求复合函数的值域
复合函数求值
复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。
如y ；()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。
2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。
渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域，24t x x =-，且04x <<， 易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y 的值域．【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】3⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =+（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥， ∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =的值域为 （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥， ∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x Q ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e Q -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，Q 抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y=-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ，值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩．【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤ 值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根 ∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】Q 函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y =的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高中数学复合函数求导公式及法则
高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。
设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。
复合函数求值域方法总结
复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。
如y ()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。
2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。
x)()0,.+∞)(2,abab +∞,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和奇偶性：奇函数，其图像关于原点中心对称渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域， 24t x x =-，且04x <<，易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥，∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =+ （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥，∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y =-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g 1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ， 值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩． 【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y 的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。
求函数值域的几种常见方法
求函数值域的几种常见方法函数的值域可以定义为函数的输出或结果的集合。
确定一个函数的值域有几种常见的方法，包括图像法、符号法和算法法。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
要使用图像法确定函数的值域，需要遵循以下步骤：1.根据函数的定义确定函数的自变量的取值范围。
通常需要考虑定义域和边界条件。
2.绘制函数的图像。
可以使用图表、软件或手工绘制。
3.根据图像确定函数的值域。
值域是函数图像上所有可能的输出值的集合。
可以观察图像找出最大值、最小值和其他可能的取值。
注意：图像法仅适用于可视化的函数。
对于复杂函数，可能需要使用其他方法来确定值域。
二、符号法符号法是利用函数的数学特性和符号来确定函数的值域。
符号法可以分为以下几种情况：1.对于代数函数，可以通过感性地观察含有未知数的表达式中的符号来确定函数的值域。
例如，对于一个二次函数，通过观察二次项系数的符号可以确定函数的开口方向和最值的取值。
2.对于三角函数，可以使用周期性和界限来确定函数的值域。
例如，对于正弦函数，它的值域在[-1,1]之间。
3.对于指数函数和对数函数，可以使用指数和对数的性质来确定函数的值域。
例如，指数函数的值域在(0,+∞)，对数函数的值域在(-∞,+∞)。
三、算法法算法法是通过算法或计算来确定函数的值域。
算法法常用于分段函数、复合函数和隐函数等情况。
以下是一些常见的算法法：1.对于分段函数，可以将定义域分成若干个区间，然后通过分析每个区间的函数表达式来确定函数的值域。
2.对于复合函数，可以从内层函数开始，将结果代入外层函数，逐步计算并确定函数的值域。
3.对于隐函数，可以通过假设一组函数值，然后解方程组，将解代入隐函数表达式来确定函数的值域。
注意：算法法可能需要进行大量的计算和推理，适用于复杂函数，但可能会带来较高的计算复杂性。
同时，算法法可能无法找到确切的值域，只能给出一个估计或范围。
总结：函数的值域可以通过图像法、符号法和算法法来确定。
高中数学-复合函数的值域
巩固训练
已知函数 f (x) loga[ax2 (3a 1)x 3] 的值域为 R ，求 a 的取值
课后作业
1、已知函数 f (x) x2 2 tan x 1, x [1, 3], ，当 时，求函数 f(x)的最大值与最小值 6
2、求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1]上的最大值 3、已知函数 f (x) ax2 2ax 1在区间[3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值
【变式训练】
1、已知函数 f（x）=log 2
x x
2 2
,
g
(
x)
log
2
(
x
2)
log
2
(
p
x),且
p＞2，设
F
(
x)
f (x) g(x)
（1）求 F(x) 的定义域
（2）求 F(x) 的值域
例 2、（耐克函数）求函数 f (x) x2 x a (a 0), x [1, 2] 的值域 x
4、 已知函数 y sin2 x a sin x a 1 的最大值为 2 ，求 a 的值 42
（2）求函数 y log 2 x log x (2x) 的值
例
3、（其它函数复合）求函数
y
x2
1 x2
2x
2 x
4(x
பைடு நூலகம்
1) 的值域 2
【变式训练】
已知函数 y＝(ex－3)2＋(e－x－3)2(a∈R，a≠0)，求函数 y 的最小值
【方法总结】 1、复合函数值域（最值）的求法一般用换元法，但换元时要注意中间变量的取值范围，换元后求新的函数的值域（最 值）即可 2、复合函数值域（最值）的考察一般分为两种：指、对数函数复合和其他函数复合，前一种为重点
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
例 1．求函数y x1的值域。
【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。
【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。
③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。
4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。
形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。
【分析】y x24x 2( x2)2 6 。
∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。
∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。
例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。
【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。
说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。
例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。
【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。
利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。
求解复合函数
求解复合函数复合函数是数学中的重要概念，它在求解问题和解决数学难题中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨什么是复合函数，以及如何求解复合函数。
一、什么是复合函数复合函数是由两个或多个函数构成的函数。
如果有两个函数f和g，其中g的定义域包含了f的值域，那么复合函数可以表示为f(g(x))。
这意味着首先对自变量x进行函数g的变换，然后将结果作为函数f的自变量，进而得到最后的结果。
例如，我们有两个函数f(x) = x + 1和g(x) = 2x。
那么它们的复合函数可以表示为f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1。
二、求解复合函数的步骤下面将介绍求解复合函数的具体步骤。
1. 确定两个函数的表达式：首先，需要明确给定的两个函数的表达式，如f(x)和g(x)。
2. 确定函数的定义域和值域：确定函数f和g的定义域和值域，以确保复合函数的合法性。
3. 求解复合函数：将函数g的表达式代入函数f中，并将自变量x替换为函数g(x)的表达式。
然后，进行必要的运算化简。
举个例子来说明，设函数f(x) = x^2，函数g(x) = 2x + 1。
我们来求解复合函数f(g(x))。
首先，将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x)) = (2x + 1)^2。
然后，进行运算化简，展开方程并合并项，得到f(g(x)) = 4x^2 + 4x + 1。
三、实际问题中的应用复合函数在数学问题和实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 组合投资问题：假设有两个投资策略，其中一个策略的收益率是另一个策略的投资金额。
那么可以使用复合函数来计算最终的总收益。
2. 微积分中的链式法则：链式法则是对复合函数求导的一种常用方法。
它在微积分中的应用非常广泛，涉及到函数的导数和复合函数的求导。
3. 经济学中的供求关系：经济学中常常使用复合函数来描述供求关系。
例如，总供给是个体供给的总和，可以表示为复合函数。
四、总结本文简要介绍了复合函数的概念和求解步骤，并探讨了复合函数在数学和实际应用中的重要性。
高一数学复合函数专题
结论:
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，应由不 等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为 [a,b],求原函数f(x)的定义域,应
求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得
y=f(x)的定义域.
三、复合函数的值域
例：求下列函数的定义域、值域： ⑴
则y=f[g(x)] 增函数 增函数
规律：
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减”
设 y 3 ,u=x2－2x－1,由u∈R, 得原复合函数的定义域为x∈R. u y 3 因为 在定义域R内为增函数， 所以由二次函数u=x2－2x－1的单调性易知 u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减， 由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u减) 解得x≤1.所以(－∞，1］是该复合函数的单 调减区间. 同理［1，+∞)是该复合函数的单调增区间. 解:
三、复合函数的单调性
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减” 四、复合函数的奇偶性 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇 奇＋偶＝（不确定）
六、总结
一、求复合函数的定义域
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定 义域,应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数f(x)的定 义域,应求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得f(x)的定义域.
二、求复合函数的值域
结论:
复合函数的单调性、定义域与值域
复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。
求复合函数
求复合函数
摘要：
1.复合函数的定义
2.复合函数的性质
3.复合函数的求解方法
4.复合函数的应用举例
正文：
1.复合函数的定义
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而构成的新函数。
复合函数可以表示为f(g(x))，其中f 和g 是两个函数，x 是自变量。
例如，如果f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，那么复合函数f(g(x)) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1。
2.复合函数的性质
复合函数具有以下性质：
- 复合函数的定义域是原函数g 的值域，即g(x) 的取值范围；
- 复合函数的值域是原函数f 的值域，即f(x) 的取值范围；
- 复合函数的导数可以通过链式法则求解，即f"(g(x)) * g"(x)；
- 复合函数的奇偶性、周期性等性质可以通过原函数f 和g 的性质推导得到。
3.复合函数的求解方法
求解复合函数的方法有多种，常见的有以下几种：
- 直接代入法：将复合函数f(g(x)) 中的g(x) 用具体的数值代替，然后计算f(g(x)) 的值；
- 换元法：令u = g(x)，将复合函数转化为关于u 的函数f(u)，然后求解f(u)，最后用u = g(x) 代回原变量x；
- 链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，然后通过积分求解原函数。
4.复合函数的应用举例
复合函数在数学、物理、经济学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，物体的位移可以看作是时间的函数，而速度可以看作是位移的函数，这样就构成了一个复合函数。
在经济学中，复合函数可以用来描述生产、消费等过程。
函数的复合过程复合函数怎么求
函数的复合过程复合函数怎么求首先，我们来介绍函数的复合过程。
所谓函数的复合过程，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合过程为：(g◦f)(x)=g(f(x))其中，符号“◦”表示函数的复合。
在复合过程中，先对x进行f(x)的运算，得到一个值，然后把这个值作为g(x)的输入，再进行g(x)的运算，得到最终的输出。
接下来，我们来介绍复合函数的概念。
所谓复合函数，就是将一个函数作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合函数为：(g◦f)(x)=g(f(x))与函数的复合过程不同的是，复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
接下来，我们来讨论如何求解函数的复合过程和复合函数。
在求解复合过程时，需要先将一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后对输入进行运算得到输出。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：首先要明确每个函数的定义域和值域，这样才能确定函数的复合过程是否有意义。
2.确定复合过程的具体形式：根据需要求解的问题，确定函数的复合过程的具体形式，即确定哪个函数的输出将作为另一个函数的输入。
3.进行复合运算：根据复合过程的具体形式，进行相应的运算。
先对输入进行第一个函数的运算，得到一个值，然后把这个值作为第二个函数的输入，再进行第二个函数的运算，得到最终的结果。
求解复合函数的步骤也类似，但是需要注意复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：同样需要明确每个函数的定义域和值域，以确定复合函数的定义域和值域。
2.确定复合函数的具体形式：根据需要求解的问题，确定复合函数的具体形式。
值域例题及其解答
1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．考点：函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。
1457182专题：计算题。
分析：由可求A，由可求B可求解答：解：由题意可得∴A=[2，+∞），∵∴B=（1，+∞），C R A=（﹣∞，2），C R B=（﹣∞，1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2，+∞）∴（C R A）∩（C R B）=（﹣∞，1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．考点：函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。
1457182专题：计算题。
分析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）在（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．解答：解：（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x==2，∴b=﹣4，函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3，解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：1和3满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数所以函数在x=2时，有最小值为﹣1，最大值小于f（0）=3因而函数在区间（0，3]上的值域的为[﹣1，3）．点评：本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．3．求函数的值域：．考点：函数的值域。
反表示法求值域例题
反表示法求值域例题摘要：一、反表示法求值域概念介绍1.反表示法定义2.求值域方法概述二、反表示法求值域例题解析1.例题一：求解反表示法中的值域问题2.例题二：利用反表示法求解复合函数的值域问题3.例题三：涉及反表示法的不等式求解问题三、反表示法求值域在实际问题中的应用1.数学问题中的应用2.实际问题中的应用正文：一、反表示法求值域概念介绍反表示法，作为一种数学方法，广泛应用于求解函数的值域问题。
它通过对函数进行分析，将函数的定义域映射到值域，从而得到函数的值域。
求值域的方法有很多，如图像法、解析法等，而反表示法则是一种较为直观且易于操作的方法。
首先，我们需要了解什么是反表示法。
反表示法，是指通过将函数的定义域与值域互换，从而得到函数的反函数。
在这个过程中，我们可以通过对原函数进行分析，得到其反函数的解析式，进而求得原函数的值域。
二、反表示法求值域例题解析1.例题一：求解反表示法中的值域问题假设我们有一个函数f(x)，其定义域为[0, +∞)，值域为[0, 1]。
现要求解该函数的值域问题，我们可以采用反表示法。
首先，根据反表示法的定义，我们需要求出该函数的反函数。
设反函数为f^(-1)(x)，则有：y = f(x)x = f^(-1)(y)将x 和y 互换，得到：x = f^(-1)(y)y = f(x)接下来，我们需要求解反函数f^(-1)(x) 的定义域，即原函数f(x) 的值域。
由题意可知，f(x) 的值域为[0, 1]。
因此，反表示法求解该函数的值域为[0, 1]。
2.例题二：利用反表示法求解复合函数的值域问题设函数g(x) = f(2x + 1)，其中f(x) 的定义域为[-1, 1]，值域为[0, 2]。
要求解g(x) 的值域，我们可以采用反表示法。
首先，我们需要求出g(x) 的反函数。
设反函数为g^(-1)(x)，则有：y = g(x)x = g^(-1)(y)将x 和y 互换，得到：x = g^(-1)(y)y = g(x)接下来，我们需要求解反函数g^(-1)(x) 的定义域，即原函数g(x) 的值域。