参数方程化为普通方程的方法

知识梳理

参数方程与普通方程的互化

(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.

(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系,例如x =f(t),把它代入普通方程,

|x= f t

求出另一个变数与参数的关系y= g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数

i y= g t

方程与普通方程的互化中,必须使x, y的取值范围保持一致.

思考探究

普通方程化为参数方程,参数方程的形式是否惟一?

【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程,关键在于适当选择参数,如果选择的参

数不同,那么所得的参数方程的形式也不同

课堂互动

|x= a+1 cos 0 ,

例题1在方程y= »+ t sin 0, (a,b为正常数)中,

(1) 当t为参数,0为常数时,方程表示何种曲线?

(2) 当t为常数,0为参数时,方程表示何种曲线?

非零常数时,利用平方关系消参数

0,化成普通方程,进而判定曲线形状.

x = a + t cos 0 ,

【自主解答】

方程*

(a , b 是正常数),

|y = b + t sin 0 ,

(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得

x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.

■/ cos 0、sin 0不同时为零, •••方程表示一条直线.

(2) ( i )当t 为非零常数时,

即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.

(ii)当t = 0时,表示点(a , b ).

1•消去参数的常用方法

将参数方程化为普通方程,

关键是消去参数,如果参数方程是整式方程,

常用的消元法

有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程, 在运用代入消元或加减消元之前要

做必要的变形•另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如

sin 2a+ cos 2a = 1,(e X + e —

x )2

2

x —x 2

1 — k

2 2k 2

-(e -e )

=4,("+ E=1 等.

2•把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y

的取值范围的影响.本题启示我们,形式相同的方程,由于选择参数的不同, 可表示不同的曲线.

将下列参数方程分别化为普通方程,并判断方程所表示曲线的形状:

x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数,0W 0 < n );

|y = 2s in 0

r

4

4

x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2

( 0为参数);

|y = 1 — 2sin 0 cos 0

2 2

x — a

③2+④得

—cos 0,

—sin

0 . 2

y — b

2

■=1, ④

「X —

a I t

原方程组为\

¥

(a , b 为大于零的常数,1为参数)•

x = 1 — 2sin 22 0 ,

• x — y = 0. 2

T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.

2 2

1 一

所以方程x — y = 0(2W x W 1)表示一条线段.

⑶ T x = |(t + p),

由 x =a (t +1),

2 a 2

1

两边平方可得x = -(t + 2 +严)①

b 1

由y = 2(t — 1)两边平方可得 2 b 2 2 1

y 2= 7( t 2

— 2+右)②

2 2

1

1

x y

①xp —②x 亡并化简,得——2= 1(a , b 为大于 a b a b

1

t +1

【解】

x= 2cos

y = 2sin

两式平方相加,得

x 2+ y 2= 4.

T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.

所以方程的曲线表示圆心为

(0,0)

,半径为2的圆的上半部分. (2)由彳

f

・ 4 c 4小

x = sin 0 + cos 0 ,

I I

2 2

y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,

x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 2

2 0 cos 0 ,

2

0 cos 0 ,

即』

| y = 1 — 2sin 22 0 ,

••• t >0 时,x € [a , +

) , t <0 时,x € ( —a.

a ] •

0的常数),这就是所求的曲线方程,

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