随机振动及试验技术(第三讲)-单自由度与多自由度随机振动概述

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机械振动第3章-单自由度系统的振动

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式： 2
q q 0
其解为也可以写成有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n

随机振动课件

在机械工程领域，随机振动分析还用于研究机械设备的动态特性和稳定性、振动噪声和疲劳寿命等。这些研究有助于工程师更好地了解机械设备的性能和安全性，并采取相应的措施来提高机械设备的稳定性和可靠性。
06
随机振动的发展趋势与展望
新材料的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度、轻质材料在随机振动领域的应用越来越广泛。这些材料能够提高结构的刚度和稳定性，降低振动响应，从而提高结构的可靠性和安全性。
研究时变系统在随机激励下的响应特性，包括时变系统的随机响应计算、自适应控制和鲁棒稳定性等问题的分析。
02
随机振动分析方法
概率密度函数法
概率密度函数法是一种基于概率论的方法，用于描述随机振动信号的概率分布特性。
通过概率密度函数，可以计算随机振动信号的统计特性，如均值、方差、偏度、峰度等。
该方法适用于分析具有复杂分布特性的随机振动信号，如非高斯、非线性、非平稳等。
随机振动的应用领域
01
02
03
04
航空航天
飞机和航天器的起落架、机身等部件在着陆和发射过程中的
振动。
交通运输
铁路、公路和地铁等交通工具的减震和隔震设计，以及车辆零部件的振动疲劳寿命分析。
土木工程
高层建筑、桥梁和隧道的抗震设计，以及建筑结构的振动控
制。
机械工程
机械设备和精密仪器的振动隔离和减振设计，以及振动测试
随机振动课件
目录
• 随机振动概述 • 随机振动分析方法 • 随机振动的影响因素 • 随机振动控制技术 • 随机振动在工程中的应用 • 随机振动的发展趋势与展望
01
随机振动概述
定义与特点
定义

单自由度体系的振动

取出质量 m 为隔离体，见图 3.6（b），则由轴向（ z 向）的平衡条件得： mz kz z 0
可以看出，运动方程与上面弯曲振动公式的形式是一样的，但 kz 的含义与弯曲振动略有不同。弯曲振动中的 k 是垂直于杆轴线方向移动单位位移所需的力，而轴向振动中的 kz 则为沿着轴向方向移动单位位移所需的力，对于图 3.6（a）所示的体系 kz EA / H 。
y2

1
t F ( )sin (t )d
0
解为通解特解：
30
y

A sin(t
)

1
t
0
F (
) sin (t

)d
⑥如果杆件的刚度为 EI
，则两端刚结的杆的侧移刚度为 12EI l3
；一端铰结的杆的侧移刚度
为 3EI 。 l3
§3.1 无阻尼体系自由振动
数，由初始条件确定。
② y(t) y x,t C1sin t C2 cost
t
y(t)

y2 x,
t 2
t

2C1 cos t

2C 2
sin
t
③ eix cos x i sin x
e(r1r2 ) er1 er2
④单质点体系一般振动形式：
T

2

2 3.14 62.574
0.1(s)
例 3.3 已知一简支钢梁，如图 3.5（a）所示，跨度 l 100cm ，弹性模量 E 2.110５MPa ，
36
惯性矩 I 80cm4 ，在跨中有一重物W mg 作用，略去钢梁本身质量不计，振动的初始条件为：初位移 y0 正好等于 s ，初速度 y0 2.81cm / s 。试求该梁的固有圆频率，振幅 A 及初相，总位移。

振动理论讲义第3章单自由度系统自由振动

3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连接的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简单的振动系统，只包含一个弹簧和一个质量。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有个自由度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的位移和位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数表示。在质量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即。叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照这个关系这样简单，而往往是非常复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25

振动单自由度系统的振动 PPT课件

1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ：用機械能守恆定律以x為廣義座標（取靜平衡位置為原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動），這是因為有阻尼。一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如

12.3 单自由度体系的自由振动

各杆EI＝。【例12-5】试求图示结构的ω。各杆＝C。】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
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【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ，注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系数为 mω 2 。
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12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期自振周期因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为（表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒）。
式中，为重力加速度为重力加速度；式中，g为重力加速度；W=mg为质点为质点的重力；表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力施加于振动方向所产生的静位移。施加于振动方向所产生的静位移。
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T = 2π ∆st g
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振动学知识点总结

振动学知识点总结振动学知识点总结如下：一、振动的基本概念1. 振动的定义：指物体在某一平衡位置附近作来回运动的现象。

2. 振幅：振动物体在做往复运动时，离开平衡位置的最远距离。

3. 周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间。

4. 频率：振动物体每秒钟完成的往复运动次数。

5. 相位：描述振动物体在振动周期中的位置关系。

二、单自由度振动系统1. 单自由度振动系统的概念：由一个自由度由一个自由度运动的质点和它的运动机构构成。

2. 自由振动：指单自由度振动系统在没有外力作用下的振动。

3. 阻尼振动：指单自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。

4. 强迫振动：指单自由度振动系统受到外力作用的振动。

三、非线性振动1. 非线性振动的概念：指振动系统的振动特性不满足线性振动方程的振动现象。

2. 非线性系统的分类：按系统的非线性特征分为几何非线性、材料非线性和边界非线性等。

3. 非线性振动的分析方法：包括解析法和数值法等。

四、多自由度振动系统1. 多自由度振动系统的概念：由多个自由度组成的振动系统。

2. 自由振动：指多自由度振动系统在没有外力作用下的振动。

3. 阻尼振动：指多自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。

4. 特征值问题：多自由度振动系统的固有振动特征。

5. 模态分析：多自由度振动系统振动特征的分析方法。

五、控制振动1. 振动控制的目的：减小系统振动、防止系统振动引起的损伤。

2. 主动振动控制：通过主动装置对系统进行振动控制。

3. 被动振动控制：通过被动装置对系统进行振动控制。

4. 半主动振动控制：融合了主动和被动振动控制的特点。

六、振动信号与分析1. 振动信号的特点：包括时间域特征、频域特征和相位特征等。

2. 振动信号采集与处理：使用传感器采集振动信号，并通过信号处理方法对其进行分析。

3. 振动分析方法：包括频谱分析、波形分析、振动模态分析和振动信号诊断分析等。

七、振动与工程应用1. 振动在机械领域的应用：包括减振、振动吸收、振动监测及振动诊断等。

第三节单自由度体系的自由振动

图11-19
& m&&(t ) + cy(t ) + k11y(t ) = 0 y
令
ω2 =
k 11 , m
ξ =
c 2mω
ξ 式中，称为阻尼比，式中，称为阻尼比，则方程式可改写为
&&(t ) + 2ξωy (t ) + ω 2 y (t ) = 0 & y
y ( t ) = Ce rt
这是一个线性常系数齐次微分方程，这是一个线性常系数齐次微分方程，设其解的形式为
I10 = m1 A1ω 2 = mlαω 2 ,
0 I 2 = m2 A2ω 2 =
3 mlαω 2 2
图11-18
I = m1 A1ω = mlαω ,
0 1 2 2
3 I = m2 A2ω = mlαω 2 2
0 2 2
这时弹性支座B的反力这时弹性支座的反力为由平衡方程 Σ M 得由此解得
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
令
则方程式成为
k 11 ω = m
2
&&(t ) + ω 2 y (t ) = 0 y
这是二阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为这是二阶常系数线性齐次微分方程，
y(t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt
对时间t的一阶导数取y(t)对时间的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度为对时间的一阶导数，
图11-20
(2)小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小
一般建筑物的值在0.01~0.1之间，例如钢筋混凝土结构的值之间，一般建筑物的值在之间大约为0.05，而钢结构的大约为大约为，而钢结构的大约为0.01～0.02。由于实际结构的～。阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时，阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时，可以不考虑阻尼的影响，即式(11-16)可写成不考虑阻尼的影响，即式可写成

振动力学3单自由度自由

= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之，则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动

2单自由度系统的振动_图文(精)

写成: 其中，下形式:
2 x(t ) 2n x(t ) n x(t ) 0
（2-18a）
（2-18b）
c / 2m n称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如
x(t ) Ae
2
st
（2-19）
将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程
s 2n s 0

gR 2 sin d
（b）

2 gR 2 sin
其中， dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积的质量。壳体对C 点的转动惯量为:
2 I c R sin R 2 (1 cos ) 2 dm
2

2
2.1 单自由度系统的自由振动
阻尼元件阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。常见的阻尼模型三种形式:
由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起
内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。
飞行器结构动力学
第2章
单自由度系统的振动
第2章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用
第2 章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1 单自由度系统的自由振动
正如第一章所述，振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。

振动理论03(1)-单自由度系统自由振动

如果水在U形管中往复地振动，那么运动质量就是。注意到，在这个问题中，没有涉及弹簧。实际上，重力的作用把水柱恢复到它的平衡位置，因此在题目中有一个重力弹簧，按定义它的弹性常数是单位位置变化所需要的力。
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置之间的距离）?
10
2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律：单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力阻尼力弹性力外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为轴的抗扭刚度为外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数表示
在质量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
9
2014/9/28
假设一个交变外力作用在质量上
计算外力造成的质量的运动，即求出质量运动距离的时间函数
振动理论(3) 第3章单自由度系统自由振动
自由度
自由度

03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动

自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状态，建立(动)平衡方程。静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为：

自由度与振动模态分析

自由度与振动模态分析自由度与振动模态分析是结构工程领域中重要的概念和技术。

在设计和分析结构时，了解自由度和振动模态可以帮助工程师更好地理解结构的行为和性能。

本文将探讨自由度和振动模态的概念、分析方法以及在实际工程中的应用。

一、自由度的概念自由度是指结构中可以独立变动的数量。

在结构力学中，自由度通常与结构的运动有关。

例如，在一个简单的弹簧-质点系统中，质点可以沿一个轴向移动，因此该系统具有一个自由度。

而在一个简单的悬臂梁中，梁的挠度可以沿两个方向变化，因此该系统具有两个自由度。

在实际工程中，结构的自由度数量与结构的复杂性相关。

复杂的结构通常具有更多的自由度，因为它们可以在多个方向上变形。

自由度的数量决定了结构的自由度矩阵的维度，进而影响了结构的分析和计算。

二、振动模态的概念振动模态是指结构在自由振动过程中的特定振动形式。

每个振动模态都对应着一个特定的振动频率和振动形态。

振动模态分析可以帮助工程师了解结构的固有振动特性，包括固有频率和振动模态形态。

在进行振动模态分析时，通常需要进行模态分解。

模态分解是将结构的振动响应分解为一系列振动模态的过程。

通过模态分解，可以得到每个振动模态的振动频率、振动形态以及对应的振幅。

这些信息对于结构的设计和优化至关重要。

三、自由度与振动模态分析的方法自由度与振动模态分析的方法包括传统的解析方法和现代的数值方法。

传统的解析方法通常基于结构的简化模型和理论分析，可以得到结构的解析解。

然而，这种方法在处理复杂结构时存在一定的局限性。

现代的数值方法，如有限元方法，已经成为自由度与振动模态分析的主要工具。

有限元方法将结构离散为有限个单元，通过求解线性方程组得到结构的振动特性。

这种方法可以处理复杂结构和非线性问题，并且可以得到更准确的结果。

四、自由度与振动模态分析的应用自由度与振动模态分析在工程实践中具有广泛的应用。

首先，它可以用于评估结构的稳定性和安全性。

通过分析结构的自由度和振动模态，工程师可以确定结构的固有频率和振动形态，从而判断结构是否存在共振和振动问题。

第3章单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件

（3-13））（3-14））
R R R
ρ ρ ρ
y0
y0 y0
y0 ρ y0 y0
ω
. .
. . y y0000
. . .
ρ
y0
.
ρ y
I
0
I II y0
y0 .ω y0
ω
.
y0
ω
.
ω
ρ
y0
y0
y0
ω
.
y0
ω
.
y0
ω
.
ω .y0 ω y0 y0 ρ ω . . y0 y0 y
ω ω
0
.
ρ
ρ ρ y00 ρ y0000
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程：自由振动方程：特征方程：特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2））
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为，显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
第 3 章单自由度体系的振动分析
3.1 单自由度体系的自由振动分析
y (t) c F (t) m k
最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：已经得到单自由度体系的运动方程：
& m&& + cy + ky = FP (t ) y
位移反应：位移反应：
y( t ) = A sin ωt + B cos ωt & & y ( 0) = y 0

单自由度及多自由度系统模态分析讲诉

{x} qr { r }
r 1
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
[mr ] diag[m1 , m2 , [cr ] diag[c1 , c2 , [kr ] diag[k1 , k2 ,
mn ] mi {i }T [ M ]{i } cn ] ci {i }T [C ]{i } kn ] ki {i }T [ K ]{i }
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下的系统时域与频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值之比
单自由度及多自由度系统模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型模态模型响应模型
（质量、阻尼、刚度）
（固有频率，模态振型）
（频率响应、脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1

随机振动理论综述

随机振动理论综述摘要：本文对随机振动理论在现代工程中的应用以及该理论在现阶段的发展做了简要的论述，还简单的说明了随机振动在抗震方面的应用。

此外，还介绍了对随机振动理论的分析和计算的方法。

最后具体的阐述了随机振动试验的类型和方法。

关键词：随机振动、抗震分析、试验1、引言随机振动是一门用概率与统计方法研究受随机载荷的机械与结构系统的稳定性、响应、识别及可靠性的技术学科。

[1]20世纪50年代的中期,为解决航空与宇航工程中所面临的激励的随机性,将统计力学、通讯噪声及湍流理论中已有的方法移植到机械振动中来,初步形成了随机振动这门学科。

[2] 1958年在美国麻省理工学院举办的随机振动暑期讨论班以及该讨论班文集的出版可认为是随机振动作为一门学科诞生的标准，此后,随机振动在环境测量、数学理论、振动引起的损伤、系统的识别与诊断、试验技术以及结构在随机荷载下的响应分析与可靠性研究等方面都有了很大的发展。

随机振动理论是机械振动或结构动力学与概率论相结合的产物,而作为一种技术学科乃是由工程实践需要而产生并为工程实践服务的。

近10年来,在理论基础、分析方法、数值计算、信号分析测试技术和实验研究、载荷分析、环境减振降噪、设计优化、故障诊断、工程可靠性分析等诸多方面，得到了全方位的发展,结构工程、地震工程、海洋工程、车辆工程、包装工程、机械工程、飞行器、土木工程等方面有了广泛的应用，并与其它相关学科如非线性振动、有限元方法等相结构交叉而产生新的生长点，如非线性随机振动，随机分叉与随机浑沌，随机有限元等方面并取得长足进展，跟上了国际的发展潮流，有些研究达到了国际先进水平，在国际学术交流中发挥了影响。

[3]近20年来，我国在随机振动领域做出了多项具有国际影响的突破性成果，包括虚拟激励法、复模态理论、FPK方程的哈密顿理论体系和非线性随机系统的密度演化理论等方面的贡献。

作为机械振动或结构动力学与概率论及其分支相结合的产物，随机振动是关于机械或结构系统对随机激励的稳定性、响应及可靠性的一整套理论的总称，是现代应用力学的一个分支。

第三讲单自由度系统振动

ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的。在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。