圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数

y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x

0 , y

) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴

上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式∆= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

类型一

导数法求抛物线切线

例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y=

x

4

（1）求直线A B的斜率；

上两点，A与B的横坐标之和为 4．

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程．

类型二椭圆的切线问题

2

5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2

+ = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ，

b 2

离心率为

. 3

（1） 求椭圆 C 的标准方程；

（2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨

迹方程.

类型三 直线与椭圆的一个交点

例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2

y 2

b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0,

2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直

线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3)

∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2

且a 2 = b 2 + c 2

P ( 2，3) . 2 2

0 0 0 0 又

0 0 ，

y ∴ a 2 = 2

=

2

=

x 2 + y 2 = 8 b 4

（2）

c

4 椭圆 C 的方程是

8 4

由题意，各点的坐标如上图所示，

则QG 的直线方程： y - 0 =

x - 8

x 0

0 x 0 - 0

化简得 x y x - (x 2

- 8) y - 8y = 0

x 2 + 2 y 2

= 8

x 2 所以 x 0 x + 2 y 0 y - 8 = 0 带入 8

求得最后∆ = 0

+ y 2

=

4 所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题

例 4 【2013 年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F (0, c )(c > 0) 到直线

l : x - y - 2 = 0 的距离为

．设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线

2 PA , PB ，其中 A , B 为切点．

(1) 求抛物线C 的方程；

(2) 当点 P (

x 0 , y 0 ) 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3) 当点 P 在直线l 上移动时，求 AF ⋅ BF 的最小值．

1 3

2 8 x 1

0 0 0 (

（3）

由抛物线的定义可知 AF

= y 1

+ 1, BF = y 2 + 1 ，

所 以 AF ⋅ BF ⎧x 2 = 4 y

= ( y 1 + 1)(

y 2 + 1) = y 1 + y 2 + y 1 y 2 + 1 联立⎨ ⎩ x 0 x - 2 y - 2 y 0 ，消去 x 得 y 2 + 2 y = 0

- x 2 ) y + y 2 = 0 ，

∴ y + y = x 2 - 2y , y y = y 2

1

2

1 2

x 0 - y 0 - 2 = 0

∴ AF ⋅ BF = y 2 - 2y + x 2 + 1=y 2

- 2y + (y + 2 )2

+ 1

=2 y 2

+ 2 y +5=2 ⎛

y + 1 ⎫2

9 2 ⎪ + 2 ⎝ ⎭

1 9

∴当 y 0 = - 2 时， AF ⋅ BF 取得最小值为 2

0 0