数学分析大纲

数学分析（甲）简介

课程号：06110010，06110020，06110030

课程名称：数学分析英文名称：Calculus

周学时：4-1，4-1，4-0学分：4.5，总学分：13

预修要求：无

内容简介：数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础

选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年）

教材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F. 约翰，2002年

参考教材：《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编

《数学分析》（第二版），复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中

《数学分析》教学大纲

一、课程的教学目的和基本要求

数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础

二、相关教学环节安排

第一学期主要内容：实数连续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、连续函数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本

概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、连续函数的定积

分的存在性

第二学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的

积分法、几类特殊函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数

的微分方程、幂级数、泰勒定理、余项的表示式及其估计、插值问题、

拉格朗日插值公式

第三学期主要内容：积分的数值计算、方程的数值解法、斯特林公式、无穷和与无穷乘积收敛与发散的概念、绝对收敛和发散的判别法、函数与曲线序列的极限过

程、复数项幂级数、级数的乘法和除法、无穷级数与反常积分、无穷乘

积、含有伯努利数的级数、傅里叶级数、三角多项式和有理多项式的近

似法、傅里叶积分定理、非连续点上的吉布斯现象、傅里叶级数的积分、

伯努利多项式及其应用

第四学期主要内容：平面和空间的点和点集、多元函数连续性、函数的偏导数、函数的全微分及其几何意义、多元复合函数、多元函数的中值定理与泰勒定理、依

赖于参量的函数的积分、微分与线积分、线性微分型的可积性的基本定

理、多维空间的聚点原理及其应用、连续函数的基本性质、点集论的基

本概念

第五学期主要内容：隐函数、函数组、变换与映射、曲线族，曲面族，以及它们的包络、交错微分型、求最大与最小值、平面上的面积、二重积分、三维及高维区

域上的积分、空间微分、质量与密度、化重积分为累次单积分、重积分

的变换、广义多重积分、在曲线坐标中的重积分、任意维数的体积和曲

面面积、作为参数的函数的广义单积分

第六学期主要内容：傅里叶积分、欧拉积分（伽玛函数）、多元函数的积分、面积与积分的变换、高斯，斯托克斯和格林的积分定理、散度定理的向量形式，斯托

克斯定理、二维分部积分公式，格林定理，散度定理、面积微分，将u ∆变到极坐标的变换、用二维流动解释格林和斯托克斯公式、曲面的定向、曲面上微分形式和数量函数的积分、空间情形的高斯定理和格林定理、空间斯托克斯定理、高维积分恒等式、三维空间中的曲面和曲面积分、散度定理、在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分、高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式

（宋体五号）

三、 课程主要内容及学时分配

第一学期：

第1章 引言

1.1 实数连续统（2学时）

a. 自然数及其扩充，计数和度量

b. 实数和区间套

c. 十进小数，其他进位制

d. 邻域的定义

e. 不等式

1.2 函数的概念（2学时）

a. 映射——图形

b. 单连续变量的函数概念的定义，函数的定义域和值域

c. 函数的图形表示，单调函数

d. 连续性

e. 中间值定理，反函数

1.3 初等函数（1学时）

a. 有理函数

b. 代数函数

c. 三角函数

d. 指数函数和对数函数

e. 复合函数，符号积，反函数

1.4 数学归纳法（1学时）

1.5 序列的极限（2学时） a. 1n a n

=

b. 21m a m =，2112m a m

-= c. 11n a n =+

d. n a =

e. n n a =α

f. n

a

g. 几何级数

h. n a

i. n a =j. n n

n a =α，其中1α> 1.6 再论极限概念（2学时）

a. 收敛和发散的定义

b. 极限的有理运算

c. 内在的收敛判别法，单凋序列

d. 无穷级数及求和符号

e. 数e

f. 作为极限的数π

1.7 单连续变量的函数的极限概念（1学时）

a. 初等函数的一些注记

1.8 极限和数的概念（2学时）

a. 有理数

b. 有理区间套序列定义实数

c. 实数的顺序，极限和算术运算

d. 实数连续统的完备性，闭区间的紧致性，收敛判别法则

e. 最小上界和最大下界

f. 有理数的可数性

1.9 关于连续函数的定理（1学时）

1.10 极坐标（1学时）

1.11 关于复数的注记（1学时）

第2章 积分学和微分学的基本概念

2.1 积分（2学时）

a. 引言

b. 作为面积的积分

c. 积分的分析定义，表示法

2.2 积分的初等实例（2学时）

a. 线性函数的积分

b. 2

x 的积分

c. x α的积分（α是不等于1-的有理数）

d. sin x 和cos x 的积分

2.3 积分的基本法则（2学时）

a. 可加性

b. 函数之和的积分

c. 函数与常数乘积的积分

d. 积分的估值