直线投影基本知识

（2）投影面平行线
水平线— 平行于水平投影面的直线 z
Z
a
b
a
b
a
A X
b

a

X
O
B
YW
O
b
a

a b
Y
b
YH
投影特性：1． ab =AB 2． ab∥OX ; ab∥OZ ，且长度缩短 3．反映a、角的真实大小
（2）投影面平行线
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z b a Z
确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需 知道直线上两个点的投影，再连线即可。
a'
Z a"
b' X a b
O
b" YW
如图所示，分别将两 点的同面投影用直线连接， 就得到直线的投影。
YH
直线的投影仍为直线， 特殊情况下为一点。
a b c(d)

直线的投影特性：
B C E
D
A b c d F
实长 Y H
[例] 如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V 的倾角α、β。
△y=ab
a'
△z
a'
α
β
b' X b O X
b' O b
a
a
例：已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的投影。
b' c'
a' X
O
a
c
b
2 已知直线的真长和倾角求解有关定位和度量问题
[例] 如图所示，已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、 W的倾角β、γ，并在CD上取一点T，T与C的真实距离为10mm，作 点T的两面投影。
（1）两直线平行
平行两直线的同面投影均分别互相平行。
d' V a' X A a P H c' b' B d' c' D a'
Z
b"
d"
c"
a"
b'
O b d a c
C
b c 直观图
Q
O d
X
YW
YH 投影图
例1：判断图中两条直线是否平行。
b' d'
a' c' X
a b c d
O
对于一般位置直线，只 要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。
2.2.2 直线上的点的投影特性
可以证明： 直线上的点的水平投影，必在该 直线的水平投影上；
直线上的点的正面投影，必在该 直线的正面投影上； 直线上的点的侧面投影，必在该 直线的侧面投影上。
几何形体在同一个投影面上的投影称为同面投影。
直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影， 必在直线的同面投影上。即具有从属性。 若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点 必不在此直线上。
V
d'
b' Z
d" t' c'
△x
Z d' d" t"
△y
a' A X α c' a H
T t1 t
O
B O c" b1 b
c"
O
[例] 如图所示，已知直线EF的水平投影ef和端点E的 正面投影e'，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影 e'f'，同时，请回答这个题目有几解。
e'
f'
e'
X
O X
e f e
f'
O
思考题：若将已知条件实长换成 α=30°，则如何解题？
f 答：有 两 解
f0
2.2.4 两直线的相对位置 两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。 平行两直线和相交两直线分别位于同一平面 上，是共面直线；交叉两直线彼此既不平行，又 不相交，它们不在同一平面上，又称为异面直线。
投影面平行线的投影特性：
①在平行的投影面上的投影，反映直线的真长以及 对另外两个投影面的倾角。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影 轴，长度缩短。
例1：判断下列直线的空间位置。
a' b' a' b' X b b a O X
a
O
AB为水平线
CD为侧平线
例2：参考立体图，判断物体上的直线是属于哪一类 直线。
YH
（3）投影面垂直线
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线 Z a b ab X A O a b B a b Z
ab
X
O
YW
a
b
Y
YH
投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
（3）投影面垂直线
正 垂 线 铅 垂 线 侧 垂 线
空间直观图
投影图
投影特性
1. a'b'积聚成一点 2. ab∥OYH ， a"b"∥ OYW，且反映真长
1. ab积聚成一点 1. a"b"积聚成一点 2. a'b'∥OZ，a"b"∥OZ， 2. ab∥OX，a'b'∥OX， 且反映真长 且反映真长
投影面垂直线的投影特性： ①在垂直的投影面上的投影积聚成一点。
V b' B a' X c' α C b H a α Z O X a'
b'
Z
O b Z
A
α a
实长
直角三角形ABC中： 直角边AC=ab 直角边BC=bc=Z 斜边AB=AB实长 α角：ab与实长AB的夹角
AB实长 α ab Z
求一般位置直线的实长及其与V面的夹角β
V 实长 b'
b'
[解]分析:直线AB是侧平线，对V、H两面体系，侧 平线是特殊直线。
a' c' d' b' X a c d b O
X
Z V
a' c'
A C D
a" c"
W
d' b'
a
B
O
d" b"
c
d b
Y
（1）检验方法一（补第三投影） （2）检验方法二（直线上点的第二个投影特性）
a" a' c' d' b' X a c c 0 d d0 b0 b O
B
β
a'
X Y a A
β O X
Y
a' O b
b
H Y a
求一般位置直线的实长及其与W面的夹角γ
Z V b' b' Z X
b" γ
实长 a" YW
B
a' X
X
b"
γ O b
W
a' X
X b Y a YH O
A a
a"
H
实长 Y a'
β
b'
Z
X
b"
γ O
实长
a"
YW
X
α b a
Z
b'(d') c'(a') e' a c(e) d(f) b" a" c" e" f" d" B D
f'
b
A
C E F
AB为 EF为
正 平
线 线
CD为 一般位置直 线
水 平
（3）投影面垂直线
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
Z a A b a
a
b X
Z
a
b
X
O
O
B a(b)
YW
b Y a(b) YH
Z
Z
a'
b'
b"
a"
a'
c'
b'
b"
c"
a"
10 b0
c0
O
O
2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角
1 求线段的真长及其对投影面的倾角 特殊位置直线在投影图中能直接反映直线的真长及其 对投影面的倾角。 一般位置直线在投影图中不能直接反映其真实长度及 其对投影面的倾角。
可用直角三角形法作出倾斜线的实长及其与投影面的 夹角。
X
O
因 ak/kb不等于a'k'/k'b'， 故点K不在AB上。
a
b
k●
[例1] 如图所示，已知直线AB，在AB上取点C和D， 点C距H面10mm，点D分割AB成AD:DB=3:1，作点C和D 的两面投影。
b' d' c' b'
X
a b
O
X
a 1 2 3 4 c d b
10
a'
a'
O
[例2] 如图所示，已知直线AB以及点C、D，检验点C、 D是否在直线AB上。
2.2 直线的投影
本节提要： （1）直线的投影以及直线对投影面的各种相对 位置 （2）直线上的点的投影特性
（3）求直线的真长及其对投影面的倾角
（4）两直线的相对位置 （5）两直线垂直
2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置
1 直线的投影
B
直线可视为点的集合，
A a H b
所以直线的投影就是点的投 影的集合。
V d' C A a c d b'
c'
a'
B
D b H
直线上的点的第二个投影特性：若直线不垂直于投影 面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分 割直线段同面投影的长度比相等。即具有定比性。
DF df d f EF ef ef
d f ef
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以 在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
b
b a O YW

B a b a X

X
A

O
a
b
Y
a
b YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小
（2）投影面平行线
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z a A a X b a Z a

O
a b B b Y b YH
c"
d" b"
X
例：已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b c X a
cb ac O X
V
b c a A a c b H C O
B
b
c a
[例] 如图所示，已知直线AB，并知直线AB上的点C 距离侧面W10mm，作点C的两面投影。
[解]分析:直线AB是水平线，对V、W两面体系，水平 线是特殊直线。
a'
b'
X
a b
O
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
例3:过点A向右上方作一正平线AB，使其实长为25， 与H面的倾角=30°。
Z b'
a'
30°
b" a"
解题思路：熟悉正平 线的投影特性，并从 反映实长和的投影 源自文库手。
YW
X
O
a
b YH
作图要点:１.做正平 线的正面投影； ２.过点a做正平线的 水平投影和侧面投影。
如何检验点是否在直线上。 检验方法： （1）在三面体系中：用直线上的点的第一个投影特性 检验。 Z
a' c' d' b' X a c d b YH a" c" d" b" YW
O
C点在直线AB上， D点不在直线AB上。
（2）在两面体系中：
①将两面体系扩展成三面体系，用直线上的点的第一 个投影特性就可检验。 Z
②在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反 映真长。
例1：根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a b X
a
Z
O b c d
侧 平 线
a b
X
a
O YH Z b YW
铅 垂 线
X
c
O d
侧 垂 线
c X
d O YH
c
d
YW
水 平 线
例2：已知AB为水平线，补画a'b'。
b
b
X

a
O
YW
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大小
（2）投影面平行线
正 平 线 水 平 线 侧 平 线
空间 直观图
投影图
投影 特性
1. a"b"反映真长和倾 1. a'b'反映真长和倾角α、γ 1. ab反映真长和倾角β、γ 角α、β 2. ab∥OX，a"b"∥OZ，且 2. a'b'∥OX， a"b"∥ 2. ab∥OYH， a'b'∥ 长度缩短 OYW，且长度缩短 OZ，且长度缩短
β γ
A
A0 α
α
α
直线平行于投影面时，倾角为0°，垂直于投影面时， 倾角为90 °，倾斜于投影面时，倾角为0~90°。
（1）一般位置直线
Z b B X a b Z
a
b
X

O A a
a
b
O
b YW

b
a Y a YH
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、不直接反映直线对投影面的倾角
V
a
k●
b
Z
a
●
a' c' d' b'
A C D
a
"c " B O W
k
b YW
X
d
" b " Y
X
O
a
c
a
b
d
k●
b
YH
因k不在ab上， 故点K不在AB上。
②先用直线上的点的第一个投影特性检验点是否在直 线上，如果无法检验，再用直线上的点的第二个投影特性 进行检验。
a
k●
b
投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、 a bOX ; a b OYW 3、 a b = a b = AB
（3）投影面垂直线
正垂线— 垂直于正面投影面的直线 Z z ab A a a b
ab
X a b
B O
b
X
O
YW
a
Y
b
投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
①垂直于投影面的直 线在该投影面上的投影， 积聚成一点（积聚性）。 ②平行于投影面的直 线在该投影面上的投影， 与直线本身平行且等长。
a
③倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影，短于直 线的真长。
2 直线对投影面的各种相对位置
一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜
水平线（∥H面，对V、W面都倾斜） 投影面平行线 正平线（∥V面，对H、W面都倾斜） （只平行于一个投影面） 侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜） 投影面垂直线 （垂直于一个投影面， 正垂线（⊥V 面，∥ H面，∥ W面） 平行于另外两个投影面） 侧垂线（⊥W 面，∥ H面，∥ V面） 铅垂线（⊥H面，∥ V面，∥ W面）
直线
平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 特殊位 垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。 置直线
直线与投影面的夹角是指空间直线与它在该投影面上 的正投影的夹角。直线对H、V、W面的倾角，分别用α、β、 γ表示。
B V b' B a' B0 a b A H H a b" W O b a"