2.3变量间的相关关系(导学案)

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高中数学 23变量间的相关关系导学案(无答案)新人教A版必修3 学案

§2.3变量间的相关关系学习目标1、通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。

2、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系3、两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。

学习重点：变量之间相关关系的理解，利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；学习难点：作散点图及理解两个变量的正相关和负相关. 课前预习案教材助读阅读课本84-91页，完成以下问题。

1、如果散点图中的分布从整体上看，我们就称这两个变量之间具有 __这条直线中2.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”如何实现这一目标呢？ 3、小结求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数______________. 第二步，求和____________________. 第三步，计算____________________. 第四步，写出回归方程 ______________. 4.利用计算器或计算机，如何求回归方程？5.线性回归直线a x b y+=的几何意义是：x 每增加一个单位，y 就相应或个单位，而不是倍。

课内探究案一、新课导学新知1：线性相关如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系。

新知2：回归直线两个变量具有线性相关关系时，它们的散点图在一条直线附近，则这条直线称为回归直线。

新知3：回归直线方程分析与求法：分析：一是所求的回归直线方程只是“大体上”上接近了回归方程而且方程不唯一，可信度不高：二是没有从几何直观和代数精确上对回归直线作刻画，不能作合理的可靠的数学解释。

求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数；，y x第二步，求和；，∑∑==ni i n i i i x y x 121第三步，计算;)())((1221121x b y a xn x yx n y x x x y y x x b ni i ni i i ni i n i ii-=--=---=∑∑∑∑====，第四步，写出回归方程 .a bx y +=∧二、合作探究例1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（）A ．角度和它的余弦值B ．正方形的边长和面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄与身高例2.下列两个变量中具有相关关系的是（）A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力例3.由一组10个数据(x i ，y i )算得,10,5==y x,292,583121==∑∑==ni i n i i i x y x 则b = ,a = ,回归方程为_____________________.三、当堂检测1.下列属于线性相关的是（）①父母身高与子女身高的关系 ②农作物产量与施肥料的关系 ③吸烟与健康的关系必过，回归直线方程a bx y +=2点（）A.( 0, 0 )B.(-x , 0) C. (0, -y ) D.(-x , -y )3.已知x 、y 之间的数据如下表所示，则x 、y 的线性回归方程过点（）A.( 0, 0 )B.(1.17 , 0)C. (0, 2.32)D.(1.17, 2.32)4.工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归方程y=50+80x ，下列判断正确的的是（）A.劳动生产率为1千元，则工资为130元B.劳动生产率提高1千元，则工资为80元C.劳动生产率提高1千元，则工资为130元D.当月工资为210元，劳动生产率为2千元5.已知回归方程y=4.4x+838.19，则可估计x 与 y 的增长速度之比约为 .四、课后反思课后训练案1.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此过行了10次试验，收集数据如下：(1)(2)求回归方程。

高中数学第2章 2.3 变量间的相关关系学案

§2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相互关系 2.3.2 两个变量的线性相关【明目标、知重点】1．理解两个变量的相关关系的概念．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线的方程．【填要点、记疑点】 1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．(3)回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^是截距． 3．最小二乘法通过求Q ＝ i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．【探要点、究所然】[情境导学] 在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究. 探究点一变量之间的相关关系思考1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？考察下列问题中两个变量之间是什么关系？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费；(2)粮食产量与施肥量；(3)人体内的脂肪含量与年龄．答当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，这两个变量是一个函数关系．(1)、(2)、(3)都不是函数关系，因为当其中一个变量变化时，另一个变量的变化还受其它因素的影响．思考2“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？为什么？答不是函数关系．因为学生的成绩提高的原因是多个因素的共同结果，并不由老师这一个因素唯一确定．况且一个老师教几十个学生，也有成绩差的．小结思考1、思考2中两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系．思考3函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？答函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系．函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化．例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．跟踪训练1有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？解从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．探究点二散点图问题在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：思考1答随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也有所增加．思考2以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？答思考3阅读教材85页，你能说出散点图的定义吗？答在平面直角坐标系中，表示两个变量的一组数据图形，称为散点图．思考4阅读教材86页上半页后，你能说出正相关是如何定义的吗？类比正相关的定义，你能给负相关下个定义吗？答在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．一个变量随另一个变量的变大而变小称为负相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．思考5你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗？答成正相关的如：商品销售收入与广告支出经费；作文水平与课外阅读量；粮食产量与施肥量．成负相关的如：在一定范围内汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程．例2以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据：解散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？解(1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．探究点三回归直线思考1在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？答这些点大致分布在一条直线附近．小结回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．思考2 在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？答不能用直尺准确画出回归直线．用计算机中Excel 可以方便地画出回归直线(见教材)．探究点四回归方程问题在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程．对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？思考1 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？答整体上最接近．选择能反映直线变化的两个点．思考2 对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为y ^＝bx ＋a ，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？答可以用|y i －y ^i |或(y i －y ^i )2，其中y ^i ＝bx i ＋a .(如图)思考3 为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？答 Q ＝∑i ＝1n(y i －y ^i )2＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2.小结根据有关数学原理分析，当b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x 时，总体偏差Q ＝ i ＝1n(y i －y ^i )2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．思考4 回归方程中，a ^，b ^的几何意义分别是什么？答 b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．思考5 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程y ^＝0.577x－0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值．若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？答将x ＝37代入方程y ^＝0.577x －0.448，得0.577×37－0.448＝20.901.所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%.例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数．解 (1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a ，b 的计算公式，算出a ，b .由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的计算顺序：计算平均数x ，y ；计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ；计算∑x 2i ；将结果代入公式求b ^；用a ^＝y －b ^x 求a ^；写出回归直线方程．思考6 气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？答小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：(1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差．(2)即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近．我们不能保证点(x ，y )落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近．跟踪训练3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.系，说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．解 (1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7. 将它们代入公式计算得b ^≈0.077 4，a ^≈－1.024 9，所以，所求回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 9. 【当堂测、查疑缺】1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系( )A ．正方体的棱长和体积B ．圆半径和圆的面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄和身高答案 D解析A 、B 、C 都是函数关系，对于A ，V ＝a 3；对于B ，S ＝πr 2；对于C ，g (n )＝(n －2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg 答案 D解析当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B解析由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ^，a ^＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．【呈重点、现规律】1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关． 2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.。

高一数学必修三导学案23变量间的相关关系(2)27

§2.3变量间的相关关系〔2〕【学习目标】：〔1〕利用散点图直观熟悉两个变量之间的线性关系。

〔2〕了解最小二乘法，会求线性回归方程。

【学习难点】：利用散点图直观熟悉两个变量之间的线性关系，求线性回归方程。

【学习难点】:会求线性回归方程。

【教学过程】：一、回忆预习案1、在争论两个变量之间是否存在某种关系时，必需从散点图入手。

对于散点图有以下结论：〔1〕假如全部的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系。

即变量之间有函数关系。

〔2〕假如全部的样本点都落在某一函数曲线四周，变量之间就相关关系。

〔3〕假如散点图中点的分布___________大致在一条直线四周，我们就称这两个变量之间具有__________关系，这条直线就叫做____________。

2、最小二乘法：的方法叫做最小二乘法。

3、一般设线性回归方程为ax b y ˆ+= ，其中b 和a 公式为。

〔1〕其中b 为回归方程的 a为回归方程的。

(2)____________肯定在回归直线上。

二、争论展现案合作探究，争论展现例1、以下说法中正确的选项是〔〕A 、任何两个变量都具有相关关系B 、人的学问与其年龄具有相关关系C 、散点图中的各点是分散的没有规律D 、依据散点图求得的回归直线方程都是有意义的例2 、变量y 与x 之间的回归方程〔〕A 、表示y 与x 之间的函数关系B 、表示y 和x 之间的不确定关系C 、反映y 和x 之间真实关系的形式D 、反映y 与x 之间的真实关系到达最大限度的吻合例3、假设用水量x 与某种产品的产量y 的回归直线方程是ˆy =2x ＋1250，假设用水量为50kg时，估计的某种产品的产量是〔〕A 、1350 kgB 、大于 1350 kgC 、小于1350kgD 、以上都不对例4、线性回归方程ˆy=b ˆx ＋a ˆ必过〔〕 A 、(0，0)点 B 、(x ，0)点 C 、(0，y )点 D 、(x ，y )点例5、下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据。

高中数学 2.3变量间的相关关系导学案新人教A版必修3

§2.3变量间的相关关系学习目标（1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.(2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断.(3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用.重点难点重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 难点：理解变量间的相关关系.学法指导在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

问题探究复习回顾：函数的定义二、情景设置：客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？二、探究新知：知识探究（一）：变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？思考4：相关关系与函数关系的异同点：总结：对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.）知识探究（二）：散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：……课本85页的探究。

2.3.1变量间的相关关系导学案

第 1 页共 1 页 2．3．1变量间的相关关系学案一、目标:明确事物间的相互关系，认识现实生活中的变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。

二、教学过程预习检测 1.什么叫散点图：叫做散点图。

2.三种关系： ①如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即 ②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有 ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有 3.正、负相关的概念。

如果散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，称为如果散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为4.线性相关的概念：教学实图：人体的脂肪百分比和年龄如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有关系，这条直线叫做_ ，回归直线对应的方程叫回归直线方程,它的方程简称。

设回归方程为a x b y +=，则有1122211()()()________________n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑ ，其中1n i i x x ==∑，1n i i y y ==∑，b 是回归方程的_______，a 是_______。

线性回归方程过点（）三、概念巩固：1.下列关系中，是带有随机性相关关系的是 ① 正方形的边长面积之间的关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系③ 人的身高与年龄之间的关系④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。

2.下列关系不属于相关关系的是（）A 人的年龄和身高B 球的表面积与体积。

C 家庭的收入与支出。

D 人的年龄与身体脂肪含量。

3.下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（）。

A ，角度和它的余弦值。

B 正方形的边长和面积。

B ．正n 边形的边数和内角和。

[精品]新人教A版必修三高中数学第二章2.2.3变量间的相关关系导学案

23 变量间的相关关系1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系．3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题．1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同的“物理成绩”与“数成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．【做一做1】下列图形中具有相关关系的两个变量是( )[]2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程(y,^) ＝(b,^)＋(a,^)时，使得样本数据的点到它的最小的方法叫做最小二乘法，其中(a,^)，(b,^)的值由以下公式给出：错误!其中，(b,^)是回归方程的，(a,^)是回归方程在y轴上的．线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在习过程中，要重视信息技术的应用．【做一做2】某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程(y,^) ＝(b,^)＋(a,^)中(b,^)≈－2，则(a,^)≈答案：1．(1)随机(2)左下右上左上右下【做一做1】A项中显然任给一个都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；B项也是一种函数关系；项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．[]2．(1)直线回归直线(2)距离的平方和\t(y)－(b,^)\t() 斜率截距【做一做2】60\t()＝18＋13＋10－14＝10，\t(y)＝24＋34＋38＋644＝40，则(a,^)＝\t(y)－(b,^)\t()≈40＋2×10＝601．相关关系与函数关系的异同剖析：相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系．2．线性回归直线方程的性质剖析：(1)回归直线过样本数据的中心．所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(n，y n)为样本数据而言，(\t()，\t(y))为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程看，当系数b＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b ＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关．3．理解最小二乘法剖析：结合最小二乘法的发展过程和在实际生活中的应用了解最小二乘法．如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求出各未知量的最可靠值，各观测量必须改为正数，使其所改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小，这种方法称为最小二乘法，所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值．最小二乘法的思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简单的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，是处理各种观测数据测量方差的一种基本方法，是一种数优化技术．在统计中，主要是利用最小二乘法求线性回归方程，这是最小二乘法思想的应用．最小二乘法不仅是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他研究中也有着广泛的应用，比如洪水实时预报等．题型一判断相关关系【例题1】设对变量，y有如下观察的数据：1542(1)画出散点图．(2)判断变量，y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？[||]分析：对于给定一组观察数据，可以借助作散点图这样有效的手段进行处理．反思：两个随机变量和y是否具有相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断(如本题)；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断．题型二求回归直线方程【例题2】每立方米混凝土的水泥用量(单位：g)与28天后混凝土的抗压强度y(单位：g/c2)之间的关系有如下数据：求两个变量间的回归直线方程．分析：由题目可获取以下主要信息：①两个变量具有线性相关关系；②由两个变量的对应数据求回归直线方程．解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了．反思：(1)用公式求回归方程的一般步骤是：①列表i，y i，i y i②计算\t()，\t(y)，错误!错误!，错误!i y i③代入公式计算(b,^)，(a,^)的值．④写出回归直线方程．(2)求回归直线方程时应注意的问题：①用公式计算(a,^)，(b,^)的值时，要先算出(b,^)，然后才能算出(a,^)②使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关的计算．题型三线性回归分析的应用【例题3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程(y,^) ＝(b,^)＋(a,^)；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×25＋4×3＋5×4＋6×45＝665)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数(b,^)，(a,^)的值；(3)实际上就是求当＝100时，对应的y的值．反思：(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性，通常转化为求出回归直线方程．已知(y)估计相应的(y,^) ((,^))，这时代入回归直线方程即可解决；(2)求回归直线方程，关键在于正确地求出系数(a,^)，(b,^)，由于(a,^)，(b,^)的计算最大，计算时要仔细，避免计算失误．题型四易错辨析【例题4】下列变量之间的关系属于相关关系的是( )A．圆的周长和它的半径之间的关系B．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D．正方形面积和它的边长之间的关系错解：选B或A或D．错因分析：两个变量间的相关关系不同于函数关系．所谓函数关系，就是其中一个变量(自变量)的每一个值，唯一确定了另一个变量(因变量)的值；而对于相关关系，两个变量间则没有确定的关系，它们的关系相对说是随机的．错解正是混淆了这两者之间的关系，而造成了误选．答案：【例题1】解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．【例题2】解：列表如下：23 322则(b ,^)＝182 943－12×205×726518 600－12×2052＝4 34714 300≈0304，(a ,^)＝\t(y )－(b ,^)\t()＝726－0304×205＝1028，于是所求的回归直线方程是(y ,^)＝0304＋1028 【例题3】解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得错误!i y i ＝3×25＋4×3＋5×4＋6×45＝665， \t()＝3＋4＋5＋64＝45，\t(y )＝25＋3＋4＋454＝35，错误!错误!＝32＋42＋52＋62＝86，则(b ,^)＝665－4×45×3586－4×452＝665－6386－81＝07，(a ,^)＝\t(y )－(b ,^)\t()＝35－07×45＝035，故线性回归方程为(y ,^) ＝07＋035(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为07×100＋035＝7035，故消耗能减少了90－7035＝1965(吨)．【例题4】正解：因选项A ，B ，D 中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项中的关系才是相关关系．故选．1．(2011·北京丰台二模，文7)已知，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与线性相关，且回归方程为y ＝095＋a ，则a ＝( )A ．325B ．26 ．22 D ．0 2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平(千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与具有相关关系，回归方程为y ＝066＋1562若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为千元．3．某商店统计了最近6个月某商品的进价与售价y (单位：元)的对应数据如下：则x ＝，y ＝，621i i x =∑＝，61i i i x y =∑＝，回归直线方程为．4．已知10只狗的血细胞体积及红细胞数的测量值如下表：红细胞数y (1)根据上表画出散点图；(2)根据散点图，判断血细胞体积与红细胞数y 之间是否具有相关关系．5．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由资料知y 对成线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y ＝bx a +的回归系数b 与a ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x ，y )，由取值表可计算x ＝01344+++＝2，y ＝2.2 4.3 4.8 6.74+++＝92，知回归方程为y ＝095＋a ，又经过点(2，92)，代入得a ＝262．7502 当＝9千元时，y ＝066×9＋1562＝75023．65 8 327 396 y ＝114＋059 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x ＝65，y ＝8，621i i x =∑＝327，61i i i x y =∑＝396，回归直线方程为y ＝114＋0594．分析：准确画出散点图，并用散点图判断血细胞体积与红细胞数y 之间是否具有相关关系是解决本题的关键．解：(1)散点图如图所示．(2)从散点图可以看出，两个变量的对应点都集中在一条直线的附近，且y 随的增大而增大，因此血细胞体积与红细胞数y 之间具有相关关系．5．分析：因为y 对成线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．(1)利用公式b ＝1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑，a ＝y bx -计算回归系数．有时为了方便常制表对应地求出i y i ，，以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取＝10，即得所求．解：列表：于是有b ＝29054-⨯＝10＝123， a y bx =-＝5－123×4＝008(2)回归直线方程是y ＝123＋008，当＝10(年)时，y ＝123×10＋008＝1238(万元)，即估计使用10年时维修费用是1238万元．。

高中数学必修三导学案-2.3变量间的相关关系(2)

高中数学必修三导学案-2.3变量间的相关关系（2）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2.3变量间的相关关系（2）【学习目标】．理解回归直线的概念；2．理解用最小二乘法求线性回归方程的思想，能用最小二乘法求线性回归方程．【新知自学】新知梳理：．回归直线如果散点图中点的分布从附近，就称这两个变量之间具有，这条直线叫做．2.回归直线方程（1）方法：．（2）公式：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，的回归方程，其中是待定系数。

恒过点，点也叫样本点的.3.线性回归分析商店名称销售额利润额（1）作出散点图，判断两个变量是否线性相关；（2）如果两个变量线性相关，则用最小二乘法求出线性回归方程；（3）根据回归方程进行统计分析，即由一个变量的变化去估计另一个变量的变化．对点练习：.一位母亲记录了儿子3到9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）（A）身高一定是145.83cm（B）身高在145.83cm以上（c）身高在145.83cm以下（D）身高在145.83cm左右2.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）（A）（B）（c）（D）3.设有一个回归方程为，当自变量增加一个单位时（）（A）平均增加1.5个单位（B）平均增加2个单位（c）平均减少1.5个单位（D）平均减少2个单位4.线性回归方程表示的直线必经过（）（A）点（B）点（c）点（D）点【合作探究】典例精析例题 1.某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有线性相关关系，求利润额对于销售额的回归直线方程.变式训练1.某5名学生的总成绩和数学成绩如下表：学生ABcDE总成绩x482383421364362数学成绩y7865716461（1）画出散点图；（2）求数学成绩对总成绩的回归直线方程；（3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个同学的数学成绩.【课堂小结】【当堂达标】.下列说法中正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系B．人的知识与其年龄具有相关关系c．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的2.变量y与x之间的回归方程（）A．表示y与x之间的函数关系B．表示y和x之间的不确定关系c．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合3.某地区近几年居民独到的年收入x与支出y之间的关系，大致符合（单位：亿元）.预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是亿元.【课时作业】.下列说法正确的有（）①线性回归方程适用于一切样本和总体；②线性回归方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值.（A）①②（B）②③（c）③④（D）①③2.若回归方程为，则（）（A）（B）15是回归系数（c）1.5是回归系数（D）时，3.工人月工资（元）与劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是（）（A）劳动生产率为1000元时，工资为130元（B）劳动生产率提高1000元，则工资提高80元（c）劳动生产率提高1000元，则工资提高130元（D）当月工资为210元时，劳动生产率为XX元4.在一次试验中，测得的四组值分别是则与之间的回归直线方程为（）（A）（B）（c）（D）5.某化工厂为预测某产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了对观察值，计算得：则与的回归直线方程是（）（A）（B）（B）（c）（D）6.若施化肥量与小麦产量之间的回归直线方程为，当施化肥量为时，预计小麦产量为.7.已知回归直线方程为，则可估计与的增长速度之比约为.8.对具有线性相关关系的变量和，测得一组数据如下表：245683040605070若已知求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为.9.假设关于某设备的使用年限和所有支出的维修费用（万元）有如下的统计数据，由资料知对呈线性相关，并且由统计的五组数据得平均值分别为，若用五组数据得到的线性回归方程去估计，使用年的维修费用比使用年的维修费用多万元.求线性回归直线方程.（2）估计使用年限为年时，维修费用是多少？0.某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利（元）与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表：345678966697381899091已知.（1）求.（2）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程；（3）若该周内某天销售服装20件，估计可获得纯利多少元？。

高中数学《变量间的相关关系》导学案设计

2．3．1变量间的相关关系学案一、目标:明确事物间的相互关系，认识现实生活中的变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。

二、教学过程预习检测1.什么叫散点图：叫做散点图。

2.三种关系：①如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即 ②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有 ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有 3.正、负相关的概念。

如果散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，称为如果散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为 4.线性相关的概念：教学实图：人体的脂肪百分比和年龄如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有关系，这条直线叫做_ ，回归直线对应的方程叫回归直线方程,它的方程简称。

设回归方程为a x b y +=，则有1122211()()()________________n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑ ，其中1ni i x x ==∑，1ni i y y ==∑，b 是回归方程的_______，a是_______。

线性回归方程过点（）三、概念巩固：1.下列关系中，是带有随机性相关关系的是① 正方形的边长面积之间的关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系③ 人的身高与年龄之间的关系④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。

2.下列关系不属于相关关系的是（） A 人的年龄和身高 B 球的表面积与体积。

C 家庭的收入与支出。

D 人的年龄与身体脂肪含量。

3.下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（）。

A ，角度和它的余弦值。

B 正方形的边长和面积。

B ．正n 边形的边数和内角和。

D 人的年龄和身高。

高中数学必修三导学案23变量间的相关关系1

适用精选文件资料分享高中数学必修三导教课方案变量间的相关关系（1）2.3 变量间的相关关系（ 1）【学习目标】 1 ．认识相关关系的相关看法； 2 ．会画散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系．【新知自学】知识回顾：课前回顾 1 、函数的定义是什么？ 2 、关于函数，当时， = . 的值是独一的吗？新知梳理：1. 两个变量之间的关系（1）函数关系：两个变量的关系是．（2）相关关系：两个变量的关系是．【感悟】相关关系与函数关系有什么异同点？2.两个变量的相关关系的相关看法（1）散点图：将样本的几个数据描在中获得的图形．（2）正相关：在散点图中，点分布在从到的地域，关于两个变量的这类相关关系，我们称它为正相关．（3）负相关：在散点图中，点分布在从到的地域，关于两个变量的这类相关关系，我们称它为负相关． 3. 两个变量的线性相关、回归直线假如散点图上的点的分布大体在周边，就称这两个变量之间拥有关系，这条直线叫做．对点练习： 1. 以下两个变量中拥有相关关系的是（）（ A）正方体的体积与边长（B）匀速行驶的车辆的行驶距离与时间（C）人的体重与饭量（D）人的身高与视力 2.以下各关系不属于相关关系的是（）（A）产品的样本与生产数目（ B ）球的表面积与体积（C）家庭的支出与收入（D）人的年龄和体重 3.以下变量关系是线性相关的是（）. （A）人的身高与视力（B）角的大小与所对圆弧长（C）收入水平与纳税水平（D）人的年龄和身高【合作研究】典例精析【典型例题】例题 1. 在关于人的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，获得以下一组数据：判断它们能否有相关关系，如有，作一拟合直线 . 年龄 23 27 39 41 45 49 50 58脂肪变式训练 1. 观察两相关变量得以下数据： x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 32 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9画出散点图，判断它们能否有相关关系 .例题 2. 以下是某地采集到的不一样样楼盘新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋面积 x（单位：平方米）的数据：x 115110 80 135 105y 124.8 121.6 119.4 129.2 122 （1）画出数据的散点；（2）判断新房屋的售价格和房屋面之能否拥有相关关系？假如有相关关系，是正相关是相关？【堂小】【当堂达】 1. 判断下形中拥有相关关系的两个量是哪一个？（）2.5 个学生的数学和物理成以下表：学科 / 学生数学 80 75 70 65 60物理 70 66 68 64 62画出散点，并判断它能否性相关 .【作】 1. 相关性回的法，不正确的选项是（）（A）相关关系的两个量不是因果关系（B）散点能直反响数据的相关程度（C）回直最能代表性相关的两个量之的关系（D）任一数据都有回方程 2. 以下两个量拥有相关关系的是（）（A）正方体的体与棱（B）数学成与学数学的（C）匀速行的行距离与（D）球的半径与体 3. 哪些量是相关关系（）（A）出租与行的程里程（B）房屋面与房屋的价格（C）身高与体重（D）的大小与量 4. 有四量：①汽的重量与汽每耗费 1 升汽油所行的均匀行程；②高三年女生的身高与体重；③某人均匀每天吸烟量与其身体健康状况；④汽的重量与百公里耗油量 . 此中两个量成正相关的是（）（A）①③（B）②④ （ C）②③ （ D）①④ 5. 量 x, y 有数据理力争（，）（i=1,2, ⋯，10），得散点 1；量 u ，v 有数据（，）（i=1,2, ⋯，10）, 得散点 2. 由两个散点可以判断（）. （A）量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关（B）量 x 与 y 正相关， u 与v 相关（C）量 x 与 y 相关， u 与 v 正相关（D）量 x 与y 相关， u 与 v 相关 . 6. 某种品的广告支出x 与售 y （位：百万元）之有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）画出散点；（2）从散点中判断售金与广告支出成什么的关系？7.假如某公司的广告支出 x（百万元 ) 与售 y ( 百万元）之有以下数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）判断广告费支出与销售额之间有无相关关系？如有是正相关还是负相关？。

高中数学《变量之间的相关关系》导学案

第二章统计2.3.1 变量之间的相关关系（第1课时）一、学习目标1.通过实例了解变量之间的相互关系，认识现实生活中变量间存在的非确定性的相互关系，体会研究此类问题在现实生活中的重要性2.会做散点图，学会用数量来描述现实关系【重点、难点】两个变量之间的线性相关的概念及有关公式、方程二、学习过程1 .函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.2.相关关系：两个变量之间的关系是一种，称之为相关关系。

3.散点图：将样本中的描在平面直角坐标系中得到的图形4.正相关：点的分布的方向负相关：点的分布的方向【典型例题】例1.判断下列问题中两个变量之间是否是相关关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄（4）出租车费与行驶的里程（5）铁的大小与质量例2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.【变式拓展】1.在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.三、学习总结1．对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系.2．散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法.3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.四、随堂检测1.有关相关关系的说法，不正确的是( )A.相关关系的两个变量是非确定关系B.散点图能直观地反映数据的相关关系C.散点图的点分布有一定规律，则两变量具有相关关系D.散点图的点越集中，两个变量的线性相关性越强2.下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是( )3.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：y与x是否具有线性相关关系？。

人教版高中数学(必修3)导学案设计：2.3变量间的相关关系(无答案)

高二数学SX-G2-B3-U2-L2.32.3 《变量间的相关关系》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：一、教学目标：1.了解相关关系与函数关系的异同点；2.会画散点图,能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系, 并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断; 3.会求回归直线方程.二、教学重、难点：重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系,会求回归直线方程.难点：理解变量间的相关关系.三、使用说明及学法指导:1．引导学生课前做好预习，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，牢记基础知识。

2．要求学生把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，用双色笔进行整理，便于复习记忆。

四、知识链接:客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？五、探究新知：(阅读课本第84页至91页，完成下列导学案)知识探究（一）：变量之间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是不确定性关系，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的关系称为____________。

思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄；（4）正方体的体积和边长.知识探究（二）：散点图1.定义：将样本中的n 个数据点()(),1,2,,i i x y i n =L 描在平面直角坐标系中，以表示具有的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.2.从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ ，思考2：5个学生的数学和物理成绩如下表：画出散点图，并判断数学成绩与物理成绩是否有相关关系。

高中数学《2.3变量间的相关关系》导学案必修3

【学习目标】1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题．【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程课前预习案【知识链接】问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:好中差你的数学成绩你的物理成绩问题2：某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？【知识梳理】 1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ^，b ^的值由以下公式给出： ⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1 －x －y∑n i ＝1 －x ＝∑ni ＝1xiyi －n x y ∑n i ＝1x2i －n x 2，a ^＝，其中，b ^是回归方程的____________，a ^是回归方程在y 轴上的______．小结：线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．自主小测1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃ 18 13 10 －1 用电量/千瓦时24343864由表中数据得线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^中b ^≈－2，则a ^≈__________.课上导学案教师点拨1：两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系． ②线性回归直线方程的性质(1)回归直线过样本数据的中心．所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn ，yn)为样本数据而言，(x ，y )为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b ＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关．【例题讲解】【例题1】设对变量x ，y 有如下观察的数据：x 151 152 153 154156157158159 160 162 163 164 y40414141.5 4242.5 434445454645.5(1)画出散点图．(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？【例题2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【例题3】下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A ．圆的周长和它的半径之间的关系B ．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C ．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D ．正方形面积和它的边长之间的关系【当堂检测】1．已知x ，y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )A ．3.25B ．2.6C ．2.2D ．0 2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y(单位：元)的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12 y46391214则x ＝________，y ＝________，621ii x=∑＝__________，61iii x y=∑＝__________，回归直线方程为__________．4．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y 对x 成线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y ＝bx a 的回归系数b 与a ；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【问题与收获】基础知识答案：1．(1)随机 (2)左下右上左上右下2．(1)直线回归直线 (2)距离的平方和 y －b ^x 斜率截距自主小测答案：1、 C A 项中显然任给一个x 都有唯一确定的y 和它对应，是一种函数关系；B 项也是一种函数关系；C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．2、60 x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，则a ^＝y －b ^x ≈40＋2×10＝60. 例题答案：【例题1】解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．【例题2】解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑4i ＝1xiyi ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x2i ＝32＋42＋52＋62＝86，则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．【例题3】正解：因选项A ，B ，D 中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C ．当堂检测答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x ，y )，由取值表可计算x ＝01344+++＝2，y ＝2.2 4.3 4.8 6.74+++＝92，知回归方程为y ＝0.95x ＋a ，又经过点(2，92)，代入得a ＝2.6.2．7.502 当x ＝9千元时，y ＝0.66×9＋1.562＝7.502.3．6.5 8 327 396 y ＝1.14x ＋0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x ＝6.5，y ＝8，621ii x=∑＝327，61i ii x y=∑＝396，回归直线方程为y ＝1.14x ＋0.59.。

人教版高中数学必修三学案：2.3变量间的相关关系导学案(教师用)

课题：变量的相关关系课时：第1课时【学习目标】1.正确作出关于两个变量统计数据的散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.2.理解两个变量之间的线性相关，回归直线方程的推导.3.理解回归分析实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系进行研究.,4.能准确求得回归方程并能利用回归方程对两个变量间的相关关系进行估计.第一环节：导入学习（激情导入）1.两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 2.回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数.⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.( × )2.已知变量x 和y 满足关系y ^＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( C ) A.x 与y 正相关，x 与z 负相关 B.x 与y 正相关，x 与z 正相关 C.x 与y 负相关，x 与z 负相关 D.x 与y 负相关，x 与z 正相关3．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是( C )4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( D ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y(cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( C ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝1765．C 计算得，x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，根据回归直线经过样本中心(x ，y )检验知，C符合．（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解 (1)散点图如图.(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时.第三环节：互助学习第四环节：展示学习第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）。

人教A版高中数学必修3第二章统计2.3 变量间的相关关系导学案

精品文档. 《变量之间的相关关系》教学设计活动3 09’40’’—13’10’’把“函数关系”“相关关系”，放在一起相互比较学习，可以使它们的“不同点”更加鲜明突出。

通过表格的形式，让学生理解函数关系与相关关系的相同点与不同点。

活动4 13’11’’—19’50’’由古汉语文学中包含的“相关关系”，让学生认识到研究相关关系的研究价值。

“名师出高徒”“水涨船高”“登高望远”“瑞雪兆丰年”“家和万事兴”相关关系的研究价值研究变量间的相关关系目的在于找到一个合适的函数模型来近似刻画两个变量间的关系，做出合理预测并以此为生产生活以及科学研究提供指导意见。

以小组讨论的形式进行合作学习,每组的组代表宣布本组的答案。

活动5 19’51’’—26’44’’教师通过具体的案例，让学生了解变量间的相关关系的研究方法，电子信息技术的使用打破了这部分内容的常规教法，降低了理解难度，提高了学生的学习效率，激发了学生用数学知识研究具体问题的兴趣。

如何研究变量间的相关关系呢？1.收集整理数据2.作出散点图3.找函数模型4.求相关系数以小组合作的形式进行合作学习,每位同学都参与到数据收集的过程中。

利用Excel软件对学生收集的数据进行分析，做出散点图，回归直线方程。

媒体技术的使用改变了以往，死记硬背，机械训练的现状，有助学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集，和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力，活动6 26’45’’—32’56’’探究活动由学生利用媒体技术独立完成，让学生体验利用数学知识，利用电子信息技术研究进行科学研究的过程。

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系.两名学生利用媒体技术制作散点图及回归直线方程，其他同学利用传统方法制作，最后对比两种方法的优劣。

学生利用Excel软件对数据进行分析，做出散点图以及回归方程。

变量间的相关关系(导学案)

2.3变量间的相关关系编号：12一、学习目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.二、学习重难点：重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程难点：对最小二乘法的理解。

三、学习过程（一）、思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）、相关关系：【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。

思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。

吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。

你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？（2）、散点图探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 39 41 45 49 50脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。

思考探究：1、对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？2、为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？3、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本85~86P ，这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？（3）、线性相关、回归直线方程和最小二乘法1：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在附近，则称这两个变量之间具有关系，这条直线叫做。