高三数学极坐标与参数方程一轮复习讲义

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3.综合问题
【例3】已知A，B分别是椭圆 x2 y2 1的右顶点和上顶点， 36 9
动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心的轨迹的普通方程．
利用重心坐标公式将ABC的重心坐标用椭圆的
参数方程中的参数 表示出来，再消参即可．
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由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为
(6cos，3sin )，点G的坐标为(x，y)．
专题八 自选模块
1
1．极坐标与直角坐标的互化
1 互化的前提：
①极点与直角坐标系的原点重合；
②极轴与x轴的正方向重合； ③两种坐标系中取相同的长度单位．
2
互化公式
x
y
cos sin
2
，
tan
x2
y, x
y2 x
. 0
2．1圆心在(x0，y0 )，半径为r的圆的参数方程为：
x y
sin(
3
)
3.
2依题有：AB OB OA 2cosa，
S 1g2cosag2gsina (1g2ag12 1g1g1gsin2a)
2
2
2
3 sin2a a. 2
10
2.参数方程
【例2】求经过点1,1，倾斜角为135的直线截椭圆 x2 y2 1
4 所得的弦长．
将直线的参数方程代入椭圆方程，根据参数的几何 意义，再利用韦达定理即可求得弦长．
x0 y0
r cos r sin
(
为参数)．
2
2过定点M0 (x0，y0 )，倾斜角为的直线l的参数方程为：
x
y
x0 y0
t cos t sin
(
为参数)．
其中t
表示直线l上以定点M uuuuuur
0
为起点，任意一点M
(
x，y)为
终点的有向线段
M
0
M的数量M
0
M
来自百度文库
，当点M
在M
的上方时，
0
t 0；当点M 在M 0的下方时，t 0.
【例1】在极坐标系中，已知点A( 2，0)到直线l：sin( ) m
4
m 0的距离为3. 1 求实数m的值；
uuur uuur
2设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足 OP gOQ 1，
求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
将极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到 直线的距离公式求得m的值；极坐标系下的轨迹方程的 求解与直角坐标系下的轨迹方程的求解方法类似，此处 可用动点转移法解决．
因此t1
t2
1
2 cos sin
2
，t1t2
1 ，
1 sin2
15
因为t1 2t2，所以18csoisn22 1，
所以k 2 7 ，y 7 x 1，
2
2
与椭圆方程联立得
x1
5 4
， x 2
1 2
，
y1
14 8
y
2
14 4
所以SVABF
12 2
y1 y2
3 14 . 8
t1 t2 2
4t1t2
4 2. 5
12
利用直线参数方程的几何意义是求弦长的常用 方法，但需注意直线的参数方程必须是标准形式，
即
x y
x0 at (t为参数)，当a2 y0 bt
b2
1，且b
0时才
是标准形式，若不满足a2 b2 1，且b 0两个条件，
则弦长为d
1 b 2 a
依题意可知A6, 0，B 0,3，由重心坐标公式可知，
x y
6 0
0 3
6 cos
3
3sin
3
2 2 cos 1 sin
5
1以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角
坐标系，则点A的直角坐标为( 2，0)，直线l的直角坐标方
程为x y 2m 0.因为A到直线l的距离d |
1 m 3，所以m 2.
2由1得直线l的方程为sin( ) 2.
4
设P(0 ,0 ),Q(, )，
则
0
0
1
0
0
1
.①
2 2m | 2
t1
t2
.
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【变式训练】(2011g浙江选考)已知直线l： xy
1 t cos
t sin
(t为参数，a为l的倾斜角，且0 a )与曲线
C： x y
2 cos sin
( 为参数)相交于A、B两点，点F的坐标
为1, 0．
1 求ABF的周长；
2若点E 1, 0 恰为线段AB的三等分点，求VABF的面积．
3
椭圆
x a
2 2
y2 b2
1a
b 0的一个参数方程为：
x
y
a b
cos sin
(
为参数)．
3
4抛物线y2 2px p 0的参数方程为：
x
2
pt 2
(t为参数)．
y 2 pt
由于 y 1，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物 xt
线的顶点连线的斜率的倒数．
4
1.极坐标问题
14
1因为C：x
y
2 cos sin
(为参数)，则
x2 2
y2
1，直线
为y k x 1，因此直线过椭圆左焦点F1 1, 0，因此
VABF的周长为4a 4 2.
2 对于
x2 2
y2
1与直线l： xy
1 t cos t sin
(t为参数)
交于点A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，得(1 sin2 a)t2 2t cos a 1 0，
7
直角坐标与极坐标互化要注意互化的前 提．若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程 化为直角坐标方程，再判断．在直角坐标系中， 求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法， 动点转移法．在极坐标系中，求曲线的极坐标 方程，这几种方法仍然是适用的．
8
【变式训练】(2011g5月名校创新试卷)如图，在极坐标系中，
6
因为点P(0，0
)在直线l上，所以r0sin(0
4
)
2.②
将①代入②，得 1 sin( ) 2，即 1 sin( )．
4
2
4
这就是点Q的轨迹方程．
化为直角坐标方程为(x 2 )2 ( y 2 )2 1 .
8
8 16
因此点Q的轨迹是以(1 ，3 )为圆心，1 为半径的圆．
44
4
由条件可知直线的参数方程是
x 1
2t 2 (t为参数)，
y
1
2t 2
1 2 t2 代入椭圆方程可得 2 (1
2 t)2 1，
4
2
11
即 5 t2 3 2t 1 0. 2
62
设方程的两实根分别为t1，t2，则
t1 t1t2
t2
2 5
5
，
则直线截椭圆的弦长是 t1 t2
已知曲线C1：
2cos (0
2
)，O1
1, 0 ，
C2：
4cos (0
2
)，O2
2, 0 ，
射线
a(
0, 0
2
)与C1，C2
分别交于A、B(不同的极点)．
1
若a
6
，求直线BO2的极坐标方程；
2 试用a表示图中阴影部分的面积．
9
1在直线BO2上任取点P(， )，sin2
2
sin(
)
，
3
3
所以直线BO2的极坐标方程为