2-7 向量组的线性相关性(第八次)
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a11 D= a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann (=)0 .
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11k1 + a21k2 + an1 0 a11 a21 a k +a k + a a a 0 22 2 k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 或 12 1 ... ... ... ... 0 a a a 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 +
亦即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 4 k + k + k + k = 0. 1 1 1 2 0 3 -3 4 0 2 3 1 -7 0
所以，线性方程组有非零解， 从而，向量组a1, a2, a3, a4,线 性相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3，
b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o， 即 整理得 k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o， (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o . k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
k1 0 从而得 k 0
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 k1 +k +k +k = , 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 0 1 0
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合. 这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en . 注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组 .
+ xn an = b.
7.2 线性相关与线性无关 (Linear dependent & Linear independent)
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ，km，使 k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有 当k1，k2， ，km全为0时 k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.
特殊方法（举例） 例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1 0 0 0 0 1 0 0 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
亦即
k1 0 0 0 k1 0 0 k 0 + k2 + 0 + = 2 = 0 , 0 0 k3 0 k3 0 0 0 0 0 k k 4 4
由向量的运算性质可得 k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
an1 0 a11 a21 a11k1 + a21k2 + + an1kn = 0 a k +a k + +a k =0 a a a 0 n2 n k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 12 1 22 2 ... ... ... ... a a a 0 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 + + ann kn = 0 从而得向量组a1，a2， ，an，线性无关(相关)的充分必要条件是:
a11 a21 x1+ a m1
即 或
a12 a22 x2+ + am
2
a1n a2n xn = amn
b1 b2 bm
a1 x1 + a2 x2 +
x1 a1 + x2 a2 +
+ an xn = b,
b1 b2 b= . b m
2 = , k3 0 0 k 4
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上 式才成立，所以向量组a1, a2,
a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例） 例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 3 2 1 2 1 -4 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 0 -3 2 3 1 -7
例3．零向量是任何一组向量的线性组合. 这是因为o=0a1+ 0a2+ + 0 am . 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量ai(1im)都是此 向量组的线性组合. 这是因为ai=0a1+ + 1ai + + 0 am .
例5．线性方程组的向量表示(向量方程)
线性相关性判定方法
一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义或 判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
Baidu Nhomakorabea
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例） 例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 2 1 2 4 α1 = , α = , α = 1 2 1 3 3 1 3 5
即存在一组不全为零的数
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数 k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)，
则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合. 因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)+(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ， 即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
因该方程组的系数行列式
1 1 1 2 0 2 1 3 3 2 1 -4 =0, 0 -3 1 -7
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 -4 0 k1 +k +k +k = , 1 2 1 3 0 4 -3 0 2 3 1 -7 0
2.7
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示
2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?
a11 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
+ an1kn = 0 + an 2 k n = 0 (2) + ann k n = 0
即行列式 D =
a12 a1n
= 0?
核心问题！
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
其中,
a1 j a2 j a j = , j = 1, 2,..., n ; a mj
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1 0 2 6 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = . 0 1 2 6
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 , 2α1 + 1α2 + (-1)α3 = o,
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11k1 + a21k2 + an1 0 a11 a21 a k +a k + a a a 0 22 2 k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 或 12 1 ... ... ... ... 0 a a a 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 +
亦即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 4 k + k + k + k = 0. 1 1 1 2 0 3 -3 4 0 2 3 1 -7 0
所以，线性方程组有非零解， 从而，向量组a1, a2, a3, a4,线 性相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3，
b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o， 即 整理得 k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o， (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o . k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
k1 0 从而得 k 0
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 k1 +k +k +k = , 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 0 1 0
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合. 这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en . 注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组 .
+ xn an = b.
7.2 线性相关与线性无关 (Linear dependent & Linear independent)
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ，km，使 k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有 当k1，k2， ，km全为0时 k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.
特殊方法（举例） 例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1 0 0 0 0 1 0 0 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
亦即
k1 0 0 0 k1 0 0 k 0 + k2 + 0 + = 2 = 0 , 0 0 k3 0 k3 0 0 0 0 0 k k 4 4
由向量的运算性质可得 k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
an1 0 a11 a21 a11k1 + a21k2 + + an1kn = 0 a k +a k + +a k =0 a a a 0 n2 n k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 12 1 22 2 ... ... ... ... a a a 0 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 + + ann kn = 0 从而得向量组a1，a2， ，an，线性无关(相关)的充分必要条件是:
a11 a21 x1+ a m1
即 或
a12 a22 x2+ + am
2
a1n a2n xn = amn
b1 b2 bm
a1 x1 + a2 x2 +
x1 a1 + x2 a2 +
+ an xn = b,
b1 b2 b= . b m
2 = , k3 0 0 k 4
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上 式才成立，所以向量组a1, a2,
a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例） 例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 3 2 1 2 1 -4 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 0 -3 2 3 1 -7
例3．零向量是任何一组向量的线性组合. 这是因为o=0a1+ 0a2+ + 0 am . 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量ai(1im)都是此 向量组的线性组合. 这是因为ai=0a1+ + 1ai + + 0 am .
例5．线性方程组的向量表示(向量方程)
线性相关性判定方法
一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义或 判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
Baidu Nhomakorabea
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例） 例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 2 1 2 4 α1 = , α = , α = 1 2 1 3 3 1 3 5
即存在一组不全为零的数
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数 k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)，
则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合. 因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)+(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ， 即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
因该方程组的系数行列式
1 1 1 2 0 2 1 3 3 2 1 -4 =0, 0 -3 1 -7
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 -4 0 k1 +k +k +k = , 1 2 1 3 0 4 -3 0 2 3 1 -7 0
2.7
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示
2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?
a11 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
+ an1kn = 0 + an 2 k n = 0 (2) + ann k n = 0
即行列式 D =
a12 a1n
= 0?
核心问题！
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
其中,
a1 j a2 j a j = , j = 1, 2,..., n ; a mj
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1 0 2 6 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = . 0 1 2 6
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 , 2α1 + 1α2 + (-1)α3 = o,