2020届上海市浦东新区高三三模数学试题
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷(有答案解析)
2020 年上海市浦东新区高考数学三模试卷题号 一二三总分得分、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0分）的图象，关于函数 g （ x ），下列说法正确的是定义：在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），则 d （P ，Q ）=|x 1-x 2|+|y 1-y 2| 叫做 P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点 ax+by+c=0 上一动点，则 M 、N 两点的7. 抛物线 y=2x 2的准线方程为 _ ．8. 若圆柱的高为 π，体积为 π2，则其侧面展开图的周长为9. 三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，则 x= ________1. 设 x> 0，则“ a=1”是“恒成立”的）条件A. 充分不必要 C. B . 必要不充分 既不充分也不必要2.已知函数 ，把函数 f （ x ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g （x ）3. A.B. C.D.在 [ ， ]上是增函数 其图象关于直线 x=- 对称函数 g （ x ）是奇函数 当 x ∈[0， ]时，函数 g （ x ）的值域是 [-1， 2] 时，若关于 的方6 个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）M（x0，y 0）是直线 ax+by+c=0外一定点，点 N 是直线 垂直距离”的最小值为（ ）5. 6. A. B. 12小题，共 36.0分） C. 、填空题（本大题共 已知集合 A={x|x 2+4x+3≥0，} B={ x|2x <1} ，则 A ∩B=设复数 ，其中 i 为虚数单位，则 Imz = D. |ax 0+by 0+c|4.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当10.现有 10个数，它们能构成一个以 1 为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是_11.在展开式中， x4项的系数为____________ （结果用数值表示）12.设无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，则公比 q的取值范围是____13.已知平面上的线段 1及点 P，任取 1上的一点 Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段 1的距离，记为 d（P，l）．设 A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1）， L1=AB，L2=CD，若 P（ x， y）满足 d（P，L1）=d（P，L2），则 y 关于 x的函数解析式为圆 O 的半径为 1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为 1的正方形（实14.线所示，正方形的顶点 A与点 P重合）沿圆周逆时针滚动，点 A第一次回到点 P的位置，则点 A 走过的路径的长度为．15.已知数列 {a n}满足：a1=a<0，，n∈N*，数列{ a n}有最大值 M 和最小值m，则的取值范围为___16.凸四边形就是没有角度数大于 180 °的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=1，，AC⊥CD ，AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0分）17.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC 侧面 PAB⊥底面ABCD， PA=AD=AB=2，BC=4．（ 1）若 PB 中点为 E．求证： AE∥平面 PCD ；（ 2）若∠PAB=60°，求直线 BD与平面 PCD 所成角的正弦值．18.上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行 3千米， 3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行 12千米，以后每千米都按 3.8 元计价，假如忽略因交通拥挤而等待的时间．（ 1）请建立车费 y（元）和行车里程 x（千米）之间的函数关系式；（ 2）注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长 8.91千米）须付车费 31 元，走路线二（路线二总长 8.71千米）也须付车费 31元，将上述函数解析式进行修正（符号 [x]表示不大于 x的最大整数，符号 { x}表示不小于 x的最小整数），并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62 千米）19.函数 f（ x） =mx|x-a|-|x|+1（ 1）若 m=1，a=0，试讨论函数 f（ x）的单调性；（ 2）若 a=1 ，试讨论 f（ x）的零点的个数．20.曲线（a>b>0）的左右焦点分别为 F1（-1，0）、 F2（1，0），短轴长为，点在曲线Γ上，点 Q在直线 l：x=-4 上，且 PF1⊥QF1．（ 1）求曲线Γ的标准方程；（ 2）试通过计算判断直线 PQ 与曲线Γ公共点的个数．（3）若点A（x1，y1）、 B（ x2， y2）在都以线段 F1F2为直径的圆上，且，试求 x2 的取值范围．21.已知数列 { a n}满足，n∈N*，且 0<a1<1．（ 1）求证： 0< a n< 1；（ 2）令 b n=lg（1-a n），且，试求无穷数列的所有项和；3）求证：n∈N*，当 n≥2时，1. 答案： A 解析： 解： ∵x> 0，若 a ≥1，则 x+ ≥2 ≥2恒成立，若“ x+ ≥2恒成立，即 x 2-2x+a ≥0恒成立，22设 f （x ）=x 2-2x+a ，则 △=（ -2） 2-4a ≤0，或 ，解得： a ≥1，故“ a=1”是“ x+ ≥2“恒成立的充分不必要条件， 故选： A ．先求命题“对任意的正数 x ，不等式 x+ ≥2成立”的充要条件， 再利用集合法判断两命题间的充分必 要关系本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化 归的思想方法．2. 答案： D解析： 解：把函数 f （ x ）=2sin （ 2x+ ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位， + ]=2cos2 x 的图象，显然，函数 g （ x ）是偶函数，故排除 C ．当 x ∈[ ， ]， 2x ∈[ ，π，]函数 g （x ）为减函数，故排除 A ．当 x=- 时， g （ x ）=0，故 g （ x ）的图象不关于直线 x=- 对称，故排除 B ．当 x ∈[0， ]时， 2x ∈[0， ]， cos2x ∈[- ， 1] ，函数 g （ x ）的值域是 [-1，2]， 故选： D ．由条件利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （x ）的解析式， 再利用余弦函数的图象性质， 得出结论．本题主要考查函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题． 3. 答案： C解析： 【分析】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法结合函数奇偶性的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．根据函数的奇偶性作出函数 f （ x ）的图象，利用换元法判断答案与解析得到函数 g （ x ）=2sin[2（ x+ ）第 5 页，共14 页函数 t=f（ x）的根的个数，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数 f（ x）的图象如图：则 f（ x）在（ -∞， -2）和（ 0， 2）上递增，在（ -2， 0）和（ 2， +∞）上递减，当 x=±2 时，函数取得极f（2）=大值当 x=0 时，取得极小值 0．要使关于 x的方程 [f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有 6个不同实数根，设 t= f （ x），则当 t<0，方程 t=f（x），有 0 个根，当 t=0，方程 t=f（x），有 1 个根，当 0<t≤1或 t= ，方程 t=f（x），有 2 个根，当 1<t< ，方程 t=f（x），有 4 个根，当 t> ，方程 t=f （x），有 0 个根．则 t2+at+b=0 必有两个根 t1、 t2，则有两种情况符合题意：①t1= ，且 t2∈（ 1，），此时 -a=t1+t2，则 a∈（ - ， - ）；②t1∈（0，1] ，t2∈（1，），此时同理可得 a∈（ - ，-1），综上可得 a 的范围是（ - ， - ）∪（ - ， -1），故选： C．4.答案： A 解析：解：∵点M（x0，y0）是直线 ax+by+c=0 外一定点，点 N 是直线ax+by+c=0 上一动点，∴设 N（ - ， - ），M、N两点的“垂直距离”为：| |+|- |∴M、 N两点的“垂直距离”的最小值为故选： A ．此能求出 M 、N 两点的“垂直距离”的最小值． 本题考查考查两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力．5. 答案： {x|-1≤x< 0，或 x ≤-3} 解析： 解： A={ x|x ≤-3，或 x ≥-1} ，B={ x|x< 0} ； ∴A ∩B={x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 故答案为： {x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 可求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．6. 答案： 1 解析： 解： ∵ ∴Imz=1． 故答案为： 1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.答案：解析： 解：抛物线的方程可变为 x 2= y 故 p= 其准线方程为 故答案为先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 马虎导致错误．8.答案： 6π 解析： 解：设圆柱的底面半径为 r ，且圆柱的高为 h=π， 则体积为V=πr 2h=πr 2?π=π2， r=1，∴侧面展开图的周长为 2× 2r π+2π =6．π 故答案为： 6π．设圆柱的底面半径为 r ，利用圆柱的体积求出 r 的值，再计算侧面展开图的周长． 本题考查了圆柱展开图与体积的应用问题，是基础题．9.答案： 5解析： 解： ∵三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，∴（-1）3× =-6+3 x=9， 解得 x=5 ． 故答案为： 5．由代数余子式的定义得（ -1）3× =-6+3 x=9 ，由此能求出 x 的值．本题考查实数值的求法，考查代数余子子的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：解析： 解：由题意成等比数列的 10个数为： 1，-3，（ -3） 2，（ -3）3⋯（ -3） 9 其中小于 8的项有： 1，-3，（-3）3，（-3）5，（-3）7，（-3）9共 6个数 这 10个数中随机抽设 N （ - ，- ），则 M 、N 两点的“垂直距离”为： ．由p=1，因看错方程形式 + - |= + ≤取一个数，则它小于8 的概率是 P=故答案为：先由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11.答案： 180解析：解：式子表示 10 个因式（ 2+ - ）的乘积，故有 8 个因式取，其余的 2 个因式取 2，可得含 x4项，故 x4项的系数 ? ?22=180，故答案为： 180．式子表示 10个因式（2+ - ）的乘积，其中有 8个因式取，其余的 2个因式取 2，可得含 x4项，从而得到 x4项的系数．本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，可得 >2a1，并且 |q|< 1，可得，并且 |q|< 1，故答案利用数列极值的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限，数列极限运算法则的应用，考查计算能力．13.答案：解析：解：根据题意画出线段 AB 与线段 CD，∵P（x，y）满足 d（P，L1）=d（P， L2），∴点P满足到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 x≤0时， x 轴上的点到线段 AB 的距离等于到线段 CD 的距离，故 y=0（ x≤0），当 0<x≤2时，点 P 到线段 AB的距离即为到点B 的距离，到点 B的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，根据抛物线的定义可知点 B是抛物线的焦点，准线，则 =1，∴x2=4y，即 y= x2，（ 0< x≤2），当 x>2时，满足到线段 AB的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，在平面内到两定点距离相等的点即为线段 BD 的垂直平分线，∴点 P的轨迹为 y=x-1（x> 2），∴y关于 x 的函数解析式为：故答案为：该题就是寻找平面内到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离相等的点的轨迹，当 x≤0时，x轴上的点到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 0<x≤2时，点 P到线段 AB的距离即为到点 B的距离，到点 B 的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，当x>2 时，满足到线段 AB 的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，从而求出 y关于 x的函数解析式．本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题．解析： 解：由图可知： ∵圆 O 的半径 r=1，正方形 ABCD 的边长 a=1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， ∴当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 设第i 次滚动，点 A 的路程为 A i ， 则 A 1=×|AB|= ，A 4=0，∴点 A 所走过的路径的长度为 3（A 1+A 2+A 3+ A 4） = ． 故答案为： ．由图可知：圆 O 的半径 r =1，正方形 ABCD 的边长 a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ，正 方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 3圈共12 次，分别算出转 4次的长度，即可得出．本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想 方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题． 15.答案： [-5 ，-2） 解析： 解：由 a 1=a< 0，，n ∈N *，∴a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=a+（3a 2-3a ）+（3a 3-3a 2）+⋯⋯ +（3a n -3a n-1）=3a n -2a ． ∴a 2k =3a 2k -2a>0， a 2k-1=3a 2k-1-2a ． ① -1<a<0时， M=a 2=3a 2-2a ，N=3a-2a=a ． ∴ ==3a-2 ∈（ -5， -2）．② a=-1 时， a 2k =5 ，a 2k-1=-3+2=-1 ． M=5，N=-1．③ a<-1 时，不满足数列 {a n }有最大值 M 和最小值 m 的条件，舍去． ∴ 的取值范围为 [-5 ，-2）． 故答案为： [-5， -2）．*n由 a1=a<0， ，n ∈N *，可得 an =a 1+（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=3a n -2a．分3 圈共 12 次，类讨论 a2k=3a2k-2a> 0， a2k-1=3a2k-1-2a．利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：设∠ABC =α，∠ACB=β，则由余弦定理得， -=24 cos α；所以BD2=3+ （ 4-2 cos α）-2 × ××cos（ 90° +）β=7-2 cos α +2 sin α=7+2 sin（α-45 °），所以α=135°时， BD 取得最大值为=1+ ．故答案为： 1+ ．解析：设∠ABC=α，∠ACB=β，利用余弦定理求出 AC，再利用正弦定理求出 sin β，利用余弦定理求得对角线 BD，根据三角恒等变换求出 BD 的最大值．本题考查了余弦定理、正弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．∴AE∥DF ，且 AE? 平面 PCD ， DF ? 平面 PCD；∴AE∥平面 PCD ；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取 AB 中点 O，连接 PO；则 PO ⊥AB；又侧面 PAB⊥底面 ABCD ，平面 PAB∩平面 ABCD =AB；∴PO⊥平面 ABCD ；根据已知条件可求得 PO= ，S△BCD=4， PD =CD= ， PC=2 ，；设点 B到平面 PCD 的距离为 h；连结 DF ，EF ；V P-BCD =V B-PCD；解析： （1）取 PC 中点 F ，并连接 DF ，FE ，根据已知条件容易说明四边形 ADFE 为平行四边形，从而有 AE ∥DF ，根据线面平行的判定定理即得到 AE ∥平面 PCD ； （2）设 B 到平面 PCD 的距离为 h ，从而直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值便可表示为 ，BD 根据已知条件容易求出，而求 h 可通过 V P-BCD =V B- PCD 求出：取 AB 中点 O ，连接 PO ，可以说明 PO ⊥平 面 ABCD ，而根据已知条件能够求出 S △BCD ， S △PCD ，从而求出 h ，从而求得答案． 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂 直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18. 答案： 解：（ 1）当 3< x ≤ 15时， y=16+2.5（x-3）=2.5x+8.5， 当 x>15 时， y=16+12×2.5+3.8（x-15） =3.8x-11． ．．2)y= 故当 x=31.62 时， y=3.8×32-11=110.6≈110元． 故应付车费 110 元．解析： （1）讨论 x 的范围，得出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据条件修正函数解析式，再计算车费． 本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数的函数值的计算，属于中档题．19. 答案： 解：（ 1）若 m=1， a=0， 则 f （ x ）=x|x|-|x|+1，① x ≥0时， f （ x ）=x 2-x+1， 对称轴 x= ，开口向上，∴f （x ）在 [0， ）递减，在（ ，+∞）递增； ②x<0 时， f （ x ） =- x 2+ x+1 ， 对称轴 x= ，开口向下， ∴f （x ）在（ -∞， 0）递增；综上： f （ x ）在（ -∞， 0）递增，在 [0， ）递减，在（ ， +∞）递增．（ 2） a=1 时， f （ x ）=mx|x-1|-|x|+1，①x<0 时， f （x ）=mx （1-x ）+x+1=-mx 2+（m+1）x+1，△=（ m+1） 2+4 m=m 2+6m+1 ，令 m 2+6m+1=0 ，则 m=-3 ±2 ， 根据函数 f （ x ）在（ 0，+∞）上的图象知，当-3+2 <m<0时，有 2 个零点； 当 m< -3+2 时，没有零点；∴直线 BD 与平面 PCD 所成角 ∴车费 y 与行车里程 x 的关系为： θ的正当 m=-3+2 或 m> 0 时，有 1 个零点；② 0≤x ≤1时， f （ x ） = mx （ 1-x ） -x+1=-mx 2+（m-1）x+1， 根据 f （ x ）的图象知，在 [0， 1]上，当 m ≤-1时，函数有 1个零点； m>-1 时，函数无零点；③ x>1 时， f （x ）=mx （x-1）-x+1=mx 2-（m+1）x+1， 根据 f （x ）的图象知，在（ 1， +∞）上，0<m<1 时，函数有 1 个零点； m ≥1或 m<=0 时，函数无零点． 综上，当 -3+2 <m ≤1时， f （ x ）有两个零点；当 m ≤-1，或 m> 1，或 m=-3+2 时， f （x ）有 1 个零点； 当-1<m<-3+2 时， f （ x ）无零点．解析： （1）将 m=1，a=0 代入函数表达式，通过讨论 x 的范围，结合二次函数的性质，从而求出函 数的单调性；（2）将 a=1 代入函数的表达式，通过讨论 x 的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的 个数．本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．20.答案： 解：（ 1）∵曲线 （a>b>0）的左右焦点分别为F 1（-1，0）、 F 2（1，0）， 短轴长为 ． ∴， c=1，则 a=2）将 P（ - ）代入： + =1解得 y0=± ，不妨取 y 0= ，则 P （ - ， ）， 设 Q （ -4， t ），因为 F 1（ -1，0），又过 P （ x 0，y 0）的椭圆的切线方程为+ =1，即+ =1 ，将 Q （ -4， 2 -6）代入满足，所以直线 PQ 与椭圆相切，公共点的个数为 1．（ 3）依题意得 x 1 x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+ x 2-x 1x 2， 两边平方得： y 12y 22=x 12+x 22+ x 12x 22+2x 1x 2=2x 12x 2-2x 1x 22， ∴（ 1-x 12）（ 1-x 22） =x 12+x 22+x 12x 22+2x 1x 2-2x 12x 2-2x 1x 22，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴1-x 1 -x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 +x 1 x 2 +2x 1x 2-2x 1 x 2-2x 1x 2 ，∴2x 12+2x 22+2x 1x 2-2x 1x 22-2x 12x 2-1=0， 2（1-x 2） x 12+2x 1（ x 2-x 22）+2x 22-1=0， ∴△=[2x 2（1-x 2）]2-8（1-x 2）（ 2x 22-1）≥0， ∴（ 1-x 2）（ -x 23-3x 22+2）≥0， ∴（ 1-x 2）（ x 2+1）（ -x 22-2x 2+2）≥0， ∵-1≤x 1≤1，-1≤x 2≤1， ∴-x 22-2x 2+2≥0， ∴x 22+2x 2-2≤0，（x 2+1）2≤3， ∴- ≤x 2+1≤ ， ∴- -1 ≤x 2≤ -1， 又 x 2 ≥-1 ， ∴-1≤x 2≤ -1．∴曲线 Γ的标准方∴2- =- ，解得 t=2 ， ∵PF 1⊥QF 1，∴k解析： （1）c=1，b= ? a=2可得；（2）由 PF 1⊥QF 1．得斜率乘积为 -1，根据斜率公式可得 Q 的纵坐标，又过 P （x 0，y 0）的椭圆的切 线方程为 + =1? + =1过 Q 点，所以直线 PQ 为椭圆的切线，只有一个公共点； （ 3）依题意得 x1x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+x 2-x 1x 2，两边平方后消去 y 12y 22后整理成关于 x1的二次 方程，由判别式大于等于 0 解关于 x 2的不等式可得．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是难题．21. 答案： 解：（ 1）当 n=1 时， 0<a 1<1 成立；假设当 n=k 时， 0< a k <1，当 n=k+1 时， a k+1=1-（ 1-a k ） 2，由 0<a k <1，可得 0<a k+1<1， 即 n=k+1 时，不等式成立．综上可得对 n ∈N* 时， 0<a n <1； （2）b n =lg （1-a n ），且 ，由 1-a n =（1-a n-1） 2，可得 lg （ 1-a n ）=2lg （1-a n-1）， 即 bn =2b n -1，可得 b n =b 1?2n-1=-2 n-1， =- ，即有无穷数列 的所有项和为 S= =-2 ；（ 3）证明： a n-13+a n 3-a n-12a n -1=（ a n-1-a n ） a n-12+（ a n 3-1），由 an -a n-1=a n-1（ 1-a n-1）> 0，可得 a n-1-a n <0， a n 3-1<0，可得 a n-13+a n 3-a n-12a n < 1， 3 3 2 3an+a 1 -a n a 1-1=a 1（a 1-a n ）（ a 1+ a n ） +a n -1< 0， 可得 a n 3+a 13-a n 2a 1< 1， 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2a1 +a2 -a 1 a 2<1，a 2 +a3 -a 2 a 3< 1，⋯， a n-1 +a n -a n-1 a n <1，a n +a 1 -a n a 1<1， 上面各式相加可得n ∈N *，当 n ≥2时，．解析： （ 1）运用数学归纳法证明，注意由 n=k 推得 n=k+1 也成立；（ 2）推得 1-a n =（1-a n-1）2，两边取对数，结合等比数列的定义和通项公式，以及无穷等比数列的求 和公式，计算可得；（ 3）运用数列的单调性和（ 1）的结论推得 a n-13+a n 3-a n-12a n <1，a n 3+a 13-a n 2a 1< 1，再由累加法，可 得证明．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义和通项公式，以及累加法，考查了推理能力与计算能力， 属于难题．由 则。
上海市浦东新区2020届高三数学练习试卷(2020浦东新区三模) 理
2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。
则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。
2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷-解析版
2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列各运算中，正确的运算是( ) A. 5√3+3√5=8√8 B. (−3a 3)3=−27a 9C. a 8÷a 4=a 2D. (a 2−b 2)2=a 4−b 42. 如果a <b ，那么下列结论不正确的是( )A. a +3<b +3B. a −3<b −3C. 3a <3bD. −3a <−3b3. 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为( )A. 46×10−7B. 4.6×10−7C. 4.6×10−6D. 0.46×10−54. 若数轴上表示−1和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是( )A. −4B. −2C. 2D. 45. 已知长方体ABCD −EFGH 如图所示，那么下列各条棱中与棱GC 平行的是( )A. 棱EAB. 棱ABC. 棱GHD. 棱GF6. 如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上(不与点A 、C 重合)，DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是( )A. △BFEB. △BDCC. △BDAD. △AFD二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. −8的立方根是______．8. 方程组{x −y =3xy =−2的解是______． 9. 直线y =−2x −3的截距是______．10. 某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是______元(结果用含m 的代数式表示)．11. 已知函数f(x)=x−12−x ，那么f(−2)= ______ ．12. 在五张完全相同的卡片上，分别画有：线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆，如果从中随机抽取一张，那么卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是______．13. 进球数1 2 3 4 5 7 人数 1 1 4 2 3 1 这名同学进球数的众数是．14. 已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积为______．15. 如图，点G 是△ABC 的重心，过点G 作EF//BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，如果BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么FE⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16.如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是______平方厘米．17.如图，已知在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC三边所得弦长相等，那么∠BOC=______度．18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解方程：2x−1x −3x2x−1=2．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：(√3)0+√2(√2−1)+(−13)−2+812．21.甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2(千米)表示，它们与甲车行驶的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．(1)分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；(2)乙车行驶多长时间追上甲车？22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长的值．线段BM交边AC于点G，求EFDF23.已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF=BE，线段EF与边CD相交于点G．(1)求证：DF//AC；(2)如果AB=BE，DG=CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为点D．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；(3)如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位(m>0)，使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．25.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点(与点A、C不重合)，过点E作EF//AB，交边BC于点F.联结DE、DF，设CE=x．(1)当x=1时，求△DEF的面积；(2)如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；(3)以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、5√3与3√5不能合并，所以A选项错误；B、(−3a3)3=−27a9，所以B选项正确；C、a8÷a4=a4，所以C选项错误；D、(a2−b2)2=a4−2a2b2+b4，所以D选项错误．故选：B．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B进行判断；根据同底数幂的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.也考查了整式的运算和二次根式的加减法．2.【答案】D【解析】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；D、两边都乘以−3，不等号的方向改变，故D结论不正确．故选：D．根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C【解析】【分析】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046=4.6×10−6．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数轴以及绝对值，主要利用了两点间的距离的表示，需熟记．根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．【解答】解：AB=|−1−3|=4．故选D．5.【答案】A【解析】解：观察图象可知，与棱GC 平行的棱有AE 、BF 、DH ．故选：A ．首先确定与GC 平行的棱，再确定选项即可求解．本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：∵△ABC 与△BDE 都是等边三角形，∴∠A =∠BDF =60°，∵∠ABD =∠DBF ，∴△BFD∽△BDA ，∴与△BFD 相似的三角形是△BDA ，故选：C ．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7.【答案】−2【解析】解：∵(−2)3=−8，∴−8的立方根是−2．故答案为：−2．利用立方根的定义即可求解．本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(x 3=a)，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．8.【答案】{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2【解析】解：{x −y =3 ①xy =−2 ②， 由①得x =y +3③，把③代入②式，整理得y 2+3y +2=0，解得y 1=−1，y 2=−2．把y 1=−1代入x =y +3，得x 1=2，把y 2=−2代入x =y +3，得x 2=1． 故原方程组的解为{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2． 故答案为：{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2． 观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．此题考查了二元二次方程组，关键是熟练掌握运用代入法解二元二次方程组的方法． 9.【答案】−3【解析】解：∵b =−3，∴直线y =−2x −3的截距为−3．故答案为：−3．利用截距的定义，可找出直线y =−2x −3的截距．本题考查一次函数的性质，牢记截距的定义是解题的关键．10.【答案】100(1−m)2【解析】解：第一次降价后价格为100(1−m)元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100(1−m)(1−m)元，即100(1−m)2元．故答案为：100(1−m)2．现在的价格=第一次降价后的价格×(1−降价的百分率)．本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100(1−m)2．11.【答案】−34．【解析】解：f(−2)=−2−12−(−2)=−34，故答案为−34．将−2代入已知的函数解析式即可求得函数值．本题主要考查求函数值，此题比较简单，注意(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；(2)函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．12.【答案】35【解析】解：∵在线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、矩形、圆共3个，∴卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是35．故答案为：35．先判断出线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．13.【答案】3【解析】解：观察统计表发现：1出现1次，2出现1次，3出现4次，4出现2次，5出现3次，7出现1次，故这12名同学进球数的众数是3．故答案为：3．根据统计表找出各进球数出现的次数，根据众数的定义即可得出结论．本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数出现的次数最多．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据统计表中的数据，结合众数的定义找出该组数据的众数是关键．14.【答案】8【解析】解：根据扇形的面积公式，得S 扇形=12lR =12×8×2=8． 故答案为：8． 直接根据扇形的面积公式S 扇形=12lR 进行计算．本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．15.【答案】−23a⃗【解析】解：如图，连接AG 延长AG 交BC 于T ．∵G 是△ABC 的重心，∴AG =2GF ，∵EF//BC ，∴AE BE =AG TG =2，∴AE AB =23，∴EFBC =AE AB =23， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ， ∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ ， 故答案为−23a⃗ ． 如图，连接AG 延长AG 交BC 于T.由G 是△ABC 的重心，推出AG =2GF ，由EF//BC ，推出AE BE =AG TG =2，推出AE AB =23，推出EF BC =AE AB =23，由此即可解决问题．本题考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】32【解析】解：如图，作DE ⊥BC ，已知AB =8，CD =10，BC =7，∴CE =√CD 2−DE 2=6，∴AD =BC −EC =1，∴梯形的面积是：12(AD +BC)⋅DE =12×(7+1)×8=32(cm 2)，答：这个梯形的面积是32平方厘米．故答案为：32．如图，作DE ⊥BC ，根据勾股定理得到CE =√CD 2−DE 2=6，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题考查了梯形，勾股定理，梯形面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.【答案】125【解析】解：过点O 作OH ⊥DE 于H ，OK ⊥FG 于K ，OP ⊥MN 于P ，如图， ∵DE =FG =MN ，∴OH =OK =OP ，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠OCB ，∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A ， ∴∠BOC =180°−(∠OBC +∠OCB)=180°−(90°−12∠A) =90°+12∠A =90°+12×70° =125°．故答案为125．过点O 作OH ⊥DE 于H ，OK ⊥FG 于K ，OP ⊥MN 于P ，如图，由于DE =FG =MN ，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OH =OK =OP ，则可判断OB 平分∠ABC ，OC 平分∠OCB ，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．18.【答案】3√52【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =3，AD =BC =4，∠ADC =90°，∴∠A′DF =∠CDF =90°，由旋转的性质得：CD =CD′=3，A′D′=AD =4，∠ADC =∠A′D′C =90°， ∴A′C =√32+42=5，∴A′D =A′C −CD =5−3=2，在Rt △CDF 和Rt △CD′F 中，{CF =CF CD =CD′， ∴Rt △CDF≌Rt △CD′F(HL)，∴DF =D′F ，设DF =D′F =x ，则A′F =4−x ，在Rt △A′DF 中，由勾股定理得：22+x 2=(4−x)2，解得：x =32，∴DF =32，∴CF =√CD 2+DF 2=√32+(32)2=3√52； 故答案为：3√52． 由旋转的性质得CD =CD′=3，A′D′=AD =4，∠ADC =∠A′D′C =90°，由勾股定理得出A′C =5，则A′D =A′C −CD =5−3=2，证Rt △CDF≌Rt △CD′F(HL)，得出DF =D′F ，设DF =D′F =x ，则A′F =4−x ，在Rt △A′DF 中，由勾股定理得出方程，解方程得DF =32，由勾股定理即可得出CF 的长度．本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19.【答案】解：设2x−1x =y ，则3x 2x−1=3y ， 则原方程为：y −3y =2，即：y 2−2y −3=0，解得y 1=3，y 2=−1．当y 1=3时，x =−1，当y 2=−1时，x =13．经检验，x 1=−1，x 2=13是原方程的根．∴x 1=−1，x 2=13．【解析】本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得2x−1y 与x 2x−1互为倒数，所以可采用换元法将方程转化．用换元法解分式方程是常用的一种方法，它能将方程化繁为简，因此要注意总结能够用换元法解的分式方程的特点．解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法． 20.【答案】解：原式=1+2−√2+9+2√2=12+√2．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，合并得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：(1)设y 1关于x 的函数解析为y 1=kx ，120k =100，得k =56，即y 1关于x 的函数解析为y 1=56x(0≤x ≤120)，设y 2关于x 的函数解析为y 2=ax +b ，{15a +b =090a +b =100，得{a =43b =−20， 即y 2关于x 的函数解析为y 2=43x −20(15≤x ≤90)；(2)令56x =43x −20，得x =40，40−15=25(分钟)，即乙车行驶25分钟追上甲车．【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以求得y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；(2)令(1)中的两个函数的函数相等，求出x的值，然后再减去15，即可得到乙车行驶多长时间追上甲车．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=30°，AC=6，∴CD=2√3，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，∴BC=6√3，∴BD=BC−CD=4√3，∵DE//CA，∴DECA =BDBC=23，∴DE=4；(2)∵点M是线段AD的中点，∴DM=AM，∵DE//CA，∴DFAG =DMAM，∴DF=AG，∵DE//CA，∴EFAG =BFBG,BFBG=BDBC，∴EFAG =BDBC，∵BD=4√3，BC=6√3，DF=AG，∴EFDF =23．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵EF=BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE//DF，即DF//AC；(2)解：∵AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠BAE=∠GCE，∵∠BEA =∠GEC ，∴∠GEC =∠GCE ，∴GE =CG ，∵DF//AC ， ∴DG CG =FG GE ， ∵DG =CG ，∴FG =GE ，∴四边形DECF 是平行四边形，∵DG =CG ，FG =GE ，GE =CG ，∴DG =CG =FG =GE ，∴DC =EF ，∴四边形DECF 是矩形．【解析】(1)根据平行四边形的性质得到BO =DO ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；(2)根据平行四边形的性质得到AB//CD ，由平行线的性质得到∠BAE =∠GCE ，求得∠GEC =∠GCE ，得到GE =CG ，推出四边形DECF 是平行四边形，得到DG =CG =FG =GE ，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 与x 轴交于点A(−3,0)和点B ，与y 轴相交于点C(0,3)，则有{−9−3b +c =0c =3， 解得{b =−2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3，顶点D(−1,4)．(2)∵A(−3,0)，C(0,3)，D(−1,4)，∴AD =√(−3+1)2+(0−4)2=2√5，CD =√(0+1)2+(3−4)2=√2，AC =√(−3−0)2+(0−3)2=3√2，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD =90°，∴tan∠DAC =CD AC =13．(3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ．∵点P 在抛物线y =−x 2−2x +3上，∴设P(a,−a 2−2a +3)，可得PH =|−a 2−2a +3|，AH =a +3，∵∠PAB =∠DAC ，∴tan∠PAB =tan∠DAC =PH AH =13．①当a +3=3(−a 2−2a +3)，解得a =23或−3(舍弃)，∴P(23,119)，过点P 作x 轴的平行线与抛物线交于点N ，则点N 与点P 关于直线x =−1对称， 根据对称性可知N(−83,119)， ∴平移的距离为103．②当a +3=−3(−a 2−2a +3)，解得a =43或−3(舍弃)，∴P(43,−139)， 过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点Q ，则点Q 与点P 关于直线x =−1对称， 根据对称性可知Q(−103,−139)， ∴平移的距离为143，综上所述，平移的距离为103或143．【解析】(1)利用待定系数法构建方程组即可解决问题．(2)利用勾股定理求出AD ，CD ，AC ，证明∠ACD =90°即可解决问题．(3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H.设P(a,−a 2−2a +3)，可得PH =|−a 2−2a +3|，AH =a +3，由∠PAB =∠DAC ，推出tan∠PAB =tan∠DAC =PH AH =13.接下来分两种情形，构建方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)如图1，过E 作EM ⊥AB 于M ，当x =1时，CE =1，AE =4−1=3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，∴AB =5，sin∠A =BC AB =35=EM AE ， ∴35=EM3，∴EM =95，∵EF//AB ，∴CE AC =EF AB ，即x 4=EF5，∴EF=54x=54，∴△DEF的面积=12EF⋅EM=12×54×95=98；(2)如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD′，交EF于Q，∵点D关于EF的对称点为D′，∴DD′⊥EF，QD=12DD′，∴∠EQD′=90°，∵EF//AB，∴∠ADQ=∠EQD′=90°，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=52，tan∠A=DD′AD =34，∴DD′=3×5 24=158，∴QD=1516，∵EF//AB，EN⊥AB，QD⊥AB，∴∠END=∠NDQ=∠EQD=90°，∴四边形ENDQ是矩形，∴EN=QD=1516，Rt△AEN中，sin∠A=ENAE =35，∴1516AE=35，AE=4−x，∴x=3916；(3)如图3，连接AF，交ED于G，Rt△CEF中，∠ECF=90°，tan∠CEF=tan∠CAB=34=CFCE，∴34=CFx，CF=34x，∴EF=54x，∴AF=√AC2+CF2=√42+(34x)2=√16+916x2，∵EF//AB，∴AGFG =ADEF，即AGFG=5254x=2x，∴AGAG+FG =22+x，∴AG=2√16+916x22+x，∵⊙A与⊙F相交于点E、H，且H在ED上，∴AF⊥DE，∴∠AGE=90°，∴∠AGE=∠ACF=90°，∵∠EAG=∠FAC，∴△AEG∽△AFC，∴AGAC =AEAF，即AG⋅AF=AC⋅AE，∴2√16+916x22+x⋅√16+916x2=4(4−x)，解得：x1=0(舍)，x2=6441．【解析】(1)如图1，过E作EM⊥AB于M，根据勾股定理计算AB=5，根据三角函数定义得sin∠A=BCAB =35=EMAE，可得EM的长，由平行线分线段成比例定理可得EF的长，根据三角形面积公式可得结论；(2)如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD′，交EF于Q，由对称得DD′⊥EF，QD=12DD′，先根据三角函数计算DD′=3×5 24=158，得QD=1516，证明四边形ENDQ是矩形，则EN=QD=1516，最后利用三角函数可得结论；(3)如图3，连接AF，交ED于G，先表示CF=34x，EF=54x，计算AF的长，根据平行线分线段成比例定理可得AG的长，证明△AEG∽△AFC，得AG⋅AF=AC⋅AE，列方程解出即可．本题考查了三角形的综合题，考查了直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，三角函数的定义是解题的关键．。
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷（含答案解析）
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.己知p.x2-x-6>0.t?：4x+m<0.若〃是q的必要不充分条件，求实数m的取值范用（）A.（4,+8）B.[8,+8）C. （—00,6]D.（—8,6）2.将函数=：kin⑵•+甲），中€（0,江）的图象沿X轴向右平移^个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则9的值为（）A-T B.：驾 D.三3.己知函"。
）={臆*,：1，%若关于X的方程r（x）=a（Q€R）有四个不同实数解也，巧,0%4»且尤1V*2V乂3V又4，则X1+x2+x3+x4的取值范国为（）A.[一逍B.（一2,勺C・[一2,+8） D. （一2,+8）4.己知点M（a,b）在直线3*+4y-20=。
上，则应E■的最小值为（）A3 B.4 C.5 D.6二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.己知集合A={x|2V*V4},B={x|x<3或x>5},则Ar\B=6.已知复数z满足zi=2-i（i是虚数单位），则夏数z=.7.抛物线x=ay2的准线方程是x=2,则“的值为.8.若一个圆柱的侧而展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为.9.若行列式「2|a的展开式的绝对值小于6的解集为（一1，2），则实数】等于.10.现有3个奇数，2个偶数.若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为•H.已知的展开式中％，的系数为？常数“的值为.12.无穷等比数列首项为1,公比为q（q>0）的等边数列前〃项和为5”，则”罕85“=2,则q=13.定义在R上的函数/•（!：）满足/（l+x）=f（l-x）,且XN1时,/（x）=x^+l.则/•（》）的解析式为.14.从原点。
向圆C：x2+y2-12x+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为15.己知数列｛%｝中，电=1,—±-=n(nEN^t则叼脚=______a n16.在凸四边形ABCD中MB=2f BC==150%LADB=30。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
当且仅当x＝89时等号成立．
∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．
【点睛】
本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.
20．已知点 是抛物线 上的焦点， 、 是抛物线上的两个动点．
（1）若直线 经过点 ，且 ，求 ；
（2）若 ，求证:线段 的垂直平分线经过一个定点 ，并求出 点的坐标；
三、解答题
17．如图，长方体 的底面 是正方形，点 为棱 的中点， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离；
（2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值．
【详解】
解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为 ， ， ， ，所以， ， ．
【答案】10
【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算．
【详解】
设抽取的男运动员人数为 ，则由分层抽样定义得 ，解得 ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可．
13．若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．
③每台产品的市场售价为10万元；
④每年产量最高可达到100台；
（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；
（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
上海市浦东新区2020届高三数学三模考试试题含解析
上海市浦东新区2020届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1. 已知集合{}{}1,0,,|122xA aB x =-=<<，若A B ⋂≠Φ，则实数a 的取值范围是________ 【答案】()0,1 【解析】 【分析】根据指数函数2xy =是单调增函数解不等式122x <<，得到集合B ,再根据交集的定义和空集的定义得,A B 有公共元素,进而得到()0,1a ∈.【详解】由122x <<，根据指数函数2xy =是单调增函数，可得01,{|01}x B x x <<∴=<< 又∵集合{}1,0,A a =-，A B ⋂≠Φ，则,A B 有公共元素， 所以()0,1a ∈ 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题. 2. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数求出x ，再求数据的方差. 【详解】21192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：2【点睛】本题考查样本数据平均值与方差，属于基础题.3. 椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______.【解析】 【分析】由题意得两条曲线的2c 值相等，从而得到关于b 的方程，解方程即可得答案. 【详解】由题意得两条曲线的2c 值相等， ∴22581b -=+，求得216b =，则4b =. 故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4. 函数y （12x ≤≤）的反函数是________【答案】1y =+，[]0,1x ∈ 【解析】 【分析】欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式，求出原函数的值域即为反函数的定义域．【详解】解：因为y 且12x ≤≤，所以()[]2212110,x x x -=--+∈所以[]0,1y =又y =，所以()2211y x =--+，所以()2211x y -=-，所以1x =x ，y 互换，得1y =+，[]0,1x ∈．故答案为：1y =+，[]0,1x ∈【点睛】本题主要考查了反函数，以及原函数的值域即为反函数的定义域，属于基础题．5. 函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ． 【答案】4 【解析】作出()f x 的图象，由题意可得()y f x =和y b =的图象有4个交点，不妨设1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称，计算即可得到所求和．【详解】解：作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象， 方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法以及对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n nn x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-（*n ∈N ），且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+，则lim 4nnn A →∞=________【答案】43【分析】令31x -=，得到x ，再代入到已知可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++，根据等比数列前n 项和公式求得n A ，进而求极限即可； 【详解】解：因为23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，令31x -=，即4x =，可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++()41414n n A -==-所以()44141414lim lim lim 1lim 143434343n n n n n n n n n n A →∞→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫==⋅-=-= ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭ 故答案为：43【点睛】本题主要考查利用赋值法求二项式张开式的系数和以及数列极限的求解，属于中档题.7. 若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】 试题分析：由正弦定理有2a c=,所以2a c +=,2222231422cos 22a b a b c C ab ab++-==,由于223142a b +≥=,故cos 4C ≥,所以cos C 的最小值是考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.8. 对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任 意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是______________ 【答案】4 【解析】由定义可知1*2223,2*32364a b c a b c =++==++=,所以53,12ba b c =-=-, 所以*()(53)2mbx m ax bm cmx a cm x bm b m x bm x =++=++=-+-+=恒成立， 所以0,5312mbbm b m =-+-=.0m ≠,0,4b m ∴==. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________ 【答案】323【解析】 【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为，则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．10. 设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得； 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，4b =±所以14z =-综上满足条件的所以复数的和为1131442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.11. 已知函数21()sin 22xf x x ωω=-（0>ω），x ∈R ，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是________ 【答案】117(0,][,]12612【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【详解】解：函数21()sin 22xf x x ωω=+-()111cos 22x x ωω=--1cos 2x x ωω=- sin 6x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，所以()()2022f f T ππππππω⎧≥⎪⎨=≥-=⎪⎩即sin sin 206601πππωπωω⎧⎛⎫⎛⎫--≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<≤⎩所以sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩①或sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩②；解①得172266171212k k k k ωω⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以17612ω≤≤；解②得512266511212k k k k ωω⎧-+≤≤+⎪⎪⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以1012ω<≤；综上可得1170,,12612ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 故答案为：1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，属于中档题．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，在Q 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________ 【答案】514【解析】 【分析】点集Q 中有9个点，从而在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率． 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，∴Q 中有9个点，∴在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况： ①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，②三点是边长为1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=种情况，2的等腰直角三角形的顶点， 其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有1个，共有8种情况，综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，∴这三个点两两之间距离均不超过2的概率为3058414P ==． 故答案为：514． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二.选择题13. 已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>， 故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π【答案】A 【解析】 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为141364122++=， ∴该球形容器体积的最小值为：42412π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.15. 在平面直角坐标系中，定义11n n nn n nx x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)Px y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】 【分析】可以先求得1a （当然可求得234,,,a a a ，然后归纳出n a ，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得22n n n a x y =+，从而可以得12n n a a +=，说明数列{}n a 是等比数列，求得通项公式na 后求和，由2020n S >得解．【详解】由定义知1110x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，330,2x y =⎧⎨=⎩，即23(1,1),(0,2)P P ．11223(0,1)(1,1)1a PP P P =⋅=⋅-=， 观察可得，112,n n n n n a P P P P +++=⋅112121(,)(,)n n n n n n n n x x y y x x y y ++++++=--⋅-- 11(,)(,)n n n n y x y x ++=-⋅-2211()()n n n n n n n n n n n n y y x x y x y x x y x y ++=+=++-=+， 222222111()()2()n n n n n n n n n a x y x y x y x y +++=+=-++=+2n a =， ∴数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1．∴12n na ．2112122221n n n a a a -+++=++++=-，由212020n ->，解得11n ≥．即n 的最小值为11.故答案为：C【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．解题关键是求出22n n n a x y =+．接着顺理成章地写出1n a +，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A. （1）（2） B. （1）（2）（3） C. （1）（2）（4） D. （1）（3）（4）【答案】A 【解析】 【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）； 先确定曲线C 经过点2,2)，再将2x <2y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题． 三.解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）10arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM的一个法向量为(),,n x y z =由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+= 所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则1110sin 220n BA n BA θ⋅===⋅⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sin 5arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM 中，1122,210AM A B ==所以1112210sin 210A M A BM A B ∠=== 所以110arcsinA BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形ABCDEFGH ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴80AF BE ==米，两根竖轴60CH DG ==米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L ，CH 与AF 、BE 的交点为M 、N ，DG 与AF 、BE 的交点为P 、Q ，CBN θ∠=（02πθ<<）.（1）若6πθ=，且两根横轴之间的距离30AB EF ==米，求外围隔离线总长度L ；（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L 不超过240米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此设计方案中θ的大小与BC 的长度.【答案】（1）340603-（2）4πθ=，10102BC =+【解析】【分析】（1）根据条件，求出外围隔离线每边的长度，再求和即可；（2）先得到当外围隔离线总长度为240米时，整个方舱医院的面积最大，再将整个方舱医院的面积用θ表示出来，观察题中出现sin cos θθ和sin cos θθ+，可用两者之间的联系化简求最值成立的条件.【详解】解：（1）由题260NC MN +=，得23060NC +=，得15NC = ，由6πθ=，则BN ==30BC =，故80CD =-则L 422BC AB CD =++4302302(80=⨯+⨯+⨯-=340-（2）设BC x =，则sin NC x θ=,cos BN x θ=, 则602sin AB x θ=-，802cos CD x θ=-，则L 422BC AB CD =++42(602sin )2(802cos )x x x θθ=+-+-=28044sin 4cos x x x θθ+--.当240L =会使整个方舱医院的面积最大，则28044sin 4cos 240x x x θθ+--=， 得10sin cos 1x θθ=+- ,整个方舱医院的面积180604cos sin 2S x x θθ=⨯-⨯⋅248002sin cos x θθ=-， 得S 2200sin cos 4800(sin cos 1)θθθθ=-+-，02πθ<<令sin cos 1t θθ=+-)14πθ=++，02πθ<<，则(2,1t ∈+，且1sin cos t θθ+=+，得22sin cos 2t t θθ=+则22100(2)20048004700t t S t t+=-=-，(2,1t ∈+当1t =时，S )14πθ++1=4πθ=，1)x =，即整个方舱医院的面积最大时，4πθ=，1)BC =【点睛】本题是应用问题，考查了理解、分析能力，将实际问题转化成数学问题，并利用sin cos θθ与sin cos θθ+之间的关系求最值成立的条件是解决问题的关键.19. 已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,23)时，求12QP QP ⋅的值； （2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点.【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =3223332233=，2QP =3223332233=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩， 得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.20. 已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N . （1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【解析】 【分析】（1）由递推公式直接代入求解.（2）由2121n n a a n +=++变形得2112n n a a n --=+，得1121212n n n a a ----=+观察分析得112n n b b -=+，再得到通项公式n b ，再用错位相减法求得2020S（3）由递推式221n n a a =+，2121n n a a n +=++，得到212n n a a n +-=， 再分别作差20192018a a -，20182017a a -，20202018a a -，利用递推公式判断与0的大小，从而得到2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系【详解】解:（1）由10a =，则21211a a =+=，31222a a =+=，42213a a =+=， 522215a a =++=，63215a a =+=，73248a a =+=.（2）由2121n n a a n +=++，则2112n n a a n --=+，得11212122n n n a a ----=+，得1212111222n n nn a a ----=+，即112n n b b -=+，且112a b =0=，故12n n b -=，故123202020201(0313*******)2S =⨯+⨯+⨯++⨯， 则2320202021202013(03232018320193)2S =⨯+⨯++⨯+⨯， 两式相减2320202021202012(33320193)2S -=+++-⨯， 20192021202019(13)2(20193)22S --=-⨯-，化简得202120204037398S ⋅+=（3）由221n n a a =+，2121n n a a n +=++，则212n n a a n +-=则2019201810090a a -=>，即20192018a a >；2018201710091008(21)(21009)a a a a -=+-+100910082()1008a a =--250410080=⨯-=， 即20182017a a =；2020201810101009(21)(21)a a a a -=+-+5055042[(21)(2505)]a a =+-+ 5055044()1008425210080a a =--=⨯-=,即20202018a a =；综上可得：2017201820202019a a a a ==<【点睛】本题考查了递推公式的理解与应用，利用递推公式构造新数列求通项公式，还考查了错位相减法，学生的运算能力，作差法比较数的大小，对递推公式的变形和变活运用是解题的关键.21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1=， 1.22[]-=-，[1]1=，对于函数()f x ，若存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是“Ω函数”.（1）判断函数21()3f x x x =-，()|sin |g x x π=是否是“Ω函数”；（2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，若()f x 不是“Ω函数”，求T 的最小值； （3）若函数()af x x x=+是“Ω函数”，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 是，()g x 不是；（2）1；（3）0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+. 【解析】 【分析】（1）举例说明函数21()3f x x x =-是Ω函数，证明函数()g x 不是“Ω函数”；（2）假设1T <，得到矛盾，再证明1T ≥得证； （3）对a 分0,0,0a a a <=>三种情况讨论得解.【详解】（1）对于函数21()3f x x x =-是Ω函数，设13m =，[]0m =则1()()03f m f ==，([])(0)0f m f ==，所以存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，所以函数()f x 是“Ω函数”. 对于函数()sin g x x π=，函数的最小正周期为21=12ππ⨯,函数的图象如图所示，不妨研究函数在[0,1]这个周期的图象.设01m <<，[]0m =,则()|sin |0,([])(0)0g m m g m g π=>==,所以()([])g m g m ≠，所以函数()g x 不是“Ω函数”.综合得函数()f x 是“Ω函数”，函数()g x 不是“Ω函数”.（2）T 的最小值为1．因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =．假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾．所以必有1T .而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是Ω函数，综上所述，T 的最小值为1．（3）当函数()af x x x =+是“Ω函数”时，若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾．若0a <，则2()10af x x '=->，所以()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递增，此时不存在0m <，使得()([])f m f m =，同理不存在0m >，使得()([])f m f m =，又注意到[]0m m ，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()af x x x =+不是Ω函数．当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]aam m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠，当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m <<+，所以2[]([]1)[]m a m m <<+，当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m >>+，所以2[]([]1)[]m a m m >>+，综上所述，0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+.【点睛】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷 (含答案解析)
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 32. 若(2x −1)2015=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2015x 2015(x ∈R)，则12+a222a 1+a323a 1+⋯+a201522015a 1的值为( )A. 12015B. −12015C. 14030D. −140303. 已知函数f(x)=log 2x −(13)x，若实数x 0是方程f(x)=0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值( )A. 恒为负B. 等于零C. 恒为正D. 不小于零4. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，点E 、F 分别在棱A 1D 1，AB 上，且线段EF 的长恒等于2，则EF 的中点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆一部分C. 球面的一部分D. 抛物线一部分二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|log 2x ≤2}，则A ∩B = ______ ．6. 复数z =(3+i)⋅i 的实部是______．7. 已知△ABC 中，点A(1,1)，B(4,2)，C(−4,6).则△ABC 的面积为______． 8. 已知f(x)=a(2x +1)−22x +1是奇函数，那么实数a 的值等于______ ．9. 若直线l 1：6x +my −1=0与直线l 2：2x −y +1=0平行，则m = ______ ． 10. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是__________11. 已知f(x)=log 3x 的值域是[−1,1]，那么它的反函数的值域为__________．12. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13.若从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，则使方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________．14.已知f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的所有对称轴完全相同，那么g(π3)的值是____．15.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)上任一点分别作两条渐近线的平行线，则这两条直线与渐近线所围成的平行四边形的面积为______ (用a、b表示)16.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=5，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，那么|3a⃗−b⃗ |=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥平面EFG；(Ⅱ)若AB=1，求三棱锥O−EFG的高．18.已知复数z1=1a+2+(a2−1)i，z2=2+(a+1)i(a∈R,i是虚数单位)．(1)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2−4x+m=0的根，求实数m的值．19.已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，P，Q分别是椭圆的左顶点和下顶点，过原点的直线交椭圆于A，B，且A点在第一象限，自A点作x轴的垂线，交x轴于C点，连BC．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若AB平分线段PQ，求直线AB的斜率k AB；并在此情况下，求A到直线BC的距离．20.设函数f(x)=ax2+4x+b是奇函数，且f(1)=5．(1)求a和b的值；(2)求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥4．21.设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N∗，有2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n；(1)求a1，a3；(2)求数列{a n}的通项a n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)， z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值， 所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6， 故选：B ．2.答案：C解析： 【分析】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于简单题．赋值，求出a 0=−1，12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1，由二项式定理可得a 1=4030，即可得出结论． 【解答】解：由题意，令x =12，则0=a 0+12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015， 令x =0，可得a 0=−1，∴12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1， 由二项式定理可得a 1=4030，∴12+a 222a 1+a 323a 1+⋯+a 201522015a1=12+14030(1−2015)=14030． 故选：C ．3.答案：A解析：【分析】本题考查函数单调性，属于基础题．f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0．【解答】)x在x>0上递减，log2x在x>0上递增，解：实数x0是方程f(x)=0的解，则f(x0)=0，由于y=(13则f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0，故选A．4.答案：A解析：解：连接EA、FA1，PA，PA1，如图：因为几何体是长方体，所以△FA1E，△EAF，都是直角三角形，点E、F分别在棱A1D1，AB上，且线段EF的长恒等于2，则EF的中点P满足PA1=PA=1，(直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半)．，连接PO，O为A1A的中点，∴OP⊥A1A，且OP=√32为半径的圆的一部分．所以P的轨迹为以O为圆心，以√32故选A．，连接EA、FA1，PA，PA1，连接PO，O为A1A的中点，由题意说明PA1=PA=1，OP⊥A1A，且OP=√32推出结果．本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，作图能力，注意E，F的范围，防止出错．5.答案：(0,2]解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}={x|log2x≤log24}={x|0<x≤4}，则A∩B=(0,2]，故答案为：(0,2]．由条件利用对数函数的单调性和特殊点求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，交集的运算，属于基础题．6.答案：−1解析：解：∵z=(3+i)i=3i−1，∴z的实部为−1．故答案为：−1．先对复数进行化简，然后根据z=a+bi的实部为a，可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，是基础题．7.答案：10解析：【分析】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题．由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．解析：解：由两点式的直线BC的方程为y−26−2=x−4−4−4，即为x+2y−8=0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d=√5=√5，BC两点之间的距离为√(6−2)2+(−4−4)2=4√5，∴△ABC的面积为12×4√5×√5=10，故答案为：10．8.答案：1解析：【解答】解：∵f(x)=a−21+2x 为奇函数，∴f(0)=0，即a−21+20=0，解得a=1，故答案为：1．【分析】根据奇函数的性质f(0)=0，列出方程a−21+20=0，再解出a的值．本题考查奇函数的性质，即f(0)=0的应用．9.答案：−3解析：解：若直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，则62=m−1，解得：m=−3；带入检验知符合题意故答案为：−3．根据直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，得到关于m的方程，解出即可．本题考察了直线的位置关系，是一道基础题．10.答案：{x|x≤−3或x≥1}解析：不等式x2+2x−3≥0可化为(x+3)(x−1)≥0，解得x≤−3或x≥1，∴不等式的解集是{x|x≤−3或x≥1}．11.答案：[13,3]解析：∵log3x∈[−1,1]，∴13≤x≤3，∴f(x)=log3x的定义域是[13,3]，∴f(x)=log3x的反函数的值域是[13,3]．12.答案：4+2π3解析：【分析】由题意，结合图象可得该几何体是四棱锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项．本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键．【解答】解：由三视图知，该几何体下半部分为半球，球的直径为2，上半部分为正四棱锥，锥体高为2，底面正方形对角线长为2，则，，所以几何体体积4+2π3，故答案为：4+2π3．13.答案：516解析：【分析】本题主要考查椭圆的标准形式、等可能事件的概率，此题的关键是根据条件得出m2>n2.属基础题．根据焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2，根据m2>n2，对A中元素进行分析可得到表示焦点在x轴上的椭圆共有多少个，根据概率公式计算即可得出答案．【解答】解：从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，所有的选法有：4×4=16，焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2,当m=3时，n=−1，1，2；当m=2时，n=−1，1；方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆共有5个，方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是516；故答案为516．14.答案：−2解析：【分析】本题考查三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．分别求得函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，根据对称轴相同，求得φ的值，可得g(x)的解析式，从而求得g(π3)的值．【解答】解：函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)的对称轴方程为ωx−π6=kπ+π2，即x=kπω+2π3ω，k∈Z．g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴为2x+φ=kπ，即x=kπ2−φ2，k∈Z．函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，∴ω=2，再由0<φ<π，可得2π3ω=π3=π2−φ2，∴φ=π3，∴g(x)=2cos(2x +φ)=2cos(2x +π3)，g(π3)=2cosπ=−2，故答案为−2．15.答案：ab2解析：解：由于双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x ，设点P(m,n)，这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON ， 则直线PN ：y =b a x +n −ba m ， 直线PM ：y =−b a x +n +ba m ， 由直线l 1和直线PM ，解得交点M(an+bm 2b,an+mb 2a).平行线l 1，PN 之间的距离为|n−bam|√1+b 2a 2=|an−bm|c，则平行四边形的面积为|an−bm|c ⋅√(an+bm 2b)2+(an+mb 2a )2=|an−bm|c⋅|acn+bcm|2ab=|a 2n 2−b 2m 2|2ab，由于P 在双曲线上，则m 2a 2−n 2b 2=1，即有b 2m 2−a 2n 2=a 2b 2， 则平行四边形的面积为a 2b 22ab=ab 2．故答案为：ab2．由双曲线方程求出渐近线方程，设点P(m,n)，求出平行线PM ，PN 的方程，求出交点M ，及平行线l 1，PN 之间的距离，运用平行四边形的面积公式，化简整理，再由P 在双曲线上，满足双曲线方程，即可得到．本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查两直线平行的位置，以及距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．16.答案：√109解析： 【分析】本题考查向量的数量积的运算和模长公式，属基础题．由数量积的运算，可先求|3a ⃗ −b ⃗ |2，求其算术平方根即得答案． 【解答】解：由题意可得：|3a ⃗ −b ⃗ |2=(3a ⃗ −b ⃗ )2=9a ⃗ 2−6a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=9×42−6×4×5×cos60°+52=109故|3a⃗−b⃗ |=√109，故答案为：√109．17.答案：(Ⅰ)证明：设FG∩AC=H，连结EH，在Rt△ABC中，AB=BC，且AB2+BC2=AC2，在△PAC中，PA=PC=AB，PA2+PC2=AC2，∴AP⊥PC，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，FG//BD，∴H为AO中点，∴EH//PA，故EH⊥PC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴FG⊥AC，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，∴FG⊥PC，∵FG∩EH=H，∴PC⊥平面EFG；(Ⅱ)解：设三棱锥O−EFG的高为h，则由V O−EFG=V E−FOG得13×12×√22×12ℎ=13×12×√22×√24×13∴ℎ=14．解析：(Ⅰ)设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．(Ⅱ)由V O−EFG=V E−FOG得三棱锥O−EFG的高．本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.答案：解：(1)z1+z2=1a+2+2+(a2+a)i，因为复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，所以{1a+2+2>0a2+a<0，解得−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0)．(2)由题意可得Δ=(−4)2−4×4m=16(1−m)<0，则x =1±√m−1i2， 所以1a+2=12，解得a =0， 所以a 2−1=−1=−√m−12，解得m =5．解析：本题考查复数的四则运算及其几何意义，考查复数代数形式的加法运算和一元二次方程的根的求解，是中档题．(1)求出z 1+z 2，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解；(2)由z 1是实系数一元二次方程4x 2−4x +m =0的根，利用求根公式建立等量关系，进而得出m 的值．19.答案：解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1…(4分)(2)由(1)知，P(−2,0)，Q(0,−1)，则PQ 的中点坐标为(−1,−12)， 若AB 平分线段PQ ，则AB 过PQ 的中点，又AB 过原点，所以AB 的斜率k AB =−12−0−1−0=12.…(7分) 此时直线AB 的方程为y =12x ，与椭圆方程x 24+y 2=1联立，解得x =±√2．这样A(√2,√22),B(−√2,−√22),C(√2,0)，所以直线BC 的方程为x −4y −√2=0 故点A 到直线BC 的距离为d =|√2−4×√22−√2|22=2√3417…(13分)解析：(1)求出椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1，然后求解椭圆的标准方程． (2)求出AB 的斜率k AB ，得到直线AB 的方程与椭圆方程x 24+y 2=1联立，求出直线BC 的方程，利用点A 到直线BC 的距离公式求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．20.答案：(1)解：函数f(x)=ax 2+4x+b的定义域为{x|x ≠−b}，即f(−b)不存在，若b ≠0，则f(b)有意义，这与f(x)为奇函数矛盾，故b =0． ∵f(1)=5，∴a×12+41+0=5，解得a =1；(2)证明：设x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 1−x 2<0， f(x 1)−f(x 2)=x 12+4x 1−x 22+4x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2．①若x 1，x 2∈(0,2]，则x 1x 2<4，于是x 1x 2−4<0，从而f(x 1)−f(x 2)>0； ②若x 1，x 2∈[2,+∞)，则x 1x 2>4，于是x 1x 2−4>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0．由①②知，函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增．∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(2)=22+42=4．∴f(x)≥4．解析：(1)由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f(1)=5求得a值；(2)利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，从而得到f(x)在(0,+∞)上的最小值，答案可证．本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．21.答案：解：(1)据条件得2+1a n+1<n(n+1)(1a n+1a n+1)<2+1a n①当n=1时，由2+1a2<2(1a1+1a2)<2+1a1，即有2+14<2a1+24<2+1a1，解得23<a1<87.因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+1a3<6(14 +1a3)<2+14，解得8<a3<10，所以a3=9．(2)由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：a n=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由(1)知a n=n2均成立；②假设n=k(k≥2)成立，则a k=k2，则n=k+1时由(1)得2+1ak+1<k(k+1)(1k2+1a k+1)<2+1k2∴k3(k+1) k2−k+1<a k+1<k(k2+k−1)k−1(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k[(k2+k)2−1]k3−1，即(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k3(k+1)2−kk3−1∴(k+1)2−(k+1)2k3+1<a k+1<(k+1)2+1k−1因为k≥2时，(k3+1)−(k+1)2=k(k+1)(k−2)≥0，所以(k+1)2k3+1∈(0,1]．k−1≥1，所以1k−1∈(0,1].又a k+1∈N∗，所以(k+1)2≤a k+1≤(k+1)2．故a k+1=(k+1)2，即n=k+1时，a n=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N∗，a n=n2．解析：(1)令n=1，根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到23<a1<87，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到2+1a3<6(14 +1a3)<2+14进而可得到a3的范围，最后根据数列{a n}是正整数数列求出a3的值．(2)先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想a n=n2，再用数学归纳法证明．本题主要考查根据条件求数列的项和求数列的通项公式．先猜想数列的通项公式再由数学归纳法证明来求数列的通项公式的方法是高考的一个重要考点，要熟练掌握．。
2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷 (含解析)
2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列运算正确的是( )A. (3x 2)3=9x 6B. x 6÷x 2=x 4C. (ab)3=ab 3D. (a −b)2=2a 2−4ab +b 22. 若a <b ，则下列结论中正确的是( ) A. am 2≤bm 2 B. am >bm C. a m <b m D. am <bm3. 数据−0.00000012用科学记数法表示正确的是( )A. 1.2×107B. −1.2×10−7C. 1.2×108D. −1.2×1084. 数轴上点A 、B 表示的数分别是a 、3，它们之间的距离可以表示为( )A. a +3B. a −3C. |a +3|D. |a −3|5. 图中的几何体有( )条棱．A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图，锐角△ABC 的高BD ，CE 交于O 点，则图中与△BOE 相似的三角形的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. −27125的立方根是______ ．8. 已知方程组{x −y =53x −2y =0的解也是方程4x −3y =k 的解，则k =______． 9. 在一次函数y =−3x +1中，当−1<x <2时，对应y 的取值范围是______．10. 某商品原价为每件x 元，第一次降价是打“八折”(即按原价的80%)出售，第二次降价又减少10元，这时该商品的售价是______元．(用含x 的式子表示)11. 已知函数f(x)=x−1x+5，那么f(3)=______．12. 有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片(这些卡片除图案不同外，其余均相同).现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为______．13. 为了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体统计如下：阅读时间(小时)2 2.53 3.54 学生人数(名) 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时的众数是______．14. 一个扇形的面积是125πcm ，半径是3cm ，则此扇形的弧长是______．15. 如图，点D 、E 分别为△ABC 边CA 、CB 上的点，已知DE//AB ，且DE 经过△ABC 的重心，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用a ⃗ 、b ⃗ 表示)16. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是______．17. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，若CD =2，AB =6，则△ABD 面积= ．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =7，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，点E 、F 分别是BD 、B′D′的中点，则EF 的长度为______cm ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解方程：16x−2=12−21−3x．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.(1)计算：|−3|−20180+(14)−1−(√2)2(2)计算：(2√3−5√8)−(√75−√18)21.在一条笔直的公路上有A、B、C三地，A地在B、C两地之间．甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿这条公路匀速相向行驶，分别到达目的地C、B两地后停止行驶．甲、乙两车离A地的距离y1、y2(千米)与行驶时间x(时)的函数关系如图所示．(1)求线段MN的函数表达式；(2)求点P的坐标，并说明点P的实际意义；(3)在图中补上乙车从A地行驶到B地的函数图象．22.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF//BE，AF FE =AECE=23．求：DEBC的值．23.如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC下方抛物线上一点，且∠ACD=2∠BAC，求点D的坐标．25.如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE//AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF//AB.设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S(平方单位)(S>0)，点P的运动时间为t(秒)(t>0)．(1)求线段AC的长．(2)当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．(3)若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A、(3x2)3=27x6，故此选项错误；B、x6÷x2=x4，正确；C、(ab)3=a3b3，故此选项错误；D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项错误；故选：B．直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式和同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了不等式的性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，不等式的基本性质：1.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；2.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；3.不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质解答．解：A.∵m²≥0，∴am2≤bm2，故A正确；B. 若m>0，不等号的方向不变，故B错误；C. 若m<0，不等号的方向要变，故C错误；D.若m<0，不等号的方向要变，故D错误．故选A．3.答案：B解析：解：−0.00000012=−1.2×10−7，故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，属于基础题．4.答案：D解析：解：∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、3，∴A、B两点之间的距离可以表示为：|a−3|．故选：D．根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离．理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键．5.答案：D解析：此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握几何体的形状．计算出几何体的棱数即可求解．解：根据图可知：此几何体有6条棱，故选D．6.答案：C解析：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠EBO=∠DCO.根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△OBE∽△OCD.利用同样的方法证明到△OBE∽△ACE，△OBE∽△ABD．解：∵高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠BDC=90°，∵∠EOB=∠DOC，∴△OBE∽△OCD，∴∠EBO=∠ACE，∵∠AEC=∠BEO=90°，∴△OBE∽△ACE，∵∠OBE=∠ABE，∠BEO=∠BDA=90°，∴△OBE∽△ABD.∴有三个三角形与△OBE相似．故选C．7.答案：−0.6解析：解：−27125的立方根是−0.6，故答案为−0.6．根据立方根的定义即可求解．本题主要考查了立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，比较简单．8.答案：5解析：本题主要考查的是加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的有关知识，由题意先利用加减消元法解二元一次方程组的解，然后再将得到的方程组的解代入4x−3y=k进行求解即可．{x−y=5①3x−2y=0②，解：①×2−②得：−x=10，解得：x=−10，将x=−10代入①得：y=−15，把x=−10，y=−15代入4x−3y=k得：4×(−10)−3×(−15)=k，解得：k=5．故答案为5．9.答案：−5<y<4解析：本题考查了一次函数的性质，根据题意得出关于y的不等式是解答此题的关键．先用y表示出x的值，再根据x的取值范围列出关于y的不等式，求出y的取值范围即可．解：由y=−3x+1得到x=−y−13，∵−1<x<2，∴−1<−y−13<2，解得−5<y<4．故答案是：−5<y<4．10.答案：(0.8x−10)解析：解：根据题意得，第一次降价后的售价是0.8x，第二次降价后的售价是(0.8x−10)元．故答案是：(0.8x−10)．依题意直接列出代数式即可，注意：八折即原来的80%，还要明白是经过两次降价．考查了列代数式．正确理解文字语言并列出代数式．注意：八折即原来的80%．11.答案：14解析：解：当x=3时，f(x)=3−13+5=14．故答案为：14．把x=3代入函数解析式即可．本题考查求函数值的知识点，把自变量取值代入函数解析式即可．12.答案：12解析：解：六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：正方形、矩形、正六边形这3张，∴抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为12，故答案为：12．先找出既是中心对称图形，又是轴对称图形的卡片数再除以总的卡片数即为所求的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn13.答案：3解析：解：在这一组数据中3出现了8次，出现次数最多，因此这组数据的众数为3．故答案为：3．众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求出．本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．要明确定义．14.答案：85π解析：【试题解析】解：设此扇形的弧长为l，∵S=12lr，∴125π=12×l×3，解得，l=85π，故答案为：85π.设此扇形的弧长为l，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积公式，掌握扇形面积公式S=12lr是解题的关键．15.答案：23(b⃗ −a⃗ )解析：解：∵DE//AB，DE经过△ABC的重心，∴DE=23AB，∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ )， 故答案为：23(b⃗ −a ⃗ ). 根据三角形的重心的性质得到DE =23AB ，根据题意求出AB 的向量，计算即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行向量的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 16.答案：10或4√5解析：解：①如图，因为CD =√22+42=2√5，点D 是斜边AB 的中点，所以AB =2CD =4√5；②如图，因为CE═√32+42=5，E 是斜边AB 的中点，所以AB =2CE =10，综上，原直角三角形纸片的斜边长是10或4√5，故答案为：10或4√5．先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，即可求出斜边的长．本题考查了直角梯形，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．17.答案：6解析：解：作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2，×AB×DE=6，∴△ABD面积=12故答案为：6．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．18.答案：5解析：解：如图连接AC、B′D′，AA′．∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是矩形，∴AE=DE，BE=DE，A′F=CF，B′F=FD′，∴EF是△ACA′的中位线，AA′，∴EF=12∵△ABC≌△CD′A′，∴∠ACB=∠CA′D′，AC=A′C，∵∠A′CD′+∠CA′D′=90°，∴∠ACB+∠A′CD′=90°，∴∠ACA′=90°，∴△ACA′是等腰直角三角形，∵AC=√12+72=5√2，∴AA′=√2AC=10，∴EF=12AA′=5．故答案为5．如图连接AC、B′D′，AA′.只要证明EF是△ACA′的中位线即可解决问题；本题考查旋转变换、矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．19.答案：解：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解之得，y=−13．当y=−13时，有13x−1=−13，解得x=−23．经检验x=−23是原方程的根．∴原方程的根是x=−23．解析：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解方程求得y的值，再代入13x−1=y求值即可．结果需检验．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．20.答案：解：(1)原式=3−1+4−2=4；(2)原式=(2√3−10√2)−(5√3−3√2)=2√3−10√2−5√3+3√2=−3√3−7√2．解析：(1)直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简进而得出答案；(2)首先化简二次根式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：(1)y=−100x+120；(2)点P的坐标为(109,809)，点P的实际意义表示行驶了109小时后，甲、乙两车相遇，此时离A 地的距离为809千米；(3)见解析．解析：[分析](1)根据函数图象中的数据，用待定系数法可以求得线段MN 的函数表达式；(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得点P 的坐标，并说明点P 的实际意义；(3)根据题意可以求得乙车到达B 地的时间，从而可以将图象补充完整．[详解]解：(1)设线段MN 的函数表达式为y =kx +b ，{0=1.2k +b 120=b解得，{k =−100b =120， 即线段MN 的函数表达式为y =−100x +120；(2)∵v 甲=80÷1=80千米/时，v 乙=120÷1.2=100千米/时．∴(120+80)÷(100+80)=109，把x =109代入y =−100x +120，得y =809， ∴点P 的坐标为(109,809)，点P 的实际意义表示行驶了109小时后，甲、乙两车相遇，此时离A 地的距离为809千米；(3)∵80÷100=0.8时，∴乙车从A 地行驶到B 地的函数图象如右图所示．[点睛]本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中正确获取信息，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.答案：解：∵DF//BE，∴AFFE =ADDB，∵AFFE =AECE，∴ADDB =AECE，∴DE//BC，∴DEBC =AEAC，∵AECE =23，∴AEAC =25，∴DEBC =25．解析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴平行四边形BECD是矩形．(2)连接AC，如图，∵CD=2，∴AB=BE=2．∵AD=4，∠ABD=90°，∴BD=√AD2−AB2=√42−22=2√3，∴CE=2√3，∴AC=√AE2+CE2=√42+(2√3)2=2√7．故AC的长为2√7．解析：本题考查的是矩形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明；(2)根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算AC的长．24.答案：解：(1)由题意A(4,0)，C(0,−2)，把A(4,0)，C(0,−2)代入y=12x2+bx+c，得到{8+4b+c=0c=−2，解得{b=−32c=−2，∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2．(2)过点D作DF//x轴，交y轴于点E，则∠CFD=∠BAC，∵∠ACD=2∠BAC=∠CFD+∠CDF，∴∠CDF=∠CFD，∴tan∠CDF=tan∠BAC=12，∴CEDE=−2−(12x2−32x−2)x=12解得x=2，∴D(2,−3)．解析：【试题解析】(1)求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)过点D作DF//x轴，交y轴于点E，则∠CFD=∠BAC，推出∠CDF=∠CFD，可得tan∠CDF= tan∠BAC=12，由此构建方程即可解决问题；本题考查二次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用三角函数根据方程解决问题，属于中考压轴题．25.答案：解：(1)在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，∴AD=√AB2−BD2=√52−32=4，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD=BDtanC =33=1，∴AC=AD+CD=4+1=5．(2)如图1中，当0<t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．易知PA=t，AM=45t，PM=35t，DM=4−45t，∴S=35t⋅(4−45t)=−1225t2+125t.如图2中，当259≤t<5时，重叠部分是四边形PNMF．∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，∴AC=AB，易证PB=PE=5−t，PF=34(5−t)，PN=45(5−t)，S=12(5−t)⋅34(5−t)−12⋅15(5−t)⋅34⋅15(5−t)=925(5−t)2．(3)①如图3中，PF交AC于G．当S △PFQ ：S △PEQ =1：2时， ∴S △PEQ ：S △PEF =2：3， ∴12⋅PE ⋅PG ：12⋅PE ⋅PF =2：3， ∴PG ：PF =2：3， ∴35t ：34(5−t)=2：3． ∴t =2511，即AP =2511． 如图4中，当S △PFQ ：S △PEQ =2：1时，∴S △PEQ ：S △PEF =1：3， ∴12⋅PE ⋅PG ：12⋅PE ⋅PF =1：3， ∴PG ：PF =1：3， ∴35t ：34(5−t)=1：3． ∴t =2517，即AP =2517， ∴AP 的值为2511或2517．②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．易知四边形APEQ时菱形，∴PE=PA，即t=5−t，∴t=52．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．易知四边形PENG时矩形，四边形DMEN时矩形，∴PG=EN=35t，EM=DN=PE−PM=15(5−t)，QN=43EN=45t，∴QD=4−(5−t)=t−1，在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，∴(5−t)2=32+(t−1)2，∴t=158．综上所述，t=158s或52s时，PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点．解析：(1)在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．(2)分2种情形求解：如图1中，当0<t≤1时，重叠部分是四边形PMDN.如图2中，当259≤t<5时，重叠部分是四边形PNMF．(3)①分两种情形，分别构建方程即可解决问题；②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．根据PE=PA，可得t=5−t解决问题．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M.在Rt△BQD中，根据BQ2=QD2+ BD2，列出方程即可解决问题．本题考查三角形综合题、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
上海市浦东新区2020年高三调研数学试题
上海市浦东新区2020年高三调研数学试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间100分钟.一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．不等式0112≤--x x的解集为 。
2．若()1,4A ，)21,1(B ，)23,(-x C ，且0=⋅，则=x 。
3．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 。
4．已知实数x 和纯虚数y 满足：i y i y x -=-+-)3()12（，（i 为虚数单位），则=x 。
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 。
6．某赛车场的路线中有D C B A ,,,四个维修站如图所示．若维修站之间有路线直接联结（不经过其它维修站），则记为１；若没有直接路线联结，则记为0（A 与A ，B 与B ，C 与C ，D 与D 记0），现用矩阵表示这些维修站间路线联结情况为 。
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等， 那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 。
8．（文科）已知2||=,3||=，3)2(=⋅+，则向量与（理科）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的三位数N N 的各位数字中，11=n ，)3,2(=k n k 出现0的概率为32，出现1的概率为3，记321n n n ++=ξ，当该计算机程序运行一次时，随机变量ξ的数学期望是 。
9．如图，1||||==，与的夹角为ο120，与的夹角为ο30，5||=，a ρ=，b ρ=，若=μλ+，则μλ+= 。
10．半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点， 则A 与B 两点间的球面距离为 。
11（文）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图和俯视图中，这条棱的投影是长为6和2的线段，在该几何体的侧视图中，这条棱的投影长OCBA为 。
2020届上海市浦东新区2017级高三三模考试数学试卷及答案
2020届上海市浦东新区2017级高三三模考试数学试卷★祝考试顺利★一. 填空题1. 已知集合{1,0,}A a =-,{|122}x B x =<<,若A B ≠∅I ,则实数a 的取值范围是2. 若一组数据：21,19,x ,20,18的平均数为20,则该组数据的方差为3. 椭圆222125x y b +=（0b >）与双曲线2218x y -=有公共的焦点,则b =4. 函数y =12x ≤≤）的反函数是5. 函数2||1()(2)1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩,如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x , 则1234x x x x +++=6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-（*n ∈N ）,且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+,则lim 4n nn A →∞=7. 若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C +=,则cos C 的最小值是8. 对任意实数x 、y ,定义运算x y *为x y ax by cxy *=++,其中a 、b 、c 为常数,等 式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算,现已知123*=,234*=,并且有一个非 零实数d ,使得对于任意实数都有x d x *=,则d =9. 在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为10. 设复数z 满足||1z =,使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的 和为11. 已知函数21()sin 222xf x x ωω=+-（0ω>）,x ∈R ,若()f x 在区间(,2)ππ内 没有零点,则ω的取值范围是12. 在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-,在Q 中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离不超过2的概率为二. 选择题13. 已知,x y ∈R ,则“x y <”是“1x y<”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来,若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计）,则该球形容器的表面积最小值为（ ）A. 44πB. 43πC. 42πD. 41π15. 在平面直角坐标系中,定义11n n n n n nx x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换,我们把它称为点变换,已知1(1,0)P ,222(,)P x y ,333(,)Px y ,⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列,设112n n n n n a P P P P +++=⋅u u u u u r u u u u u u u r ,则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 1216. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面,一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物,曲线22322:()16C x y x y +=为四叶玫瑰线,下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <）,表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；（3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（3）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）；A.（1）（2）B.（1）（2）（3）C.（1）（2）（4）D.（1）（3）（4）三. 解答题。
2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)
高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（ ）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b 的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b ，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（ ）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】 解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a .【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r rrr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________【答案】【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值. 【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，c ∴≥故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________【答案】【解析】将函数221y ax a x =+--存在零点转化为()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =-23321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-303a ≤≤， 故答案为：3]3【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___ 【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值. 【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L（3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°. 【答案】（1）证明见解析（2）当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o 【解析】（1）连结BD ，通过证明AC ⊥平面SBD ，即可得AC BE ⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD ⊥平面ABCD 可得BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠，ED t =，在Rt EDB ∆中可求出t 值，即可得到点E 的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC SD ⊥．由AC BDAC SD BD SD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂平面SBD ，所以AC BE ⊥． （2）解法一：设ED t =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a =6t ⇒=． 所以，当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ． 设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o ．d u r与n r 所成的角为φ，则222cos d nd na a t φ⋅==⋅++v v v v ，因为1sin cos 2θφ==22212t a a t =++， 解得，6t =． 当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 2122sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉， 因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t 的取值集合为{ 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可； （2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2； （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，||AB ==将k 替换成1k-，可得||EF =由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-； 或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1. [1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232nnn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+； 当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
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浦东新区高三三模数学试卷
一. 填空题
1. 已知集合{1,0,}A a =-，{|122}x B x =<<，若A B ≠∅I ，则实数a 的取值范围是
2. 若一组数据：21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组数据的方差为
3. 椭圆222125x y b +=（0b >）与双曲线2218
x y -=有公共的焦点，则b =
4. 函数y （12x ≤≤）的反函数是
5. 函数2||
1()(2)1
x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ， 则1234x x x x +++=
6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-
（*n ∈N ），且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+，则lim 4n n
n A →∞=
7. 若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是
8. 对任意实数x 、y ，定义运算x y *为x y ax by cxy *=++，其中a 、b 、c 为常数，等 式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算，现已知123*=，234*=，并且有一个非 零实数d ，使得对于任意实数都有x d x *=，则d =
9. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为
10. 设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的 和为
11. 已知函数21()sin 22
x
f x x ωω=-（0ω>），x ∈R ，若()f x 在区间(,2)ππ内 没有零点，则ω的取值范围是
12. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，在Q 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为
二. 选择题
13. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1x y
<”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首
创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、
左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经
90°榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，
现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），
则该球形容器的表面积最小值为（ ）
A. 44π
B. 43π
C. 42π
D. 41π
15. 在平面直角坐标系中，定义11n n n n n n
x x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)P
x y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅u u u u u r u u u u u u u r ，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322:()16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；
（3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
（3）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
A.（1）（2）
B.（1）（2）（3）
C.（1）（2）（4）
D.（1）（3）（4）
三. 解答题
17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =.
（1）若1BM AC ⊥，求h 的值；
（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角.
18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所
得，图2中所示多边形ABCDEFGH ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴
80AF BE ==米，两根竖轴60CH DG ==米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线
部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L ，CH 与AF 、BE 的交点为M 、N ，DG 与
AF 、BE 的交点为P 、Q ，CBN θ∠=（02πθ<<
）. （1）若6π
θ=，且两根横轴之间的距离30AB EF ==米，求外围隔离线总长度L ；
（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L 不超过240米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此设计方案中θ的大小与BC 的长度.
19. 已知曲线22
:136
x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别 是1P 和2P .
（1）当Q 运动到(3,23)时，求12QP QP ⋅uuu r uuu r 的值；
（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，
若SM MT λ=uuu r uuu r ，SN NT μ=uur uuu r ，且1λμ+=，求证T 为定点.
20. 已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .
（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值；
（2）设21
2n n n a b -=，212333n n n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；
（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系.
21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1=，[1.2]2-=-，[1]1=， 对于函数()f x ，若存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是“Ω函数”.
（1）判断函数21()3
f x x x =-，()|sin |
g x x π=是否是“Ω函数”；
（2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，
若()f x 不是“Ω函数”，求T 的最小值；
（3）若函数()a f x x x
=+是“Ω函数”，求a 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. (0,1)
2. 2
3. 4
4. y =(01)x ≤≤
5. 4
6. 4
3
7. 4 8. 4 9. 32
3 10. 3
2-
11. 117(0,][,]12612U 12. 514
二. 选择题
13. D 14. D
15. C 16. A
三. 解答题
17.（1）1h =；（2）
18.（1）340-2）24800sin 2S x θ=-，2100201sin 2x x
θ≥≥+，10x ≥+
222100204800sin 24800()4700204500S x x x x x θ=-≤-+=-≤-，4
πθ=，
10BC x ==+.
19.（1）23
；（2）(3,0). 20.（1）3、5、5、8；（2）12
n n b -=，1239388n n n S +-=⋅+，202120204037398S ⋅+=； （3）2017201820202019a a a a ==<.
21.（1）()f x 是，()g x 不是；（2）1；（3）0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+.。