弹性力学与有限元分析.ppt

同样有： z 0 ，z x z y 0
于是在6个应变分量中只需研究 oxy平面内的 3个 应分量 x , y , xy ，在 3个位移分量中也只需研究 oxy 平面内的 U和V ，所以称这种问题为平面应变问题。
z 0
zx zy 0 ，而 应力分量中，由广义虎克定律，
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
几何形状特点：物体沿一个方向很长（如 z 向），且垂
直于 z 轴的截面相同，即为一个等棱柱
z W V U
体，位移条件或支承条件沿z 向也相同。
所受外力特点：在柱体侧面上受到垂直于 z轴且不沿
长 度变化的面力（面力分量中 Z 0 ）
作用，同时体力也垂直于 z轴且不沿 长度变化（体力分量中 Z 0 ）。
( )E ,可在求出 x , y 后再计算；z向 z x y
位移 W 可通过应变与位移间关系，经积分后再考虑 位移边界条件求得。这样要考虑的应变分量只 是
x , y , xy ，位移分量只有U和 V。
x , y
这样，平面应力问题只需研究以下8个独立未知函数：
分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元 ，在单元体内假设近似解的模式，用有限个节点上的 未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各 个单元的关系式组合成包含这些未知参数的方程组， 求解这个方程组，得出各节点的未知参数，利用插值 函数求出近似解。随着单元尺寸的缩小，单元ຫໍສະໝຸດ Baidu目也 就增加，解的近似程度不断提高，如果单元满足收敛 要求的话，近似解就收敛于真实解。
( ),可在求出 x , y 后再计算；这样要考 z x y
虑的应力分量只是x ,y ,xy 。
这样，平面应变问题只需研究以下8个独立未知函数：


x y xy

U V


x y xy

且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只 需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过 小的锐角，否则，计算误差较大。 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。 如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。

当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
Z
由于板很薄，在板面上不受力，且外力不沿板厚变 化，因此在整个板内有：
z
0 , 0 , 0
zx xz zy yz
于是在6个应力分量中只需研究 oxy平面内的 3个应力
分量 x ,y ,xy ，所以称这种问题为平面应力问题。
z W V U
应变分量中，由广义虎克定律，z x z y 0 ，而
1、平面应力问题
在这类问题的应力分量中，凡带某一脚标的（如z） 都为零。其特点是： 几何形状特点：物体在一个方向（如z向）上的尺寸远 小于其他两个方向的几何尺寸，如薄 板。 所受外力特点：在薄板的两个侧面上无面力作用，只 在其边缘受到平行于板面且沿板厚均 匀分布的面力（面力分量中 Z 0 ）作 用，同时体力也平行于板面且不沿板 厚变化（体力分量中Z 0 ）。
二、有限元法的分类与求解步骤
从选择基本未知量的角度来看，有限元法分为以下三类： 位移法——以节点位移作为基本未知量 力法——以节点力作为基本未知量 混合法——取一部分节点位移和一部分节点力作为 基本未知量 由于位移法比较简单，计算规律性强，便于编写 计算机通用程序，因此在用有限元法进行结构分析时， 大多采用位移法。其求解步骤如下：

节点编号，原则上可任意，但它影响基本方程系数 矩阵的带宽，所以单元的两个相邻节点编号之差
应尽可能小。
五、位移插值函数与形函数
结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，即 确定单元节点力与节点位移之间的关系。为分析并确 定这一关系，需要把单元中任一点的位移分量表示为 坐标的某种函数，这一函数称为单元的位移插值函数。 它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。 由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元 法解题的重要步骤。常用的单元类型有： 杆单元 平面单元 轴对称单元

空间单元 对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相


x y xy



x y xy

U V
且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程中的墙、梁，
高速旋转的薄圆盘等都可简化为平面应力问题。
2、平面应变问题
这类问题的位移分量中有一个为零（如 z 向位移W ）， 其余两个方向的位移U 和 V与z 无关。其特点是：
第一部分：有限元基本理论与方法
长安大学 张青哲
一、有限元基本理论
有限元方法是一种有效的数值计算方法。目前，
它已广泛地应用于各类工程技术领域，如结构的应力 、应变分析，各种连续问题的场变量——温度、压力 、流速势、电磁场等问题的数值计算，并日益受到重 视。
其基本思想是：将一个连续的求解域离散化，即