长江大学数学分析考研真题详解

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数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

考研数学分析真题答案

考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。

答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。

答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。

证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。

解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

15 武汉大学
39
15.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
16 华中科大 2012 年数学分析试题解析
40
17 武汉大学 2018 年数学分析试题解析
44
18 中南大学 2010 年数学分析试题解析
6 浙江大学
16
6.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 华中科技大学
18
7.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 大连理工大学
35
13.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 电子科技大学
37
14.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 天津大学
13
5.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

考研数学分析试题及答案

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

长江大学数学分析上定理

定理1.1（确界原理）设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 定理2.1 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是：{}n a a -为无穷小数列. 收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.定理 2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有n a M ≤.定理 2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0<），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数N ，使得当n N >有n a a '>（或n a a '<）.定理 2.5（保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.存在正数0N ，使0n N >时有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.定理2.6（迫敛性）设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.定理2.7（四则运算法则）若{}n a 与{}n b 收敛，则数列{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅也都是收敛数列，且有lim ()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±lim ()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅特别当n b 为常数c 时有lim ()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.若在假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n na b 也是收敛数列，且有limlim lim n n nn n n na ab b →∞→∞→∞=.定理2.8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理2.10（柯西收敛法则）数列{}n a 收敛的充要条件是：对任何给定的0ε<，存在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<. 定理3.1 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.函数极限的性质：定理3.2（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3.3（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理3.4（局部保号性）若0lim ()0x x f x A →=>（或0<），则存在任何正数r A <（或r A <-）存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理 3.5(保不等式性)设0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)x U x δ∈有()()f x g x ≤,则0lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.定理3.6（迫敛性）设0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某00(;)x U x δ∈内有()()()f x h x g x ≤≤，则有0lim ()x x h x A→=.定理3.7（四则运算法则）若极限0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，则函数f g ±，f g ⋅当0x x →时极限也存在，且1）0lim [()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；2）0lim [()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅；又若0lim ()0x x g x →≠，则f g 当0x x →存在，且有3）0()limlim ()lim ()()x x x x x x f x f x g x g x →→→=.定理3.8（归结原则）设f 在00(;)x U x δ'∈内有定义. 0lim ()x x f x →存在的充要条件是：对任何含于00(;)x U x δ'∈内且以0x 为极限的数列{}n x ，极限0lim ()n x x f x →都存在且相等.定理3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域00()U x +有定义. 0lim ()x x f x A +→=的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.定理3.10 设f 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在.定理3.11（柯西准则）设函数f 在00(;)U x δ'内有定义. 0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数δ（δ'<），使得对任何x '，x ''00(;)U x δ∈<有|()()|f x f x ε'''-<.定理3.12 设函数,,f g h 在00()U x 内有定义，且有0()~()()f xg x x x →.（i ）若0lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；（ii ）若0()lim()x x h x B f x →=,则0()lim()x x h x B g x →=.定理3.13（i ）设f 在00()U x 内有定义且不等于0.若f 为0x x →时的无穷小量，则1f为0x x →时的无穷大量.（ii ）若g 为0x x →时的无穷大量，则1g为0x x →时的无穷小量.定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右联系，又是左联系. 连续函数的性质：定理4.2（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，则f 在某0()U x 内有界.定理4.3（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，则0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r>（或()f x r <-）.定理4.4（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则f g ±，f g ⋅，f g （0()0g x ≠）也都在点0x 连续.定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数g f 在点0x 连续.定理4.6（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值和最小值.定理4.7（介值性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a u f b <<或()()f a u f b >>），则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x u =.定理 4.8 若函数f 在[],a b 上严格单调并连续，则反函数1f-在其定义域[](),()f a f b 或[](),()f b f a 上连续.定理4.9（一致连续性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续则f 在[],a b 上一致连续. 定理4.10 设0a >，α，β为任意实数，则有,()a a a a a αβαβαβαβ+⋅==. 定理4.11 指数函数x a （0a >）在R 上是连续的. 定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数. 定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数. 定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续.定理 5.2 若函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，则0()f x '存在的充要条件是0()f x +'与0()f x -'都存在，且00()()f x f x +-''=.定理5.3（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导.若点0x 为f的极值点，则必有0()0f x '=.定理5.4（达布定理）若函数f 在[],a b 上可导，且()()f a f b +-''≠，k 为介于()f a +'，()f b -'之间任一实数，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f k ξ'=.定理5.5 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 可导，且 000()()()f x u x v x '''=±.定理5.6 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =⋅在点0x 可导，且00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=+.定理5.7 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，且0()0v x ≠，则()()()u x f x v x =在点0x 可导，且0000020()()()()()[()]u x v x u x v x f x v x ''-'=.定理 5.8 设()y f x =为()x y ϕ=的反函数，若()y ϕ在点0y 的某邻域内连续，严格单调且0()0y ϕ≠，则()f x 在点0x （00()x y ϕ=）可导，且001()()f x y ϕ'='.定理5.9 设()u x ϕ=在点0x 可导，()y f u =在点00()u x ϕ=可导，则复合函数f ϕ 在点0x 可导，且00000()()()()(())()f x f u x f x x ϕϕϕϕ'''''== .定理 5.10 函数f 在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导，而且()y A x x ο∆=∆+∆中的A等于0()f x '.定理6.1（罗尔中值定理）若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；（iii ）()()f a f b =，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理6.2（拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.定理 6.3 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是()0f x '≥（0≤）.定理6.4 若函数f 在(),a b 内可导，则f 在(),a b 内严格递增（递减）的充要条件是：（i ）对一切(),x a b ∈，有()0f x '≥（()0f x '≤）；（ii ）在(),a b 内的任何子区间上()f x '不恒为0.定理6.5（柯西中值定理）设函数f 和g 满足（i ）在[],a b 上都连续；（ii ）在(),a b 内都可导；（iii ）()f x '和()g x '不同时为零；（IV ）()()g a g b ≠，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.定理6.6 若函数f 和g 满足：（i ）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（ii ）在点0x 的某空心邻域0()U x ︒内两者都可导，且()0g x '≠；（iii ）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞），则0()()lim lim()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='.定理6.7 若函数f 和g 满足：（i ）0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞；（ii ）在0x 的某右邻域00()U x +内两者都可导，且()0g x '≠；（iii ）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞），则0()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='.定理6.8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则0()()(())n n f x T x x x ο=+-，即 ()200000000()()()()()()()()(())2!!n n nf x fx f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- .定理6.9 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n nn f x fx ff x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+定理6.10（极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某邻域00(;)U x δ内可导. （i ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值.（ii ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值.定理 6.11（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内存在一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠.（i ）若()0f x ''<，则f 在点0x 取得极大值. （ii ）若()0f x ''>，则f 在点0x 取得极小值.定理6.12（极值的第三充分条件）设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,,1)k f x k n ==- ，()0()0n fx ≠则（i ）当n 为偶数时，f 在点0x 取得极值，且当()0()0n fx <时取得极大值，()0()0n fx >时取得极小值.（ii ）当n 为奇数时，f 在点0x 处不取得极值. 定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述判断互相等价： 1︒ f 为I 上的凸函数； 2︒ f '为I 上的增函数；3︒ 对I 上的任意两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-.定理 6.14设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要条件是()0f x ''≥（()0f x ''≤），x I ∈.定理 6.15 若f 在0x 二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的必要条件是()0f x ''=.定理6.16 设f 在0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导.若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.定理7.1（区间套定理）若[]{},n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],n n a b ξ∈，1,2,,n = 即n n a b ξ≤≤，1,2,,n =定理7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 定理7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理）设H 为闭区间[],a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[],a b .有界性定理若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有界.最大、最小值定理若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值和最小值. 介值性定理设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 介于()f a 与()f b 之间的任意实数（()()f a u f b <<或()()f a u f b >>），则存在()0,x a b ∈，使得0()f x u =.一致连续性定理若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在区间[],a b 上一致连续.定理8.1 若函数f 在区间I 上的连续,则f 在I 上存在原函数F ,()(),F x f x x I '=∈. 定理8.2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则（i ）F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；（ii ）f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数.定理8.3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，12,k k 为两个任意常数，则12k f k g+在I 上也存在原函数，且1212[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰.定理 8.4（换元积分法）设()g u 在[],αβ上有定义，()u x ϕ=在[],a b 上可导，且()x αϕβ≤≤，[],x a b ∈，并记()(())()f x g x x ϕϕ'=.（i ）若()g u 在[],αβ存在原函数()G u ，则()f x 在[],a b 也存在原函数()F x ，()(())F x G x C ϕ=+即()(())()()()(())f x dx g x x dx g u du G u C G x C ϕϕϕ'===+=+⎰⎰⎰.（ii ）又若()0x ϕ'≠，[],x a b ∈，则上述命题（i ）可逆，即当()f x 在[],a b 存在原函数()F x 时，()g u 在[],αβ也存在原函数()G u ，且1()(())G u F u Cϕ-=+，即1()(())()()()(())g u du g x x dx f x dx F x C F u Cϕϕϕ-'===+=+⎰⎰⎰.定理8.5 （分部积分法）若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '⎰存在，则()()u x v x d x '⎰存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰. 定理9.1 若函数f 在[],a b 上连续，且存在原函数F ，即()()F x f x '=，[],x a b ∈，则f在[],a b 可积，且()()()baf x F b F a =-⎰.定理9.2 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上必定有界.定理9.3（可积准则）函数f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应一个分割T ，使得()()S T s T ε-<.定理9.4 若f 为[],a b 上的连续函数，则f 在[],a b 上可积.定理9.5 若f 为区间[],a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[],a b 上可积. 定理9.6若f 为[],a b 上的单调函数，则f 在[],a b 上可积.定理9.7（积分第一中值定理）若f 为[],a b 上的连续函数，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()ba f x fb a ξ=-⎰.定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f 与g 都在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bba af xg x dx f f x dx ξ==⎰⎰.定理9.9 若f 在[],a b 上可积，则()()x ax f t dt Φ=⎰定义的Φ在[],a b 上连续.定理9.10（原函数存在定理）若f 在[],a b 上连续，则()()x ax f t dt Φ=⎰定义的Φ在[],a b 上处处可导，且[]()()(),,x adx f t dt f x x a b dx'Φ==∈⎰.定理9.11（积分第二中值定理）设函数f 在[],a b 上可积.（i ）若函数g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()b aaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.（ii ）若函数g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使得()()()()b baf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰定理9.12（定积分换元积分法）若f 在[],a b 上连续，ϕ在[],αβ上连续可微，且满足()a ϕα=，()b ϕβ=，()a t b ϕ≤≤，[],t αβ∈则有定积分换元公式：()(())()b af x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰.定理9.13（定积分分部积分法）若()u x ，()v x 是[],a b 上的连续可微函数，则定积分分部积分公式：()()()()|()()bbb aaau x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰.定理10.1 设曲线C 有参数方程[](),(),,x x t y y t t αβ==∈给出.若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰.定理11.1 无穷积分()af x dx ∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要12,u u G>，就有2121()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.定理11.2 （比较法则）设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[],a u 上可积，且满足()(),[,)f x g x xa ≤∈+∞，则当()ag x dx +∞⎰收敛时()af x dx +∞⎰必收敛（或者，当()af x dx +∞⎰发散时，()ag x dx +∞⎰必发散）.定理11.3（狄利克雷判别法）若()()u aF u f x dx =⎰在[,)a +∞上有界，()g x 在[,)a +∞上当x →+∞时单调趋于0，则()()af xg x dx +∞⎰收敛.定理11.4（阿贝尔判别法）若()af x dx +∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则()()af xg x dx +∞⎰收敛.定理11.5 瑕积分()baf x dx ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要12,(,)u u a a δ∈+，总有2111()()()b b u u u u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰.定理11.6（比较法则）设定义在(,]a b 上的两个函数f 与g ，瑕点同时为x a =，在任何[],(,]u b a b ⊂上都可积，且满足()()f x g x ≤，(,]x a b ∈则当()ba g x dx ⎰收敛时，()af x dx +∞⎰必收敛（或者，当()af x dx +∞⎰发散时，()ag x dx +∞⎰必发散）.。

长江大学08-09概率论与数理统计试卷A参考答案与

2008─2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准经济yq供查阅的参考数值：（220.0250.975(0.5)0.69,(9)19,(9) 2.7χχΦ===）一、填空题(每空 3 分，共30分)1． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ未知，则关于原假设0μμ=的检验统计量t =X -.2． ~X N μσ2（，），1,,n X X 是总体X 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，2σ已知，则关于原假设0μμ=的检验统计量Z =X - .3．设X 的分布律为,{}1,,k k P X x p k n ===，则1nk k p =∑= 1.4．某学生的书包中放着8本书，其中有5本概率书, 2本物理书,1本英语书,现随机取1本书,则取到概率书的概率为585．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则()F +∞= 1 . 6．设X 在(0,1)上服从均匀分布,则()D X =112.7．设(0,1)XN ,(1,2)YN ,相关系数1XY ρ=，则方差D X Y +（8． X 与Y 独立同分布,X 的密度函数为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，λ（>0）,{}min ,Z X Y =,则数学期望()E Z =12λ. 9． (,)X Y 概率密度为(,)f x y ,则X 的概率密度()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰.10. X 与Y 独立且均服从标准正态分布,则22X Y +服从2χ（2）分布.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分) 某人群患某种疾病的概率约为0.1%,人群中有20%为吸烟者,吸烟者患该种疾病的概率约为0.4%,求不吸烟者患该种疾病的概率(用A 表示人群中的吸烟者, 用C 表示某人群患该种疾病,P C （）=0.1%).解：P C （）=0.1%，P A （）=0.2，P C A （）=0.4% （2分）由全概率公式 P C P C A P A P C A P A （）=（）（）+（）（）（4分）可得 P C A （）=0.025% （2分） 2、(10分) 设随机变量X 的分布函数为1()0.4()0.6()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，求X 的密度函数()f x 、数学期望()E X 与方差()D X (记x x ϕ'Φ（）=()).解: X 的密度函数1()()0.4()0.3()2x f x F x x ϕϕ-'==+ （2分）数学期望1()()d 0.3()d 2x E X xf x x x x ϕ+∞+∞-∞-∞-==⎰⎰（2分） =0.6(21)()dt 0.6t t ϕ+∞-∞+=⎰ （2分） 22221()()d 0.4()d 0.3()d 2x E X x f x x x x x x x ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-==+⎰⎰⎰=20.40.6(21)()dt 0.40.6(41) 3.4t t ϕ+∞-∞++=++=⎰（3分）方差2()D X EX E X =2（）-（）=3.4-0.36=3.04 （1分） 3、(9分)设随机变量(,)X Y 具有概率密度2201(,)0x y f x y π⎧≤+≤⎪=⎨⎪⎩1，，其它.(1)求X 的边缘概率密度；(2)验证X 与Y 是不相关的,但X 与Y 不是相互独立的.解：(1)X的概率密度为,11()0X y x f x π⎧⎪-≤≤=⎨⎪⎩=，其它（2分） A 卷第2页共4页(2)E X （）=0, E Y （）=0, E XY （）=0 （3分）-Cov X E XY E X E Y （）=（）（）（）=0,即X 与Y 是不相关的（2分）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠可知X 与Y 不相互独立（2分）3、 (9分) 一加法器同时收到48个噪声电压(1,,48)k V k =，它们相互独立且都在区间（0，10）服从均匀分布，记481k k V V ==∑，用中心极限定理计算{250}P V ≥的近似值.( 说明24020V -近似服从正态分布可得4分。

长江大学07-08概率论与数理统计试卷B参考答案与

长江大学《概率论与数理统计》2007─2008学年第二学期经济yq课程考试试卷( B 卷) 参考答案与评分标准考试方式：闭卷学分：3.5 考试时间：120 分钟供查阅的参考数值：（(1.64)0.95,(1.96)0.975,(2)0.98Φ=Φ=Φ=）一、填空题(每空 3 分，共 30分)1．设事设事件A 与B 互不相容，P(A)=p , P(B)=q ，则()P AB p q =+ 2．设事件A 与B 相互独立，P(A)=p , P(B)=q ，则()P AB = p q pq +- 3．设X 服从参数为λ的Poisson 分布，则(3)9D X λ=.4．一不透明的暗箱中放着11只球，其中有5只红球,现有8人依次随机取1只球,则第6人取到红球的概率为511.5．设X 服从二项分布(,)b n p ，则()(1)D X np p =-. 6．设X 在(5,5)-上服从均匀分布,则{}73410P X -≤≤=. 7．设(0,1)X N ,(1,4)Y N ,1XY ρ=，则{}211P Y X =+=.8． 1,,n X X 是总体X 的简单随机样本,总体X 的分布函数为()F x ，{}1min ,,n Z X X = ,则Z 的分布函数为()Z F z =1-(1())nF z -.9． 2~()X n χ，1,,m X X 是总体X 的简单随机样本，X 为样本均值，则2()nD X m=10．Z X Y =+的概率密度()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰(or (,)f z y y dy +∞-∞-⎰)。

B 卷第 1 页共 5 页二、概率论试题(40分)1、(10分) 设X 与Y 相互独立,{}1(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记Z X Y =+,用全概率公式求{}1.4P Z ≤.解：由全概率公式有{}{}(){}{}{}{}{}{}(){}{}{}()()1.4 1.42.41 1.400.411( 2.4 1.40.4)31(110.4)0.83P Z P X Y P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y ≤=+≤=≤=-+≤=+≤==≤+≤+≤=++=1分4分2分3分2、(10分) ()X Y ，服从二维正态分布，()X Y ，服从二维正态分布,证明当2()/()b D X D Y =时随机变量W X bY =-与V X bY =+相互独立.证：由()X Y ，服从二维正态分布可知(W ，V ）服从二维正态分布，W 与V 相互独立与(,)0Cov W V =等价。

2010长江大学数电答案

2010─2011学年第1学期《数字电子技术》试卷（A ）参考答案及评分标准一、填空题 (共22分)1．（10分）将十进制数（254.25）10化成二进制数（1111 1110.01 ）、八进制数（376.2）、十六进制数(FE.4 ) 、8421BCD 码 (0010 0101 0100.00100101 ) 、5421BCD 码 (0010 1000 0100. 0010 1000 )。

2．（2分）已知Ｄ／Ａ转换电路中，当输入数字量为10000000时，输出电压为 6.4V ，则当输入为01010000时，其输出电压为（4V ）。

3．（2分）有符号二进制补码0010111所表示的十进制数为（ +23 ）。

4．（2分）用边沿D 触发器构成二分频电路时的D 输入信号为（ Q ）。

5．（4分）41⨯K 的存储器有（4 ）根数据线，（10 ）根地址线，若该存储器的起始地址为００Ｈ，则最高地址为（3FFH ），欲将该存储器扩展为82⨯K 的存储系统，需要41⨯K 的存储器（4 ）个。

6．（2分）一个可编程逻辑阵列PLA 电路如图1所示，其输出逻辑函数表达式L 0、L 1分别为(BC AC C B A AC B A +++，）。

二、( 8分,每小题4分) (1) B AC ABC C AB C B A F 1A +=++= (2)化简得C B C B D F ++=2三、( 12分)（1）（6分）E D BC AB L =（2）（2分）7、4、9接一起都接Vss ，8、5、12接一起，11接1，2接13，14接VDD ，6、3、10为或非门三输入端。

（3）（4分）（a ）第一个555定时器构成多谐振荡电路，第二个555定时器构成单稳态触发电路。

（b ）四、（12分）（1）写表达式（4分）AB C B A AB C B A F CB A F +⊕=⊕=⊕⊕=)()(21（2）列真值表（4分）（3）功能（1分）：一位二进制全加器。

长江大学数学分析报告下定理

数项级数（级数收敛的柯西准则）级数12n u u u +++收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m N >以及对任意的正整数p ，都有12m m m p u u u ε+++++<定理：若级数n u ∑与n v ∑都收敛，则对任意的常数,c d ，级数()n n cu dv +∑亦收敛，且()n n n n cu dv c u d v +=+∑∑∑。

定理：正项级数n u ∑收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对一切正整数n 有n S M <（比较原则）设n u ∑与n v ∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n N >都有n n u v ≤ ，则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛；（ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散。

推论设12n u u u +++（1） 12n v v v +++（2）是两个正项级数，若limnn nu l v →∞=，则（i ）当0l <<+∞时，上述级数同时收敛或同时发散；（ii ）当0l =且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；（iii ）当l →+∞且级数（2）收敛时，级数（1）发散。

（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设n u ∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （01q <<）（i ）若对一切0n N >，成立不等式1n nu q u +≤则级数n u ∑收敛（ii ）若对一切0n N >，成立不等式11n nu u +≥，则级数n u ∑发散。

（柯西判别法，或称根式判别法）设n u ∑为正项级数，且存在某正数0N 及正常数l ，（i ）若对一切0n N >1l ≤<，则级数n u ∑收敛；（ii ）若对一切0n N >1≥，则级数n u ∑发散。

积分判别法定理12.9 设f 为[1,)+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx ∞⎰同时收敛或同时发散。

长江大学数学分析2020年考研专业课初试大纲

2020年全国硕士研究生统一入学考试
数学分析科目考试大纲
一、考查目标
要求考生掌握数学分析课程的基本概念、基本定理和基本方法，能够运用数学分析的理论分析、解决相关问题。

二、考试形式和试卷结构
1、试卷满分及考试时间
本试卷满分150分，考试时间为180分钟。

2、答题方式
答题方式为闭卷、笔试
3、试卷题型结构
全卷一般由十个大题组成，具体分布为
计算题：5～6小题，每题10分，约50～60分
分析论述题（包括证明、讨论、综合计算）：5～6大题，每题15～20分，约75～100分
三、考查范围
本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学等等。

第一章实数集与函数
1．了解邻域，上确界、下确界的概念和确界原理。

2．掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性。

（单
调性、周期性、奇偶性、有界性等）
3．掌握基本初等不等式及应用。

第二章数列极限
1．熟练掌握数列极限的ε-N定义。

2．掌握收敛数列的常用性质。

3．熟练掌握数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、。