集合与简易逻辑试卷及详细答案

集合与简易逻辑一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}3．已知Z A＝{x∈Z|x＜6}，Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是()A．AB B．ABC．A＝B D．Z A Z B4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是()A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)7．下列命题中，真命题是( )B ．x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件8．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a c 2>b c 2”是“a >b ”的充要条件，则( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假9．命题p ：x ∈R ，x 2＋1>0，命题q ：θ∈R ，sin 2θ＋cos 2θ＝，则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧qC ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )10．已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行11．命题“x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤512．设x ，y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．14．命题“x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，x1∈[－1,2]，x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m ∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A R B，求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)已知命题“x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋6>1}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|x－2x－3a＋1<0}，B＝{x|x－a2－2x－a<0}．(1)当a＝12时，求(U B)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C R A，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．答案C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．故选C项．2解析依题意知A＝{0,1}，(U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．答案A4．D．既不充分也不必要条件答案B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.6．答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题绨q是真命题，于是(绨p)或(绨q)是真命题．7．答案D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1ab>1. 8．答案A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成立，故命题q是真命题．因此选A.9．答案D解析易知p为真，q为假，非p为假，非q为真．由真值表可知p∧q假，(非p)∧q假，(非p)∨q假，p∧(非q)真，故选D.10．答案A解析命题“若A，则B”的否命题为“若绨A，则绨B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.11．答案C解析命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．答案充要解析∵“x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．16．答案 (0，12]解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)2。

(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析 由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.∴⎩⎨⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1.∴m >5或m <－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18． 答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 依题意知，对任意x ∈R ，都有|x －a |＋|x ＋1|>2；由于|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，因此有|a ＋1|>2，a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．19． 答案 (1){x |－6<x ≤－2} (2)m ≤3解析 (1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}． ∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4}＝{x |－6<x ≤－2}．(2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①当m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件．②当m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎨⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.综上，实数m 的取值范围为m ≤3.20． 答案 (1){x |94≤x <52}(2)[－12，13)∪(13，3－52]解析 (1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52<0}＝{x |2<x <52}，B ＝{x |x －94x －12<0}＝{x |12<x <94}， ∴U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}．∴(U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴AB .∴⎩⎨⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝，不符合题意．③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由AB ，得⎩⎨⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a <13. 综上所述，实数a 的取值范围是[－12，13)∪(13，3－52]．21． 答案 (1)(－4，－3]∪[1,2) (2)[－22，0)解析 (1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)． 又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，知a ≠0.①当a >0时，由(x －1a 2)(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C R A ； ②当a <0时，由(x －1a 2)(x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C R A ，则1a 2≥2，解得－22≤a <0或0<a ≤22.又a <0，所以－22≤a <0.综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)．22． 答案{a |a >2或a <－2}解析 由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0.∴x ＝a 2或x ＝－a .∴当命题p 为真命题时|a 2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．。