一阶动态电路的三要素法
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10 V u C (t ) 10 (7 + e 10t ) = A = 1 5 0 5 e 10t A i (t ) = 2 2
[
]
(
)
【例14-4】
下图所示电路中，已知U =3V， =6V， 下图所示电路中，已知US1=3V，US2=6V，R1= R2= 2Ω， 1Ω， 0.01H，开关S打在1位时， 2Ω，R3= 1Ω，L = 0.01H，开关S打在1位时，电路处 于稳态。t=0时开关由 位打向2 时开关由1 试求：（ ：（1 于稳态。t=0时开关由1位打向2位。试求：（1）iL、i1 的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（ ；（2 的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（2）换路 从初始值变化到零所需要的时间。 后iL从初始值变化到零所需要的时间。
7t
=10 e
10 7 t
mA
【例14-3】
下图（ 所示电路原处于稳定状态。 0时开 下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开 关闭合， ≥0的电容电压 的电容电压u 和电流i 关闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
计算初始值u 0+） 解：（1）计算初始值uC（0+） 开关闭合前， 电路已经稳定， 开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当 于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中， 4Ω电阻中 于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容 电压与电阻电压相同， 电压与电阻电压相同，可求得 0+） 4Ω× uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V 计算稳态值u （2）计算稳态值uC（∞） 开关闭合后，电路如图（ 所示， 开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时 重新达到稳定状态，电容相当于开路， 间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠 加定理求得 4× 4
根据三要素法， 根据三要素法，写出电感电流的解析式为 =1.5+（ 0.75-1.5） iL（t）=1.5+（-0.75-1.5） e
t 0005
1.5= 1.5-2.25 e
t 0005
A
由换路后的电路，根据KVL、KVL可列出下列方程 由换路后的电路，根据KVL、KVL可列出下列方程 KVL i 1（ t ） = i 2（ t ） + i L（ t ） R1 i1（t）+ R2 i2（t）= US2 代入数据， 代入数据，联立解之得 2.25i1（t）= 2.25-1.125
u C (∞ ) = 1 × 2 V + 4 + 4 × 10 V = 2 V + 5 V = 7 V 1 1 1 4× 4 + + 2+ 4+4 4 4 2
计算时间常数τ （3）计算时间常数τ 计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻， 计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻，它 是三个电阻的并联
由此式可以确定电路中电 压或电流从换路后的初始值变 化到某一个数值所需要的时间
三、三要素法应用举例
【例14-1】
下图所示电路中，已知U =12V， 3kΩ， 下图所示电路中，已知US =12V，R1= 3kΩ，R2 =6kΩ， =2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时 =6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时， 闭合。试用三要素法求开关闭合后u S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的 变化规律即解析式。 变化规律即解析式。
iC (t ) = 2 e 50t mA
i1 (t ) = 4 8 4 50t 4 4 50t + ( )e = + e mA 3 3 3 3 3
i 2 (t ) =
4 2 4 4 2 + ( ) e 50t = e 50t mA 3 3 3 3 3
说明：
上题也可以只求出电容电压u 的三要素， 上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利 用三要素法写出u 的解析式，再以u 的解析式为依据， 用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据， 求出其它电压、电流的解析式。 求出其它电压、电流的解析式。
U S 10 i L (∞ ) = = = 05A R2 20
τ1 =
L 2 = = 0 1s R2 20
根据三要素公式得到 0.5（ iL（t）= 0.5（1 - e 10 t ）A 0.1s≥t≥0） （0.1s≥t≥0）
s时间范围内响应的计算 （2）在t≥0.1 s时间范围内响应的计算 仍然用三要素法，先求t s时刻的初始值 时刻的初始值。 仍然用三要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。 根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t 根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t s时刻前一瞬间的电感电流 = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
初始值f 0+） 初始值f（0+） 稳态值f 稳态值f（∞） 时间常数τ 时间常数τ 一阶动态电路 的三要素
二、三要素法的通式
f (t ) = f (∞) + [ f (0 + ) f (∞)]e
t
τ
Βιβλιοθήκη Baidu
进一步推得： 进一步推得：
f (0 + ) f (∞ ) t = τ ln f (t ) f (∞)
【例14-2】
下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， 下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， 0时开关由 位接至2 时开关由1 ≥0时 即换路后） t = 0时开关由1位接至2位，求t ≥0时（即换路后） 和电感电压u 的解析式。 iL 、i2、i3和电感电压uL的解析式。
先用三要素法计算电感电流i 解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。 求电感电流的初始值i 0+） （1）求电感电流的初始值iL（0+） 0+） iL（0+）= iL（0-）= 20/2 =10mA 求电感电流的稳态值i （2）求电感电流的稳态值iL（∞） 开关转换后，电感与电流源脱离， 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能 量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时， 量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流 为零， 为零，即 i L（ ∞ ） = 0
先求电压、电流的三要素。 先求电压、电流的三要素。 解： （1）求初始值 u C（ 0 +） = u C（ 0 -） = 0
US 12 8 i1 (0 + ) = = = mA R 2 R3 2×6 3 3+ R1 + 2+6 R 2 + R3
R3 8 2 2 i 2 (0 + ) = i1 (0 + ) × = × = mA R2 + R3 3 2 + 6 3
R0 = 1 = 1 1 1 1 + + 4 4 2
τ = R0 C = 1 × 0 1 F = 0 1 s
0+）、 ）、u 和时间常数τ代入通式得： （4）将uC（0+）、uC（∞）和时间常数τ代入通式得：
u C (t ) = (8 7 ) e 10t + 7 = (7 + e 10t ) V
求时间常数τ （3）求时间常数τ
R= 20 × (10 + 10) = 10 k 20 + 10 + 10
L 10 3 τ= = = 10 7 s R 10 × 10 3
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为 根据三要素法， i L（ t ） = 0
-3–0） 10 +（10× +（10×10 0 e
iC (∞ ) = 0
求时间常数τ （3）求时间常数τ
R1 R2 3× 6 R = R3 + =2+ = 4k R1 + R2 3+6
τ = RC = 4 × 10 3 × 5 × 10 6 = 2 × 10 2 s
（4）根据三要素法通式写出解析式
u C (t ) = 8(1 e 50t ) V
0+） 解： （1）求iL（0+）
U S1 R2 3 2 i L (0 + ) = i L ( 0 ) = × = × = 0 75 A R2 R3 2 ×1 2 + 1 R2 + R3 2+ R1 + 2 +1 R2 + R3
（ 2 ） 求 i L（∞）
U S2 6 i1 (∞) = = = 2 25 A R 2 R3 2 ×1 2+ R1 + 2 +1 R 2 + R3
换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 称为全响应。以上图为例，开关接在1位已久，uC（0 称为全响应。以上图为例，开关接在1位已久， 电容为非零初始状态。 0时开关打向 时开关打向2 -）= U0 ，电容为非零初始状态。t = 0时开关打向2 位进行换路，换路后继续有电源US作为RC US作为RC串联回路的 位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的 激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应 t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。 激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。 二、全响应的变化规律 利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压u 利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压uC 全响应的变化通式为
e 200 t
A
随时间变化的曲线如下图所示。 iL、i1随时间变化的曲线如下图所示。
从换路后的初始值A变化到 变化到0 iL从换路后的初始值-0.75 A变化到0所需要的时 间可得
i L ( 0 + ) i L (∞ ) 0 75 1 5 t = τ ln =0 005 ln = 0 002 s i L (t ) i L (∞) 0 1 5
【例14-5】
下图所示电路中，电感电流i 0，t=0时 下图所示电路中，电感电流iL（0-）= 0，t=0时 开关S 闭合，经过0.1s 再闭合开关S 同时断开S 0.1s， 开关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。 试求电感电流i ），并画波形图 并画波形图。 试求电感电流iL（t），并画波形图。
7.5 一阶电路的全响应 规律总结：
通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看 换路后，电路中的电压、 出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值 0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f ），递变的快慢取决于电路的时间常数 递变的快慢取决于电路的时间常数τ （∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。 一、一阶动态电路的三要素
解：
本题属于包含开关序列的直流一阶电路的 分析。对于这一类电路， 分析。对于这一类电路，可以按照开关转换的 先后次序，从时间上分成几个区间， 先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三 要素法求解电路的响应。 要素法求解电路的响应。
s时间范围内响应的计算 （1）在0≤t≤0.1 s时间范围内响应的计算 在S1闭合前，已知iL（0-）= 0，S1闭合后，电感 闭合前，已知i 0， 闭合后， 电流不能跃变， 0，处于零状态， 电流不能跃变，iL（0+）=iL（0-）= 0，处于零状态， 电感电流为零状态响应。可用三要素法求解： 电感电流为零状态响应。可用三要素法求解：
u C (t ) = u C (0 + ) e τ + u C (∞)(1 e τ
t
t
）
上式还可写为
u C (t ) = u C (∞) + [u C (0 + ) u C (∞)] e τ
t
结论：
全响应是零输入响应与零状态响应的叠加， 全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳 态响应与暂态响应的叠加。或曰： 态响应与暂态响应的叠加。或曰：零输入响应和零状 态响应是全响应的特例。 态响应是全响应的特例。
8 2 iC (0 + ) = i1 (0 + ) i2 (0 + ) = = 2 mA 3 3
（2）求稳态值
R2 6 u C (∞ ) = U S × = 12 × = 8V R1 + R2 3+6
US 12 4 i1 (∞) = i 2 (∞) = = = mA R1 + R2 3 + 6 3
14讲 第14讲 一阶动态电路的全响应及三要素法
重点： 重点： 1、一阶动态电路的全响应； 一阶动态电路的全响应； 2、一阶动态电路的三要素法； 一阶动态电路的三要素法； 三要素法的应用。 3、三要素法的应用。
7.4 一阶电路的全响应
一、全响应的定义 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 称为全响应。 称为全响应。
i L (∞) = i1 (∞) × R2 2 = 2 25 × = 1 5 A R 2 + R3 2 +1
求时间常数τ （3）求时间常数τ S打在2位时，L两端的除源等效电阻为 打在2位时，
R1 R2 2× 2 R = R3 + =1+ = 2 R1 + R2 2+2
τ=
L 0 01 = = 0 005 s R 2
[
]
(
)
【例14-4】
下图所示电路中，已知U =3V， =6V， 下图所示电路中，已知US1=3V，US2=6V，R1= R2= 2Ω， 1Ω， 0.01H，开关S打在1位时， 2Ω，R3= 1Ω，L = 0.01H，开关S打在1位时，电路处 于稳态。t=0时开关由 位打向2 时开关由1 试求：（ ：（1 于稳态。t=0时开关由1位打向2位。试求：（1）iL、i1 的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（ ；（2 的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（2）换路 从初始值变化到零所需要的时间。 后iL从初始值变化到零所需要的时间。
7t
=10 e
10 7 t
mA
【例14-3】
下图（ 所示电路原处于稳定状态。 0时开 下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开 关闭合， ≥0的电容电压 的电容电压u 和电流i 关闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
计算初始值u 0+） 解：（1）计算初始值uC（0+） 开关闭合前， 电路已经稳定， 开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当 于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中， 4Ω电阻中 于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容 电压与电阻电压相同， 电压与电阻电压相同，可求得 0+） 4Ω× uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V 计算稳态值u （2）计算稳态值uC（∞） 开关闭合后，电路如图（ 所示， 开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时 重新达到稳定状态，电容相当于开路， 间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠 加定理求得 4× 4
根据三要素法， 根据三要素法，写出电感电流的解析式为 =1.5+（ 0.75-1.5） iL（t）=1.5+（-0.75-1.5） e
t 0005
1.5= 1.5-2.25 e
t 0005
A
由换路后的电路，根据KVL、KVL可列出下列方程 由换路后的电路，根据KVL、KVL可列出下列方程 KVL i 1（ t ） = i 2（ t ） + i L（ t ） R1 i1（t）+ R2 i2（t）= US2 代入数据， 代入数据，联立解之得 2.25i1（t）= 2.25-1.125
u C (∞ ) = 1 × 2 V + 4 + 4 × 10 V = 2 V + 5 V = 7 V 1 1 1 4× 4 + + 2+ 4+4 4 4 2
计算时间常数τ （3）计算时间常数τ 计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻， 计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻，它 是三个电阻的并联
由此式可以确定电路中电 压或电流从换路后的初始值变 化到某一个数值所需要的时间
三、三要素法应用举例
【例14-1】
下图所示电路中，已知U =12V， 3kΩ， 下图所示电路中，已知US =12V，R1= 3kΩ，R2 =6kΩ， =2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时 =6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时， 闭合。试用三要素法求开关闭合后u S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的 变化规律即解析式。 变化规律即解析式。
iC (t ) = 2 e 50t mA
i1 (t ) = 4 8 4 50t 4 4 50t + ( )e = + e mA 3 3 3 3 3
i 2 (t ) =
4 2 4 4 2 + ( ) e 50t = e 50t mA 3 3 3 3 3
说明：
上题也可以只求出电容电压u 的三要素， 上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利 用三要素法写出u 的解析式，再以u 的解析式为依据， 用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据， 求出其它电压、电流的解析式。 求出其它电压、电流的解析式。
U S 10 i L (∞ ) = = = 05A R2 20
τ1 =
L 2 = = 0 1s R2 20
根据三要素公式得到 0.5（ iL（t）= 0.5（1 - e 10 t ）A 0.1s≥t≥0） （0.1s≥t≥0）
s时间范围内响应的计算 （2）在t≥0.1 s时间范围内响应的计算 仍然用三要素法，先求t s时刻的初始值 时刻的初始值。 仍然用三要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。 根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t 根据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t s时刻前一瞬间的电感电流 = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
初始值f 0+） 初始值f（0+） 稳态值f 稳态值f（∞） 时间常数τ 时间常数τ 一阶动态电路 的三要素
二、三要素法的通式
f (t ) = f (∞) + [ f (0 + ) f (∞)]e
t
τ
Βιβλιοθήκη Baidu
进一步推得： 进一步推得：
f (0 + ) f (∞ ) t = τ ln f (t ) f (∞)
【例14-2】
下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， 下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， 0时开关由 位接至2 时开关由1 ≥0时 即换路后） t = 0时开关由1位接至2位，求t ≥0时（即换路后） 和电感电压u 的解析式。 iL 、i2、i3和电感电压uL的解析式。
先用三要素法计算电感电流i 解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。 求电感电流的初始值i 0+） （1）求电感电流的初始值iL（0+） 0+） iL（0+）= iL（0-）= 20/2 =10mA 求电感电流的稳态值i （2）求电感电流的稳态值iL（∞） 开关转换后，电感与电流源脱离， 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能 量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时， 量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流 为零， 为零，即 i L（ ∞ ） = 0
先求电压、电流的三要素。 先求电压、电流的三要素。 解： （1）求初始值 u C（ 0 +） = u C（ 0 -） = 0
US 12 8 i1 (0 + ) = = = mA R 2 R3 2×6 3 3+ R1 + 2+6 R 2 + R3
R3 8 2 2 i 2 (0 + ) = i1 (0 + ) × = × = mA R2 + R3 3 2 + 6 3
R0 = 1 = 1 1 1 1 + + 4 4 2
τ = R0 C = 1 × 0 1 F = 0 1 s
0+）、 ）、u 和时间常数τ代入通式得： （4）将uC（0+）、uC（∞）和时间常数τ代入通式得：
u C (t ) = (8 7 ) e 10t + 7 = (7 + e 10t ) V
求时间常数τ （3）求时间常数τ
R= 20 × (10 + 10) = 10 k 20 + 10 + 10
L 10 3 τ= = = 10 7 s R 10 × 10 3
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为 根据三要素法， i L（ t ） = 0
-3–0） 10 +（10× +（10×10 0 e
iC (∞ ) = 0
求时间常数τ （3）求时间常数τ
R1 R2 3× 6 R = R3 + =2+ = 4k R1 + R2 3+6
τ = RC = 4 × 10 3 × 5 × 10 6 = 2 × 10 2 s
（4）根据三要素法通式写出解析式
u C (t ) = 8(1 e 50t ) V
0+） 解： （1）求iL（0+）
U S1 R2 3 2 i L (0 + ) = i L ( 0 ) = × = × = 0 75 A R2 R3 2 ×1 2 + 1 R2 + R3 2+ R1 + 2 +1 R2 + R3
（ 2 ） 求 i L（∞）
U S2 6 i1 (∞) = = = 2 25 A R 2 R3 2 ×1 2+ R1 + 2 +1 R 2 + R3
换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 称为全响应。以上图为例，开关接在1位已久，uC（0 称为全响应。以上图为例，开关接在1位已久， 电容为非零初始状态。 0时开关打向 时开关打向2 -）= U0 ，电容为非零初始状态。t = 0时开关打向2 位进行换路，换路后继续有电源US作为RC US作为RC串联回路的 位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的 激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应 t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。 激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。 二、全响应的变化规律 利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压u 利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压uC 全响应的变化通式为
e 200 t
A
随时间变化的曲线如下图所示。 iL、i1随时间变化的曲线如下图所示。
从换路后的初始值A变化到 变化到0 iL从换路后的初始值-0.75 A变化到0所需要的时 间可得
i L ( 0 + ) i L (∞ ) 0 75 1 5 t = τ ln =0 005 ln = 0 002 s i L (t ) i L (∞) 0 1 5
【例14-5】
下图所示电路中，电感电流i 0，t=0时 下图所示电路中，电感电流iL（0-）= 0，t=0时 开关S 闭合，经过0.1s 再闭合开关S 同时断开S 0.1s， 开关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。 试求电感电流i ），并画波形图 并画波形图。 试求电感电流iL（t），并画波形图。
7.5 一阶电路的全响应 规律总结：
通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看 换路后，电路中的电压、 出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值 0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f ），递变的快慢取决于电路的时间常数 递变的快慢取决于电路的时间常数τ （∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。 一、一阶动态电路的三要素
解：
本题属于包含开关序列的直流一阶电路的 分析。对于这一类电路， 分析。对于这一类电路，可以按照开关转换的 先后次序，从时间上分成几个区间， 先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三 要素法求解电路的响应。 要素法求解电路的响应。
s时间范围内响应的计算 （1）在0≤t≤0.1 s时间范围内响应的计算 在S1闭合前，已知iL（0-）= 0，S1闭合后，电感 闭合前，已知i 0， 闭合后， 电流不能跃变， 0，处于零状态， 电流不能跃变，iL（0+）=iL（0-）= 0，处于零状态， 电感电流为零状态响应。可用三要素法求解： 电感电流为零状态响应。可用三要素法求解：
u C (t ) = u C (0 + ) e τ + u C (∞)(1 e τ
t
t
）
上式还可写为
u C (t ) = u C (∞) + [u C (0 + ) u C (∞)] e τ
t
结论：
全响应是零输入响应与零状态响应的叠加， 全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳 态响应与暂态响应的叠加。或曰： 态响应与暂态响应的叠加。或曰：零输入响应和零状 态响应是全响应的特例。 态响应是全响应的特例。
8 2 iC (0 + ) = i1 (0 + ) i2 (0 + ) = = 2 mA 3 3
（2）求稳态值
R2 6 u C (∞ ) = U S × = 12 × = 8V R1 + R2 3+6
US 12 4 i1 (∞) = i 2 (∞) = = = mA R1 + R2 3 + 6 3
14讲 第14讲 一阶动态电路的全响应及三要素法
重点： 重点： 1、一阶动态电路的全响应； 一阶动态电路的全响应； 2、一阶动态电路的三要素法； 一阶动态电路的三要素法； 三要素法的应用。 3、三要素法的应用。
7.4 一阶电路的全响应
一、全响应的定义 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应， 称为全响应。 称为全响应。
i L (∞) = i1 (∞) × R2 2 = 2 25 × = 1 5 A R 2 + R3 2 +1
求时间常数τ （3）求时间常数τ S打在2位时，L两端的除源等效电阻为 打在2位时，
R1 R2 2× 2 R = R3 + =1+ = 2 R1 + R2 2+2
τ=
L 0 01 = = 0 005 s R 2