《参数方程和普通方程的互化》导学案3
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《参数方程和普通方程的互化》导学案3
1. 了解参数方程化为普通方程的意义.
2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.
课标解读
3 .掌握参数方程化为普通方程的方法
知识梳理
参数方程与普通方程的互化
(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.
(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系,例如x =f(t),把它代入普通方程,
|x= f t
求出另一个变数与参数的关系y= g(t),那么就是曲线的参数方程.在参数
i y= g t
方程与普通方程的互化中,必须使x, y的取值范围保持一致.
思考探究
普通方程化为参数方程,参数方程的形式是否惟一?
【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程,关键在于适当选择参数,如果选择的参
数不同,那么所得的参数方程的形式也不同
课堂互动
|x= a+1 cos 0 ,
例题1在方程y= »+ t sin 0, (a,b为正常数)中,
(1) 当t为参数,0为常数时,方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数,0为参数时,方程表示何种曲线?
非零常数时,利用平方关系消参数
0,化成普通方程,进而判定曲线形状.
x = a + t cos 0 ,
①
【自主解答】
方程*
(a , b 是正常数),
|y = b + t sin 0 ,
②
(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得
x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.
■/ cos 0、sin 0不同时为零, •••方程表示一条直线.
(2) ( i )当t 为非零常数时,
即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.
(ii)当t = 0时,表示点(a , b ).
1•消去参数的常用方法
将参数方程化为普通方程,
关键是消去参数,如果参数方程是整式方程,
常用的消元法
有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程, 在运用代入消元或加减消元之前要
做必要的变形•另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如
sin 2a+ cos 2a = 1,(e X + e —
x )2
2
x —x 2
1 — k
2 2k 2
-(e -e )
=4,("+ E=1 等.
2•把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y
的取值范围的影响.本题启示我们,形式相同的方程,由于选择参数的不同, 可表示不同的曲线.
将下列参数方程分别化为普通方程,并判断方程所表示曲线的形状:
x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数,0W 0 < n );
|y = 2s in 0
r
4
4
x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2
( 0为参数);
|y = 1 — 2sin 0 cos 0
2 2
x — a
③2+④得
—cos 0,
—sin
0 . 2
y — b
2
■=1, ④
「X —
a I t
原方程组为\
¥
(a , b 为大于零的常数,1为参数)•
x = 1 — 2sin 22 0 ,
• x — y = 0. 2
T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.
2 2
1 一
所以方程x — y = 0(2W x W 1)表示一条线段.
⑶ T x = |(t + p),
由 x =a (t +1),
2 a 2
1
两边平方可得x = -(t + 2 +严)①
b 1
由y = 2(t — 1)两边平方可得 2 b 2 2 1
y 2= 7( t 2
— 2+右)②
2 2
1
1
x y
①xp —②x 亡并化简,得——2= 1(a , b 为大于 a b a b
1
t +1
【解】
x= 2cos
y = 2sin
两式平方相加,得
x 2+ y 2= 4.
T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.
所以方程的曲线表示圆心为
(0,0)
,半径为2的圆的上半部分. (2)由彳
f
・ 4 c 4小
x = sin 0 + cos 0 ,
I I
2 2
y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,
x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 2
2 0 cos 0 ,
2
0 cos 0 ,
即』
| y = 1 — 2sin 22 0 ,
••• t >0 时,x € [a , +
) , t <0 时,x € ( —a.
a ] •
0的常数),这就是所求的曲线方程,