高中数学人教A版必修四第二章 6平面向量数量积的坐标表示 Word练习题含答案
高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106～107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是() A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：82向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22，∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0，BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5， ∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1. 故cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52，OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD ||OE |＝45.答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12 解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．－865 C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)，AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案：27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值． 解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)， ∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ， ∴(AB －t OC )·OC ＝0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)，∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)． 所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故DE ·DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB | OA ||OB |＝84×4＝12， ∴OA 在OB 上的投影为|OA |cos θ＝4×12＝2.(2)AB ＝OB －OA ＝(－2,2 3 )，BC ＝OC －OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22OB＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC |取到最小值，为2 3.。
平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案一、单选题1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3【答案】B【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-，所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B.2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若()830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()()86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25【答案】C【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将25a =，10a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵25a =，又52a b +=， 所以()()225250a b+==，即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2b ＝50， 所以2b ＝25，即b ＝5. 故选：C.4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A．B． CD【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-，则AB 与a b -的夹角的余弦值为()()()221312AB a bAB a b⋅-⨯-+=-+-故选：A ．．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1B ．2C ．()()BG BA BA BP -⋅-D ．2()3AB AC AP +⋅为ABC的重心，所以为线段BC 所以23(0,3AG =-，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅故选：B ．a 与b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4--B ．()4,3C ．()4,3-D ．()4,3--【答案】D【分析】设(),b x y =，则由题意得2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解出方程，检验即可.【详解】设(),b x y =，则由题意得2205a b x y ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，即2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得43x y =⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=-⎩，设()1,0c =，当()4,3b =时，此时4cos ,05b c b c b c⋅==>， 又因为向量夹角范围为[]0,π，故此时夹角为锐角，舍去； 当()4,3b =--时，此时4cos ,05b cb c b c⋅==-<，故此时夹角为钝角，故选：D.，则AO AP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3【答案】C【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO ，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2211x y +-=，设P[)cos ,0,2π1sin x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩，则()cos 2,1sin AP θθ=++，()2,0AO =，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈，即AO AP ⋅的最大值为6.故选：C8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A B C ．D ．10由0NM NP ⋅=解得，所以2π6ω=π2，所以π6ϕ=，则NM NP ⋅=5,2⎛ ⎝二、多选题9．已知向量(2,1),(,1)a m b m =-=，则下列结论正确的是（） A ．若a b ∥，则2m = B ．若2m =，则a b ∥ C ．若a b ⊥，则13m = D ．若13m =，则a b ⊥【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案【详解】由a b ∥，得2m -正确；由a b ⊥，得2m +BCD.10．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,2【答案】BD【分析】根据向量的加法求出a b +，由两个向量垂直，数量积为零，求出y ，然后逐一判断各选项，a 在b 方向上的投影向量为()2a b bb⋅⋅.【详解】已知()()1,3,2,,a b y ==则()3,3a b y +=+，()a b a +⊥，()31330y ∴⨯+⨯+=，4y =-，()2,4b =-，故A 错误；12342cos ,21020a b a b a b⋅⨯-⨯===-⋅⋅，所以向量,a b 的夹角为3π4，故B 正确；()()()11,31,22,12a b +=+-=，152a b ∴+=，故C 错误；a 在b 方向上的投影向量为()()21,2a b b b⋅⋅=-，故D 正确.故选：BD. 11．已知向量()()()()3,1,cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ==≤≤=，则下列命题正确的是（）A ．a b ⋅的最大值为2B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．向量31,33e ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭是与a 共线的单位向量 D ．a 在c 3c 【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断； B.利用数量积公式，可得0a b ⋅=，即可求解θ； C.根据模的公式，计算e ，即可判断； D.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于A 选项，π3cos sin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当ππ32θ+=，即π6θ=时取最大值2，故A 正确；对于B 选项，要使a b a b +=-，则0a b ⋅=， 则tan 3θ=-，因为0πθ≤≤，所以2π3θ=，故存在θ，使得a b a b +=-，故B 正确；选项，因为33e ⎛=- ⎝所以向量e 不是单位向量，故选项，因为()1,0c =为单位向量，则a 在c 上的投影向量为3||a cc c c ⋅⋅=，故D 正确ABD .12．已知向量(cos ,sin m αα=，()cos ,sin n ββ=，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（） A ．221m n += B ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -的值为即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断【详解】21m =，21n =，即有222m n +=，故选项β<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为在单位圆221x y +=.根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 可得：()cos 0αβ-=，()sin 1β+=由()1,1m n +=可得：()2222m nm n +=+⋅=，可得：20m n ⋅=，22222m n m n m n -=+-⋅=，则可得：2m n -=，故选项D 成立. 故选：BD三、填空题13．已知向量()()3,1,1,a b λ=-=，若222a b a b -=+，则λ=__________.【答案】3【分析】求出a b -，利用模长公式列出方程，求出3λ=.【详解】因为()2,1a b λ-=--，所以224(1)911λλ++=+++，解得:3λ=. 故答案为：314．已知向量()3,1a =-，(),1b t =，,45a b =，则t =______． 【答案】2【分析】利用向量坐标夹角运用求参数. 【详解】因为,45a b =︒， 所以2312cos ,2101a b t a b a bt ⋅-===⋅+，且13103t t ->⇒>，整理得2123203t t t ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，解得：2t =或12t =-（舍去），故答案为：2.15．已知(1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则||a b +=______． 【答案】32【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出x ，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】因为()1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则21x x =-，解得=1x -，有(21,3)(3,3)a x b =-=-+，所以22|(3)332|a b -+=+=. 故答案为：3216．已知()1,0a =，()1,1b =，则a 在b 上的投影向量为________． 【答案】11(,)22【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，a 在b 上的投影向量为(1,1)111(,)22||||22b a b b b ⋅⋅=⋅=.故答案为：11(,)22。
人教a版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65.答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)， 所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =， 所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
高中数学人教A版必修4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 作业 Word版含解析
[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ， ∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0， 即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65. 答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0， 则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选 B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎨⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)，所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。
(完整版)必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一 平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．思考 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ？上述结论是怎样推导的？答案 推导：∵a ＝x 1i ＋y 1 j ，b ＝x 2i ＋y 2 j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1 j )·(x 2i ＋y 2 j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1 j ·i ＋y 1y 2 j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.知识点二 平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.思考 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．答案 推导：∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.知识点三 平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0；反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .思考 (1)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b 则x ＝________.(2)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________．(3)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是________三角形．答案 (1)2 (2)34π (3)直角题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．跟踪训练1 已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标． 解 ∵a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，∴5a －b ＝(－11，－10－k )．b －3a ＝(5，k ＋6)，∴(5a －b )·(b －3a )＝(－11，－10－k )·(5，k ＋6)＝－55－(k ＋10)(k ＋6)＝－55，∴(k ＋10)(k ＋6)＝0，∴k ＝－10或k ＝－6，∴b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6)．题型二 平面向量的夹角问题例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角．∴⎩⎨⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．题型三 平面向量数量积坐标形式的综合运用例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λy －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．跟踪训练3 在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．解 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，AB →＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.当心“角”下陷阱例4 已知a ＝(1,3)，b ＝(2，λ)，设a 与b 的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围． 错解 因为θ为锐角，所以cos θ>0，由a ·b ＝|a ||b |cos θ知，只需a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23. 错因分析 本题误以为两非零向量a 与b 的夹角为锐角等价于a·b >0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1>0，对于非零向量a 与b 有a·b >0.两非零向量a 与b 的夹角为锐角的等价条件是a·b >0且a 不平行于b .正解 由θ为锐角，得cos θ>0且θ≠0，由ab ＝|a |·|b |cos θ，而|a |、|b |恒大于0，所以a·b >0，即1×2＋3λ>0，即λ>－23；若a ∥b ，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6，但若a ∥b ，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上，λ>－23且λ≠6.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π22．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．一、选择题1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.163．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．124．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．10．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．三、解答题11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．12．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．当堂检测答案1．答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4. 2．答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.3．答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －6b ，∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c |＝8 2.5．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .2．答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 3．答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.4．答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. ∴点C 的坐标为(－2,6)．5．答案 C解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解得①②得x ＝－79，y ＝－73.二、填空题7．答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.8．答案 (－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9．答案 655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 10．答案 x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52. 三、解答题11．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 12．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.又|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴|a －b |＝2或2 5.13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后习题 新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=()A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析:与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A. B.4C.3D.2解析:∵a∥b,∴m=-4,b=(-2,-4).∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).∴|2a+3b|==4.答案:B4.(2016·广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若k a-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:∵向量a=(1,1),b=(2,-3),∴k a-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).∵k a-2b与a垂直,∴(k a-2b)·a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵b在a方向上的投影为2,则=2,∴=2,解得x=-2,∴b=(-2,2).设a,b的夹角为θ,则cos θ=.∵0≤θ≤π,∴θ=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,则|a|=.解析:∵a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,∴-1+n2=2,∴n2=3.∴|a|2=1+n2=4,∴|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.解析:a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是. 解析:∵∠C=90°,∴,∴=0.又=(2-k,2),∴2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)||的值;(3)cos∠BAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以||==2.(3)因为=(-1,1)·(1,5)=4,||=,||=,所以cos∠BAC=.10a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(1,x)·(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为a∥b,所以1×(-x)-(2x+3)×x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4a·b+4=12,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A. B.C. D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).∵a在b方向上的投影为3,∴=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=-2+8=6.∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).∴|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.解析:设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,试求的最小值.解:∵a=(,-1),b=,∴a·b=-1×=0.∵|a|==2,|b|==1,a·b=0,∴a⊥b.∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.∴k=.∴(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.解:(1)设=(x,y).∵点Q在直线上,∴向量共线.又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),∴=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,故当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2). (2)由(1)知,=(-3,5),=(1,-1),=-8,||=,||=, cos∠AQB==-.。
高中人教A版数学必修4： 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析
平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ⊥b ，则x 的值是( )A ．±2B ．0C ．－2D ．21答案：B解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，即4x ＋x ＝0，解得x ＝0，故选B.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3C ．－ 3D ．－32答案：D解析：向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D.3．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( )A ．－92B ．0C ．3 D.1523答案：C解析：∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.4．若A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不等边三角形4答案：C解析：∵A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，∴AB→＝(1,1)，AC →＝(－4,3)， cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1×(－4)＋1×32×25＝－15 2＜0，∴∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 5．若向量a ＝(x ＋1,2) 和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )A.10B.102C. 2D.225答案：C 解析：由题意得，－(x ＋1)－2×1＝0得x ＝－3.故a ＋b ＝(－1,1)．∴|a ＋b |＝(－1)2＋(－1)2＝ 26．如图，在等腰直角三角形AOB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任意一点，OP →＝p ，则p ·(b －a )＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.326答案：A 解析：因为在等腰直角三角形AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，所以|a |＝|b |＝1，a ·b＝0.由题意，可设OP →＝－14(b －a )＋λ·12(b ＋a )，λ∈R ，所以p ·(b －a )＝－14(b －a )·(b －a )＋λ2(b ＋a )·(b －a )＝－14(b －a )2＋λ2(|b |2－|a |2)＝－14(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝－14(1＋1－0)＝－12.二、填空题7．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.7答案： 5解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5.8．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则OA →·OC→＝________. 8答案：14425解析：设点C 的坐标为(x ，y )，因为OC ⊥AB 于点C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧OC →·AB →＝0AC →∥AB →， 即⎩⎨⎧ (x ，y )·(－4，3)＝－4x ＋3y ＝03x ＋4y －12＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3625y ＝4825，∴OA →·OC →＝4x ＝14425. 9．若平面向量a ＝(log 2x ，－1)，b ＝(log 2x,2＋log 2x )，则满足a ·b <0的实数x 的取值集合为________．9答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <4 解析：由题意可得(log 2x )2－log 2x －2<0⇒(log 2x ＋1)(log 2x －2)<0，所以－1<log 2x <2，所以12<x <4.三、解答题10．已知O 为坐标原点，OA→＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA→⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 10解：假设存在点M ，且OM→＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)， ∴MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∵MA→⊥MB →， ∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. ∴存在M (2,1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意． 11．已知平面向量a ＝(sin α，1)，b ＝(1，cos α)，－π2<α<π2.(1)若a ⊥b ，求α；(2)求|a ＋b |的最大值．11解：(1)由已知，得a ·b ＝0，即sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.∵－π2<α<π2，∴α＝－π4.(2)由已知得|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝sin 2α＋1＋cos 2α＋1＋2(sin α＋cos α)＝3＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵－π2<α<π2，∴－π4<α＋π4<3π4，∴－22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即1<|a ＋b |2≤3＋22，∴1<|a ＋b |≤1＋2， 即|a ＋b |的最大值为1＋ 2.12．若a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0，2)C ．[1,2]D ．[2，2]12答案：D解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ＝2(1＋cos θ)∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴cos θ∈[0,1]． ∴2≤2(1＋cos θ)≤4. ∴2≤|a ＋b |≤2.13．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．13解：由题知，|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .由x ⊥y 得，[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －t 2k ＋3k )a ·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3－3t )b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴k ＝t 3－3t 4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.参考答案与解析1答案：C解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．2答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.3答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D.5答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.6答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|cos A ＝|AC →|2＝16 7答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.9答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．10解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7，|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12， 所以a 与b 的夹角为120°.11解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2.∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0，∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.12答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 13解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(－1，3)，那么( ) A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．a>bD ．|a|>|b |2．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →等于( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或2 D ．23．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152C ．－322D ．－31524．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k)，若a ⊥(2a －b )，则k 等于( )A ．6B ．－6C ．12D ．－125．设点A(4，2)，B(a ，8)，C(2，a)，O 为坐标原点．若四边形OABC 是平行四边形，则向量OA →与OC →之间的夹角为( )A.π3B.π4C.π6 D.π26．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 7．已知x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y)，c ＝(2，－4)，若a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|3a ＋b |的最大值为________． 9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)．若b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是__________． 10．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)． (1)若a 与b 的夹角是钝角，则λ∈________________________________________________________________________.(2)若a 与b 的夹角是锐角，则λ∈________________________________________________________________________.11．设函数f(x)＝1x ＋1，点A 0表示坐标原点，点A n (n ，f(n))(n ∈N *)．若向量a n ＝A 0A 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ，θn 是a n 与i 的夹角(其中i ＝(1，0))，则tan θn ＝________．得分12．(12分)已知O 为平面直角坐标系的原点，设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．(13分)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．得分14．(5分)在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，边AB ，AC 的长分别为2，1，∠BAC ＝60°，则AG →·BG →＝( )A ．－89B ．－109C.5－39 D ．－5－3915．(15分)已知平面内向量OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 是直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标； (2)当点Q 满足(1)时，求cos ∠AQB.1．A [解析] ∵3×(－1)＋1×3＝0，∴a ⊥b .2．D [解析] ∵n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝7，∴n ·BC →＝7－n ·AB →＝7－[2×3＋(－1)×1]＝7－5＝2.故选D.3．A [解析] 依题意AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)．向量AB →在CD →方向上的投影为2×5＋552＝322. 4．C [解析] 2a －b ＝(5，2－k)．∵a ⊥(2a －b )，∴a ·(2a －b )＝2×5＋(2－k)×1＝0，即k ＝12.5．B [解析] ∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA →＝CB →，即(4－0，2－0)＝(a －2，8－a)，∴a ＝6.又∵OA →＝(4，2)，OC →＝(2，6)，∴cos 〈OA →，OC →〉＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|＝4×2＋2×642＋22×22＋62＝22. 又〈OA →，OC →〉∈[0，π]，∴OA →与OC →的夹角为π4.6．B [解析] 令b ＝(x ，y)(y≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1①，3x ＋y ＝3②，将②代入①，得x 2＋(3－3x)2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12，∴y ＝32.故选B. 7．B [解析] 因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0，即2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c ，得－4＝2y ，解得y ＝－2.所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.8．5 [解析] |a |＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，|b |＝（3）2＋（－1）2＝2，∴|3a ＋b|≤3|a|＋|b |＝5.9．－3 [解析] ∵a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，b ⊥(a ＋λb )，∴b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb 2＝0，即2＋4＋2λ＝0，∴λ＝－3.10．(1)(103，＋∞) (2)(－∞，－65)∪(－65，103) [解析] (1)∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b ＝(λ，2)·(－3，5)＝－3λ＋10<0，∴λ>103.又当a ，b 反向时，λ不存在，∴λ∈(103，＋∞)．(2)当a ，b 的夹角为锐角时，a·b ＝|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉>0，∴－3λ＋10>0，∴λ<103.又当λ＝－65时，〈a ，b 〉＝0°不合题意，∴λ的取值范围为(－∞，－65)∪(－65，103)．11.1n （n ＋1） [解析] 因为A 0(0，0)，A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＝A 0A 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ＝A 0A n →＝(n ，1n ＋1)．又因为i ＝(1，0)，所以tan θn ＝1n ＋1n ＝1n （n ＋1）.12．解：假设存在点M ，且OM →＝tOC →，t ∈[0，1]，则OM →＝(6t ，3t)，即M(6t ，3t)． ∴MA →＝OA →－OM →＝(2－6t ，5－3t)，MB →＝OB →－OM →＝(3－6t ，1－3t)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，即45t 2－48t ＋11＝0，得t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，使MA ⊥MB ，M 点的坐标为(2，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 13．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b|·|a|＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 之间的夹角为π6.(2)|a －t b|2＝a 2－2t a·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4(t ＋12)2＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a－t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，23]．14．A [解析] 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，得BC ＝3，∠ACB ＝90°.以C 为坐标原点，CB →，CA →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(3，0)，所以重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，13，所以AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－23，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13，所以AG →·BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13＝－89.15．解：(1)设OQ →＝(x ，y)．∵Q 在直线OP 上，∴OQ →∥OP →， 又OP →＝(2，1)，∴x －2y ＝0，即OQ →＝(2y ，y)． 又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y ，7－y)，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y ，1－y)， ∴QA →·QB →＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8，∴当y ＝2时，QA →·QB →取得最小值－8，此时OQ →的坐标为(4，2)．(2)由(1)可知QA →＝(－3，5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，故cos ∠AQB ＝cos 〈QA →，QB →〉＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717.。
高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十三)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析.doc
课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( ) A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3答案：B2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 2 答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案：D4．(湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3 152C ．－322D ．－3 152 答案：A5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案：A二、填空题6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．答案：47.如图，已知点A (1,1)和单位圆上半部分上的动点B ，若OA ⊥OB ，则向量OB 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫－22，22 8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 三、解答题9．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12.可知当y ＝202×5＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，|MA |＝34，|MB |＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA ||MB |＝－834×2＝－41717.11．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos α－12，sin α＋32， a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32， ∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，∴tan α＝33， 又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时作业(含解析)新人教A版必修4
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分,共20分）1．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝(）A．30°B．45°C．60°D．120°解析:由题意得cos ∠ABC＝错误!＝错误!＝错误!,又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC＝30°。
答案： A2．已知向量a＝(－1,x)，b＝（1，x）,若2b－a与a垂直，则｜a｜＝（）A．1 B． 2C．2 D．4解析:由题意得，2b－a＝2（1，x)－(－1,x）＝（3，x），∵（2b－a）⊥a,∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3，∴｜a|＝错误!＝2。
答案： C3．已知向量a＝（1,错误!），b＝(3，m)，若向量a,b的夹角为错误!，则实数m的值为()A．2错误!B．－错误!C．0 D．错误!解析:由题意得｜a|＝2，|b｜＝错误!，a·b＝3＋错误!m＝2错误!cos 错误!，解得m＝错误!,选D。
答案: D4．若a＝(2,1)，b＝（3，4）,则向量a在向量b方向上的射影的数量为（)A．2错误!B．2C。
错误!D．10解析:设a，b的夹角为θ，则｜a|cos θ＝|a|·错误!＝错误!＝错误!＝2.答案: B二、填空题（每小题5分，共15分)5．已知a＝（－1，3),b＝（1，t），若（a－2b)⊥a,则|b｜＝____________。
解析：∵a＝（－1，3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3，3－2t)．∵（a－2b）⊥a,∴(a－2b)·a＝0，即（－3)×(－1)＋3（3－2t）＝0,解得t＝2，∴b＝（1,2)，∴｜b｜＝错误!＝错误!。
答案: 错误!6．已知向量a ＝(1，3),2a ＋b ＝(－1，错误!），a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________。
人教版高中数学高一A版必修4课后训练 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习1．已知a＝(1，－2)，b＝(3,4)，则a在b方向上的投影是()A．1 B．－1 CD．2．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋x b与b垂直，则实数x的值为()A．233B．323C．2 D．25-3．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝|b|等于()A B．C．5 D．254．(2011·上海春季高考)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝1 B．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b D．a∥b5．(能力拔高题)把一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子投掷两次，观察其出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，设向量p＝(m，n)，向量q ＝(－2,1)，则满足p⊥q的向量p的个数是()A．6 B．5 C．4 D．36．已知向量a＝(1,1)，向量b＝(2，x)，若a－b与a垂直，则实数x的值为__________．7．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是__________．8．在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD AC⋅＝__________.9．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)a.10．已知AB＝(6,1)，BC＝(4，k)，CD＝(2,1)．(1)若A，C，D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值．解：(1)AC AB BC =+＝(10，k ＋1)， 又A ，C ，D 三点共线，∴AC ∥CD . ∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.(2)设向量BC 与CD 的夹角为θ，由(1)得BC ＝(4,4)，则BC ·CD ＝2×4＋1×4＝12，又|BC |=|CD |=则cos θ＝104BC CDBC CD ⋅==⋅.即向量BC 与CD 的夹角的余弦值为10.。
高中数学 第2章 第22课时 平面向量数量积的坐标表示、
课时作业(二十二) 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 组 基础巩固1.2015·四川凉山州高一检测已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：由(2a －b )·b ＝0，则2a·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2，故选C. 答案：C2．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3. 故选C. 答案：C3.2015·重庆市三中高一检测已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665解析：∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)． 又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665，故选C.答案：C4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73，故选D.答案：D5．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C.答案：C6.2015·辽宁大连市高一统测已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17C ．－16 D.16解析：由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17，故选A.答案：A7.2015·河北衡水中学高二调研已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12变动时，a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3 C.⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)解析：已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎪⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 的夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C.答案：C 8．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，则a 与b 夹角θ的范围是________．解析：(a ＋2b )(2a －b )＝2a 2－a ·b ＋4a ·b －2b 2＝2×9－3|a ||b |cos 〈a ，b 〉－2×16 ＝－14－3×3×4cos〈a ，b 〉≥4，∴cos 〈a ，b 〉≤－12，∴θ＝〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π9.2015·贵州贵阳市高一期末已知向量OA →＝(1,7)OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)设M 是函数y ＝12x 所在直线上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.当x ＝4时，MA →·MB →的最小值为－8. 答案：－810.2015·河北沧州市高一期末已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，－1)，m ＝a ＋3b ，n ＝a －k b .(1)若m ∥n ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求m 与n 夹角的余弦值．解析：(1)由题意，得m ＝(1，－2)，n ＝(－2－k,1＋k )． 因为m ∥n ，所以1×(1＋k )＝－2×(－2－k )，解得k ＝－3. (2)当k ＝2时，n ＝(－4,3)．设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m·n |m ||n |＝1×－4＋－2×312＋－22·－42＋32＝－255. 所以m 与n 夹角的余弦值为－255. B 组 能力提升11．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，|2a ＋b |＝37，则a ，b 的夹角为________． 解析：向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，|2a ＋b |＝37，∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4×22＋32＋4×2×3cos〈a ，b 〉＝37，化为cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.故答案为π3.答案：π312．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝__________.解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)， ∴MA →·MB →＝－2. 答案：－213.2015·福建三明市高一月考已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )． (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |的值． 解析：(1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.∴(2x ＋3)－x 2＝0，即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴－x ＝x (2x ＋3)． 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝－22＋02＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝22＋－42＝2 5. 综上，|a －b |的值为2或2 5.14.2015·华中师大附中高一期末已知向量a ＝(2cos x ，3sin x )，b ＝(cos x ，－2cos x )，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的单调增区间；(2)若tan α＝2，求f (α)的值．解析：f (x )＝a·b ＝2cos 2x －23sin x cos x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(1)当2k π－π≤2x ＋π3≤2k π时，f (x )单调递增，解得k π－2π3≤x ≤k π－π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6， k ∈Z .(2)f (α)＝2cos 2α－23sin αcos α＝2cos 2α－23sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2－23tan α1＋tan 2α＝2－263. 15.附加题·选做平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA →·MB →取最小值时，求OM →的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解析：(1)设OM →＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM →与OP →共线，又OP →＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y . ∴OM →＝(2y ，y )． 又MA →＝OA →－OM →，OA →＝(1,7)，。
人教A版高中数学必修四课后训练{2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角}.docx
课后训练1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ＝(2,4),3a ＋2b ＝(4,8)，则a ·b ＝( )A ．－10B ．10C ．－20D ．203．向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．104．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC +＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．105．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3),2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．865-C ．1665D ．1665- 6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝__________．7．已知a ＝(1,0)，|b |＝1，c ＝(0，－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0，则实数k 的值为__________．8．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．9．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)．(1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值；(2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值．10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0＜α＜π)，O 为坐标原点，若|OA ＋OC |＝7，求OB 与OC 的夹角．参考答案1答案：D 解析：∵a ＋b 与a 共线，∴a ＋b ＝λa ，即(1＋2，k ＋2)＝λ(1，k )．由3,2,k k λλ=⎧⎨+=⎩解得3,1.k λ=⎧⎨=⎩故a ＝(1,1)，则a ·b ＝1×2＋1×2＝4． 2答案：A 解析：由已知a 2＝|a |2＝20，∴a ·(3a ＋2b )＝3a 2＋2a ·b ＝60＋2a ·b ＝40，∴a ·b ＝－10．3答案：B 解析：由a ⊥c ，b ∥c 得240,24,x y -=⎧⎨=-⎩解得2,2,x y =⎧⎨=-⎩ ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝10．4答案：D 解析：由已知以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，不妨设点A 坐标为(4,0)，点B 坐标为(0,4)，则点D 的坐标为(2,2)，点P 坐标为(1,1)．∴PA ＝(3，－1)，PB ＝(－1,3)，PC ＝(－1，－1)， ∴222||||1010||2PA PB PC ++=＝10． 5答案：C 解析：由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，从而cos 〈a ，b 〉＝16||||65⋅=a b a b ． 6答案：82 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82．7答案：58± 解析：k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3,7)．∴|k b |＝|k |·|b |＝2(3)4958-+=．∵|b |＝1， ∴58k =±． 8答案：(1)31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)255- 解析：(1)因为2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为31,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，即31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (2)b －3a ＝(－2,1)，设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(3)(2,1)(1,0)25|3|||551-⋅-⋅==--⨯b a a b a a ． 9答案：解：(1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1．(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )，a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )，∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴12k =-． 10答案：解：由已知得OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)． ∵|OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7．即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7．∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝32． ∴OC ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又OB ＝(0,2)．∴cos ∠BOC ＝||||OB OC OB OC ⋅＝32， ∴∠BOC ＝π6．故OB 与OC 的夹角为π6．。
人教A版高中数必修四作业35-平面向量数量积的坐标表示(答案).docx
作业35-平面向量数量积的坐标表示(答案)班级___________ 姓名__________1. 若向量a →=(3,m ), b →=(2,—1), a →·b →=0,则实数m = ( D )A. —32B. 32C. 2D. 62. 设向量a →=(1,0), b →=(12, 12), 则下列结论中正确的是 ( C )A. |a →|=|b →|B. a →·b →=22C. a →—b →与b →垂直D. a →//b →3. a →, b →为平面向量, 已知a →=(4,3), 2a →+b →=(3, 18), 则a →，b →的夹角的余弦值是 ( C )A. 865B. —865C. 1665D. —16654. 以A(2,5), B(5,2), C(10,7)为顶点的三角形是 ( B )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形5. 若a →=(2, 3), b →=(--4, 7), 则a →在b →方向上的投影为 ( A )A. 655B. 65C. 135D. 136. 给出下列命题：① 若a →=0→,则对于任意向量b →,有a →·b →=0; ② 若a →·b →=0,则a →=0→或b →=0→；③若a →≠0→,则有a →·b →a →2=b →a→； ④ b →≠0→, a →·b →=b →·c →，则a →=c →. 其中真命题的个数是 ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设OA →=(—2,m )，OB →=(n , 1), OC →=(5,—1)，若A 、B 、C 三点共线，且OA →⊥OB →, m +n 的值是9 或 92. 8. 设A (a , 1), B(2, b ), C(4, 5)为平面上三点，O 为坐标原点，若OA →在OC →方向上的投影与OB →在OC →方向的投影相等，则a 与b 满足的关系式为 4a — 5b = 3 .9. 设a →=(4, —3), b →=(2, 1)，则a →+tb →与b →的夹角为45°, 则实数t 的值为 1或—3 . 10. 已知|a →|=5, |b →|=4, a →与b →的夹角为60°, 试问当k 为何值时，向量ka →—b →与a →+2b →垂直？答案：1415 11. 以方程组的两组解(x 1, y 1), (x 2, y 2)分别为A 、B 两点的坐标，O 为坐标原点，且OA →·OB →=2, 则a 12. 若a →=(2, λ), b →=(3,—4)，且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 (32,+∞) .13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(—1,—2), B(2,3), C(—2,—1).(1) 求以线段AB, AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2) 设实数t 满足(AB →—t OC →)·OC →=0，求t 的值.答案：(1) 210 , 4 2 (2) t = —11514. 已知向量OA →=a →, OB →=b →, ∠AOB=60°, 且|a →|=|b →|=4.(1) 求|a →+b →|和|a →—b →|；(2) 求a →+b →与a →的夹角及a →—b →与a →的夹角.答案：(1) |a →+b →|=43, |a →—b →|=4 (2) π6, π315. 向量a →, b →的夹角为45°,且|a →|=4, (12a →+b →)·(2a →—3b →)=12, 求|b →|.答案： |b →| = 216. 在Rt ΔABC 中，AC →=(3,2), BC →=(k , 1)，求k 的值.答案： k = —23 , 或3±132, 或113。
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§6 平面向量数量积的坐标表示, )1．问题导航(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？(3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？2．例题导读P 96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值． 试一试：教材P 99练习T 1你会吗？P 98例2，P 99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程．试一试：教材P 100习题2－6B 组T 6你会吗？P 99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角． 试一试：教材P 100习题2－6A 组T 6你会吗？1．向量数量积的坐标表示向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．简记为“对应相乘计算和”．2．两个向量垂直的坐标表示向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，2)．( )(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.( )(3)若A (1，0)，B (0，－1)，则|AB →|＝ 2.( )解析：(1)错误．直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，－12)．(2)错误．当a ≠0且b ≠0时，向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，即向量夹角公式的适用范围是a ≠0且b ≠0.(3)正确．由两点间的距离公式，得 |AB →|＝（0－1）2＋（－1－0）2＝ 2. 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知向量a ＝(－4，7)，向量b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．34 B ．27 C ．－43 D ．－6解析：选D.因为a ＝(－4，7)，b ＝(5，2)，所以a ·b ＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－20＋14＝－6.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ). 若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3 解析：选B.因为a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π6，所以3＋3m ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π6，所以m ＝ 3.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点P (x ，y )，使得OP →＝a ＝(x ，y )，故|OP →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点P 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，故|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)当a ，b 是坐标形式时，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))求解．3．如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角，但必须注意两者的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而直线夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.设m ，n 分别为直线l 1，l 2(l 1与l 2不重合)的方向向量，θ为m 与n 的夹角，α为l 1与l 2所成的角，则(1)当θ＝0°或180°时，l 1∥l 2，此时α＝0°， (2)当0°<θ≤90°时，l 1与l 2所成的角α＝θ，(3)当90°<θ<180°时，l 1与l 2所成的角α＝180°－θ.平面向量数量积的坐标运算已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)．求： (1)a·b ； (2)(a ＋b )·(2a －b )； (3)(a ·b )c ，a (b ·c )；(4)(a ＋b )2，(a ＋b )·(a －b )． (链接教材P 98例1) [解] (1)a·b ＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17. (2)法一：因为a ＋b ＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)， 2a －b ＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)， 所以(a ＋b )·(2a －b )＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8. 法二：因为a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，所以a 2＝12＋32＝10，b 2＝22＋52＝29，a ·b ＝1×2＋3×5＝17. 所以(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×10＋17－29＝8. (3)(a·b )c ＝17c ＝17(2，1)＝(34，17)， a (b·c )＝a ((2，5)·(2，1))＝9(1，3)＝(9，27)． (4)因为a ＋b ＝(3，8)，所以(a ＋b )2＝|a ＋b |2＝32＋82＝73. 因为a ＝(1，3)，b ＝(2，5)所以a 2＝12＋32＝10，b 2＝22＋52＝29， 所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝10－29＝－19.方法归纳(1)关于数量积的坐标运算，解题时常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算．二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)在正确理解公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2的基础上，熟练运用a 2＝|a |2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2，(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力．1．(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32(2)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()a ＋2b ·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 (3)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)． ①求a·(a －b )； ②求(2a ＋b )·(a －b )．解：(1)选D.因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32，故选D.(2)选C.依题意，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.故选C. (3)①法一：因为a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)， 所以a －b ＝(－4，0)． 所以a ·(a －b )＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.法二：a ·(a －b )＝a 2－a ·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.②因为2a ＋b ＝2(－1，2)＋(3，2)＝(－2，4)＋(3，2)＝(1，6)， a －b ＝(－1，2)－(3，2)＝(－4，0)， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝(1，6)·(－4，0)＝－4.向量的夹角与垂直问题(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2) D ．(－2，2)(2)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ (链接教材P 99例4)[解] (1)选B.当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是(－2，12)∪(12，＋∞)．(2)a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)， 因为(a ＋m b )⊥(a －b )， 所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.本例(1)条件换成“a 与b 的夹角为钝角”，求实数k 的取值范围．解：若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0且a ，b 不反向，由a·b ＝2＋k <0得k <－2，经检验对k <－2的所有值均满足a 与b 的夹角为钝角，即实数k 的取值范围是(－∞，－2)．方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤2．(1)已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，若k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 的值为( ) A ．－1＋ 3 B ．－1－ 3 C ．－1±3 D ．1± 3(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． 解：(1)选C.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)， 所以k a －b ＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1，－1)，所以|k a －b |＝k 2＋（k ＋2）2， |a ＋b |＝12＋（－1）2＝ 2. 所以(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，所以cos 120°＝（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |＝－2k 2＋（k ＋2）2·2＝－12.整理得k 2＋2k －2＝0， 解得k ＝－1±3.(2)当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， 所以2×1＋3×k ＝0，所以k ＝－23；当B ＝90°时，AB →·BC →＝0， BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3) ＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0，所以k ＝113；当C ＝90°时，AC →·BC →＝0， 所以－1＋k (k －3)＝0，所以k ＝3±132.平面向量数量积的综合运用已知△ABC 的顶点分别为A (2，1)，B (3，2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求：(1)D 点的坐标以及|AD →|；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由． (链接教材P 100习题2－6 A 组T 2、T 5) [解] (1)设D 点的坐标为(x ，y )， 由题意可知BC ⊥AD ，又B ，C ，D 三点共线，故BC →∥BD →，因为AD →＝(x －2，y －1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－6）＋（y －1）×（－3）＝0，（y －2）×（－6）－（x －3）×（－3）＝0，解得⎩⎨⎧x ＝95，y ＝75，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－15，25， 所以|AD →|＝⎝⎛⎭⎫－152＋⎝⎛⎭⎫252＝55，所以D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫95，75，|AD →|＝55. (2)因为AC →＝(－5，－2)，AB →＝(1，1)，所以AC →·AB →＝(－5)×1＋(－2)×1＝－7， |AC →|＝（－5）2＋（－2）2＝29， |AB →|＝ 2.所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝－758<0，所以A 为钝角．所以△ABC 为钝角三角形．方法归纳利用平面向量解决平面几何问题时，就是将几何中的平行、垂直、线段的长、夹角等问题转化为求向量的共线，数量积模长及向量的夹角等运算，即将“形”的求解与证明转化为“数”运算问题．解决此类问题的关键就是建立恰当的直角坐标系，使几何中的元素用向量表示．3．(1)已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则λ的取值范围是________．(2)如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形，试用向量的方法证明P A ⊥EF .解：(1)因为a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， 所以|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a·b ＝λ－1.因为a ，b 的夹角θ为钝角，所以⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，所以λ<1且λ≠－1， 所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．故填(－∞，－1)∪(－1，1)． (2)证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系．设正方形的边长为1，|DP →|＝λ，则A (0，1)，P ⎝⎛⎭⎫22λ，22λ，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0，于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.因为P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ·⎝⎛⎭⎫22λ－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ·⎝⎛⎭⎫－22λ＝－22λ·⎝⎛⎭⎫22λ－1＋1－22λ＝－22λ·0＝0，所以P A →⊥EF →，即P A ⊥EF .(本题满分12分)已知OP ＝(2，1)，OA ＝(1，7)，OB ＝(5，1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .[解] (1)因为点C 是直线OP 上一点，所以向量OC →与OP →共线，2分 设OC →＝tOP →，则OC →＝(2t ，t )． CA →＝OA →－OC →＝(1－2t ，7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t ，1－t )，4分 CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，6分当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4，2)． 8分(2)当OC →＝(4，2)时， CA →＝(－3，5)，CB →＝(1，－1)，所以|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－8，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.12分[规范与警示] (1)在处，由向量OC →与OP →共线建立关系式OC →＝tOP →，是正确解答本题的关键，易因想不到此关系造成失分．在处，利用向量的线性运算得到CA →，CB →的坐标，是正确建立数量积“CA →·CB →”的函数关系的关键，也是失分点．(2)①注意隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C 是直线OP 上的一点”隐含着“向量OC →与OP →共线”．②注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )，若a ·b ＝3，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3解析：选D.根据平面向量坐标下的运算法则，可知a ·b ＝2×3＋(－1)x ＝6－x ＝3，求解方程可以得到x ＝3，故选D.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．4 解析：选A.由题意得(2a －b )·b ＝(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，|a |＝1＋3＝2.3．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3，3)，2b －a ＝(－1，1)，则cos θ＝________．解析：b ＝(1，2)，cos θ＝3×1＋3×232×5＝31010.答案：310104．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2，1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t ＝________． 解析：因为a ＝(4，－3)，b ＝(2，1)， 所以a ＋t b ＝(2t ＋4，t －3)，所以(a ＋t b )·b ＝5t ＋5，又因为|a ＋t b |＝（2t ＋4）2＋（t －3）2＝5t 2＋10t ＋25， |b |＝5，且(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，所以5t ＋5＝5t 2＋10t ＋25×5×22，整理得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3， 经检验知t ＝－3不成立，故t ＝1. 答案：1[A.基础达标]1．设向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝12C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b 解析：选C.因为a ＝(2，0)，b ＝(1，1)， 所以|a |＝2，|b |＝2，故|a |≠|b |，A 错误； a·b ＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故B 错误；因为a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a －b )⊥b ，故C 正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a 与b 不共线，故D 错误．2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152解析：选C.因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.3．若a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C.x 应满足(x ，2)·(－3，5)<0且a ，b 不共线，解得x >103且x ≠－65，所以x >103.4．如图是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图像，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，结合图像可得x ＝3，即B (3，1)，令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，结合图像可得x ＝2，即A (2，0)，从而OB →＝(3，1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( ) A.3，1 B ．1， 3 C ．－1， 3 D ．－3，1解析：选D.因为∠AOC ＝5π6，所以∠BOC ＝5π6－π2＝π3.因为OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，所以OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|cos π3，即μ＝2×12＝1.所以λ＝－3，μ＝1，故选D.6．已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影为________．解析：因为AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝22＋12＝ 5.所以向量CD →在AB →方向上的投影为|CD →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案：3 57．若M (2，0)，N (0，2)，且点P 满足MP →＝12MN →，O 为坐标原点，则OM →·OP →＝________．解析：设P (x ，y )，由MP →＝12MN →，得(x －2，y )＝12(－2，2)＝(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以OM →·OP →＝(2，0)·(1，1)＝2. 答案：28．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)， 所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )， 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 29．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－6，4)．(1)当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ (2)当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 垂直？解：因为a ＝(2，4)，b ＝(－6，4)，所以k a ＋b ＝k (2，4)＋(－6，4)＝(2k －6，4k ＋4)，a －3b ＝(2，4)－3(－6，4)＝(20，－8)．(1)因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以－8(2k －6)＝20(4k ＋4)，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝(－203，83)，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且它们是反向的．(2)因为k a ＋b 与a －3b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(2k －6，4k ＋4)·(20，－8)＝0，即40k －120－32k －32＝0，解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．10．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值．解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)，所以AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)，因为|AC →|＝|BC →|，所以（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ.因为cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)，所以tanθ＝12.(2)因为OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，所以OA →＋2OB →＝(1，2)，因为(OA →＋2OB →)·OC →＝1， 所以2sin θ＋2cos θ＝1，所以sin θ＋cos θ＝12.[B.能力提升]1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5C ．5D ．10解析：选C.因为AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC →⊥BD →，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →＝( ) A ．－23 B ．－12C ．－13D ．－16解析：选B.法一：如图，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (0，0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫13，0，E ⎝⎛⎭⎫34，34， CD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，BE →＝⎝⎛⎭⎫34，34， CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫34，34＝－16×34－32×34＝－18－38＝－12. 法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，则|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°.BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，CD →＝AD →－AC →＝23a －b ， 所以BE →·CD →＝(12b －a )·(23a －b ) ＝－23a 2－12b 2＋43a ·b ＝－23－12＋43×cos 60° ＝－12. 3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．解析：因为向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.答案：24．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE＝λBC ，DF ＝μDC ，若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________． 解析：以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF→＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1)．因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13. 因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)，AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF→＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56. 答案：565．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使m ＝a ＋(t 2－3)b ，n ＝k a ＋t b ，且m ⊥n ，试求k ＋t 2t的最大值． 解：因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32， 所以m ＝a ＋(t 2－3)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋t 2－32，－1＋3t 2－332，n ＝k a ＋t b ＝⎝⎛⎭⎫3k ＋12t ，－k ＋32t ， 又m ⊥n ，所以m·n ＝0，即⎝⎛⎫3＋t 2－32⎝⎛⎭⎫3k ＋12t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3t 2－332·⎝⎛⎭⎫－k ＋32t ＝0， 所以4k ＋t (t 2－3)＝0，所以k ＝t （3－t 2）4， 所以k ＋t 2t ＝3－t 24＋t ＝14(－t 2＋4t ＋3) ＝－14(t －2)2＋74， 故当t ＝2时，k ＋t 2t 有最大值74. 6．(选做题)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)，(1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线． (2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359. 所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359.。