2-7 向量组的线性相关性(第八次)
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
线性相关性基本定理
这与 α1，α2，…，αm 线性无关矛盾，此矛盾说明 km+1 ≠ 0 。 从而有 km k1 k2 1 2 m km 1 km 1 km 1
再证表示式的唯一性。设有两个表示式
β =λ1 α1 + λ2α2 + … + λmαm
β = k1α1 + k2α2 + … + kmαm
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
不妨设 k1 ≠ 0，从而有
k3 km k2 1 2 3 m k1 k1 k1
即 α1能由其余的 m-1个向量线性表示。
例2
设 αT = ( a1 , a2 , … , an ) , e1T = ( 1, 0, … , 0 ),
例1 n 维向量组
1 0 0 0 1 0 e1 ,e2 , ,en 0 0 1
称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。
显然，α1，α2，α3 线性无关，所以齐次线性方程组
x1α1 + x2α2 + x3α = 0
仅有零解。
二、线性相关性的判定
定理4 向量组 α1，α2，… ，αm线性相关的充分必要条 件是它所构成矩阵 A = ( α1，α2，… ，αm ) 的秩小于向量个 数 m；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) = m。
e2T = ( 0, 1, … ,0 ),… ,enT= ( 0, 0, …, 1) , 讨论向量组的线性 相关性。 解 显然
αT = a1e1T +a2e2T + … + anenT
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
向量组的线性相关性
所以向量组 b1 ,b2 ,b3
2013年6月14日6时11分
线性无关.
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证三： 令A (a1 , a2 , a3 ), B (b1 , b2 , b3 ), B AK 令Bx 0, 即AKx 0 1 0 1 1 1 0 , Kx 0 K 因a1 , a2 , a3 线性无关
k1a1 k2a2 kmam 0 则称向量组 A 是线性相关的. ()
设有向量组
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 才能使(＊)式成立， k1 k2 L L km 0 时， 则称向量组 A 是线性无关的.
2013年6月14日6时11分
说明：
线性相关
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
2013年6月14日6时11分
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
有非零解.
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证二：令A (a1 , a2 , a3 ), B ( b1 , b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R( B) R( AK ) R( A) 3,
K 2, R( K ) 3, x 0
线性代数习题答案第四章
线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。
本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。
一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。
定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。
定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。
根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。
2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。
3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用一、引言向量(linear vector)是线性代数中一个重要的概念。
在物理、数学以及经济等领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨向量的线性相关性及其应用，为读者展开一个全新的世界。
二、向量的定义与线性相关性向量通常由对应的有序数列表示，例如：$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3,...,v_n)$，其中$n$为该向量的维度。
在这里我们着重介绍三维向量的线性相关性。
定义：给定向量空间$V$中的$n$个向量$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$，如果存在一组不全为0的系数$c_1,c_2,...,c_n$使$$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+...+c_n\vec{v_n}=\vec{0}$$则称$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$是线性相关的，否则称它们是线性无关的。
三、线性相关性的判断接下来我们将介绍两种判断线性相关性的方法1.行列式判断法判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，先将三个向量组成一个矩阵：$$ A =\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}$$计算矩阵$A$的行列式$\mid A\mid$，如果$\mid A\mid=0$，则三个向量线性相关，否则线性无关。
2.列向量线性组合法该方法适用于任意维度的向量$V$中，以三维向量为例，判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，可以先将它们写成列向量的形式：$$\vec{v_1}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\vec{v_2}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix},\vec{v_3}=\begin{bmatrix}a_3\\b_3\\c_3\end{bmatrix}$$然后设有一组不全为0的系数$d_1,d_2,d_3$，满足$$d_1\vec{v_1}+d_2\vec{v_2}+d_3\vec{v_3}=\vec{0}$$则可以写出下列线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3&=0\\b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3&=0\\c_1d_1+c_2d_2+c_3d_3&=0\end{aligned}\right.$$如果方程组有一组不全为0的解，则三维向量$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$线性相关，否则线性无关。
向量相关性的几种证明方法
目 录
开 题 报 告 1
Several Proof Methods of Vector Relevance 2
Key words: Linear correlation; Linear independence; Proof method 2
日 期：2019年3月22日
曲靖师范学院教务处制
向量相关性的几种证明方法
摘 要
向量线性相关性在高等代数以及相关数学领域是一块重要的学习内容，其反映的是数域P上的n维向量空间中向量的关系，与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换等有着十分紧密的联系。其中证明向量线性相关性难度较大，向量组线性相关性的概念相对于是比较抽象的，所以在证明的时候容易出现命题混淆的情况，证明其线性相关性的方法也有多种，虽然方法各有不同，但是都是归于其线性相关性。证明其中向量组线性相关性的时候，首先要从理解线性相关和线性无关的概念下手，才能进一步掌握向量组线性相关，线性无关的相关性质和证明方法。在这篇文章中我主要阐述了证明向量组线性相关性的几种常用方法，线性相关的定义，矩阵的秩等，列出多个例子来归纳并阐述上述方法。
附件3
曲靖师范学院本科毕业论文（设计）
开 题 报 告
论文题目：向量线性相关性的几种证明方法
作 者：李苏蓉 学号：2015111112
学 院：数学与统计学院 年级：2015级
学 科：理工科 专业：数学与应用数学
指导教师：李国发 职称：
向量组之间的等价由以下性质：
关键词：线性相关；线性无关；证明方法
Several Proof Methods of Vector Relevance
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。
向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。
文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。
同时给出了线性相关性的一些应用。
关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。
在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。
所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。
特别地,零向量是任一向量组的线性组合。
于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。
即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。
定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。
具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。
向量组线性相关的几种证明方法
郑州航空工业管理学院毕业论文设计2011届数学与应用数学专业0711061 班题目向量组线性相关的几种证明方法姓名王守玉学号071106128 指导教师刘燕职称讲师2011 年 4 月19 日内容提要向量组的线性相关性在线性代数中是一块基石在它的基础上我们可以推导和衍生出其他许多理论.所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法可以帮助我们更好的理解其他理论知识.本文从介绍向量组线性相关性的定义着手论述了若干种判定证明向量组线性相关的方法例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组的线性相关性的判定并比较了不同判定方法的适用条件及范围. 向量组线性相关性的证明理论作为数学知识中的基础理论在现实世界中有着深入的广泛应用.所以熟练地掌握向量组线性相关性的证明方法是很重要的. 关键词向量组线性相关行列式判定方法矩阵线性方程组等. Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group AuthorWang shou yu The guidance of teachersLiu yan Abstract The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstonethe basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method helps us to better understand the other theories.This article from the Vector Groupintroduced the definition of a linear correlation to proceedand discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For examplethe definition of the use of linear correlationthe value of the determinantrank of matrixhomogeneous solution of linear equations applied to vector groupssuch as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application. Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theoryin the real world with extensive use of depth.So it is very important to hold the methods for judging the related linearity of vectors group masterly. Key wordsVectors group Related dependence Determinant Judging method Matrix Solution of system of linear equations 目录第一章绪论……………………………………………………………1 第二章向量组线性相关性的定义及性质.…………………………2 第三章向量组线性相关性的证明方法…….……….………………6 3.1 利用定义法证明..………….……….…….……………….…6 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明………….……………6 3.3 利用齐次线性方程组的解证明……………….………………7 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性…………………………7 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性……………………9 3.6 方程组法………………………………………….…………11 3.7反正法…………………………………………….………12 第四章向量组线性相关的具体应用…………………………….……….13 结论与展望…………………………………………………..………16 致谢………………………………………………………………….…17 参考文献………………………………………………………………18 1 向量组线性相关的几种证明方法作者071106128 王守玉指导教师刘燕讲师第1章绪论线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现如解析几何、高等代数和常微分方程中等等.它是线性代数理论的基本概念它与向量空间包括基、微数、子空间等概念有密切关系同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用.因此掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义也是解决问题的重要的理论根据.向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关. 在线性代数中向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用.它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起.若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识理清线性代数的框架做到融会贯通. 本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法从定义及性质下手熟悉了一些重要理论从而能在各领域中得到更好的运用.本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质.而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法比较了不同判定方法的优劣及适用范围并给出了一些详细证明附带了一些证明题和例题2 从而能更深刻地熟悉这些理论知识.第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用.而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献. 第2章向量组线性相关性的定义及性质定义2.1 给定向量组12:mAaaa如果存在不全为零的数12mkkk使1122mmkakaka0 则称向量组是线性相关的否则称它为线性无关. 注1说向量组12maaa线性相关通常是指2m的情形.但上述定义也适用于1m的情形.当1m时向量组只含有一个向量对于只含一个向量a的向量组当a0时是线性相关的当a0时是线性无关的.对于含2个向量12aa的向量组它线性相关的充分必要条件是12aa的分量对应成比例其几何意义是两向量共线.3个向量线性相关的几何意义是三向量共面. 注2向量组12:2mAaaam线性相关也就是在向量组A中至少有一个能由其他1m个向量线性表示.这是因为如果向量组A线性相关则有不全为0的数12mkkk使2-1式成立.因12mkkk不全为0不妨设10k于是便有12211mmakakak 即1a能由2maa线性表示. 如果向量组中有某个向量能由其余1m个向量线性表示不妨3 设ma能由11maa线性表示即有11m使112211mmmaaaa于是11111mmmaaa0 因为111m这m个数不全为0至少10所以向量组是线性相关的. 注3向量组的线性相关与线性无关的概念也可用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的这时称方程组是线性相关的当方程组中没有多余方程就称该方程组线性无关. 向量组12:mAaaa构成矩阵12mAaaa向量组A 线性相关就是齐次线性方程组1122mmxaxaxa0即Ax0有非零解. 只有充分理解了向量组线性相关的定义我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的并比较不同的判定方法的适用条件. 向量组线性相关的性质特征性质1向量组12:mAaaa线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余1m个向量线性表示. 性质2对于各分量都给出的向量组12:mAaaa若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0有非零解向量则此向量组12:mAaaa是线性相关的.若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0只有零解向量则此向量组12:mAaaa 4 是线性无关的. 设向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵123mAaaaa的秩的大小来判定.即 1 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 2 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 这是经常用到的一种判定相关性的方法. 我们将向量12naaa几行排成矩阵12...TTTTnaaABa 为阶梯型矩阵则有定理2.1 向量组12naaa线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行. 证明阶梯型矩阵中出现零行矩阵TA的秩TRAnTRARAn齐次线性方程组1122nnaxaxax0有非零解向量组12naaa线性相关. 推论2.1 向量组12naaa线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行. 对矩阵TA进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程其实就是对12naaa进行向量的线性运算.如果中出现零行则向量组12naaa中一定有某个向量能被其余的1n个向量线性表示从而知向量组12naaa 是线性相关的反之如果B中没有零行则向量组5 12naaa中没有任何一个向量能被其他的1n向量线性表示从而知12naaa是线性无关的. 推论2.2 如果向量组12naaa中含有零向量则向量组12naaa是线性相关的. 推论2.3 如果向量组12naaa中有个部分组12mkkkaaa其中1212iknimmn线性相关则向量组12naaa也一定线性相关. 性质3若向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组且向量组A所构成的矩阵123mAaaaa即A为m阶方阵则1当0A时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当0A时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 若向量组12:mAaaa的个数m与维数n不同时则1当mn时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当mn时转化为上述来进行判定即选取m个向量组成的m维向量组若此m维向量组是线性相关的则添加分量后得到的向量组也是线性相关的. 性质4对于各分量都给出的向量组12s线性相关的充要条件是以12s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解若齐次线性方程组只有零解则向量组线性无关. 第三章向量组线性相关性的证明方法6 3.1 利用定义法证明这是证明向量组的线性相关性的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组也适用于分量已经给出的具体向量组. 例3.1设112223334baabaabaa441baa证明向量组1234bbbb线性相关. 证明设存在4个数1234kkkk使得11223344kbkbkbkb0 将112223334441baabaabaabaa代入上式有112223334441kaakaakaakaa0 141122233344kkakkakkakka0取132411kkkk则有11223344kbkbkbkb0 由向量组线性相关的定义可知向量组1234bbbb线性相关. 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明根据上一章讲到的性质1我们带入上一例题中比如取132411kkkk则1234bbbb即1b可由234bbb三个向量线性表示所以向量组1234bbbb线性相关.这种证明方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行证明的. 3.3 利用齐次线性方程组的解证明在应用定义法解一个齐次线性方程组需由该方程组是否有非零7 解来证明向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定. 例3.2证明向量组1232105754137411aaa线性相关. 证明以123aaa为系数向量的齐次线性方程组是112233xaxaxa0即1231232312327305704405110xxxxxxxxxxx 利用矩阵的谐醯缺浠唤 匠套榈南凳 卣驛化为行阶梯型矩阵即1212122527315715727304404451115111rrrrrrA23324421171412415715715701717011 01104401100002424011000rrrrrrr 由行阶梯型矩阵可知23RA即齐次线性方程组有非零解所以向量组123aaa线性相关. 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性上一章讲到的定理2.1和推论2.1推论2.2推论2.3充分的告诉了我们如何根据矩阵的秩证明向量组的线性相关性. 例3.3证明向量组123134752453246753aaa的线性无关. 证明将123aaa以行排成矩阵8 1231347513475245320231184675300001aAaa 矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行则123aaa中每个向量都不能被剩下的向量线性表示故由推论知向量组123aaa是线性无关的. 我们注意到定理中的矩阵TA 在初等行变换的过程中不论是否化成了阶梯型矩阵一旦出现零行就可以断定12naaa中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示从而知向量组12naaa线性相关. 例3.4证明向量组123413215224691127413595aaaa的线性相关. 证明将1234aaaa以行排成矩阵12341321513215224690408111274000001359513595aaAaa 所以矩阵A经过初等行变换后出现了零行则1234aaaa中必有一向量可以由其余的向量线性表示氏蛄孔?234aaaa是线性相关的. 例3.5设12311112313TTTaaat问当t为何值时向量组123aaa 线性相关并将3a表示为1a和2a的线性组合. 解利用矩阵的秩有123Aaaa11111111112301201213021005ttt 可见当5t时向量组123aaa线性相关并且有9 111101012012000000A所以3122aaa 利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同但实质上是一样的都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵从而求出向量组的秩即系数矩阵的秩然后再作出判定. 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性例3.6已知123111025247TTTaaa试讨论123aaa的线性相关性. 证明令123Aaaa则1021240157A所以123aaa线性相关. 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解然后再对向量组的线性相关性作出判定所以能应用行列式值进行判定的向量组也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例3.7已知向量组123:Aaaa是线性无关的且有112223331baabaabaa证明向量组123bbb线性无关. 证明一设有123xxx使得112233bxbxbx0即112223331xaaxaaxaa0整理为131122233xxaxxaxxa0 10 因为123aaa是线性无关的所以131223000xxxxxx由于此方程组的系数行列式10111020011故方程组只有零解1230xxx所以向量组123bbb线性无关. 证明二将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123*********bbbaaa 记作BAK.设Bx0以BAK代入AKx0.因为矩阵A的列向量组线性无关所以可推知Kx0.又因为20K知方程Kx0只有零解0x所以矩阵B的列向量组123bbb线性无关. 证明三将已知条件可以写为123123*********bbbaaa 记做BAK因为0k所以k可逆由矩阵的秩的性质可知RARB且3RA由此3RB所以B的三个列向量线性无关. 例3.8已知3阶矩阵与三维列向量x满足323xxx且向量组2xxx线性无关. 1记2xxx求三阶矩阵使. 2求的值. 解1因为23223xxxxxxx 2000103011xxx然后可以得到000103011使得11 . 2因为得到了且2xxx而向量组2xxx是线性无关的.故P是可逆的.1所以10 3.6方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 例3.11 证明向量组123211103202431的线性相关. 证明以123为系数的齐次线性方程组13123123132203402300kkkkkkkkkk 解得之1323kkkk即12311kkk是方程组的一组非零解故123线性相关. 例3.12 讨论12311112313t. 1 当t为何值时向量组123线性无关2 当t为何值时向量组123 线性相关3 当向量组123线性相关性将3表示为1和2的线性组合. 解设有实数123xxx使112233xxx0则得方程组123123123023030xxxxxxxxtx 其系数行列式111123513Dtt 1当5t时0D方程组只有零解1230xxx这时向量组123线性无关. 12 2当5t时0D方程组有非零解即存在不全为0的数123xxx使112233xxx0此时123线性相关. 3当5t时由111101123012135000有1323020xxxx 令31x得11x22x因此有12320从而3122. 3.7 反证法在有些题目中直接证明结论常常比较困难而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义定理公理相悖的结果从而结论的反面不成立即结论成立.此方法是数学中常用的证明方法欲证命题真先假设命题假导出矛盾从而原命题得证. 例3.9设向量组12:mAaaa中任一向量ia不是它前面1i个向量的线性组合且0ia证明向量组12:mAaaa是线性无关的. 证明反证法假设向量组12:mAaaa线性相关则存在不全为零的m个数123mkkkk使得1122mmkakaka0 由此可知0mk否则由上式可得112121mmmmmmkkkaaaakkk 即ma可由它前面1m个向量线性表示这与题设矛盾因此0mk 112211mmkakaka0. 类似于上面的证明同理可得12320mmkkkk最后得到11ka0 因为ia0所以10k但这又与123mkkkk不全为0相矛盾. 因此向量组12:mAaaa是线性无关的. 13 第四章向量组线性相关的具体应用曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析.经过30多年的发展它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系. 在80年代后期参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法尤其形成了NURBS 理论使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法.但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展参数曲面的局限性也越来越明显. 通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接这是很困难的.对于影视动画领域的活动模型需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面. 细分方法正是在这种情况下迅速发展起来其基本思想是采用一定的细分规则在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点从而不断细化出新的网格.重复运用细分规则在极限时该网格收敛于一个光滑曲面.细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面它具有以下优点适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小. 正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点现已广泛14 应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域.Loop细分网格具有局部性质.。
线性代数-向量组的线性相关性
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
{PAGE}
20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
0
10Leabharlann 线性表示。{PAGE}
6
定义 2’：
设1 ,2 ,,m是向量组,如果存在不全为零的常数
k1 ,k2 , ,km
使得k11 k22 kmm 0
则称向量组1 ,2 ,,m线性相关，否则称为线性无关。
{PAGE}
7
注
由以上定义可得，
向量组1 ,2 ,,m是向线性无关的充分必要条件是 方程组k11 k 22 kmm 0只有零解。
2、 向量1 ,2 ,3线性相关
1 ,2 ,3 中有一个向量可由其余的向量线性表示
{PAGE}
34
不妨设3
k11
k2
，
2则
1
,2
,
线性相关
3
1 ,2 ,3 共面
k2 2 3 k11
{PAGE}
35
定理 3
设向量组1 ,2 ,,m线性无关,1 ,2 ,,m ,
线性相关，则 可由1 ,2 ,,m唯一线性表示。
{PAGE}
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
线性方程组与向量的线性相关性
11 1
(3)1 1 1
1 1 1
方法一：
因此
(1)当
即
且
组有唯一解.
(2) 当
时，
时，方程
18
可见
故方程组此时有无限 多个解，且通解为
1 1 2 3 0 3 3 6 0 0 0 0
x x
1 2
1 2
c, c,
x 3 c ,
19
(3) 当
时，
可见 故方程组此时无解.
其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 A 0, 求得使
方程组有唯一解 的值，然后讨论；
其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.
17
系数矩阵的行列式为
2 1 1 (A,b) 1 2 1
1 1 2 3
0 0 3 3 6 0 3 3 6
3 1 1 1
1
A 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2
c, c,
0 0 0 0 x 3 c ,
22
1 1 1
r
(A,b)0 3
0 0 32 322
1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3
(3) 当
可见 时无解.
时，
故方程组此
23
二、齐次线性方程组解的研究
T是h系m数3.矩2 阵nA的元秩齐X等次0于线未性知方量程的组个AX数=n0，只即有R零(A解)的=n充；要有条非件
2 1 0
1 1 1
rr12r2r3 rr21rr33
1 0
rr12 132r20
13 00 00
30 013 00
313 31133
200 1011
0 0
0 0
000 010 1 1
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
向量组的线性表示与线性相关性
向量组等价结论：向量组A : a1 ,a2 , ,am与B : b1,b2 , ,bl 等价的充分必要条件是： R( A) R(B) R( A, B)
分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立
不等式推论: 若向量B : b1,b2, ,bs能由向量组A : a1,a2, ,am 线性表示,则: R( A) R(a1,a2, ,am ) R(B) R(b1,b2, ,bs )
班级：
星期 ： 节
年月 日
教学目的 重点
掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量 （组）的判定方法，会用初等变换求解向量 的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基 本判定方法。
向量组的线性表示、相关性及判定方法
作业
练习册
难点 向量组线性表示方法
讲授方法 讲授
讲授内容 主线
向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的 判断定理和推论—练习—向量组线性表示及 等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义 －判定方法
给定向量组 A ：a1, a2 , , am 和向量 b ， 如果存在一组数 1, 2 , , m , 使
b 1a1 2a2 m am ,
则向量b 是向量组 A 的线性组合， 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示。 线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
这是s个同系数A的方程组AX1 b1, AX2 b2 , , AXs bs , 写成矩阵形式,即: ( AX1, AX2 , , AXs ) (b1,b2 , ,bs ), 令X ( X1, X2 , , X s ), B (b1,b2 , ,bs ),则上式成 矩阵方程组: AX B
向量组线性相关
k1 k3 0 k1 k2 0 , k1 k2 k3 0,
k2 k3 0
向量组b1 ,b2 , b3线性无关.
§2 向量组的线性相关性
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
b1
,
b2
,
b3
a1
,
a2
,
a3
1 0
记作B=AK.
1 1
01
设BX=O,以B=AK代入,
例
1
1 1
,
2
2 2
,
21
2
0
0
,
则1
,
线性相关。
2
§2 向量组的线性相关性
例
1
1 0
,
2
0 2
,
要使k11
k2 2
0 0
,
当且仅当k1
0, k2
0时成立，则1
,
线性无关。
2
说明:只含一个向量a的向量组, 当a=0时是线性相关的,当a≠0时是线性无关的.
说明:包含零向量的向量组是线性相关的.
§2 向量组的线性相关性
例
1 0 0
a1
0
,
a2
1
,
a3
0
,线性无关，
0 0 1
1 0 0 1
a1
0 0
,
a2
1 0
,
a3
0 1
,
a4
11线性相关，
1 1 0 0
11
00
1 0
0 1
，即a4
a1
a2
a3，且表达式唯一。
§2 向量组的线性相关性
三章向量组的相关性
如果向量组$mathbf{a}$线性相关，那么对于任意非零标量$k$， 向量组$-kmathbf{a}$也是线性相关的。
向量组相关性在向量空间中的性质
向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性相关，那么存在一个向量$mathbf{c}$，使得 $mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
反向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性无关，那么不存在一个向量$mathbf{c}$，使 得$mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
03 向量组相关性的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
通过向量组的线性相关性，我们可以将 线性方程组进行化简，从而更容易地找 到解。
ห้องสมุดไป่ตู้VS
解的唯一性
利用向量组的线性相关性，我们可以判断 线性方程组解的唯一性。如果向量组线性 相关，则方程组可能有无数解；如果向量 组线性无关，则方程组有唯一解。
在矩阵理论中的应用
矩阵的秩
向量组的线性相关性决定了矩阵的秩。如果向量组线性相关，则矩阵的秩会减少；如果向量组线性无 关，则矩阵的秩等于向量的个数。
要点二
线性表示的性质
线性表示具有传递性，即如果v被a线性表示，a被b线性表 示，那么v被b线性表示。
向量组的线性表示的性质
唯一性
线性组合
如果向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性表示向 量v，那么这个表示是唯一的，即不存在其 他的向量组$b_1, b_2, ..., b_n$也线性表示v。
线性无关
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$ 线性无关，那么不存在不全为零的标 量$k_1$和$k_2$，使得 $k_1mathbf{a} + k_2mathbf{b} = mathbf{0}$。
向量组等价、线性相关性
方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
R (A ) R (B ) R (A ,B )
n
方程组 A: ajixi bj(j1,2, m), 有解 i1 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示
增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价
两个方程组等价（同解）
P80.19、证明
b R(A)1存在非零列向量a 及非零行向量 T ，
使得 A abT .
证
" "
R(A)1A
1
1 O
O O
可逆矩阵P,Q,
1
A PO1
其中
1
O
1
O O
0 0
1
0
0
A
P
1、 一 个 向 量 可 由 向 量 组 A : 1 ,2 ,,m 线 性 表 示 ，
存 在 数 k 1 ,k 2 ， ,k m ,使 得 k 11 k 22 k mm
方 程 组 x 1 1 x 2 2 x m m 有 解
R(A)R(B).其 A 中 (a 1 ,a 2 , ,a m )B,A
1
7
,
其标准型
2
1
F
0
0
0 1 0
0
0
,
0
R(A) 2 R(F) 2
但
R(A,F)3
A
R
F
3
所以 A F , 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , m 及 B : 1 ,2 , l ,
线性代数的向量组习题答案
线性代数的向量组习题答案线性代数的向量组习题答案在学习线性代数的过程中，向量组是一个非常重要的概念。
向量组的性质和运算规则是我们理解线性代数的基础。
在这篇文章中，我将为大家提供一些线性代数中常见的向量组习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 向量组的线性相关性题目：判断以下向量组是否线性相关：(a) { (1, 2), (3, 4), (5, 6) }(b) { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }(c) { (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) }答案：(a) 这个向量组是线性相关的，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即(5, 6) = 2(1, 2) + (-1)(3, 4)。
(b) 这个向量组是线性相关的，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即(3, 6) = 3(1, 2)。
(c) 这个向量组是线性相关的，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即(3, 6, 9) = 3(1, 2, 3)。
2. 向量组的线性无关性题目：判断以下向量组是否线性无关：(a) { (1, 0), (0, 1), (1, 1) }(b) { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) }(c) { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0) }答案：(a) 这个向量组是线性无关的，因为无法找到非零的标量使得它们的线性组合等于零向量。
(b) 这个向量组是线性相关的，因为第四个向量可以由前三个向量线性表示，即(1, 1, 1) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)。
(c) 这个向量组是线性无关的，因为无法找到非零的标量使得它们的线性组合等于零向量。
3. 向量组的秩题目：计算以下向量组的秩：(a) { (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) }(b) { (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) }(c) { (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) }答案：(a) 这个向量组的秩为2，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即 (7, 8,9) = 3(1, 2, 3) + (-2)(4, 5, 6)。
向量组的线性关系
因为1 ，2 ，3 线性无关，则
2k1
3k3 0 ，
k1
k2
0，
5k2 4k3 0 ．
203
方程组的系数行列式为
D 1 1 0 23 0
054
因此，只有零解 k1 k2 k3 0 ，故向量组 1 ，2 ，3 也线性无关．
线性代数
线性代数
1.1 线性组合与线性表示
定义1
相同维数的向量的集合称为向量组。 一般记为向量组 T 或向量组（Ⅰ）、（Ⅱ）等． 例如，若有向量
1 (1，2 ，1) ，2 (2 ，1，0) ，3 (2 ， 3，1) ， 这些向量组成的向量组可记为向量组（Ⅰ）：1 ，2 ，3 ． 向量1 (1，2，3) ，2 (1，1) ，3 (0， 3，1) 不能形成一个向量组，因为它们的维数不 同。
若 l 0 ，上式为 k11 k22 kmm 0 ，且 k1 ，k2 ， ，km 不全为 0，这与1 ，2 ， ，m
线性无关矛盾，故 l 0 ．于是
1 l
(k11
k22
kmm )
表达式唯一，可用反证法证明得到．
1.3 线性相关性结论
定理
定理 5 设 n 维向量组1 ，2 ， ，s 线性相关，则向量组 1 ，2 ， ，s ， ，m (m s)
也线性相关，即若向量组中有一部分向量组（称为部分组）线性相关，则整个向量组线 性相关．
证明：因为 1 ，2 ， ，s 线性相关，所以存在一组不全为零的数 k1 ，k2 ， ，ks ，使得 k11 k2 2 kss 0，于是
k11 k22 kss 0s1 0m 0 ． 因此，1 ，2 ， ，s ， ，m (m s) 线性相关．
例 2 证 明 ： 任 一 n 维 向 量 (a1 ，a2 ， ，an ) 都 可 由 n 维 向 量 1 (1，0， ，0) ， 2 (0，1， ，0) ， ，n (0，0 ， ，1) 线性表出。
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组a1，a2 ， ，am线性表示.
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)，
则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合. 因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)+(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ， 即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由
线性相关性判定方法
一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义或 判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例） 例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 2 1 2 4 α1 = , α = , α = 1 2 1 3 3 1 3 5
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
所以，线性方程组有非零解， 从而，向量组a1, a2, a3, a4,线 性相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3，
b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o， 即 整理得 k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o， (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o . k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
其中,
a1 j a2 j a j = , j = 1, 2,..., n ; a mj
特殊方法（举例） 例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1 0 0 0 0 1 0 0 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
亦即
k1 0 0 0 k1 0 0 k 0 + k2 + 0 + = 2 = 0 , 0 0 k3 0 k3 0 0 0 0 0 k k 4 4
2.7
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示
2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
a11 a21 x1+ a m1
即 或
a12 a22 x2+ + am
2
a1n a2n xn = amn
b1 b2 bm
a1 x1 + a2 x2 +
x1 a1 + x2 a2 +
+ an xn = b,
b1 b2 b= . b m
即存在一组不全为零的数
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数 k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
2 = , k3 0 0 k 4
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上 式才成立，所以向量组a1, a2,
a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例） 例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 3 2 1 2 1 -4 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 0 -3 2 3 1 -7
因该方程组的系数行列式
1 1 1 2 0 2 1 3 3 2 1 -4 =0, 0 -3 1 -7
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 -4 0 k1 +k +k +k = , 1 2 1 3 0 4 -3 0 2 3 1 -7 0
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?
a11 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
+ an1kn = 0 + an 2 k n = 0 (2) + ann k n = 0
即行列式 D =
a12 a1n
= 0?
核心问题！
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合. 这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en . 注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组 .
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1 0 2 6 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = . 0 1 2 6
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 , 2α1 + 1α2 + (-1)α3 = o,
a11 D= a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann (=)0 .
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11k1 + a21k2 + an1 0 a11 a21 a k +a k + a a a 0 22 2 k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 或 12 1 ... ... ... ... 0 a a a 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 +
k1 0 从而得 k 0
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 k1 +k +k +k = , 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 0 1 0
a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
பைடு நூலகம் ，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
+ xn an = b.
7.2 线性相关与线性无关 (Linear dependent & Linear independent)
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ，km，使 k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有 当k1，k2， ，km全为0时 k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.