【精品】2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用方法含答案与试题解析

2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用
方法含答案与试题解析
一、经典试题
1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求
证：MN=1
2（AB+AC﹣BC）．
二、技巧分类
技巧1 连接两点构造三角形的中位线
2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求∠MPN的度数．
技巧2 已知角平分线及垂直构造中位线
3．（2019秋•诸城市期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（）
A．3B．9
2C．5D．
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2
4．（2018春•吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD ⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
技巧3 倍长法构造中位线
5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
M为AF的中点，求证：ME=1
2CF．
技巧4 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=√2MN．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于
点N，求证：AN=1
3AC．
2021年构造中位线解题的五种常用方法
参考答案与试题解析
一．试题（共7小题）
1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求
证：MN=1
2（AB+AC﹣BC）．
【专题】证明题．
【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BN为∠ABC的角平分线，
∴∠CBN＝∠ABN，
∵BN⊥AG，
∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°，
∴∠BAN＝∠AGB，
∴AB＝BG，
∴AN＝GN，
同理AC＝CF，AM＝MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN=1
2（AB+AC﹣BC）．
2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求∠MPN 的度数．
【专题】图形的全等．
【解答】解：（1）连接DC 和AE ，AE 交CD 于点M ，
在△ABE 和△DBC 中，
{AB =BD ∠ABE =∠DBC BE =BC
∴△ABE ≌△DBC （SAS ）．
∴AE ＝DC ．
∵P 为AC 中点，N 为EC 中点，
∴PN =12AE ．
同理可得PM =12
DC ．
所以PM ＝PN ．
（2）∵P 为AC 中点，N 为EC 中点，
∴PN ∥AE ．
∴∠NPC ＝∠EAC ．
同理可得∠MP A ＝∠DCA
∴∠MP A +∠NPC ＝∠EAC +∠DCA ．
又∠DQA ＝∠EAC +∠DCA ，
∴∠MP A +∠NPC ＝∠DQA ．
∵△ABE ≌△DBC ，
∴∠QDB ＝∠BAQ ．
∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．
∴∠MP A+∠NPC＝60°．
∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．
3．（2019秋•诸城市期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（）
A．3B．9
2C．5D．
15
2
【专题】三角形；推理能力．
【解答】解：延长BD交CA的延长线于E，∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（ASA），
∴BD＝DE，AB＝AE＝6，
∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD=1
2CE=
1
2
×15＝7.5．
故选：D．
4．（2018春•吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD ⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=1
2CF=
1
2
×4＝2．
5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
M为AF的中点，求证：ME=1
2CF．
【专题】证明题．
【解答】证明：如图，延长FE 到D ，使DE ＝EF ，连接AD 、BD ，
∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，
∴∠BFE ＝45°，BE ⊥DF ，
∴BE 垂直平分DF ，
∴∠BDE ＝45°，
∴△BDF 是等腰直角三角形，
∴BD ＝BF ，∠DBF ＝90°，
∵∠CBF +∠ABF ＝∠ABC ＝90°，
∠ABD +∠ABF ＝∠DBF ＝90°，
∴∠CBF ＝∠ABD ，
在△ABD 和△CBF 中，
{AB =BC ∠CBF =∠ABD BD =BF
，
∴△ABD ≌△CBF （SAS ），
∴AD ＝CF ，
∵M 为AF 的中点，DE ＝EF ，
∴ME 是△ADF 的中位线，
∴ME =12
AD ，
∴ME =12CF ．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=√2MN．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵M、N分别为AF、BE的中点，
∴NG=1
2AE，NG∥AE，MG=
1
2BF，MG∥BF，
∵CE＝CF，AC⊥BC，
∴AE＝BF，NG⊥MG，
∴MG＝NG，∠MGN＝90°，∴△MNG是等腰直角三角形，
∴NG=√2
2MN，
∴AE＝2NG＝NG=√2
2
×2MN=√2MN，
即AE=√2MN．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于
点N，求证：AN=1
3AC．
【专题】证明题．
【解答】证明：作DM∥BN交AC于M，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，又DM∥BN，
∴NM＝MC，
∵点P是AD的中点，DM∥BN，
∴AN＝NM，
∴AN＝NM＝MC，即AN=1
3AC．。