《参数方程和普通方程的互化》导学案3

《参数方程和普通方程的互化》导学案3

1. 了解参数方程化为普通方程的意义.

2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.

课标解读

3 .掌握参数方程化为普通方程的方法

知识梳理

参数方程与普通方程的互化

(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.

(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,

|x= f t

求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数

i y= g t

方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.

思考探究

普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？

【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参

数不同，那么所得的参数方程的形式也不同

课堂互动

|x= a+1 cos 0 ,

例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，

(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?

(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?

非零常数时，利用平方关系消参数

0，化成普通方程，进而判定曲线形状.

x = a + t cos 0 ,

①

【自主解答】

方程*

(a , b 是正常数)，

|y = b + t sin 0 ,

②

(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得

x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.

■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.

(2) ( i )当t 为非零常数时，

即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.

(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).

1•消去参数的常用方法

将参数方程化为普通方程，

关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，

常用的消元法

有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要

做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如

sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —

x )2

2

x —x 2

1 — k

2 2k 2

-(e -e )

=4,("+ E=1 等.

2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y

的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.

将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:

x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );

|y = 2s in 0

r

4

4

x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2

( 0为参数)；

|y = 1 — 2sin 0 cos 0

2 2

x — a

③2+④得

—cos 0，

—sin

0 . 2

y — b

2

■=1, ④

「X —

a I t

原方程组为\

¥

（a , b 为大于零的常数，1为参数）•

x = 1 — 2sin 22 0 ,

• x — y = 0. 2

T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.

2 2

1 一

所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.

⑶ T x = |(t + p),

由 x =a (t +1),

2 a 2

1

两边平方可得x = -（t + 2 +严）①

b 1

由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1

y 2= 7( t 2

— 2+右)②

2 2

1

1

x y

①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b

1

t +1

【解】

x= 2cos

y = 2sin

两式平方相加，得

x 2+ y 2= 4.

T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.

所以方程的曲线表示圆心为

（0,0）

，半径为2的圆的上半部分. （2）由彳

f

・ 4 c 4小

x = sin 0 + cos 0 ,

I I

2 2

y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,

x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 2

2 0 cos 0 ,

2

0 cos 0 ,

即』

| y = 1 — 2sin 22 0 ,

••• t >0 时，x € [a , +

) , t <0 时，x € ( —a.

a ] •

0的常数），这就是所求的曲线方程,