线性规划及对偶问题

控连续变量，目标函数和约束条件则是决策变量的线性函数，则称为线性规划问
题。（P12例1.3）
3. 线性规划模型表示形式
（1）一般形式：
Max(Min)Z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12 x2
s.t.
a21x1
a22
x2
am1x1 am2 x2
x1, x2, , xn 0
【例3】 将线性规划模型一般表达式化为矩阵形式。
MaxZ 70x1 65x2
7x1 3x2 210
s.t.
42xx11
5x2 4 x2
200 180
x1 0, x2 0
解:
MaxZ
(70, 65)
x1 x2
7 3
210
4 2
5 4
x1 x2
200 180
设: X (x1, x2 )T
4
3
X4
x5
Min z=2x1+6x2+5x3+4x4+3x5
0.50x1+2.00x2+3.00x3+1.50x4+0.80x5≥85
0.10x1+0.06x2+0.04x3+0.15x4+0.20x5≥5
0.08x1+0.70பைடு நூலகம்2+0.35x3+0.25x4+0.02x5≥18
x1~x5≥0
由决策变量、目标函数和约束条件构成的问题称为规划问题，如果决策变量为可
a1n xn (或 ，）b1 a2n xn (或 ，）b2
amn xn (或 ，）bm
xj ( j 1, 2, , n) cj ( j 1, 2, , n)
——决策变量； ——目标函数系数、价值系数或费用系数；
bi (i 1, 2, , m) ——右端项或资源常数；
aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ——称为约束系数或技术系数。
第1章 线性规划及对偶问题
课时：8学时 主讲：关文忠
教学要求与主要内容：
教学要求： 通过本章的学习，了解线性规划及其对偶问题的基本理论；
掌握线性规划求解的基本方法——单纯形法,了解对偶单 纯形方法，熟悉灵敏度分析的方法；会建构线性规划模型， 并会用“规划求解”模板进行求解。 主要内容： 1.1 线性规划模型 1.2 线性规划求解基本方法 1.2.1 图解法 1.2.2 单纯形法简介 1.3 线性规划对偶问题 1.4 线性规划应用举例 本章小结
j 1
j 1
2.约束条件为不等式:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 引进松驰变量xs:
ai1x1 ai2 x2 ain xn xs bi
3.约束条件为不等式:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 引进剩余变量xs:
ai1x1 ai2 x2 ain xn xs bi
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ≥0
s.t.
a21x1
a22
x2
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2, xn 0
非标准形式标准化方法：
1.目标函数
令Z ' Z
n
MinZ c j x j j 1
n
n
MaxZ ' c j x j (c j )x j
1.1 线性规划(Linear Programming)模型
1.1.1 问题的提出
产品甲 产品乙
生产能力 (小时)
设备A
7
3
210
设备B
4
5
200
设备C
2
4
180
计划利润 (元/件)
70
65
目标函数 约束条件
max z 70x1 65x2
7x1 3x2 210
s.t.
4 2
x1 x1
5x2 4x2
4.决策变量为自由变量:
令x j u v u 0, v 0
5.约束右端项为负:
两端乘-1:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
【例4】将线性规划模型转化为标准式
MinZ 3x1 5x2 x3
例2
饲料 营养甲(克/公斤) 营养乙(克/公斤) 营养丙(克/公斤) 成本(元/公斤) 设
1 2 3 4 5 需要
0．50 2．00 3．00 1．50 0．80 85克
0．10 0．06 0．04 0．15 0．20 5克
0．08 0．70 0．35 0．25 0．02 18克
2
X1
6
X2
5
X3
n
（2）集合形式： Max(Min)Z c j x j
s.t.
n j 1
aij x j
j 1
(或 ，）bi (i
1, 2,
, m)
x
j
0(
j
1, 2,
, n)
n
（3）向量形式： Max(Min)Z c j x j
s.t.
n j 1
pjxj
(或
j 1
，）b
x j 0( j 1, 2,
, n)
（4）矩阵形式：
a1 j
pj
a2 j
,
(
j
1, 2,
, n)
b1
b
b2
amj
bm
Max(Min)Z CX
x1
a11 a12
a1n
AX (或 ，）b
s.t.
X 0
C (c1, c2 ,
X
x2
, cn )
xn
A a21 am1
a22 am2
a2n amn
3.约束条件
1.1.2 线性规划模型
1.适用条件： （1）优化条件:问题目标最大化、最小化的要求； （2）约束条件:问题目标受一系列条件的限制； （3）选择条件:实现目标存在多种备选方案； （4）非负条件的选择:根据问题的实际意义决定是否非负。 2. 构建线性规划模型的步骤 （1）科学选择决策变量 （2）根据实际问题的背景材料，找出所有的约束条件 （3）明确目标要求 （4）确定是否增加决策变量的非负条件
200 180
x1, x2 0
设：产品甲生产x1，产品乙生产x2
目标：Max z=70x1+65x2 约束条件：
设备A生产能力限制：7x1+3x2≤210
设备B生产能力限制：4x1+5x2≤200
设备C生产能力限制：2x1+4x2≤180 产量非负限制： x1，x2≥0
决策变量
三要素：
决策变量
1.决策变量 2.目标函数
C (c1, c2 ) (70, 65)
a11 a12 7 3
A a21
a22
4
5
a31 a32 2 4
b1 210
b
b2
200
b3 180
MaxZ CX
s.t
AX X 0
b
1.1.3 线性规划标准形式
线性规划标准模型的一般表达式：
MaxZ c1x1 c2x2 cn xn