因式分解的几种方法

因式分解的几种方法
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。

是解决许多数学问题的有力工具。

把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解的几种方法
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3-2x2-x
x3-2x2-x=x(x2-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2+4ab+4b2
解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2+5n-mn-5m
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且
ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2-19x-6
分析：1×7=7,2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2+6x-40
解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40
=(x+ 3)2-(7 )2
=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)
解：2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2
=x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
令y=x+,
x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
= x2[2(y2-2)-y-6]
= x2(2y2-y-10)
=x2(y+2)(2y-5)
=x2(x++2)(2x+-5)
=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)
例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 ,
则2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
(这种方法在以后学函数的时候会用到。

现在只是作为了
解内容，它和第八种方法是类似的)
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为
f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例9、因式分解x3+2x2-5x-6
解：令y=x3+2x2-5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x3+9x2+23x+15
解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为
x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以解得
则x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
因式分解的几种方法
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2x-3x=0
解：x(2x-3)=0
x1=0,x2=3/2
这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：x-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式
a 2 -
b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1.a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1.c2的积c1.c2，并使a1c2?a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三：把2x-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2=1×2=2×1;
分解常数项： 222。