初中几何中线段和与差最值问题

（１）求反比例函数的解析式;
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点Ｂ与点A不重合）,且Ｂ点的横坐标为１，在x轴上求一点P,使ＰA+PB最小.
２、如图,一元二次方程 的二根 ， （ ＜ )是抛物线 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3,6）.
（１)求此二次函数的解析式；ﻫ（２）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Ｑ，求点Ｐ和点Q的坐标;ﻫ（3)在ｘ轴上有一动点M,当MQ＋MA取得最小值时,求M点的坐标．
（１）点A、B在直线m两侧:
(2）点A、Ｂ在直线同侧：
2、在直线ｍ、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
(１)两个点都在直线外侧：
(2）一个点在内侧，一个点在外侧：
(3）两个点都在内侧：
（４)、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线ｎ、m分别上求点D、Ｅ点,使得围成的四边形ADEB周长最短．
3、如图3,在锐角三角形ABC中 ，AＢ= ，∠ＢAC=45,BAC的平分线交BC于D，M、Ｎ分别是AD和ＡＢ上的动点,则BM+MN的最小值是。
4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,ＡD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是ＡＣ边上一点.若AE＝2,EM+CM的最小值为．
5、如图５，在直角梯形ABCD中，∠AＢC＝９０°,AD∥BC，AD＝4,AB＝５，ＢＣ=6，点P是AB上一个动点，当PＣ+PＤ的和最小时,ＰB的长为_＿_＿____＿_．
（2)点A、Ｂ在直线m同侧：
练习题
1．如图1,∠ＡOＢ=45ห้องสมุดไป่ตู้,P是∠ＡOＢ内一点，PO=１０，Ｑ、R分别是ＯＡ、OB上的动点,求△PQＲ周长的最小值为．
2、如图2，在锐角三角形ABＣ中，ＡB=4 ,∠BAC=４5°，∠BＡＣ的平分线交ＢC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为．
初中几何中线段和与差最值问题
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初中几何中线段和（差)的最值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:
一）、已知两个定点:
1、在一条直线m上,求一点Ｐ，使PA+PＢ最小；
变式二：已知点A位于直线m，n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PＡ+PQ+QＡ周长最短.
二）、一个动点,一个定点:
(一)动点在直线上运动：
点B在直线ｎ上运动，在直线m上找一点P，使PA＋PB最小(在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧:
２、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙Ｏ上运动,在直线m上找一点P，使PＡ＋ＰB最小(在图中画出点Ｐ和点B）
11、如图11，ＭＮ是半径为1的⊙O的直径，点Ａ在⊙Ｏ上，
∠AMＮ＝３0°,Ｂ为AＮ弧的中点，P是直径MN上一动点,
则PＡ＋PＢ的最小值为( )
(A)2 (B) (Ｃ)1 (Ｄ）2
解答题
1、如图,正比例函数 的图象与反比例函数 (k≠０)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线,垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
6、如图6，等腰梯形ABCD中,AB=AＤ＝CD=1，∠ＡBC=60°，P是上底，下底中点EＦ直线上的一点，则PA+PB的最小值为．
7、如图7菱形ABCD中,AB=2，∠BＡD=60°,E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
8、如图8，菱形ＡBＣD的两条对角线分别长6和８，点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AＢ、BC的中点，则PＭ+PN的最小值是
（2)当ＢE经过(1）中抛物线的顶点时，求CF的长;
（3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
6.如图，已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2，－３）,B（4,-１)若C（a，0)，Ｄ（a+3，０)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ＡBDC的周长最短.
9、如图9，圆柱形玻璃杯，高为１2cm,底面周长为18ｃｍ,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____＿___cm.
1０、如图10所示,已知正方形ABCD的边长为８，点Ｍ在DC上,且ＤM=2，N是
AＣ上的一个动点，则DN+MＮ的最小值为．
并求出这个最短路程的长．
5.如图,已知在平面直角坐标系ｘＯy中,直角梯形OＡBC的边OＡ在ｙ轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上,OＡ＝ＡＢ=2，ＯC=３,过点B作BD⊥BC，交OA于点Ｄ．将∠ＤBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式;
３、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(１， ），△AOＢ的面积是 .
(1)求点Ｂ的坐标;
(2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在(２）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在，请说明理由．
4.如图,抛物线y＝ x2-x＋3和ｙ轴的交点为A,M为OA的中点，若有一动点P,自Ｍ点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F）,最后又沿直线运动到点A，求使点Ｐ运动的总路程最短的点E,点F的坐标，
７、如图,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点Ｏ在坐标原点，顶点A、Ｂ分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=３，OB=4,D为边OB的中点.
(1)若Ｅ为边OＡ上的一个动点,当△CＤE的周长最小时，求点Ｅ的坐标;
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
1、点与圆在直线两侧:
２、点与圆在直线同侧:
三）、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Ｑ的左侧,且ＰＱ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+ＰQ+QB的值最小。（原理用平移知识解)
(１)点A、B在直线m两侧：
作法:过Ａ点作ＡC∥m,且AＣ长等于PQ长,连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长,即为Ｐ点,此时P、Q即为所求的点。