上海市2018-2019学年曹杨二中高一上期末数学期末试卷
上海市-曹杨二中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
曹杨二中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为2. 若120°角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为3. 已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为4. 在等差数列{}n a 中，165a a +=，43a =，则8a 的值为5. 若a 、b 为单位向量，且2()3a a b ⋅+=，则向量a 、b 的夹角为 （用反三角函数值表示）6. 已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为7. 若4sin 25θ=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角 8. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是9. 若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=10. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于11. 如图，P 为△ABC 内一点，且1135AP AB AC =+，延长BP ， 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为12. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数x 、y 、z 满足229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=二. 选择题13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ）A. 0d <B. 0d >C. 160a <D. 160a >14. 已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +⋅=+-（n *∈N ），则42a a 的值为（ ） A. 1615 B. 43 C. 13D. 8315. 在非直角△ABC 中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 在△ABC 中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.4π B. 3π C. 23π D. 34π三. 解答题17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.（1）若()a tb +∥c ，求实数t 的值；（2）求c 在a 方向上的投影.18. 已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ+.19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知||||10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设O A P θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.20. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ≤<）的最小正周期为2π，且其图像的 一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，再将图像向 左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间[,]2t t π+上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为△ABC 的外接圆半径.（1）若2R =，2a =，45B =︒，求c ；（2）在△ABC 中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .参考答案一. 填空题1. 22.3. 43(,)554. 75. 1arccos 3π- 6. 3 7. 三 8. [2,2]-9. 10. 21111. 310 12. 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）8t =；（2）18.（1）3π；（2）22πθ-.19.（1）3sin()4S πθθ=-，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）max 1)S =. 20.（1）()sin f x x =，单调递增区间[2,2]22k k ππππ-+，k ∈Z ；（2）6π，56π，32π；（321.（1（2）证明略；（3）当90A <︒时，c =；当90A >︒时，c =。
2018-2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为．2．设函数为奇函数，则实数a的值为．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．4．方程的解为．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞] 16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为（1，2]．【解答】解：由题意可得，解得1＜x≤2，故函数的定义域为：（1，2]，故答案为：（1，2]2．设函数为奇函数，则实数a的值为1．【解答】解：是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，∴x2+（a﹣1）x﹣a＝x2+（1﹣a）x﹣a，∴（a﹣1）x＝（1﹣a）x，∴a＝1．故答案为：1．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝2x．【解答】解：由a的任意性，x＝1时，y＝2，故y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P（1，2），把P（1，2）代入指数函数f（x）＝a x，a＞0且a≠1，得a＝2，所以f（x）＝2x，故答案为：2x．4．方程的解为﹣．【解答】解：由题意，92x+1＝，∴92x+1•3x＝1，32（2x+1）•3x＝1，32（2x+1）+x＝1，即35x+2＝1．∴5x+2＝0，∴x＝﹣．故答案为：﹣．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝1．【解答】解：令x＝y＝3，则f（9）＝2f（3）＝4，∴f（3）＝2，令，则，∴．故答案为：1．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为3．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，即m2﹣5m+6＝0，解得m＝2或m＝3；当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．则m的值为3．故答案为：3．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝﹣1．【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，∴f﹣1（）＝﹣1．故答案为﹣1．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．【解答】解：函数t＝|x2﹣6x+5|的图象如图，内层函数大于0的减区间为（﹣∞，1），[3，5）；而外层函数为定义域内的减函数，∴函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．故答案为：（﹣∞，1），[3，5）．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵y＝x2﹣ax+2＝（x﹣）2+2﹣在对称轴左边递减，∴当x1＜x2≤时，y1＞y2∵对任意的x1、x2，当x1＜x2≤时，f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），故应有a＞1 ①又因为y＝x2﹣ax+3在真数位置上所以须有2﹣＞0⇒﹣2＜a＜2②综上得1＜a＜2故答案为：（1，2）．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．【解答】解：由题意，f（6.5）＝7，故f（3x+f（x））＝7，∴6＜3x+f（x）≤7，当f（x）＝1时，0＜x≤1，此时6＜3x+1≤7，解得，不符合题意；当f（x）＝2时，1＜x≤2，此时6＜3x+2≤7，解得，满足题意；当f（x）＝3时，2＜x≤3，此时6＜3x+3≤7，解得，不符合题意；易知，当时均不符合题意；综上，实数x的取值范围为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．【解答】解：函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，可得f（x）＝0，即mx+2＝2m+1+＞0，有且只有一个实根，m＝0，x＝2显然成立；由mx2+（1﹣2m）x﹣2＝0，△＝（1﹣2m）2+8m＝0，解得m＝﹣，此时x＝2成立；由m（x﹣2）＝﹣1＝，即（x﹣2）＝0，由x≠2，可得mx+1＝0，2m+2≤0，即m≤﹣1．综上可得m的范围是m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．故答案为：m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为（2）（3）．【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）＝22﹣x+1﹣3＝23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f（x）＝22+x﹣1﹣3＝21+x﹣3，单调递增，∴f（x）＝22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x＝1时，取最大值为1，∴绘出22﹣|x﹣1|﹣3的图象，如图下方曲线：（1）当n＝0时，f（x）＝，由函数图象可知：要使f（x）的值域是[﹣1，1]，则m∈（1，2]；故（1）错误；（2）当n＝时，f（x）＝，f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴m∈（，2]；故（2）正确；（3）当n∈[0，）时，m∈[1，2]；故（3）正确；故答案为：（2）（3）．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．【解答】解：在A中，f（x）＝﹣x是奇函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故A错误；在B中，是偶函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，f（x）＝﹣x3是奇函数且在区间（1，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，f（x）＝﹣log2是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数，故D正确．故选：D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）【解答】解：∵偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，∵f（|m﹣1|）＞f（﹣1），∴|m﹣1|＜1，∴﹣1＜m﹣1＜1，∴0＜m＜2故不等式的解集为{m|0＜m＜2}，故选：C．15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞]【解答】解：因为函数f（x）＝lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lg＝lg+lg，即＝×，且a＞0，所以a＝，令t＝2x0，则t＞0，所以，a＝＝+，由t＞0得＜a＜3，即a的取值范围是（，3）．故选：B．16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．【解答】解：当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，x﹣1∈（﹣1，0），f（x）＝＝＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1]内恰有3个零点，即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m的图象有三个不同交点．作出函数图象如图：由图可知，直线y＝mx+m恒过点（﹣1，0），过点（﹣1，0）与点（0，）的直线的斜率为；过点（﹣1，0）与（1，）的直线斜率为，可得|f（x）﹣||与y＝mx+m的图象有三个不同交点的m的取值范围为[，）．故选：C．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．【解答】解：（1）如图所示，（2）由y＝2x﹣1，解得：x＝log2（y+1），把x与y互换可得：y＝log2（x+1），∴f（x）的反函数是y＝f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）．方程f﹣1（x）＝g（x）即log2（x+1）＝log4（3x+1）．∴（x+1）2＝3x+1＞0，解得：x＝0，1．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．所以f（0）＝k﹣1＝0，解得k＝1，∴f（x）＝a x﹣a﹣x，当a＞1时，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣a）﹣（a﹣a）＝（a﹣a）+（a﹣a），＝（a﹣a）+（﹣）＝（a﹣a）+＝（a﹣a）+＝（a﹣a）（1+），∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a，即a﹣a＜0，a＞0，∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上是增函数．（2）由（1）知，k＝1，又因为f（1）＝，a﹣a﹣1＝，解得a＝2或﹣（舍），所以g（x）＝22x+2﹣2x＝4x+4﹣x＝4x+，令t＝4x，（1≤t≤4）则y＝t+，所以t∈[2，]，函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围[2，]．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）＝（k为常数），∵p（2）＝400﹣k（10﹣2）2＝272，∴k＝2．∴p（t）＝．∴p（6）＝400﹣2（10﹣6）2＝368；（2）由，可得Q＝，当2≤t＜10时，Q＝180﹣（12t+），当且仅当t＝5时等号成立；当10≤t≤20时，Q＝﹣60+≤﹣60+90＝30，当t＝10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3；∴f（x）在R内单调递增；再令f（x）＝x3＝x，∴x＝﹣1，0，1；∴f（x）＝x3的“和谐区间”为：[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]；（2）假设函数存在和谐区间，∴；∴x2+3x﹣4＝0或x2﹣3x+4＝0①当x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4或1；在[﹣4，1]内f（x）不单调，故不成立；②当x2﹣3x+4＝0时，x无解，故不成立；∴综上所述：函数不存在和谐区间；（3）∵函数有“和谐区间”；∴f（x）在（2，k）内单调递增，且f（x）＝x在定义内有两个不等的实数根；∴在定义内有两个不等的实数根；即：2m＝x+＝；∵x∈（2，k），∴，即m；∵在（2，3）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增，∴k＞3；∵函数与直线y＝2m在（2，k）有两个交点，g（2）＝6∴，∴正整数k最小值为5，此时g（5）＝6；∴2m＝6；即m＝3；此时m的取值范围为（，3）．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，∴g（﹣x）+2g（x）＝e﹣x+2e x﹣9，由以上两式联立可解得，g（x）＝e x﹣3；∵h（﹣2）＝h（0）＝1，∴二次函数的对称轴为x＝﹣1，故设二次函数h（x）＝a（x+1）2+k，则，解得，∴h（x）＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣2x+1；（2）由（1）知，g（x）＝e x﹣3，其在[﹣1，1]上为增函数，故g（x）max＝g（1）＝e ﹣3，∴h（x1）+ax1+5≥e﹣3+3﹣e＝0对任意x∈[﹣1，1]都成立，即对任意x∈[﹣1，1]都成立，∴，解得﹣3≤a≤7，故实数的a的取值范围为[﹣3，7]；（3），作函数f（x）的图象如下，令t＝f（x），a∈[﹣3，7]，则f（t）＝a+5∈[2，12]，①当a＝﹣3时，f（t）＝2，由图象可知，此时方程f（t）＝2有两个解，设为t1＝﹣1，t2＝ln5∈（1，2），则f（x）＝﹣1有2个解，f（x）＝ln5有3个解，故共5个解；②当﹣3＜a＜e2﹣8时，f（t）＝a+5∈（2，e2﹣3），由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解，设为t3＝ln（a+8）∈（ln5，2），则f（x）＝t3＝ln（a+8）有3个解，故共3个解；③当a＝e2﹣8时，f（t）＝a+5＝e2﹣3，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t4＝2，则f（x）＝t4＝2有2个解，故共2个解；④当e2﹣8＜a≤7时，f（t）＝a+5∈（e2﹣3，12]，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t5＝ln（a+8）∈（2，ln15]，则f（x）＝t5有1个解，故共1个解．。
精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数的定义域为______．()()ln 1f x x =+-【答案】(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
【详解】()()ln 1f x x =+- 解得2010x x -≥⎧∴⎨->⎩12x <≤故函数的定义域为(]1,2x ∈故答案为：(]1,2【点睛】本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。
2.设函数为奇函数，则实数a 的值为______．()()()1x x a f x x+-=【答案】1a =【解析】【分析】一般由奇函数的定义应得出，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求的值．()()0f x f x +-=a 【详解】解：函数为奇函数， (1)()()x x a f x x+-=，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=即，2(1)00a -+=．1a \=故答案为：．1【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．a 3.已知（且）的图像过定点P ，点P 在指数函数的图像上，则log 2a y x =+0a >1a ≠()y f x =______．()f x =【答案】()2xf x =【解析】【分析】由题意求出点的坐标，代入求函数解析式．P ()f x 【详解】解：由题意，令，则，log 2a y x =+1x =2y =即点，(1,2)P 由在指数函数的图象上可得，令P ()f x ()xf x a =()01a a >≠且，12a ∴=即，2a =故()2xf x =故答案为：()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程的解为______．21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】25-【解析】【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ） A.a c b d ->- B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B【解析】根据不等式的性质，分别将各个选项分析求解即可。
【详解】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立；因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立； 当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立； 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，此题比较简单，需掌握不等式的性质，注意排除法在解选择题中的应用。
2．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。
【详解】不到蓬莱⇒不成仙，∴成仙⇒到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。
故选：A 【点睛】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若p 则q ”和“若q 则p ”的真假。
2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。
3、若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =,则A 是B 的充要条件。
上海市曹杨二中2018-2019学年高三第一学期数学期末考试
曹杨二中2018学年第一学期期终考试数学试卷一、填空题1、函数()sin cos f x x x =的最小正周期为_________2、2lim 12n P n →∞++=_________3、函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1f x -_________ 4、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________ 5、一直一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________6、双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________7、已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*22n n n a a n N +=∈，则20a =________8、已知函数()f x 是奇函数，()112f =，且()()()()22f x f x f x R +=+∈，则()5f =________ 9、将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________ 10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________ 11、设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________12、定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x M f x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________二、选择题13、若1+i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c ==B. 2,1b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,1b c =-=-14、已知,,x y z 为正实数，且230x y -+=，则2y xz的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.615、设平面α和平面β相交于直线m ，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16、在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则A ∠=（）A.45°B.60°C.120°D.135°二、解答题17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,6a C π==，且ABC ∆（1）求c ；（2）若F 为边AC 上一点，且CF =，求sin BFC ∠18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题． 7．函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________． 【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题
【题干序号】1函数sin cos y x x =的最小正周期是______．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】π 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.【题干序号】2212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】2【解析】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++， 故答案为：2．【题干序号】3函数()()()3log 212xf x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log + 故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）． 故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【题干序号】4在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】﹣160【解析】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160【题干序号】5已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】10【解析】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为： s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10【题干序号】6双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】【解析】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d =∴被圆C 截得的线段长为==故答案为：已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】512【解析】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈）∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222n n a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512．故答案为：512．【题干序号】8设函数f(x)(x ∈R)为奇函数，f(1)＝12，f (x +2)＝f (x )+f(2)，则f(5)＝________.【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】52【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)．故12＝－12＋f (2)，则f (2)＝1. 令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.令x ＝3，得f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.【题干序号】9将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】1112【解析】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l 1:ax +by =3与直线l 2：x +2y =2相交，又所有的可能出现的结果（a ，b ）共有6×6＝36种，当直线l 1与l 2平行时，应有3122a b =≠， 故其中满足直线l 1与直线l 2平行的结果（a ，b ）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l 1与l 2平行的概率为336．又由a ,b 的意义可知两条直线不重合， 故直线l 1与l 2相交的概率为 13113612-=， ∴方程组有唯一解的概率为 13113612-=， 故答案为：1112．【题干序号】10已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]．【题干序号】11设函数()3,1x a x f x ⎧-<=⎨，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________．【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（0，1）U [3,+∞)【解析】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）U [3,+∞)． 故答案为：（0，1）U [3,+∞)．【题干序号】12定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】4【解析】由M ∗N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M ∗N ∈{x|x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N }要使Card （M ∗A ）+Card （M ∗B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使|M ∗A |+|M ∗B |的值最小，M ={2，4，8}， 此时，|M ∗A |+|M ∗B |的最小值为4， 故答案为：4【题干序号】13若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】D【解析】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0 ∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【题干序号】14已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】C【解析】∵x ﹣2y +3z ＝0，∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【题干序号】15则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】A【解析】α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【题干序号】16在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则角A 的大小为（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】D【解析】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<Q ，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆Q 中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<Q ，因此，34A π=，故选D.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC V 的面，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）c=2（2）sin BFC ∠=【解析】()16C π=Q ，2a =，ABC V11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =，∴由余弦定理可得：2c ===，()2Q 由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， Q 在BCF V 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=，CF =Q ，sin 2CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤Q ， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【题干序号】18如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）．（2）若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到0.1L ）【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）28π；（2）29.0L 【解析】解：（1）由题意可知圆锥的母线10l =，所以21=205S rl l πππ==侧 并且2r =，所以2=28S r ππ=半球，所以=+=20+8=28S S S πππ表侧半球 （2）由（1）知圆锥的高度为h =2311141657.832333V r h r πππ=+⋅=+≈所以3150050057.82890029.0V V cm L ==⨯=≈【题干序号】19()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的两个焦点，M 是椭圆Γ上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问：在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22F A TA F BTB=恒成立？【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】（1）2284x y +=1. （2）T （4，0）.【解析】（1）由题知，椭圆()2222:10x y a b Γ+=>>的半焦距为c =2，又由椭圆的定义可知212MF MF a +=，即142MF a =，∴2122b MF a a==，∴224,8b a ==∴椭圆的方程为2284x y +=1.（2）假设存在符合条件的点T 满足22F A TA F BTB=，则x 轴为ATB ∠的角平分线，即直线AT 与BT 的斜率之和为0，设T （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），由()22282x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，可得（2k 2+1）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣8＝0，∴x 1+x 222821k k =+，x 1x 2228821k k -=+， 由k AT +k BT ＝0，得1212y y x t x t+=--0， ∴()()121222k x k x x tx t--+=--0，∴2x 1x 2﹣（t +2）（x 1+x 2）+4t ＝0， 解得t ＝4， 即T （4，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，与椭圆的交点坐标分别为（2），（2，），显然满足k AT +k BT ＝0， ∴存在点T （4，0），满足题意.【题干序号】20已知实数0a >，函数()()1,1f x x =∈-. （1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）当1a =时，判断函数()f x 的单调性，并证明； （3）求实教a的范围，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.试卷第11页，总13页【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】（1）(]01，． （2）x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减； （3）15153a ＜＜． 【解析】由题意，f （x ）的定义域为（﹣1，1），且f （x ）为偶函数．（1）a ＝0时，()f x ==∴x ∈（﹣1，1）时，21[12x +∈，），(]()(]2212011f x x ∈=+，，， , ∴()f x 的值域为(]01，． （2）a ＝1时，()f x == ∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减；由于f （x ）为偶函数，∴只对x ∈[0，1）时，证明f （x ）递增． 设0≤x 1＜x 2＜1，，得()()120f x f x -=∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增成立；同理证明x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减； ∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减；（3）设t =∵55x ⎡∈-⎢⎣⎦，， ∴113t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴113a y t t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，恒有2y min ＞y max ． ①当109a ≤＜时，a y t t =+在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，∴1313min max y a y a =+=+，，由2y min ＞y max 得115a ＞， 从而11159a ≤＜；试卷第12页，总13页②当1193a ≤＜时，a y t t =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴13113min max y y max a a a ⎧⎫==++=+⎨⎬⎩⎭，，由2y min ＞y max得77a -+＜1193a ≤＜； ③当113a ＜＜时，a y t t =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增， ∴y min ＝y max ＝133a +， 由2y min ＞y maxa ，从而113a ＜＜； ④当a ≥1时，a y t t =+在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，∴1133min max y a y a =+=+，， 由2y min ＞y max 得53a ＜，从而513a ≤＜； 综上，15153a ＜＜．【题干序号】21设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅ ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a .【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（Ⅰ）的元素为和. （Ⅱ）因为存在使得，所以{}1|2,i i N i N a a *∈≤≤>≠∅.试卷第13页，总13页记{}1min |2,i m i N i N a a *=∈≤≤>， 则，且对任意正整数.因此，从而.（Ⅲ）当时，结论成立.以下设.由（Ⅱ）知.设.记.则.对，记{}|,i i i k n G k N n k N a a *=∈≤. 如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意p n k N ≤≤，，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p 不小于1N a a -.。
上海曹杨二中2018-2019学年度上学期高三数学试题
上海曹杨二中2018-2019学年度上学期高三数学试题2018.12.27一、填空题(前6题每题4分,后6题每题5分,共54分)1.若集合{}{}，＜，＞210|-==x x B x x A 则=B A ______. 2.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的周期为_________. 3.在()82-x 的二项展开式中,第2项的系数是________. 4.不等式021＞+-x x 的解集是_________. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为，n S 若，，21171==S a 则=n a _______.6.已知b a 、为单位向量,，1=+则b a 、向量的夹角为________.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V ⋯21 则()=+⋯++∞→n n V V V 21lim _______. 8.若复数()()i ai -+21在复平面上所对应的点在直线x y =上,则实数=a _____.9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是________.10.已知函数()()()，＞π，023sin 419a a x a x g x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=若对任意[]，，201∈x 总存在 []，，202∈x 使()()21x f x g =成立,则实数a 的取值范围是________.11.已知双曲线C:()01222＞b b y x =-的左、右焦点分别为，、21F F 其中2F 与抛物线x y 82=的焦点重合,设P为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为_______.12.已知函数()，2x x f =对于给定的实数，t 若存在，＞，＞00b a 满足:对任意[]，，b t a t x +-∈ 均有()()2≤-t f x f 成立,则记b a +的最大值为().t H 当[]21，∈t 时,函数()t H 的值域为___.二、选择题(每小题5分,共20分)13.“1＞a ”是“函数()()x a a x f ∙-=1是单调增函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.已知向量()，，43-=,则下列能使()R e e ∈+=μλμλ，21成立的一组向量21e e 是 A.()()620021，，-==e e B.()()623121，，-=-=e e C.()()232121，，=-=e e D.()2112121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，e e 15.关于曲线C:，124=+y x ,给出下列四个命题:①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线x y =对称；③曲线C 围成的面积大于π；④曲线C 围成的面积小于π.上述命题中,真命题的序号为A.①②③B.①②④C.①④D.①③16.在正方体''''-D C B A ABCD 中,若点P(异于点B)是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为A.0B.3C.4D.6三、解答题(共76分)17.如图,在圆锥SO中,AB为底面圆O的直径,点C为弧AB的中点,SO=AB.(1)证明:AB⊥平面SOC；(2)若点D为母线SC的中点,求AD与平面SOC所成的角(结果用反三角函数表示).18.如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m,于是选择沿A→B→C 路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10秒钟完成了清扫任务.(1)B、C两处垃圾的距离是多少?(精确到0.1)(2)智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B是多少?(用反三角函数表示)19.椭圆C 的中心为坐标原点O,长轴端点分别为A 、B,右焦点为F,且.11==∙，(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为M,过F 作斜率不为零的直线l ,交椭圆C 于P 、Q 两点.试问是否存在直线l ,使得MQ MP =?若存在,请求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由。
上海市曹杨中学2018-2019学年高一上期末模拟练习数学试题(无答案)
曹杨中学2018-2019学年第一学高一期未数学模拟练习试题一、填空题1.已知集合{}{}，＜＜，，，331|01x x B a A =-=若，∅=B A 则实数a 的取值范围是______.2.若集合{}{}，，，Z a ax x B x x x A ∈=-=≤+-=02|065|2且，A B ⊆则实数=a _____. 3.已知，1lg lg =+y x 则yx 52+的最小值为______. 4.定义在R 上的偶函数()x f y =在[)∞+，0止单调递增，则不等式()()312f x f ＜-的解集是_________.5.函数()()0222≤+-=x x x x f 的反函数是________.6.若关于x 的不等式a x x ＜32log +对331≤≤x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 7.已知函数()x f y =是奇函数,且当0≥x 时,()()1log 2+=x x f .若函数()x g y =是()x f y =的反函数,则()=-3g _______.8.若函数()xax x f 12-=在()∞+，0上单调递增,那么实数a 的取值范围是_________. 9,函数()x f y =的反函数为()，x f y 1-=如果函数()x f y =的图像过点(2,-2),那么函数 ()11+=-x f y 的图像一定过点________.10,若函数()⎪⎩⎪⎨⎧+-≤=0022＞，，x m x x x f x 的值域为(]，，1∞-则实数m 的取值范围是________. 11.已知函数()，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=1log 1312x x x x x x f 若对任意的，R x ∈不等式()m m x f 432-≤恒成立,则实数m 的取值范围是________.12.函数(){}，，22min -=x x x f 其中{}，＞，，，⎩⎨⎧≤=b a b b a a b a min 若动直线m y =与函数()x f y =的图像有三个不同的交点,则实数m 的取值范围是____________.二、选择题13.已知，R a ∈条件01:2＞+-ax ax p 的解集为R ；条件，＜＜40:x q 则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A.xy 1-= B.x y 3= C.31x y = D.x y lg = 15.小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师。
上海市2018-2019学年高一数学上学期期末试卷
上海市2018-2019学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4cos 5A =，且边5,c a ==b=（ ） A ．3或5B ．3C ．2或5D ．52．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆyx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）A.5 B.5 C.5D.无法确定3．如果把Rt ΔABC 的三边a ，b ，c 的长度都增加(0)m m >，则得到的新三角形的形状为（ ） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定4．(,)P a b 为函数2()(0)f x x x =>图象上一点，当直线0x =，y b =与函数的图象围成区域的面积等于23时，a 的值为 A.12B.23C.1D.325．经过坐标原点O 的直线l 与曲线|sin |y x =相切于点00(,)P x y .若0(,2)x ππ∈，则 A.00cos 0x x +=B.00cos 0x x -=C.00tan 0x x +=D.00tan 0x x -=6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为6π的直线，交抛物线于,A B 两点，则AF BF=（ ）A.7+B.7-C.7±D.7±7．若34z i =+，则zz（ ）A.1B.1-C.3455i + D.3455-i 8．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 9．已知复数Z 满足：(2)1i z -⋅=，则25z -=（ ）A.125B.15D.2510．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ） A ．712B ．512C ．12D ．111211．如图，等腰直角三角形的斜边长为1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为A.14B.8π C.4π D.14π-12．在平面上，四边形ABCD 满足AB DC =，0AC BD ∙=，则四边形ABCD 为（ ） A ．梯形 B ．正方形 C ．菱形 D ．矩形二、填空题13．已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 ．14．在ABC ∆中，若,,BC AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =______________．15．已知是球表面上的点，平面，,,则球的表面积等于______________．16．恩格尔系数（Engel'sCoefficient ）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y 与x 之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．三、解答题 17．已知命题关于的方程没有实数根，若命题是真命题，求实数的取值范围.18．在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，，求.19．如图，，，BC=AN=AB=4，，.（1）求证： ；（2）求几何体的体积20．已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率.（1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.21．已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.22．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2sin ,23A C b c ==. （1）cos C ；（2）若B Ð的平分线交AC 于点D ，且ABC ∆，求BD 的长. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．21415．16．26. 三、解答题 17．【解析】 试题分析：由是真命题可得关于的方程有实数根，根据判别式不小于零可得，即，从而得的取值范围是.试题解析：因为命题关于的方程没有实数根，且是真命题所以关于的方程有实数根，故，即，从而得的取值范围是.18．（1）；（2）【解析】分析：(1)先根据倾斜角写直线的参数方程，根据，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程，(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理得.详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.由曲线的极坐标方程，得，把，，代入得曲线的直角坐标方程为.（2）把代入圆的方程得，化简得，设，两点对应的参数分别为，，则，∴，，则.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.19．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证线面垂直，先由线线垂直入手，证明，，最终得到线面垂直；（2）几何体的体积，分割成两个棱锥的体积计算即可。
上海曹杨中学数学高一上期末经典练习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12090]若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞4．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+5．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃9．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}11．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-< 12．(0分)[ID ：12044]函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-13．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1214．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值15．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题16．(0分)[ID ：12227]已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．17．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.20．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.21．(0分)[ID ：12169]已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.22．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．24．(0分)[ID ：12192]定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________．25．(0分)[ID ：12173]定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：12306]节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）27．(0分)[ID ：12294]已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 28．(0分)[ID ：12281]已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.29．(0分)[ID ：12267]已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ）（1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.30．(0分)[ID ：12261]泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D11．C12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题22．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f（x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8)故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解. 【详解】已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，2112121113111a aa a a ->-⎧⎪∴-<-<∴<<⎨⎪-<-<⎩故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 9．C解析：C【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =. 而()2f x ax bx c =++的图象关于2b x a =-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D . 【点睛】 对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.11．C解析：C【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】 ()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数， ()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．12．C解析：C【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，若10x -≤≤ ，则不等式0xfx （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．13．B解析：B【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 14．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．15．D解析：D【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤ ；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t ，所以()1131f t t =--， 所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭， 所以()F x 的值域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦，当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝解析：02m <<【解析】【分析】【详解】试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得44x -≤≤+当44x -≤+2x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|当4x +＞或04x ≤-＜2x -＜，此时f （x ）＝∵f （4﹣2其图象如图所示，02m ＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为02m ＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题. 22．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题 解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称；又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16.【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题26．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次 【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,所以当1n =时,()0.510015p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.27．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+. （2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值，min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去； 综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 28．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.（1）1k =（2）30a -≤≤【解析】【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =. 当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数. （2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立 即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立， 因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*） 在R 上任取1x ，2x ，且12x x <， 则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立，即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-， 因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩ 解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题．7．函数()()()3log 212xf x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
上海市曹杨中学2018-2019学年高一上期末考试数学试题
曹杨中学2018-2019学年度第一学期高一年级期未考试数学试卷一、填空题(本大题满分54分,1-6每题4分,7-12每题5分)1.函数()x x x f 2log 2+-=的定义域是_________.2.若点(2,4)在幂函数()x f 的图像上,则()=x f _______.3.函数122--=mx x y 在[)∞+∈，1x 上单调递增,则m 的取值范围为________.4.已知函数()()，，x x x g x x f --=+=311则()()=+x g x f _______. 5.已知{}，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=≤=024|3|x x x B x x A 则=B A _______. 6.若函数()32+=x x f 的图像与()x g 的图像关于直线x y =对称,则()=5g ______.7.函数()()34log 22++=ax ax x f 的定义域为R,则实数a 的取值范围是_________.8.函数()0322＜x x x y +-=的反函数为_________. 9.若()，12log -=b a 则b a +的最小值是_________.10.已知，，b a ==3log 5log 73则=105log 21________(用b a 、表示).11.关于函数()()，＞0a xa x x f -=有下列四个命题: ①()x f 的值域是()()；，，∞+∞-00②()x f 是奇函数；③()x f 在()()∞+∞-，，00 上单调递增； ④方程()a x f =总有四个不同的解。
其中正确的是_________(写出所有正确的序号,写错或漏写不得分).12.已知函数()，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧++≤+=040x a x x x a x x f 若()0f 是该函数的最小值,则实数a 的取值范围是__. 二、选择题(本大题满分20分,每题5分)13.下列函数在定义域上既是奇函数,且在区间上是增函数的是 A.xy 1= B.41x y = C.2-=x y D.53x y = 14.设0x 为函数()22-+=x x f x 的零点,则=0xA(-2,-1) B(-1,0) C.(0,1) D(1,2)15.“2lg 2=x ”是“2lg 2=x ”的_______条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 16.下图为两幂函数αx y =和βx y =的图像，其中，，，，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈322121βα则不可能的是三、解答题(本大题共76分)17.(14分)已知全集(){}[]{}.302|166lg |2，，，，∈==-+===x y y B x x y x A R U x(1)求；B A(2)若()()αβα，，m x B A C x U ≥∈:: 是β的充分条件,求实数m 的取值范围。
上海市曹杨中学2018-2019学年高一上期末复习数学试卷5(无答案)
曹杨中学2018-2019学年第一学期高一年级数学期未复习试卷5一、填空题(1-6题每小题4分,7-12题每小题6分,共54分)1.集合{}{}，，，，241a B a A =-=若{}，，，410-=B A 则a 的值为______. 2.函数()()，，xx x g x x x x f 6232+=+-=则()()=⋅x g x f _______. 3,全集U=R,且{}{}，＞，043|06|2--=≥++-=x x B x x x A 则()=B A C U ______. 4.函数()()[]，，x x x g f x x g 2121-=-=则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ______. 5.不等式41x x ＞-的解集是______.6.命题:“若一个函数定义域不对称,则该函数不是偶函数”的逆否命题是_________.7.函数()032≤+=x x y 的反函数是________.8.若()()()R x mx x m x f ∈+--=312是偶函数,则函数()112---=x mx x x g 的零点是______. 9.函数1212++=x x y 的值域是_________. 10.若，k =12log 7则=14log 8_________(用含有k 的式子表示).11.已知关于x 的不等式11＞+-x a ax 在[]52，有实数解,则实数a 的取值范围为________. 12.把指数函数x y 2=图像向下平移1个单位得到函数()x h y =的图像,函数()()()101log 21≠++=m m a x x g m ，＞满足()()，2117=-g g 若函数()()()⎩⎨⎧≤=00＞，，x x g x x h x f 在 ()∞+∞-，上是减函数,则实数a 的取值范围是_________.二、选择题(每小题5分,共20分)13.如果，＜＜y x 0则下列各式中成立的是A.y x ＜B.y x ＞C.y x =D.以上都不对14.设q p 、是两个命题:()，，＞1522:01log :2221≤---+x x q x p 则p 是q 的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.设函数()()()，，，，012≠∈+==a R b a bx ax x g xx f 若()x f y =的图像与()x g y =图像 有且仅有两个不同的公共点()()，，、，2211y x B y x A 则下列判断正确的是 A.当0＜a 时,002121＞，＜y y x x ++ B.当0＜a 时,002121＜，＜y y x x ++C.当0＞a 时,002121＞，＜y y x x ++D.当0＞a 时,002121＞，＞y y x x ++16.下列有关函数的一些结论:(1)若函数()x f y =有反函数,则其反函数可表示为()；x f y 1-=(2)函()x f y =数在其定义域内的最大值M,最小值，m 则其值域为[]；，M m (3)定义在R 上的函数()，x f y =若对任意的实数，、y x 等式()()()()()y f x f y x f y f x f --=-1均成立,则函数()x f y =一定是奇函数； (4)定义在R 上的函数()，x f y =若对任意的实数x 都有()()，0=-x f x f 则函数()x f y =一定没有反函数.同学们对以上四个结论有以下不同判断,其中判断正确的是A.都是错误的B.只有一个是正确的C.两对两错D.只有一个是错误的三、解答题(共76分)17.(本小题满分14分)若实数m y x 、、满足，＜m y m x --则称x 比y 接近.m(1)若12-x 比3接近0,求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数，、b a 证明22ab b a +比33b a +接近.2ab ab18.(本小题满分14分)(1)已知，，，2log 327log 6log 256=-==z y x 求z y x +的值； (2)求函数，3log 2log 222--=x m x y 当21≥x 时，求y 的最小值(m 是常数).19.(本小题满分14分) 已知函数().1＞a aa a a y x x x x --+-= (1)判断该函数的奇偶性并证明；利用函数单调性定义证明该函数在()∞+∞-，上为增函数；(2)求反函数().1x f y -=20.(本小题满分16分)已知某市最低工资标准为每月1800元,为了解决该市房价过高的问题,政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的,每月提供一定金额的贷款补贴,补贴规则:个人每月收入不高于6000元的,对贷款进行补贴,补贴标准:货款月还款额，月工资收入k ⨯其实k 是一个与月工资收入有关的常数,且贷款月还款额不得高于5000元,货款月还款额高于5000元的,只对5000元部分进行补贴,高于5000元部分不予补贴,已知月工资收入不高于3000元时.1000=k(1)若某人工资为2000元,货款月还款额为5000元,则他每月获得的贷款补贴是多少元?(2)对于月工资收入不高于3000元的贷款买房的居民若贷款月还款额均为5000元,则实际月收入最高为多少元?(结果均保留整数位,均不考虑扣税问题).21.(本小题满分18分)对于函数()()()，、、x h x f x f 21如果存在实数b a 、使得()()()，x bf x af x h 21+=那么称()x h 为 ()()x f x f 21、的生成函数.(1)下面给出两组函数,()x h 是否分别为()()x f x f 21、的生成函数?并说明理由:第—组:()()()；，，x x h x x f x x f lg 10lg 10lg 21=== 第二组:()()()；、、1122221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f(2)设()()，，，、12log log 21221====b a x x f x x f 生成函数()，x h 若不等式()()0232＜t x h x h ++在[]42，∈x 上有解,求实数t 的取值范围；(3)设()()()()，＞，＞01021x xx f x x x f ==取，＞，＞00b a 生成函数()x h 图像的最低点坐标为(2,8),若对于任意的正实数21x x 、且，121=+x x 试问是否存在最大的常数，m 使 ()()m x h x h ≥⋅21恒成立?如果存在,求出这个m 的值；如果不存在,请说明理由。
高中上海市曹杨中学高一上学期期末复习卷一数学试题
上海市曹杨中学【精品】高一上学期期末复习卷一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．满足{}{},,,,a b M a b c d ⋃=的所有集合M 的个数是________．2．关于x 的不等式()()221110m x m x ----<的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ .3．已知幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则()f x 的解析式为________．4．已知{}{}0,1,P M x x P ==⊆，则P 与M 的关系为________．5．设220,0,12b a b a ≥≥+=，则的最大值为6．已知α，β满足1122αβ-<<<，则2αβ-的取值范围是________． 7．若0a >，0b > ，则关于x 的不等式1b a x-<<的解集为________．8．若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 9．函数()2320y x x x=+>的最小值为________． 10．函数()22f x x x =--在[],a b 上的值域是[]3,1-，则+a b 的取值范围是________． 11．()f x 是定义在R 上的函数，（1）若存在1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x <，则函数()f x 在R 上单调递增； （2）若存在1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x ≥，则函数()f x 在R 上不可能单调递增；（3）对任意1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x ≥，则函数()f x 在R 上单调递增； （4）函数()f x 对任意实数x 都有()()1f x f x <+，那么()f x 在R 上是增函数． 以上命题正确的序号是________． 12．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是_____________ 13．设函数(),()f x g x 的定义域分别为,f g D D ,且fg D D ⊂≠.若对于任意f x D ∈,都有()()g x f x =,则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.设2()2f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,则()g x =____________ .二、单选题14．设()y f x =和()y g x =是两个不同幂函数，集合()()(){},M x y f x g x ==，则集合M 中元素个数为（ ） A ．1或2或0B ．1或2或3C ．1或2或3或4D ．0或1或2或315．若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()1,0- D ．(]0,116．设定义域为R 的函数()()()lg 1101x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=，有7个不同实数根的充要条件是（ ）A ．0b <且0c >B ．0b <且0c <C ．0b <且0cD ．0b ≥且0c三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 18．求下列函数的值域（1）5121x y =-+ （2）22211x y x -=+ （3）2123y x x =+- （4）y （5）y x =- （6）y x =+（7）222231x x y x x ++=++ （8）23y x x =++- （9）y = （10） 141,02xxy x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（11）()212log 32y x x =+-19．已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．20．已知函数22x x a y x++=．（1）当4a =时，求函数()f x 在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）求函数()f x 在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值．21．已知函数()12x m f x x +-=-，0m >且()11f =-．（1）求实数m 的值；（2）判断函数()y f x =在区间(],1m -∞-上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求实数k 的取值范围，使得关于x 的方程()f x kx =分别为： ①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解． 22． 函数2()1ax b f x x +=+是定义在(),-∞+∞上的奇函数，且12()25f =． （1）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）23．在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()2f x x px q =++与()212g x x x =+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是多少？24．已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=.(1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x =+⋅⎡⎤⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x f kg x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．25．已知函数()221xf x x =+，用定义判断：（1）()f x 的奇偶性；（2）()f x 的单调性、并求出最值． 26．设函数()a f x x x=+，()222g x x x a =-+-，其中0a >． （1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解，求a 的取值范围； （2）求函数()af x x x=+在(]0,2x ∈上的最小值； （3）若对任意的(]12,0,2x x ∈，不等式()()12f x g x >恒成立，求a 的取值范围； （4）当32a =时，令()()()(),0,h x f x g x x =+∈+∞，试研究函数()h x 的单调性，求()h x 在该区间上的最小值．27．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．参考答案1．4 【解析】 【分析】先从集合等式中到,c M d M ∈∈，而,a b 可在M 中或不在M 中，从而可得M 的个数. 【详解】因为{}{},,,,a b M a b c d ⋃=，故,c M d M ∈∈，故,a b 可在M 中或不在M 中， 所以M 的个数为{},a b 的子集的个数即224=. 故答案为4. 【点睛】本题考虑集合子集个数的计算，一般地，如果集合中元素的个数为n ，则其子集的个数为2n ，此类问题为基础题. 2．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】分210m -=以及210m -≠两种情况讨论. 【详解】当210m -=时，1m =±，若1m =，原不等式变为：10-<，满足；若1m =-，原式变为：210x -<，此时解集不为R ，不满足；当210m -≠时，因为解集为R ，所以()()()2214110m m ∆=-----<⎡⎤⎣⎦，解得： 315m -<<； 综上：3,15m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【点睛】形如20ax bx c ++<在实数集上恒成立的问题，首先需要考虑的是a 是否为零，也就是说()2f x ax bx c =++是二次函数还是一次函数，这一定要分析清楚，其次才是分析恒成立.3．()4f x x -=【分析】根据函数的单调性可得m 满足的不等式，再根据其为整数可得具体的值，代入检验可得()f x 的解析式.【详解】因为()f x 在()0,∞+上为减函数，故2230m m --<，所以13m -<<. 因为m 为整数，故0,1,2m =.当0m =时，()3f x x -=，其为奇函数，舍去；当1m =时，()4f x x -=，其为偶函数，符合；当2m =时，()3f x x -=，其为奇函数，舍去.故答案为()4f x x -=.【点睛】幂函数在()0,∞+上的单调性和奇偶性是由幂指数决定的，解题中注意根据给定的性质确定幂指数的性质，此类问题为基础题. 4．P M ∈ 【分析】M 中的元素为P 的子集，从而可得P 与M 的关系.【详解】{}{}{}{}{},0,1,0,1M x x P =⊆=∅，所以P M ∈.故答案为：P M ∈. 【点睛】一般地，元素与集合之间的关系用,∈∉，集合与集合之间的关系用,⊆⊄，但集合可以作为另一个集合的元素，因此关系判断的关键是弄清楚集合中元素的属性. 5．1 【详解】 令,则,而由可得,所以,令,由,可得,,所以时，的最大值为1,所以t 最大值也为1.6．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】利用不等式的性质可得2αβ-的范围. 【详解】因为1111,2222αβ-<<-<<，αβ<，故10αβ-<-<， 所以3122αβα-<-+<即31222αβ-<-<，故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查不等式的性质，注意不可算出2α再求2αβ-的范围，因为有αβ<这样的限制，此类题属于基础题. 7．11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】可将该不等式转化为一元二次不等式组，从而可求原不等式的解集. 【详解】不等式1b a x -<<等价于1010b xa x⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩即1010bx x ax x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，故()()1010x bx x ax ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，整理得到1010x x bx x a ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩或或，该不等式组的解为1x b <-或1x a >.故原不等式的解集为11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式解的求法，一般地，分式不等式可以转化为一元二次不等式来求解，注意转化时分母不为零. 8．18 【解析】 【分析】转化已知280x y xy +-=为右边是1的式子，然后去乘以x y +，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】由280x y xy +-=得28x y xy +=，281x y xy+=，即281y x +=，所以()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当28x yy x=，即12,6x y ==时等号成立.故最小值为18. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，主要的方法是“1”代换的方法，属于基础题.9．23362【分析】通过单调性的定义可判断函数的单调性，再利用单调性可求函数的最小值. 【详解】 令()()2320f x x x x=+>，设120x x <<，则()()221212123322f x f x x x x x -=+--()()1212121223x x x x x x x x -+-⎡⎤⎣⎦=，若任意的1202x x <<≤，则120x x -<，120x x >， ()312122623434308x x x x x +-<⨯-≤⨯-=，故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x在0,2⎛ ⎝⎦上为减函数，若任意的122x x ≤<，则120x x -<，120x x >， ()312121623434308x x x x x +->⨯-≥⨯-=，故()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x在,+2⎫∞⎪⎪⎣⎭上为增函数. 所以()f x 在()0,∞+上的最小值为223326222f ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭故答案为23362.【点睛】函数的最值，一般要依据函数的单调性来求，如果函数不是基本初等函数，那么单调性的判断可以依据复合函数的单调性或依据定义来判断，后者需作差后利用“逼近”的方法来寻找单调性的分界点，如本题中，为了确定()121223x x x x +-的符号，可令12,x x 近似相等，从而得到代数式3143x -变号的分界点为12x =，从而得到两个区间⎛ ⎝⎦及⎫∞⎪⎪⎣⎭，在这两个区间上讨论函数的单调性即可． 10．[]4,0- 【分析】在平面直角坐标系画出()22f x x x =--的图像，结合图像可得,a b 满足的条件，从而得到+a b 的取值范围.【详解】函数()22f x x x =--的图像如图所示，作出直线1y =，它和()f x 的图像相切于顶点()1,1C -，作出直线3y =-，令223x x --=-，解得3x =-或1x =，故()()3,3,1,3A B ---. 因为()f x 的值域为[]3,1-，故3a =-或1b =， 若3a =-，则11b -≤≤，此时42a b -≤+≤-， 若1b =，则31a -≤≤-，此时40a b -≤+≤， 故40a b -≤+≤. 故答案为：[]4,0-. 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，注意根据值域可初步确定定义域的某个端点，从而得到定义域区间两个端点之间的关系，本题属于中档题. 11．（2） 【分析】依据单调性的定义及反例可得正确的选项. 【详解】对于（1）（3），根据单调性的定义，只有对任意的1212,,x x R x x ∈<，总有()()12f x f x <， 函数()f x 才在R 上单调递增，故（1）（3）错误；对于（2），如果函数()f x 在R 上单调递增，则必有()()12f x f x <，与()()12f x f x ≥矛盾，故函数()f x 在R 上不可能单调递增，故（2）正确；对于（4），取函数()3,021,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，因171366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在R 不是单调递增函数，但()5,1122,1x x f x x x ⎧+≤-⎪+=⎨⎪+>-⎩， 当1x ≤-时，()()()()531,,122f x x f x x f x f x +=+=++>成立， 当10x -<≤时，()()()()312,,12f x x f x x f x f x +=+=++>成立，当0x ≥时，()()()()12,1,1f x x f x x f x f x +=+=++>也成立， 故（4）错. 故答案为（2） 【点睛】本题考查函数单调性的定义的理解，注意单调性定义的关键词“任意的12,x x ”，本题属于基础题. 12．()1,0- 【分析】先根据奇函数性质求参数a ，再解对数不等式得结果. 【详解】由f(x)是奇函数可得a ＝－1， ∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.【点睛】利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．13．22x x - 【分析】设函数()(),f x g x 的定义域分别为,f g D D ,且fg D D ⊂≠.若对于任意f x D ∈,都有()()g x f x =,则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.设()22f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,则()g x =【详解】因为()22f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,当0x ≤时，()()22g x f x x x ==+，0x >时，0x -<，()()()222g x x x x x g x 2-=--=-=，所以()22g x x x =-，故答案为22x x -.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及新定义问题，属于中档题. 本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．14．B 【分析】考虑不同幂函数构成的方程，解方程后可得图像的交点及交点的个数，从而得到正确的选项. 【详解】取()()133,f x x g x x ==，由133x x =可得0x =或1x =或1x =-，故()()()(){}133,=0,0,1,1,1,1M x y x x ⎧⎫⎪⎪==--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；取()()132,f x x g x x ==，由132x x =可得0x =或1x =，故()()(){}132,=0,0,1,1M x y x x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，取()()23,f x x g x x -==，由23x x -=可得1x =，故(){}(){}23,=1,1M x y xx -==，注意，任意幂函数的图像必过()1,1点，故()1,1M ∈，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故M 中元素个数为1或2或3， 故选B. 【点睛】本题考查幂函数的图像和性质，解答本题的关键是熟悉三类幂函数（即幂指数小于0、大于等于0小于1及大于等于1）在第一象限内的图像和性质，此类问题属于中档题. 15．D 【分析】根据两个函数的单调性得到a 的不等式组，其解即为a 的取值范围. 【详解】因为()22f x x ax =-+、()1ag x x =+在[]1,2是减函数，故10a a ≤⎧⎨>⎩，所以01a <≤， 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的单调性及分式函数的单调性，前者取决于对称轴的问题，后者取决于平移前反比例函数的比例系数的正负，此类问题属于基础题. 16．C 【分析】画出()f x 的图像，根据方程有7个不同的实数根可得方程20t bt c ++=有一个零根和正根，从而得到,b c 满足的条件. 【详解】令()t f x =，考虑方程20t bt c ++=的根，该方程必有解，设解为12,t t t t ==，由题设方程()1t f x =和方程()2t f x =的解即为方程()()20fx bf x c ++=的解，因为方程()()20fx bf x c ++=的解有7个不同的解，根据()f x 的图像（如图所示）可得，直线1y t =与()y f x =的图像有3个不同公共点， 直线2y t =与()y f x =的图像有4个不同公共点， 故10t =，20t >， 所以0c ，20t b =->即0b <，故选C.【点睛】复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其实质就是方程组()()g t m t f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解的个数问题，可先利用图像变换等工具刻画()f x 的图像特征，结合原来方程解的个数得到t 的限制条件，再利用常见函数的性质（如二次函数等）刻画()g t 的图像特征从而得到参数的取值范围． 17．（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M . （2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<， 所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a aa a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．（1）()4,1-；（2）[)1,2-；（3）()1,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（4）50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（5）(],1-∞；（6）(],2-∞；（7）102,3⎛⎤⎥⎝⎦；（8）[)5,+∞；（9）[)0,3；（10）(]1,3；（11）[)2,-+∞. 【分析】根据函数的特点，可利用换元法、基本初等函数的性质（如单调性等）、反表示、分离常数法等可求题设中的11个函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为R ，当x ∈R 时，211x +>， 故50521x <<+，所以541121x-<-<+，故函数的值域为()4,1-. （2）函数的定义域为R ，由22211x y x -=+可以得到2221yx y x +=-，整理得到212y yx +=-. 因210,02y yx +≥∴≥-,即12y -≤<，故函数的值域为[)1,2-.（3）函数2123y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，当()(),31,x ∈-∞-+∞，[)()2234,00,x x +-∈-+∞，故()211,0,234x x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥+-⎝⎦， 所以函数的值域为()1,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（4）函数的定义域为[]1,4-，令223253424t x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当[]1,4x ∈-时，2504t ≤≤，故502y ≤≤，所以函数的值域为50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （5）函数的定义域为(],1-∞，因为y x =为(],1-∞的增函数，y =(],1-∞上的减函数，故y x =-(],1-∞上的增函数，当1x =时，函数的函数值1，故函数的值域为(],1-∞.（6）函数的定义域为(],1-∞，令t =，则21x t =-，0t ≥， 所以()221212y t t t =-+=--+，因为0t ≥，故2y ≤，故函数的值域为(],2-∞. （7）函数的定义域为R ，又2222231211x x y x x x x ++==+++++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 所以214013x x <≤++，故1023y <≤，故函数的值域为102,3⎛⎤⎥⎝⎦. （8）函数的定义域为R ， 当2x -≤时，125y x =-≥ ； 当23x <<时，235y x x =++-=， 当3x ≥时，215y x =-≥，综上，函数的值域为[)5,+∞. （9）函数的定义域为(],2-∞，当(],2x ∈-∞时，039x <≤，故0939x ≤-<，所以03y ≤<， 所以函数的值域为[)0,3.（10）函数可变形为2111,022x xy x ⎛⎫⎛⎫=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则01t <≤且21y t t =++，所以13y <≤，故函数的值域为(]1,3.（11）函数的定义域为()1,3-，令()223421t x x x =--=-++，因为()1,3x ∈-，故04t <≤，故1122log log 42t ≥=-，故函数的值域为[)2,-+∞. 【点睛】函数值域的求法，应根据函数的特点选取合适的方法来求，主要的方法有：（1）换元法：当函数是简单函数的复合时（如指对数函数与分式函数、二次函数、幂函数的复合），可用此法把值域归结为简单函数的值域问题；（2）单调性法：如果函数在给定的区间上是单调的，则可直接求出函数的值域； （3）反表示法：如果可以用y 来表示x ，则可以根据x 的范围求出y 的范围（就是函数的值域）；（4）分离常数法：如果函数是分式的形式，则可以分离常数，把函数的值域归结为一个简单的函数的值域.19．1a =5a =． 【分析】将f （x ）转化为顶点式，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合函数单调性，得最小值所对应方程，解方程可得a 的值 【详解】函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． ① 当022a<<，即04a <<时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾．②当2a 0≤，即a 0≤时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =±a 0≤，∴1a = ③当2a 2≥ ，即a 4≥时，()2216822f a a a =-+-+是最小值， 依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =a 4≥，∴5a =+综上所述，1a =-5a =． 【点睛】本题考查了二次函数求最值，解题中要注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力.20．（1）[]6,7；（2）()min9144161216166164a a f x a aa ⎧+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，，.【分析】（1）讨论函数()42f x x x =++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性后可得()f x 的值域. （2）就116a ≤、11616a <<、16a ≥三种情况分别讨论函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】（1）由题设有()42f x x x=++ 设12144x x ≤<≤，()()12121244f x f x x x x x -=+--()1212124x x x x x x -=-，当任意的12124x x ≤<≤时，120x x -<，121240,0x x x x -<>， 故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，故()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.当任意的1224x x ≤<≤时，120x x -<，121240,0x x x x ->>， 故()()120f x f x -<即()()12f x f x <，故()f x 在[]2,4为增函数.故()()min 26f x f ==，因()125,4744f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()max 7f x =， 故()f x 的值域为[]6,7. .（2）设任意的12144x x ≤<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=， 若116a ≤，则对任意的12144x x ≤<≤， 总有120x x -<，120x x a ->，120x x >，所以()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x 为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，故()f x 的最小值为19444f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 若16a ≥，则对任意的12144x x ≤<≤， 总有120x x -<，120x x a -<，120x x >，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，故()f x 的最小值为()464a f =+. 若11616a <<，则对任意的1214x x ≤<≤总有120x x -<，120x x a -<，120x x >，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x为14⎡⎢⎣上的减函数，124x x ≤<≤，总有120x x -<，120x x a ->，120x x >，所以()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x为4⎤⎦上的增函数，故()f x的最小值为2f=.综上，()min9144161216166164a a f x a aa ⎧+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，，【点睛】 函数()()0af x x a x=+>常称为“双勾函数”，它在(，()上是减函数，在)+∞，(,-∞上是增函数，注意()()0af x x a x=+<不是双勾函数，该函数在()0,∞+上是增函数，在(),0-∞上是减函数．注意在高中数学的初始阶段，函数的单调性的证明只能依据定义，并且在运用该函数时需要证明其单调性，不可直接使用. 21．（1）1m =；（2）函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增函数，证明见解析； （3）答案不唯一，见解析 【分析】（1）将已知条件()11f =-，解得1m =，再结合m 是正数，可得1m =； （2）将（1）的结论代入得(](],1,0m -∞-=-∞,根据函数单调性的定义，可设(]12,,0x x ∈-∞，且12x x <，通过作差化简整理，最后得到()()120f x f x -<，说明函数在区间(],1m -∞-上是增函数；（3）首先，方程()f x kx =有一个解0x =，然后分0x >和0x <加以讨论：当0x >且2x ≠时，方程转化为2x kx x =-，解得12x k=+，解不等式得12k <-或0k >，当0x <时，则2x kx x -=-，解得12x k=-，解不等式得102k <<；最后综合可得方程()f x kx =解集的情况． 【详解】（1）由()11f =-，得11m=--，1m =，∵0m >，∴1m =． （2）由（1），1m =，从而()2xf x x =-，只需研究()f x 在(],0-∞上的单调性． 当(],0x ∈-∞时，()2xf x x -=-． 设(]12,,0x x ∈-∞，且12x x <，则()()12121222x x f x f x x x ---=---()()()1212222x x x x -=--， ∵120x x <≤，∴120x x -<，120x -<，220x -<， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． ∴函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增函数．（3）原方程即为2xkx x =- ……① 0x =恒为方程①的一个解．若0x <时方程①有解，则2x kx x -=-，解得12x k=-， 由120k-<，得102k <<；若0x >且2x ≠时方程①有解，则2x kx x =-，解得12x k=+，由120k +>且122k+≠，得12k <-或0k >．综上可得，当1,02k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x kx =有且仅有一个解； 当11,,22k ⎛⎫⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭时，方程()f x kx =有两个不同解； 当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()f x kx =有三个不同解． 【点睛】本题考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题． 22．（1）2()1x f x x ∴=+（2）见解析（3）单调减区间为(][),1,1,-∞-+∞x=-1时，min12y =-，当x=1时，min 12y =． 【解析】试题分析：（1）先根据函数为奇函数（）求出值，再利用12()25f =求出值，即可其解析式；（2）利用函数的单调性定义进行判定与证明；（3）结合（2）问容易得到单调递减区间，进而写出最值.解题思路:（1）求解析式的一种主要方法是待定系数法；（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性的一般步骤为：设值代值、作差变形、判定符号、下结论. 试题解析：（1）()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-．即2211ax b ax bx x -++=-++，ax b ax b -+=--，0b ∴=2()1ax f x x ∴=+，又12()25f =，1221514a∴=+，1a =，2()1xf x x ∴=+ （2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 12121211,11,0x x x x x x -<<<∴-<<-<，1210x x ->2110x +>，2210x +>，12()()0f x f x ∴-<，12()()f x f x <，()f x ∴在（-1，1）上是增函数．（3）单调减区间为(][),1,1,-∞-+∞ 当x=-1时，min 12y =-，当x=1时，.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的解析式；3.函数的单调性与最值. 23．4 【分析】先考虑函数()g x 在何处取何最小值，从而得到()f x 在何处取何最小值，求出,p q 后可求()f x 的最大值.【详解】设12122x x ≤<≤，()()121222121122g x g x x x x x -=+-- ()()2221121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=--- ⎪⎝⎭，当任意的12112x x ≤<≤时，120x x -<，221212111,1x x x x >>，故2212121120x x x x --<， 故()()120g x g x ->即()()12g x g x >，故()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.当任意的1212x x ≤<≤时，120x x -<，221212111,1x x x x <<，故2212121120x x x x -->， 故()()120g x g x -<即()()12g x g x <，故()g x 在[]1,2为增函数. 所以()g x 在1x =取最小值且最小值为()13g =. 故()f x 在1x =取最小值且最小值为3.所以21234pp q ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得24p q =-⎧⎨=⎩，故()224f x x x =-+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故()()max 24f x f ==.【点睛】对于函数()y g x =的单调性的讨论，需要对()()12g x g x -因式分解后才能找到决定()()12g x g x -正负的核心代数式（如221212112x x x x --），为了找到该代数式变号的分界点，可令12,x x 近似相等，从而得到代数式3122x -变号的分界点为11x =，从而得到两个区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦及[]1,2，在这两个区间上讨论函数的单调性即可． 24．(1)[]0,2；(2) (),3-∞-. 【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t ＝2log x ∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】(1)h (x )＝(4－22log x )·2log x ＝－2(2log x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]，2()2(1)2h x t =--+，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f＞k ·g (x )，得(3－42log x )(3－2log x )＞k ·2log x ，令2log t x =，因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-， 因为9412t t +，当且仅当94t t=，即32t =时取等号，所以9415t t+-的最小值为－3.所以k ＜－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． 【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．25．（1）奇函数；（2）在(][),1,1,-∞-+∞单调递减，在()1,1-单调递增；min 1y =-；max 1y =. 【分析】（1）依据定义可判断该函数为奇函数.（2）先考虑函数在[)0,+∞上的单调性，该单调性可依据定义来判断，再根据函数为奇函数得到函数在(],0-∞上的单调性，根据单调性可求函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为R ，因为()()221xf x f x x -=-=-+，故()f x 为R 上的奇函数. （2）设任意的1201x x ≤<≤，()()()()()()12121222122111x x x x f x f x x x ---=++，因为1201x x ≤<≤，故120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，所以()()120f x f x -<，所以()f x 在[]0,1为增函数， 同理可证：()f x 在[)1,+∞上为减函数，因为()f x 为R 上的奇函数，故()f x 在(),1-∞-为减函数，在[]1,0-上为增函数， 所以()f x 在[]1,1-上为增函数.所以当1x ≤-时，()()110f f x -=-≤<， 而当1x ≥时，()0f x >且()()011f x f <≤=， 而当11x -≤≤时，()()()1111f f x f -=-≤≤=，故当x ∈R 时，min 1y =-，max 1y =. 【点睛】函数的最值问题，往往需要讨论函数的单调性，后者应利用定义来讨论，注意讨论函数最值时，要观察函数的图像是否具有渐近线（如本题中当1x ≤-时，()0f x <总成立，x 轴为图像的渐近线）.26．（1）1a >；（2）min04()242a f x a a ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩；（3）4a > ；（4）在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增；最小值为6-， 【分析】（1）在不等式()()f x g x >中令1x =，则可以得到关于a 的不等式，其解即为a 的取值范围.（2）就是4a ≥、04a <<分类讨论函数的单调性后可求()f x 在(]0,2上的最小值. （3）由()()min max f x g x >可得实数a 的取值范围.（4）设任意120x x <<，考虑()()12h x h x -的符号后可得()h x 的单调性，从而可求()h x 的最小值. 【详解】（1）由题设有()()11f g >，故13a a +>-，故1a >. （2）若4a ≥，设任意的1202x x <<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=，因为1202x x <<≤，故120x x a -<，120x x -<，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 为(]0,2上的减函数， 故()f x 的最小值为()222a f =+. 若04a <<，则设任意的1202x x <<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=，因为120x x <<≤120x x a -<，120x x -<，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x为(上的减函数， 同理可证：()f x为2⎤⎦上的增函数.所以()f x的最小值为f=，故()min42,42a f x a a ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩. （3）因为对任意的(]12,0,2x x ∈，不等式()()12f x g x >恒成立， 故()()()min max 28f x g x g a >==-.由（2）可知：当04a <<时，由()min f x =4a ≥时，由()min 22af x =+，所以048a a <<⎧⎪⎨>-⎪⎩或4282a aa ≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩即044a a <<⎧⎨>⎩（无解）或4a >， 故4a >.（4）若32a =，则()220323h x xx =+-， 设任意的1202x x <<≤，则()()()()1212121212216x x x x x x h x h x x x -+-⎡⎤⎣⎦-=，因为1202x x <<≤，故()1212160x x x x +-<，120x x -<，所以()()120h x h x ->即()()12h x h x >，所以()h x 为(]0,2上的减函数， 同理可证()h x 为[)2,+∞上的增函数， 所以()h x 在()0,∞+上的最小值为()26h =-． 【点睛】 函数()()0af x x a x=+>常称为“双勾函数”，它在(，()上是减函数，在)+∞，(,-∞上是增函数，注意()()0af x x ax=+<不是双勾函数，该函数在()0,∞+上是增函数，在(),0-∞上是减函数．注意在高中数学的初始阶段，函数的单调性的证明只能依据定义.27．（1）1b=；（2）单调递减，证明略；（3）13k<-【分析】（1）根据()()f x f x-=恒成立可求得1b=.（2）()f x为减函数，利用单调性的定义可证明该结论.（3）函数不等式可以转化为2320t t k-->在R上恒成立，从而可求实数k的取值范围. 【详解】（1）()()112122,2222x x xx x xb b bf x f xa a a--++-+-+⨯-+-==-=-++⨯+，因为()f x为奇函数，故1122222x xx xb ba a+-+⨯-+=-+⨯+，化简得到()()1222240x xab a b a b+⨯-+-+-⨯=恒成立，所以22a bab=⎧⎨=⎩，解得21ab=⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩，当21ab=-⎧⎨=-⎩，()1121212222x xx xf x++--+==---，此时()f x的定义域不为R，当21ab=⎧⎨=⎩，()12122xxf x+-+=+，满足定义域为R，故1b=.（2）()f x为减函数，证明如下：设任意的12x x<，()()()()()21121212121111322121221212121x xx xx x x xf x f x++++⨯----=-=++++，因为12x x<，故21220x x->，而()()121121210x x++++>，故()()12f x f x->即()()12f x f x>，所以()f x为R上的减函数.（3）因为()f x为奇函数，故不等式()()22220f t t f t k-+-<等价于()()2222f t t f t k-<-+，而()f x 为R 上的减函数，2222t t t k ->-+即2320t t k -->对任意t R ∈. 所以4120k ∆=+<，故13k <-． 【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用()()f x f x =-（或()()f x f x -=-）恒成立来求参数的大小.解函数不等式要利用函数的单调性、奇偶性去掉对应法则f ．。
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2018-2019学年曹二高一上期末数字试卷
2019.1
一、填空题：
1、(19年曹杨高一期末1)若集合{}31,2,3,4,0,1x A B x x R x ⎧-⎫
==<∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =__________； 答案：{}1,2
2、(19年曹杨高一期末2)函数()f x =_________； 答案：x<=1,≠0
3、(19年曹杨高一期末3)方程()()222log 1log 21x x -=+的解为x =___________； 答案：4
4、(19年曹杨高一期末4)已知函数()y f x =是奇函数，且当0x <时，()3x f x x =+，则当0x >时，()f x =__________；
答案：()3x f x x =-+
5、(19年曹杨高一期末5)函数()()211f x x x =+≤-的反函数()1f x -=__________；
(2)x ≥
6、(19年曹杨高一期末6)已知扇形的周长为4，面积为1，则扇形的圆心角为__________； 答案：2
7、(19年曹杨高一期末7)设m R ∈，若函数()()211f x m x mx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是__________； 答案：（0，+∞）
8、(19年曹杨高一期末8)设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；
答案：（0,1）
9、(19年曹杨高一期末9)对于非空数集,A B ，定义集合运算：{},A B ab a A b B =∈∈e ，已知{}{}1,2,1,1,3A B ==-，则集合A B e 中的元素之和为_________； 答案：9
10、(19年曹杨高一期末10)已知点()(),P a b a b ≠是直角坐标平面第一象限内一点，点P 关于直线y x =的对称点为点'P ，若点P 及点'P 都在幂函数()y f x =的图像上，则()f x =__________； 答案：1/x
11、(19年曹杨高一期末11)已知函数()()()9
6,2201
x f x g x a a a x =
-=⋅->+，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________； 答案：[3,+∞）
12、(19年曹杨高一期末)已知函数()()2
024x
x m f x m x mx m
x m
⎧≤⎪=>⎨-+>⎪⎩，若存在实数b ，
使得函数()()g x f x b =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_________； 答案：m>3 二、迭择题：
13、(19年曹杨高一期末)如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（） A.a c b d ->- B.a c b d +>+
C.
a b
d c
> D.ac bd > 答案：B
14、(19年曹杨高一期末)唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬
莱不成仙。
”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
答案：A
15、(19年曹杨高一期末)已知角α的终边在第一象眼，那么角
3
α
的终边不可能再（）
A 、第一象限
B 、第二象眼
C 、第三象眼
D 、第四象眼
16、(19年曹杨高一期末)已知函数()()2,3f x x f x x x ==-+，若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，使得
()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++L L ，则正整数n 的最大值为（） A.5 B.6
C.7
D.8
答案：D 三、解答题：
17、(19年曹杨高一期末)已知集合{}{}
2230,,2,A x x x x R B x x m x R =--≤∈=-≤∈.
（1）若[]1,5A B =-U ，求实数m 的值；
（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围. 答案：（1）3 （2）（-∞，-3]∪[5,+∞）
18、(19年曹杨高一期末)已知函数()()
()2log 424,x x f x b g x x =+⋅+=. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；
（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围. 答案：（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）
19、(19年曹杨高一期末)著名英国数字家和物理字家lssacNewton 曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：把物体放在冷空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θo ，空缺的温度为0,C t θo 分钟后物体的温度C θo 可甶公式()010kt e θθθθ-=+-⋅得到，这里e 是自然对数的底，k 是一个由物体与空气的接触状況而定的整肠生，失将一个初始温度为62C o 的物体放在15C o 的空气中冷却，1分钟后物体的温度是52C o . （1）求k 的值（精确到0.01）；
（2）该物体从最初的62C o 冷却多少分钟后温度是32C o （精确到0.1）？ 答案：（1）0.24 （2）4.2
20、(19年曹杨高一期末)已知下表为函数()3f x ax cx d =++部分自変量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.
据表中数据，研究该函数的一些性质； （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）判断函数()f x 在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由；
（3）判断a 的正负，并证明函数()f x 在(],0.35-∞-上是单调递域函数. 答案：（1）奇函数 （2）存在 （3） a<0
21、(19年曹杨高一期末)若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12,x x R ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称()f x 是“非減函数”.
（1）若()31f x ax =+是“非減函数”，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为偶函数，且为“非减函数”，证明()f x 是常值函数；
（3）已知()(),f x g x 是两个“非减函数”，定义{}{}max ,,min ,a a b b a b
a b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩
，
证明：函数()()(){}()()(){}max ,,min ,H x f x g x h x f x g x ==都是“非减函数”. 答案：（1）a>=0 （2）证明略 （3）证明略。