高一上学期数学知识点总结

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。

（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）2.遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔ u u A B ⊇； ⑷u u A B A B =∅⇔⊆； ⑸u A B U A B =⇔⊆； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =_ _ （答：[4,)+∞）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ∉求实数a 的取值范围。

（答：(]519253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，） 7.四种命题及其相互关系。

若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。

提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。

8.充要条件。

关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

若p 是q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2） 二、不等式1. 不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦； ⑧，则。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知，，则的取值范围是______（答：[]1,7）（3）已知，且则的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如设，，，试比较的大小（答：p q >）3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b>的形式，若0a >,则b x a >；若0a <,则b x a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。

尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：如解关于x 的不等式：01)1(<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<） 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。

首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。

对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)6. 一元二次方程根的分布理论。

方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？ （0()02f k b k a ∆≥>->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、0()0()02f m f n b m an ∆≥>><-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、()0f k <）。

根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-） 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。

如（1）32ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为________（答：),1()1,(+∞---∞nm ）；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。

8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

如：（1）解不等式。

（答：[){}1,2+∞-）（2）不等式的解集是____（答：[){}3,1+∞-）（3）设函数、的定义域都是R ，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：()[),12,-∞+∞）（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是.（答：817,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭） 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如：（1）解不等式 （答：()()1,12,3-）（2）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（答：()(),12,-∞-+∞）10. 绝对值不等式的解法：（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：R ）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式（答：()(),12,-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围。

（答：43⎧⎫⎨⎬⎩⎭）11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）12. 含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.如设，实数满足，求证： 13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。