线性代数习题 [第一章]行列式
线性代数1-5章习题
线性代数习题集皖西学院金数学院编制第一章 行 列 式一、判断题1.行列式如果有两列元素对应成比例,则行列式等于零. ( 1 )2. 213210124121012342=-.( 2 ) 3. 13434121.42042=-( 1) 4. 123213123213123213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 123123123123123123.a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 )7. 312143245328836256=.( 2 ) 8. 111213212223313233a a a a a a a a a 122r r + 111213211122122313313233222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9.如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必等于零. ( 1 )10. 如果方程个数与未知数个数相等,且系数行列式不为零,则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题1.若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项,则,r s 的值为( B ). A.1,1r s == B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是( C )A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式21120312x--=-, 则x =( C ). A.–2 B. 2 C. -1 D. 14.行列式0000000000a b c d e f的值等于(B ).A. abcdefB. abdf -C. abdfD. cdf5.设abc ≠0,则三阶行列式000dc b a的值是( C ). A .a B .-b C .0 D .abc 6.设行列式2211b a b a =1,2211c a c a =2,则222111c b a c b a++=( D ).A .-3B .-1C .1D .37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,则,a b 必须满足( D )..0,0A a b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠8. 215152521112223030223-=---是按( B )展开的.A .第2列B .第2行C .第1列D .第1行9.设111211212n i i in n n nna a a D a a a a a a =L L LL L L L LL L L L L L L L L则下式中( B )是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++=L 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++=L 1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++=L 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++L10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为( C ). A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 三、填空题1. 排列36715284的逆序数是____13____.2. 四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是____正___. 3.若,0211=k 则k=_1/2__________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____-2________.5.598413111=_____5_____. 6.行列式0001001010000100=__-1____.7.行列式004003002001000=______24____. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于_____0_____.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=____16______. 10. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =____(1)i j ijM +-______,nD 按第j列展开的公式是n D =____1122j j j j nj nj a A a A a A +++L ______.第二章 矩 阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵,B 是32⨯矩阵,则AB 是22⨯矩阵. ( 1 )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( 2 )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( 2 )4.若A 是n 阶对称矩阵,则2A 也是n 阶对称矩阵. ( 1 ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( 2 )6. 若,A B 为同阶可逆矩阵,则11()kA kA --=. ( 2 )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( 2 )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( 1 )9.设,A B 为同阶方阵,则 A B A B +=+. ( 2 )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵,则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( 1 ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵,则下式中( D )是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且,必有 222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯,则下列运算有意义的是( A )..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯,做乘积AB 则必须满足( C )..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫= ⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A ( D )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则*=A ( A )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dB .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是( C )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 7. 设2阶方阵A 可逆,且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173,则A=( B ). A .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛21738. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为( B ).A. kA B. n k A C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆,则有(C )..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵,则( C )是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100021013B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2+=A B _____320252027⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___326010142⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31,则A T B =______7______. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1,2,3)=______ 123246369⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭____.5.n 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=___11112222n n n n ----⎛⎫⎪⎝⎭_______. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** =________ 2554⎛⎫⎪⎝⎭______________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202,则A *A =_____6666⎛⎫ ⎪⎝⎭________. 8.设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛4321,则行列式|A 2|=_____4_____. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,且det(A)=ad-bc≠0,则A -1=____ 1d b ad bc c a -⎛⎫⎪--⎝⎭______ . 10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵,则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭ _____ 11.--⎛⎫⎪⎝⎭O B AO __________.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是( B )(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2.设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是( D )(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3.设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =,若m n <,则( C )(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4.已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解,12,αα是导出组0AX =的基础解系,12,k k 为任意常数,则AX b =的通解是( B ) (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5.设A 为m n ⨯矩阵,则下列结论正确的是(D )(A) 若0AX =仅有零解 ,则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ,则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ,则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解 ,则0AX =有非零解6.线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ( C )(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题1.若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量, 则αβ-是方程组0Ax =的解。
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14.11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16.在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ,则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ,则128.若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3.四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4.若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06.行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7.行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128.如果D a a a M21 22 23 ,则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329.已知某5 阶行列式的值为5,将其第一行与第 5 行交换并转置,再用 2 乘所有元素,则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110.行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111.n 阶行列式.1 1 112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.1 2 3 413.设行列式5 6 7 8D ,A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式,4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14.已知c b a bD , D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ,A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式,则15.设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ,A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016.已知行列式D 1 0 3 0 ,D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317.齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318.若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解,则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2.xyxyxyxyxyxy1.;x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3.解方程0x 1 1 0 ;4.a1a2x an21;1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n);1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2;8.a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011.D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1.设abcd 1,证明:021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12. a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3. 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4.2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15.设a, b, c两两不等,证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B二.填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三.计算题3 y3 1.(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ; 2. 2(x ) ;n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( ) 。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2.二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是( C )A .k ≠-1B .k ≠3C .k ≠-1且k ≠3D .k ≠-1或≠3 3.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( B )+n (m+n )4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式( A ) A.32D.38 5.下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C . 100003010- D . 261422613-6.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( B )A .-2B .-1C .1D .28.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =( B )9.(考研题)行列式0000000a b abc d c d=( B ) A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中(3,2)元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ,则5A 14+A24+A 44=_______。
解答:5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4.已知行列式011103212=-a ,则数a =____3______.5.若a ,b 是实数,则当a =___且b =___时,有=---10100a b b a 0。
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 (2) 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
(C) C PT AP
(D) C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵,交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 (1)证明 B 可逆;(2)求 AB-1
(C)当 n m 时,必有 AB 0
(D)当 n m 时,必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵,B 为 p n 矩阵,若 AB=0 证明: R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵,且 A2=A,若 R( A) . 证明 R( A E) n r ,其中 E 为 n 阶单位阵
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯:⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯:⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯:⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列(3729m14n5)偶排列, m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方, A 2, 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之(即a14a23a32a41)一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ;(2)2 4 2 =_0___;封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ;= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方,且,,, A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
;3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解,abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上,行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的,符号是 + 。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 , 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ,于是 λ = 1,−1,故正确答案为(B).
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1;于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7,故正确答案为(B).
例 1.2 下列排列中( )是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知:排列 54312 的逆序数为 9;排列 51432 的逆序数为 7;排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1.会求 n 元排列的逆序数; 2.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式; 3.深入领会行列式的定义; 4.掌握行列式的性质,并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式; 5.灵活掌握行列式按(列)展开; 6.理解代数余字式的定义及性质; 7.会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解.
(2) A34 + A35 = ( ), (3) A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = ( ).
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值,而是注意观察要求的表达式的结构,
线性代数作业习题
第一章:行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2:::::2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解:首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到:-1 0 0 02 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出:(-1)*2*(n-2)!2、计算下列行列式:|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解:|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式:1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解:根据行(列)与行(列)之间互换,行列式值改变符号。
所以第一列与第二列互换,得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列,第四列乘以-1加上第二列,结果如下。
0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列,第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算,得出= (-14)+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解:原式=([1-x²]²+4x²)/(1+x²)²=(1+x²)²/(1+x²)²=15、设A B为n阶方阵,满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0,求|A+B|解:原式=([1-x²]²+4x²)/(1+x²)²=(1+x²)²/(1+x²)²=1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章:矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求:AB解:AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵,求A(-1)A*解:AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵(A+B)的逆等于不等于A的逆加B的逆解:一般不等于,反例:令A=B=E则(A+B)=2E,(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解:r(A)=3因为[1 3 2][2-4-1][3-2 0]的行列式不为0,说明原矩阵有一个3阶子式不为0,秩至少是3;又因为原矩阵是3*4的矩阵,它的秩最多为3,所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解:设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章:向量空间1、已知α1=(1,1,2,-1)α2=(-2,1,0,0,)α3=(-1,2,0,1)又β满足3(α1-β)+2(α3+β)=5(α2+β)求β解:由题设,有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关,向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示,而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。
线性代数练习册练习题—第1章 行列式
第1章 行列式及其应用一、填空题1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2.排列36715284的逆序数是 。
3.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = , s = ,t = . 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5.若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项,则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ,则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8.行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10.若方程225143214343314321x x -- = 0 ,则 .11.行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ,设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-,2,0,1,它们的余子式依次分布为5,3,,7-4,则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k .二.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x ( ).(A )2 (B )2- (C )3 (D )3-2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = ( ).(A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x 根的个数是( ).(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 4.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( ). (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为( ).(A )3,2==l k ,符号为正 (B )3,2==l k ,符号为负 (C )2,3==l k ,符号为正 (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是( ).(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7.如果133********21131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( ). (A )8 (B )12- (C )24- (D )24 8.如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=,则=1D ( ). (A )18 (B )18- (C )9- (D )27-9. 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =( ). (A )8 (B )2 (C )0 (D )6- 10.若111111111111101-------=x A ,则A 中x 的一次项系数是 ( ).(A )1 (B )1- (C )4 (D )4-11.4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 ( ).(A )43214321b b b b a a a a - (B )))((43432121b b a a b b a a --(C )43214321b b b b a a a a + (D )))((41413232b b a a b b a a -- 12.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( ).(A )2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B )2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C )2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----= (D )2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 ( ). (A )3,2,1 (B )2,2,1- (C )2,1,0 (D )2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a ( ). (A )a (B )a - (C)a 2 (D )a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解,则 ( ).(A )0≠λ且1≠λ (B )0=λ或1=λ (C )0=λ (D )1=λ三、判断题。
行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 学号 第一节 n 阶 行 列 式一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,24.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数1-5章习题1
线性代数习题集第一章行列式一、判断题1.行列式如果有两列元素对应成比例,则行列式等于零. ( )2. 213210 124121 012342=-.( )3. 13434121.42042=-( )4.123213123213123213.a a ab b bb b b a a ac c c c c c=( )5.123123123123123123.a a a a a ab b b b b bc c c c c c---------=---( )6. n阶行列式n D中元素ij a的代数余子式ij A为1n-阶行列式. ( )7. 312143 245328 836256=.( )8.111213212223313233a a aa a aa a a122r r+111213211122122313313233222+++a a aa a a a a aa a a( )9.如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等,且系数行列式不为零,则方程组一定有解. ( )二、选择题1.若12532453r sa a a a a是5阶行列式中带正号的一项,则,r s的值为().A.1,1r s ==B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是( )A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式210120312x --=-, 则x =( ).A.–2B. 2C. -1D. 14.行列式0000000000a bc d e f的值等于( ). A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf5.设abc ≠0,则三阶行列式00000d c b a的值是( ).A .aB .-bC .0D .abc 6.设行列式2211b a b a =1,2211c a c a =2,则222111c b a c b a ++=( ).A .-3B .-1C .1D .37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,则,a b 必须满足( )..0,0A a b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠ 8. 215152521112223030223-=---是按( )展开的.A .第2列B .第2行C .第1列D .第1行9.设111211212ni i inn n nna a a D a a a a a a =则下式中( )是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++=1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为( ).A. 3B. -3C. 5D. -5 三、填空题1. 排列36715284的逆序数是________.2. 四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n 阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________,n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+6.计算n 阶行列式011110111101111.7. 计算n 阶行列式 00 n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n x a a a xaD a ax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩; 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩.七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解?第二章 矩 阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵,B 是32⨯矩阵,则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵,则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( )6. 若,A B 为同阶可逆矩阵,则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( )9.设,A B 为同阶方阵,则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵,则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵,则下式中( )是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且,必有222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯,则下列运算有意义的是( )..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯,做乘积AB 则必须满足( )..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A ( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则*=A ( ) A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C .⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 7. 设2阶方阵A 可逆,且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173,则A=( ).A .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛21738. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为( ).A. kA B. n k A C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆,则有( )..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵,则( )是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100021013B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31,则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1,2,3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** =______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202,则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛4321,则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,且det(A)=ad-bc≠0,则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵,则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1.已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;4).13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭;5).111213112312222321323333()a a a xx x x a a a xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1)25461321X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2)211113210432111X-⎛⎫-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭;3)142031121101X⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4)010100143100001201001010120X-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.设矩阵21=53A⎛⎫⎪⎝⎭,13=20B⎛⎫⎪⎝⎭,求矩阵方程=XA B的解X.5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣,求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭求-1A7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭,求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2500380000120025A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求:AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *.10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A .五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明TB AB 也是对称矩阵.2.设,A B 为n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =.3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆,且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵,且2,A A =且A E ≠,证明A 是不可逆矩阵.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是( )(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2.设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是( )(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3.设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =,若m n <,则( )(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4.已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解,12,αα是导出组0AX =的基础解系,12,k k 为任意常数,则AX b =的通解是( ) (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5.设A 为m n ⨯矩阵,则下列结论正确的是( )(A) 若0AX =仅有零解 ,则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ,则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ,则0AX =仅有零解(D) 若AX b =有无穷多解 ,则0AX =有非零解6.线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ( )(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题1.若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量, 则αβ-是方程组0Ax =的解。
(完整word版)线性代数练习题行列式
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3-2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C)(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x 根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A ] (A )665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ] (A )3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n 〉2)阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A ) 行列式主对角线上的元素全为零 (B ) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C ) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D ) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数练习册(第1章)
第一章习题一(行列式的基本概念)一、填空题1. 按自然数从小到大为标准次序,排列2413的逆序数是 .2. 按自然数从小到大为标准次序,排列4637251的逆序数是 .3. 按自然数从小到大为标准次序,排列()n n 2241213 -的逆序数是 .4.若排列4153972j i 为偶排列,则=i ,=j . 5. 四阶行列式中含有因子2311a a 的项是 . 6. 在5级行列式中,项4524513213a a a a a 前带的符号是 . 二、解答题 1. 求行列式的值.(1) 200146213-;(2) 987654321.2. 证明(1)))()((111222a c c b b a c b a c b a---=.(2)()32211122b a b b a a b aba -=+.(3)()()4242313144312211000000y y x x y y x x x y x y y x y x --=.第一章习题二(行列式的性质)一、填空题1.行列式403212101的值是 .2. 行列式211312707458-的值是 .3. 行列式322000000111d d c dc b a = .;=dcb a .二、解答题1. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214.(2)2605232112131412-.(3)efcfbf de cd bdae ac ab ---. 2. 证明(1)2222222224c b a b a bccabc a c ab ca ab c b =+++.(2)()()()()()()()()()()()()03213213213212222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .(3)()()()()()()()d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a dc b a+++------=444422221111.第一章习题三(行列式按行或列展开)一、填空题1.设4阶行列式1221304312107301----=D ,则(1)D 的代数余子式14A = ; (2) 1413121122A A A A -+-= ;2.行列式12334152--=aD 的代数余512=A ,则a = .3.行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=,则=+++41312111A A A A .二、解答题1.设1121013=z y x ,求111314111zy x ---.2. 计算n 阶行列式n222232222222221.3.证明1221100001001n nn n x xD x a a a a a x----=-+12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥.4.计算行列式00100200100000n D n n =-.5.计算n 阶行列式0001000000000001000n a a a D a a=.第一章习题四(克拉默法则)一、填空题1.如果线性方程组的系数行列式D ,则线性方程组一定有解且解是 .2.如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ,则齐次线性方程组没有 解.3.当=λ 时,齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+02,0,02,043214131x x x x x x x x λλ有非零解.二、解答题1.用克拉默法则解线性方程组.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+-=+--=+-.5534,12523,432,543321421431432x x x x x x x x x x x x2.已知齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--=++-0124,02,0332132321x x x x x x x x λλλ有非零解,求λ的值.3.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?4.问λ取何值时,齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--01,032,0421321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?5(思考题). 计算行列式βααββαβααββααββα+++++=10000010001000n D .。
线性代数第一章作业及其答案
第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是()(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2.二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是()A.k≠-1B.k≠3C.k≠-1且k≠3D.k≠-1或≠33.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=()A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式()A.32B.1C.2D.385.下列行列式等于零的是()A .100123123- B.031010300-C.100310-D.261422613-6.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =()A.-2B.-1C.1D.27.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=()A.-2B.-1C.1D.28.(考研题)行列式0000000ab a bc dc d=()A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。
2.行列式1112344916中位于(3,2)元素的代数余子式A 32=。
3.设1578111120963437D --=--,则1424445A A A ++=。
4.已知行列式212300111a=-,则数a =。
5.若a ,b 是实数,则当a =且b =时,有000101ab ba-=--。
6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ,则2x 的系数为。
7.五阶行列式000130003201830207530026=。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2.二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是( C )A .k ≠-1B .k ≠3C .k ≠-1且k ≠3D .k ≠-1或≠3 3.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( B )+n (m+n )4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式( A ) A.32D.38 5.下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C . 100003010- D . 261422613-6.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( B )A .-2B .-1C .1D .28.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =( B )9.(考研题)行列式0000000a b abc d cd=( B ) A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a dbc - D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中(3,2)元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ,则5A 14+A 24+A 44=_______。
解答:5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4.已知行列式011103212=-a ,则数a =____3______.5.若a ,b 是实数,则当a =___且b =___时,有=---10100a b b a 0。
线性代数习题(带答案解析)
0010 01 00 10第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题 1.下列排列是 5 阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 415232.如果 n 阶排列 j 1j 2 j n 的逆序数是 k, 则排列 j n (A)k (B)n k (C)n! k2 3. n 阶行列式的展开式中含 a 11a 12 的项共有 ( )项 0 0 0 1 4. 0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 0(A) 0 (B)n 2 ( ). (C) (n 2)! (D)24351j 2 j 1的逆序数是 ().(D)n(n 1) k2 .(D) (n 1)!(A) 0 (B) 1(C) 1 (D) 2(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 200(01 00).2xx 1 6.在函数 f(x) 1 x 1 3 2 x 0(A) 0 (B) 1a 11 a 12 a 137. 若 D a 21 a 22 a 231 2 ,则a31 a 32 a 33(A) 4 (B) 4 8.若 a 11 a 12 a ,则 a 12 ka 22 a 21 a 22a 11 ka 21 ((A)ka (B) ka D 1123 1 9. 已知 2,5,1,x , (A) 0 10. 若 D (A) 1 11. 若D中 x 3 项的系数是 ((C)2a 112a 212a 31a 13 a 23 a 33(C) 2 ). (C)k 2a ).(D) 2a 11 2a 12 a 21 2a 22a 31 2a 32).(D) 2 (D) k 2a 4 阶行列式中第 1 行元依次是 4,0,1,3, 第 3 行元的余子式依次为 86 1 47 2 1 3). (B) 3(C) 3 (D) 23 1 0 5 0 1 1 34 3 1 7 3 11 5 (B) 24 1 02 010 2,则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ((C) 3 (D)0,则 D 中第四行元的余子式的和为 ( ).).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0x 1 x 2 kx 3 0x 1 kx 2 x 3 0 有非零解 . kx 1 x 2 x 3 0二、填空题1. 2n 阶排列 24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是 .2.在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26 所带的符 号是 .3.四阶行列式中包含a 22a 43 且带正号的项是.4.若一个 n 阶行列式中至少有 n 2 n 1个元素等于 0, 则这个行列式的值等于100 0 2 06.行列式0 0 0 n 1 n 0 0 0(A) 1(B) 2 (C) 3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组5. 行列式11 10 01 119.已知某 5 阶行列式的值为 5,将其第一行与第 5 行交换并转置,再用 2 乘所有元素,则所得的新行列式的值为1 1 1 x1 10.行列式1 1 x1 1 1 x1 1 1x111 1111 11. n 阶行列式1 1 111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为 1,2,3, 其对应的余子式依次为 3,2,1,则该行列式的值为234a 11 7.行列式a 21a 1(n 1) a 1n a 2(n 1)a n1a 11 a 12 a 13a 11 a 13 3a 12a 21 a 22 a 23M ,则 D 1a 21 a 23 3a 22 a 31 a 32a 33a 31a 33 3a 325 13.设行列式 D 548 6732765A 4j (j 1,2,3,4)为D 中第四行元的代数余子式,008 . 如果D(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D)0则4A41 3A42 2A43 A441.0 仅有零解的充要条件是x 1 x 2 x 3 0、计算题abcd2222xyxy ab 2cd 2; 2 .3333yxy xab 3c d 3xyxybcd acd abdabc14. 已知 D D 中第四列元的代数余子式的和为15. 设行列式 1 3 1 12 3 5 1 3 4 6 26, A 4j 为 a 4j (j 1, 2, 3, 4)的代数余子式,则A 41 A 4216. 1 3 5 2n 1 1 2 00 1 0 3 0 1 0 0nA 43 A 44 已知行列式 D, D 中第一行元的代数余子式的和为kx 1 2x 217. 齐次线性方程组 2x 1 kx 218.若齐次线性方程组x 1 2x 22x 2 5x 3 3x 1 2x 2 kx 3x 3 00有非零解,则 0k=x 301x 1111 (a j 1, j 0,1, ,n);1111 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1(n 1) b1111x a1a2a n b1a1a1a1a1x a2a n7.b1b2a2a2;8 .a1a2xa n3.解方程1xx a1a1x a2a2a n 2a n 2 4.a1a2xa n 2a1a2a3xa1a2a3a n 1a0 1 11 a1 1 5. 1 1 a2 1 1 11 101x 1b3a n a1a2a3x b1b29.21 x1x2x1x1x221 x2x1x nx2x n x n x1x n x2 1 x n21a a011a a11.D011a0010000000a01 a a1 1 a10.2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 00 0 0 2 10 0 0 1 2四、证明题121.设abcd 1,证明:b2 b120.a1 b1x a1x b1 c1a1 b1 c1 2.a2 b2x a2x b2 c2(1 x2)a2 b2 c2a3 b3x a3x b3 c3a3 b3 c31参考答案.单项选择题A D A C C D A B.填空题3. a 2 a 4 a 1 b b 2 b 4 c 2 c 4 c1 dd 2 d 4(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)(a b c d).111a 1a 2a n2 22a 1a 2a nn2n2n2a 1a 2a nnnna 1a 2a n4.na i(a j a i ).i15. 设 a,b,c 两两不等, 证明1bb 30 的充要条件是 a b c 0.n( n 1)7.( 1)a 1n a 2(n 1) a n1 ;16.n!(1 1); 17.k 2,3; k1k三.计算题n14. (x a k ) k11. n2. “ ”3.a 14 a 22 a 31 a 43 ; 4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ; 1.(a b c d)(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)2. 2(x 3 y 3 );5. n n 1 (a k 1)(1 1 );k 0 k 0 a k 1 k 0 a k 1 6. (2 b)(1 b) ((n 2) b);7.n ( 1)n (b k a k ) ; k1 nn8. (x a k ) (x a k ) ;k 1 k 19. n 1 x k ; k110. n 1;11. (1 a)(1 a 2 a 4). 四 . 证明题 (略) 第二章 矩阵8. 3M ; 9. 160; 10.x 4 ; 11.( n) n 1; 12. 2 ; 13.0; 14.0; 15.12, 9;18.k 73. x 2,0,1;12、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是 ( )2(a) A 2 A 2 (b)A 2 B 2 (A B)(A B) (c)(A B)A A 2 AB (d)( AB)T A T B T2. 设方阵 A 、B 、C 满足 AB=AC,当 A 满足( )时,B=C (a) AB =BA (b) A 0 (c) 方程组 AX=0 有非零解 (d) B 、C 可逆3. 若 A 为 n 阶方阵, k 为非零常数,则 kA ( )4. 设 A 为 n 阶方阵,且 A 0,则( )。
线性代数习题参考答案
第一章行列式§1 行列式的概念1.填空(1) 排列6427531的逆序数为,该排列为排列。
(2) i= ,j= 时,排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列,则该项的符号为号;若为偶排列,该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中,含152332445166a a a a a a的项的符号为,含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2.用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解:该行列式的3!项展开式中,有项不为零,它们分别为,所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行列式值为。
3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。
证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。
4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多,则此行列式为0,为什么?5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少?(提示:利用3题的结果)6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)201141183---(2)222111ab c a b c§2 行列式的性质1.利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2. 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ (提示:将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明)(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示:从最后一列起,后列的x 倍加到前一列)3. 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为:1,0,2,4-;第四行元素的对应的余子式依次是2,10,a ,4,求a 的值。
线性代数第一章行列式课后练习
第一章会计算反序数,掌握行列式的性质,会计算行列式,掌握克莱姆法则 第22页 习题一(A 组) 2.计算下列各行列式. (1)|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 (2)307220583 =|307−2201303| =2⋅(−1)2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164. (3)|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30(4)|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|1111012300130014|=|1111012300130001|=1 (5)5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 (6)|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8(第一行乘-1加到下面各行)4、k 取何值时,下列齐次线性方程组仅有零解?(系数行列式不等于0) (1){3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4 第25页习题一(B 组)1.单项选择题(1) 关于行列式,下列命题错误的是(B ).A. 行列式第一行乘以2,同时第二列除以2,行列式的值不变 B .互换行列式的第一行和第三行,行列式的值不变 C .互换行列式的任意两列,行列式仅仅改变符号 D . 行列式可以按任意一行展开(2) 关于行列式,下列命题正确的是(A ). A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B .互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C .如果行列式有一行的所有元素都是1,则这个行列式等于零D . 以上命题都不对(3)下列命题错误的是( B ).A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零,则该方程组有唯一解 B .如果线性方程组的系数行列式不等于零,则该方程组无解C .如果齐次线性方程组的系数行列式等于零,则该方程组有非零解D .如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则该方程组只有零解 (4)排列1 6 5 3 4 2的逆序数是( B ).0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B .9 C .7 D . 6(5)212431235-的代数余子式12A 是( C ).A. 2143-- B .2143- C .4125--D . 4125-2.填空题.(1)|1−221|= 5(2)|123045006|=1×4×6=24(3)若52k 74356=,则k =_7_________.(4)212431235-的余子式32M =|22−41|,代数余子式32A =−|22−41|.(5)若a c 3b d=,则2a 2c2b 2d-=--12,a 2cb 2d --=--6,2a 2cb d=---6.(6)已知k341k 000k 1-=,则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中,确定下列各项的符号.a 13a 24a 31a 42 t (3412)=2+2=4 所以a 13a 24a 31a 42的符号是正号.a 34a 23a 41a 12 将行标按自然顺序排列a 12a 23a 34a 41 t (2341)=1+1+1=3 所以a 34a 23a 41a 12的符号是负号.4、(1)|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 (将第一行加到第二行后,第二行和第四行元素对应相等)(2)方法一:|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二:|1201135001561234|=|1201015−101560033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21 (3)a b b bb a b b b b a b b b b a=|a +3b b b b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3(4)x yy xx x y yyx x y+++ =|2x +2y yx 2x +2y x +y y 2x +2y x x +y |=|2(x +y)yx0x y −x 0x −y y| =2(x +y )|xy −x x −y y |=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3)或者:x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x y x x y+++++++11(22)1(22)010y x y xx y x y y x y xy x xx yx yy=++=+-+- 2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1.利用对角线法则计算行列式,它只适用于 2、3 阶行列式;
2.利用 n 阶行列式定义计算行列式;
3.利用行列式的性质化三角形法计算行列式;
(C) 10 (D) 9
解 在排列 14536287 中,1 排在首位,逆序数为 0;4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数,故这四个数的逆序数为 0;3 的前面比它大的数有 2 个(4、5),故逆序数为 2;
2 的前面比它大的数有 4 个(4、5、3、6),故逆序数为 4;7 的前面比它大的数有 1 个(8),
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和,故共有 n!项. 1.2.2 行列式的性质
1.行列式和它的转置行列式相等; 2.行列式的两行(列)互换,行列式改变符号; 3.行列式中某行(列)的公因子可提到行列式的的外面,或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行(列);
4.行列式中若有两行(列)成比例,则该行列式为零; 5.若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和, 即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0. 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
习题1—1 全排列及行列式的定义
1. 计算三阶行列式123
4
56789。
2. 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。
3. 利用行列式的定义计算下列行列式:
⑴0
004003002001
0004
D
⑵0
0000000052
51
42413231
2524232221
151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =
⑶0
10000
200
0010Λ
ΛΛΛΛΛΛn
n D n -=
4. 利用行列式的定义计算210111()0211
1
1
x
x x f x x x
-=
中34
,
x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质
1. 计算下列各行列式的值:
⑴
2141
012112025
62
-
⑵ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab
---
⑶
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2. 在n 阶行列式nn
n n n n a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛ2
1
222
2111211
=
中,已知),,2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=,
证明:当n 是奇数时,D=0. 3. 计算下列n 阶行列式的值:
⑴x
a
a
a x a a a x
D n Λ
ΛΛΛΛ=
⑵n
n a a a D +++=
11
1
11111121
Λ
ΛΛΛΛ()120n a a a ≠L
习题1—3 行列式按行(列)展开
1. 已知ij A 是行列式1
22
30
5
4
03
--的元素ij a (3,2,1,=j i )的代数余子式,求323127A A +的
值。
2. 按第三列展开下列行列式,并计算其值:
1
1
111110101
d
c
b a ------
3. 计算下列n 阶行列式的值
⑴a
a a a
D n 0
1
0000
00
100Λ
ΛΛΛΛΛΛ=
⑵x
y
y x y x y x D n 0
0000
00
000Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ=
4. 试用数学归纳法证明:
n n n n n n n
n a x a x a x a x a a a a x x x
D ++++=+---=
----1111
2
2
110000
0100001ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛ
习题1—4 克拉默法则
1. 用克拉默法则解下列方程组:
⑴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+--=-+4452227253
2z y x z y x z y x
⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++8
232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x
2. 判断齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解
3. 问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解
4. λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解。