第四版微分几何第二章课后习题答案

1 , M=0, N= cosh u =1 .
2
sinh 1
2
sinh 1
所以 II = - du 2 + dv 2 。
2. 计算抛物面在原点的 2 x 3
5
x
2 1
4 x1 x 2
2
x
2 2
第一基本形式
,
第二基本形式
.
解 曲面的向量表示为 r
{
5 x1 , x 2 ,
x
2 1
2
2 x1 x2
x
2 2
δ v , 设两曲线的夹角为 ，则有
3
cos =
Edu u Gdv u
2
2
2
2
Edu Gdv E u G v
2
1a 。
1 a2
5．求曲面 z = axy 上坐标曲线 x = x 0 ,y = y 0 的交角 .
解 曲 面 的 向 量 表 示 为 r ={x,y,axy}, 坐 标 曲 线 x = x 0 的 向 量 表 示 为
1. 求双曲抛物面 r ＝｛ a（ u+v）, b （u-v ） ,2uv ｝的第一基本形式 .
解
r u { a , b, 2v }, r v { a , b, 2u}, E r u2 a 2 b 2 4 v 2 ,
F
ru rv
2
a
2
b
4uv , G
2
rv
2
a
2
b
4u 2 ,
∴ I=
2
2
(a b
2
2
r ={ x 0 ,y,ax 0 y } ，其切向量 r y ={0 ，1，ax 0 } ；坐标曲线 y = y 0 的向量表示为 r ={x ,
y 0 ,ax y 0 } ，其切向量 r x ={1 ，0，a y 0 } ，设两曲线 x = x 0 与 y = y 0 的夹角为 ，则
有 cos
=
rx r y
2
)
+
dv
du
du u
du u R du u
2Q
2Q + R=0 , 设其二根 , , 则
=， + =
……①又根据二方
dv
dv v
dv v P dv v
P
向垂直的条件知 E du u + F( du + u )+ G = 0 ……②
dv v
dv v
将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu 2 =Gdv 2 .
证 用分别用 δ、 、d 表示沿 u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，
即沿 u－曲线 δu ０， δv＝０，沿 v－曲线 u＝０， v 线方向为 du:dv , 根据题设条件 , 又交角公式得
０．沿二等分角轨
4
2
1u
dv ) 2
2
u1
=( 2 u
2
1 ) du
1
2
du
2
1u
2 dudv
2
(u
1)dv 2 =2du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2 = I .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射
=arctgu + v , t =
2
u
1.
§3 曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面 r ={cos h ucosv,cos h usinv,u} 式.
1
4．求椭圆柱面 x 2 2
y2
2 1 在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此
ab
曲面只有一个切平面 。
2
2
解 椭 圆柱 面 x y 1 的 参 数方 程 为 x = cos , y = asin , z = t ,
a2 b2
r { a sin , b cos ,0} , rt { 0 ,0 ,1} 。所以切平面方程为：
v
u=-av
a
=2
2
u
0
1
a
2
a du
dv =2
(1
u
0
a
u
2
)u
a
2
a du
3
=[
2
2
(u
a2)2
2
uu
2
a
2
a ln( u
3a
2
2
a
u
a )] | 0
=
a
2
[
2
2 ln( 1
3
2 )] 。
10．求球面 r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 的面积。 解 r ={ a sin cos , a sin sin , a cos } ， r ={ a cos sin , a cos cos ,0}
证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
}
,
r x1 { 1,0 ,5 x 1 2 x 2 } ( 0 ,0 ) { 1,0 ,0 } , r x2 { 0 ,1,2 x 1 2 x 2 } ( 0 ,0 ) { 0,1,0 } , r x1 x1 { 0 ,0 ,5 } ,
r x1 x2 { 0 ,0 ,2} , r x2 x 2 { 0 ,0 ,2} , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
I=
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx 1
dx
2 2
,
II=
2
5dx 1
4dx 1 dx 2
2
dx
2 2
.
3. 证明对于正螺面 r ={u cos v ,u sin v ,bv},- ∞ <u,v< ∞处处有 EN-2FM+GL=。0
解 r u {cos v , sin v , 0}, r v { u sin v , u cos v , b} ， r uu ={0,0,0},
4v )du
2(a 2
2
b
4 uv ) dudv
2
(a
2
b
4 u 2 ) dv 2 。
２．求正螺面 r ={ u cos v ,u sin v , bv } 的第一基本形式，并证明坐标曲线互 相垂直。
解
r u
{cos v , sin v ,0}, r v
{ u sin v , u cos v, b} ， E
E
2
ru
=
cosh
2 u,
F
r u rv =0, G
2
rv
=cosh 2
u.
所以 I = cosh 2 u du + cosh 2 u dv 2 .
6
n = r u rv = 1 { cosh u cos v, cosh u sin v, sinh u sin v} ,
EG
F2
2
cosh u
L= cosh u
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。
解
由条件
2
ds
2
du
sinh
2
udv
2 , 沿曲线
u=v
有 du=dv ，将其代入 ds 2 得
( Edu v Fdv u)
2
2
E u ds
( Fdu v Gdv
2
2
G v ds
2
2
v ) ，即 ( Edu Fdv )
E
2
( Fdu Gdv ) 。
G
展开并化简得 E(EG- F 2 ) du 2 =G(EG-F 2 ) dv 2 , 而 EG-F 2 >0，消去 EG-F 2 得坐标曲线
的二等分角线的微分方程为 Edu 2 =Gdv 2 .
2
ds
2
du
sinh 2 udv 2 = cosh 2 vdv 2 ，ds = coshvdv ,
v2
弧长为 | v 1 cosh vdv | | sinh v 2 sinh v1 | 。
在曲线 u = v 上，从 v1 到 v 2 的
4．设曲面的第一基本形式为
I
=
2
du
2
(u
a 2 ) dv 2 ，求它上面两条曲线 u + v
的第一基本形式 , 第二基本形
解 ru ={sinhucosv,sinhusinv,1}, r v ={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu ={coshucosv,coshusinv,0}, ruv ={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rvv ={-coshucosv,-coshusinv,0},
E = r 2 = a 2 ,F= r r = 0 , G =
2
r
= a 2 cos 2
. 球面的面积为：
S=
2
2d
4
2
a cos d
2
0
2
2a
2 cos
d
2
2
2 a sin
|2
4 a2.
2
5
11. 证明螺面 r ={ucosv,usinv,u+v} 和旋转曲面 r ={tcos ,tsin , t 2 1 }
= 0 ,u – v = 0 的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量
E 1 ，Fv
0 ，G
2
u
a2 ，
曲线 u + v = 0 与 u – v = 0 的交点为 u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为 E 1 ， F v 0 ， G a 2 。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u – v = 0 的方向为 δu=
(t>1, 0< <2 ) 之间可建立等距映射 =arctan u +v , t=
2
u
1.
分析 根据等距对应的充分条件 , 要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu
+ v , t=
2
u
1 , 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点
有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式 .
7. 在曲面上一点 , 含 du ,dv 的二次方程 Pdu 2 + 2Q dudv + R dv 2 ＝ 0，确定两
个切方向（ du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ+ GP=0.
证明 因为 du,dv 不同时为零，假定 dv
0，则所给二次方程可写成为
P( du
x a cos a sin 0
y b sin b cos 0
zt
0 0 ，即 x bcos + y asin
1
－ab=0
此方程与 t 无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而
对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
。
的每一数值
3
5．证明曲面 r
a { u,v,
} 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
9． 设 曲面的第 一基本形式为 I =
2
du
2
(u
a 2 ) dv 2 ，求曲面上三条曲线 u =
a v,
v =1 相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲 线围城的三角形的面积是
0
S=
2
u
a
1 2
a du dv
u a
a 2
u
0
1 2
a du dv
u a
u o
u=av V=1
第二章 曲面论 §1 曲面的概念
1. 求正螺面 r ={ u cos v ,u sin v , bv } 的坐标曲线 . 解 u- 曲线为 r ={u cos v 0 ,u sin v 0 ,bv 0 }= ｛0,0 ，bv 0 ｝＋u { cos v 0 , sin v 0 ,0} ， 为曲线的直母线； v- 曲线为 r ={ u 0 cos v , u 0 sin v ,bv } 为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面 r ＝｛ a（ u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直 母线。 证 u- 曲线为 r ={ a（u+v 0 ）, b（u- v 0 ）,2u v 0 }={ a v 0 , bv 0 ,0}+ u{a,b,2 v 0 } 表示过点 { a v 0 , b v 0 ,0} 以 {a,b,2 v0 } 为方向向量的直线 ; v- 曲线为 r =｛ a（ u 0 +v）, b（ u 0 -v ）,2 u 0 v｝=｛a u 0 , b u 0 ,0 ｝+v{a,-b,2 u 0 } 表示过点 (a u 0 , b u 0 ,0) 以 {a,-b,2 u 0 } 为方向向量的直线。 3．求球面 r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
uv
数。
证
ru
{ 1,0,
3
a
2
} ， rv
{ 0,1,
3
a } 。切平面方程为：
x
2
y
uv z3
3
。
uv
uv
uva
与三坐标轴的交点分别为 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,
3
1
3a
V
3 |u |3 |v|
9
3
a
是常数。
6
| uv | 2
2
3a ) 。于是，四面体的体积为：
uv
2
§２ 曲面的第一基本形式