计算方法课件 第一章数值计算中的误差
第一章数值计算方法与误差分析PPT课件

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29
0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字,这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例4 对于绝对值小的 x,可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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23
(二)要防止大数“吃掉“小数,注意保护重要数据
在数值运算中,参加运算的数有时数量级相差很大,而计算 机位数有限,如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象,影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂,典型的有: 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称: 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念:
值
近似值
① 绝对误差: (x)xx
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计算方法课件1

理学院 崔丽鸿
教材:西安交通大学出版社 《计算方法》
作者:邓建中
2/47
主要参考书
1.《数值分析基础教程》, 李庆杨, 高等教育出版社, 2019年第1版
3/47
主要参考书
2.《数值方法和MATLAB实现与应用》, (美) Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社, 2019年第1版
其他各类有关 “数值分析” 和 “计算方法” 的 书
4/47
《计算方法》课程体系
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
数值计算中的误差 插值法 曲线拟合的最小二乘法 数值积分 非线性方程的数值解法
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《计算方法》课程体系
插值法
数值逼近 数据拟合的最小二乘法
本
数值积分和数值微分*
§1.3 绝对误差和相对误差
一.绝对误差 /* absolute error */
设 x——准确值,x * ——近似值。
称 e(x)x*x 为 x * 的绝对误差(简称误差)
|e(x)| 为 x * 的绝对误差限。
二.相对误差 /* relative error */
称
e(x) er (x) x
2、(1.000002 )2 1.000004 0 (本应(1.000002)2 1.000004 1.0000040000 04 1.000004 0.0000000000 04 4 10 12)
舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。
20/47
q(x)
上例说明,即使数学上的恒等公式,用计 算机来算,结果也是不一样的。
1-第一章 数值计算中的误差分析

课程目的和任务: 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解,掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法,培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题,具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收,用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波,在海洋中所形成的声场 时空结构,就成为近代水声学的基本研究内容,而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。
c*
1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位,就称其
“准
x*
确”到这一位x*,且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位,
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度(绝对
学习目的:
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程:
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点:
既具有数学的抽象性与严格性,又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性,是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题,在计算机上 可执行的(指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算)求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
计算方法(1)-数值计算中的误差

* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
数值计算方法第一章 误差

1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式(1-4)
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6),x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学,当自变量改变量(误差)很小时, 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量, 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量(原始数据)
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此,和、差的误差限不超过各数的误差限之 和,积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义: 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位, 则称其“准确”到这一位,且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位,则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如, 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位, 它具有4位有效数字。
数值计算方法-全套课件

数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法? 为什么学习数值计算方法? 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13:15~15:40
上机(助教负责)
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正,物体加速运动; 如果为负,物体减速运动;如果为0, 物体速度不变。
假定向下的力为正,
FD mg
FU cv
c为比例系数,称为阻力系数(drag
coefficient(kg/s))。参数c说明了下降物
FD
体的特征,如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确? 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢,很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
数值计算中的误差

曲线拟合的最小二乘法
法方程:带权离散内积 正交多项式法:关于离散点集的带权正交多项式
3
第四章
数值积分
插值型求积公式
机械求积公式,代数精度及其计算方法,收敛性,稳定性 梯形公式,抛物线(Simpson)公式,Newton-Cotes公式 余项估计(三步曲)
复合求积公式:复合梯形公式,复合Simpson公式 Romberg算法
梯形法的递推计算,Romberg外推思想与计算过程
Gauss求积公式
Gauss点的计算,Gauss系数的计算 Gauss-Legendre公式,Gauss-Chebyshev公式
数值微分
向前一阶差分,向后一阶差分,余项计算 中心差分(一阶导数,二阶导数,推导过程),余项计算
4
正交多项式
正交多项式族,首项系数为 1 的正交多项式递推公式 Legendre多项式,Chebyshev多项式,Chebyshev插值多项式
最佳逼近
最佳平方逼近:法方程,Hilbert矩阵,正交多项式法(推广到一般区间) n 次多项式的 n-1 次最佳一致逼近(推广到一般区间) ,Chebyshev级数
Hermite 插值
两点三次,三点三次,推导过程,余项推导
分段低次插值
分段线性插值,分段Hermite插值,余项推导
三次样条插值
三次样条函数,三弯矩方程2第三章源自范数与内积函数逼近
范数与内积的定义,常见范数与内积:Rn, C[a, b] 正交,Cauchy-Schwarz 不等式,Gram矩阵 带权内积,权函数,内积导出范数
第一章 数值计算中的误差
数值计算中的误差课件

截断误差
01
02
03
04
截断误差是由于对无限循环小 数或无穷级数进行截断而产生
的误差。
当我们使用有限项来近似表示 一个无限循环小数或无穷级数
时,就会产生截断误差。
截断误差的特点是它是一个无 界误差,可能会随着近似项的 增加而逐渐减小,但永远不会
VS
结论
根据误差分析报告,得出关于模型准确性 的结论。例如,如果误差分析结果表明模 型预测结果不够准确,那么需要进一步改 进模型或调整模型参数。
THANKS
感谢观看
数据类型
选择适当的数据类型可以减少计算过程中的误差。例如,对于精度要求较高的 计算,应使用浮点数;对于范围较大的数值,应使用定点数。
利用数值稳定性技巧
舍入策略
采用适当的舍入策略可以减少误差。例如,四舍五入或向上取整可以减少舍入误 差。
迭代收敛
通过迭代法求解方程时,应选择收敛速度较快的算法以减少误差。例如,梯度下 降法和牛顿法具有较好的收敛性能。
03
算法误差分析
迭代法与收敛性
迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解来 求解方程的方法。常见的迭代法 有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel
迭代法等。
收敛性
收敛性是指迭代法是否能得到准确 解的过程。一般来说,收敛速度越 快,误差越小。
误差分析
对于不同的迭代法,需要进行误差 分析,比较各种方法的优劣。
最小二乘法与回归分析
数据拟合
最小二乘法可以找到最佳 拟合数据的数据集,但可 能存在过拟合现象。
病态性
当数据集具有病态性时, 使用最小二乘法可能导致 误差增大。
西安交通大学《计算方法》课件-第一章

浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算,尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减,防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤,减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
第一章 误差

出,但往往可以估计出������∗(������)的上界:
即存在正数 ������∗,使得
|������∗(������)| = |������ − ������∗| ≤ ℰ∗
(1.3)
称������∗为近似值������∗的绝对误差限,简称误差限或精度。
4
������∗越小,表示近似值������∗的精度越高。 在 工 程 技 术 中 , 常 将 ������∗ − ������∗ ≤ ������ ≤ ������∗ + ������∗ , 表 示 为 ������ = ������∗ ������∗ 表示近似值������∗的精度或精确值 x 的所在范围,绝对误 差是有量纲的。 例如,������ = (100 ± 2)������ 表示 ������∗ = 100������是电压������的一个近 似值,2������是近似值 ������∗ 的一个绝对误差限,即:|������ − ������∗| ≤ 2������; 又如,用毫米刻度的直尺去测量一个长度为 x 的物体,测得其近 似值为������∗ = 84������������,由于直尺以毫米为刻度,所以其误差不超过 0.5mm,即 x 84 0.5(mm) 。这样,虽然不能得出准确值 x 的长 度是多少,但可以知道 x 范围是 83.5mm x 84.5mm ,即 x 必 在[83.5mm,84.5mm]内。 例 求 ������∗ = 3.14 与 的绝对误差。 解 由于 3.1415 3.1416 ,得
|���������∗��� (������)|
=
������ |
− ������∗ ������∗ |
≤
1 2
× 10������−������+1 ������1 × 10������
数值计算方法第01章误差

1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例:计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一:In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中,参加运算的数若有误差,那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题,需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围
数值计算方法第一章 误差

6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制,无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明,可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数,当m一定时,其有效数字 数位n越大,则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值, 工具或计算的情况估计出它的取值范围,
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限,简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值,就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然,误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s, 其误差限为 0.1 km/s, 于是
数值计算中的误差

p( x) a0 xn a1xn an1x an
an1 ) x an
p( x) (((a0 x a1 ) x a2 ) x
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差 模型误差
非过失误差 观测误差 截断误差
*
例如 3.14159265 的五、六位有 效数字分别为:
1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说,设有一个数 x ,其近似值 x 的规格化形式
*
x 0.1 2 n 10
*
m
(5)
1 , 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 式中: 字, 1 0 ;n是正整数;m是整数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
(7)
计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字?
例1 当用 3.1416 来表示 它的相对误差是多少?
的近似值时,
3 ,由(7)有
1 解: 3.1416 具有五位有效数字,
* r
1 1 51 4 ( x) 10 10 23 6
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法,避开不稳定的算式; 注意简化计算步骤,减少运算次数; 大数“淹没”小数的现象发生;
应避免两相近数相减(变换);
绝对值太小的数不宜作为除数;
注意计算过程中误差的传播与积累。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
1 x 99 70 2
6
《数值分析》第一章 数值计算中的误差

值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例:设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值,问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少?
解: (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10-n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况,
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时,
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 , 简称误差 设a是精确值A的近似值,
=a-A
• 绝对误差限 ||=|a-A|<(上界)
• 由上式可推知 a- <A<a+,也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 : 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|= (上界)
• 绝对误差是有量纲的量,相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值计算方法第一章误差的基本知识

推理证明能力; 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差(描述误差) 反映实际问题有关量之间的计算公式
(数学模型)通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字,非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的,但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法,使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义:设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ,
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性,通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究,本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法: 非线性方程的近似求解方法; 线性代数方程组的求解方法; 函数的插值近似和数据的拟合近似; 积分和微分的近似计算方法; 常微分方程初值问题的数值解法; 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法; ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中,用解析方法在理论 上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十 分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值 解法就显得不可缺少,同时有十分有效。
计算方法 第1章 误差

则x*至少有n位有效数字。
第1章 误差
从上面几个结论可知:有效数字位数可刻画近似
数的精确度;绝对误差与小数点后的有效数字位数有 关;相对误差与有效数字的位数有关。
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章 误差
高等学校工科电子类教材
《 计 算 方 法 》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章 误差
28学时:讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《 计 算 方 法 》
考试:70% 实验:20% 平时课堂作业:10%
第1章 误差
目 录
《 计 算 方 法 》
第一章 误差
(2)
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
选择数值方法-1
《 计 算 方 法 》
在建立了数学模型之后,并不能立刻用计算机 直接求解,还必须寻找用计算机计算这些数学模型 的数值方法,即将数学模型中的连续变量离散化, 转化成一系列相应的算法步骤,编制出正确的计算 程序,再上机计算得出满意的数值结果。
第1章 误差
l0),则:
《 计 算 方 法 》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β而产生的误 差,因此为量测误差。
第1章 误差
截断误差 在求解过程中,往往以近似替代,化繁为简,这样 《 计 产生的误差称为截断误差。 算 方 法 》 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制,一般必须 进行舍入,此时产生的误差称为舍入误差。
计算方法(1)-数值计算中的误差32页PPT

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46、寓形宇内复几时,曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下,悠然见南山。
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48、啸傲东轩下,聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗,不见其增,日 有所长 。
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50、环堵萧然,不蔽风日;短褐穿结 ,箪瓢 屡空, 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西,从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间,才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话,只需要教育; 而要挑战别人所说的话,则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是:在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
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第一章数值计算中的误差§1 引言一、 数值计算的概念一般工程和技术问题的求解过程:物理模型⎯⎯⎯→建模数学模型⎯⎯⎯⎯→数值计算结果数值计算的概念:用计算工具求出数学问题数值解的全过程,包括算法的选择、算法的分析(收敛性、稳定性和误差分析)。
二、算法对结果的影响1.算法的优劣影响计算的效率例1 计算多项式1110()n n n n p x a x a x a x a −−=++++"的值。
1) 直接计算(0,1,,)i i a x i n =",再逐项相加,共需要(1)/2n n +次乘法和n 次加法运算。
2) 著名的秦九韶算法:12101()()((()))();1;n n n n i p x p x a x a x a x a x a p x p a for i n to p p x a end −−−=+++++=⎧⎪=⎪⎨=⋅+⎪⎪⎩""将改写为,然后用下述方法计算共需n 次乘法和n 次加法。
2.算法的优劣影响结果的精度,甚至导致计算失败例2 计算31x ⎛⎞=。
6617/5)17/12)11)0.00409600.0052327829911/630.005232780.005019954(990.005076140.00504626−−≈≈−−−+序号算式结果结果结果1与结果2采用了相差不大的的近似值1.4和1.4166,而不同的算法得出的结果却五花八门、各不相同,特别是算法2的结果显然错误。
§2 误差的种类及其来源¾模型误差:建模中的模型误差。
¾观测误差:建模和具体运算过程中数据的观测误差。
¾截断误差:有限逼近无限时的误差,例如357≈−+−。
x x x x xsin/3!/5!/7!¾舍入误差:计算过程中四舍五入造成的误差。
§3绝对误差和相对误差*::x x 准确值或真值近似值一、 绝对误差和绝对误差限近似值*x 的绝对误差:*()x x x ε=−;当()0x ε>时,称*x 为亏近似值,反之称为盈近似值或强近似值。
绝对误差限η:*|()|||x x x εη=−≤二、 相对误差和相对误差限相对误差:*()()/()/rx x x x x x εε==−;实际中常用****()()/()/rx x x x x x εε==−代替。
相对误差限δ:|()|r x εδ≤注:绝对误差和相对误差是描述误差的两个度量,相比而言,相对误差更能反映误差的特性。
正如涨跌幅(%)比涨跌更能反映股票的上涨或下跌情况。
§4有效数字及其与误差的关系一、有效数字的概念当近似值*x的绝对误差限是某一位上的半个单位是,我们称其“准确”到这一位,且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。
例3 3.1415926π≈精确到小数点后4位的近似值为3.1416(4()0.510x ε−≤×),它具有5位有效数字;精确到小数点后5位的近似值为 3.14159(5()0.510x ε−≤×),它具有6位有效数字。
有效数字概念:设近似值*x 的规格化形式为*120.10m n x a a a =±×", (1.4.1)式中n 是正整数,m 是整数,12,,,n a a a "是0至9中的一个数字,10a ≠,若*x 的绝对误差限为*1|()|||102m n x x x ε−=−≤×, (1.4.2) 则称*x 为具有n 位有效数字的有效数或称它精确到10m-n ,12,,,n a a a "都是*x 的有效数字,其中11,,n a a −"都是准确数字,n a 可能与真值x 中的同一位数字相差1。
例4(1)3.14是π具有3位有效数字的近似值,精确到0.01;(2)0.302具有3位有效数字,精确到0.001; 0.30200具有5位有效数字,精确到0.00001;(3)*0.1524,0.154x x ==,*x 具有2位有效数字,精确到0.01,数字“4”称为存疑数字。
二、有效数字与相对误差的关系从前面的定义可看出,有效数字是通过绝对误差来定义的,有了绝对误差,就可知道有效数字,反之,知道了有效数字,也可得到绝对误差。
那么有效数字与误差的另一度量“相对误差”有怎样的关系呢?1. 有效数字⇒相对误差若(1.4.1)表示的近似值*x 具有n 位有效数字,则*1*1121()0.5101|()|||10.102m n n r m n x x x a a a a εε−−+−×=≤≤××" (1.4.3) 即111102n a δ−+=× (1.4.4) 是*x 的一个相对误差限。
2. 相对误差⇒有效数字若(1.4.1)表示的近似值*x ,如其相对误差*111|()|102(1)n rx a ε−+≤×+, (1.4.5) 则根据(1.4.5)和*11||(1)10m x a −<+×,有 **11111|()||()|(1)10102(1)0.510m n r m nx x x a a εε−−+−=×<+×××+=×故*x 至少具有n 位有效数字。
例5 * 2.72x =表示e 具有3位有效数字的近似值,它的相对误差限是多少?解 因为*2.720.27210x ==×,故*1312111|()|10100.2510222n rx a ε−+−+−≤×=×=××例 6 为了0.7467I ="的近似值*I 的相对误差不超过0.1%,问*I 至少应取几位有效数字? 解 要使*11|()|100.1%27n rI ε−+≤×<×,则21ln(1.410)3n −>−×≥,即*I 至少应取3位有效数字。
§5 误差的传播与估计把算法看作函数:()x y y f x ⎯⎯⎯→=算法输入输出:一、误差估计的一般公式1. 二元函数的误差估计公式设二元函数12(,)y f x x =,**12,x x 分别是12,x x 的近似值,***12(,)y f x x =是函数值y 的近似值,则(1)*y 的绝对误差***1212**1212()(,)(,)()()()()y y y f x x f x x f f x x x x εεε=−=−∂∂≈+∂∂, (1.5.1)这里**12(),(f f x x ∂∂∂∂称为**12,x x 对*y 的绝对误差增长因子,表示绝对误差12(),()x x εε经过12(,)f x x 传播后增大或缩小的倍数。
(2)*y 的相对误差为********1212**12()()/()()()()r r r y y y x x f f x x y x y x εεεε=∂∂≈+∂∂ (1.5.2) 这里****12**12(),()x x f f y x y x ∂∂∂∂称为**12,x x 对*y 的相对误差增长因子,表示相对误差**12(),()r r x x εε经过12(,)f x x 传播后增大或缩小的倍数。
推导过程:利用Talor 展开,略去高阶项(二次以上),得******1212112212******1212112212(,)(,)()()()()(,)(,)()()()()f f f x x f x x x x x x x x f f f x x f x x x x x x x x ∂∂≈+−+−∂∂∂∂⇒−≈−+−∂∂例7 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V=220±2V,I=10±0.1A,求这个电阻的阻值R,并估算其绝对误差和相对误差。
解 由欧姆定律R=V/I,可得R 的近似值R *=220/10=22Ω,根据(1.5.1),得到R*的绝对误差*****21()()()()()()()()R f V R V I V I V I I I εεεεε∂∂≈+=−∂∂, 21220|()|20.10.421010R ε≤×−×=Ω,R*的相对误差为**|()||()/|0.42/22 1.91%r R R R εε=≤=。
2. 多元函数的误差估计公式 (1) 绝对误差*1()()()ni i if y x x εε=∂≈∂∑ (2) 相对误差*****1()(()ni r r i i ix f y x y x εε=∂≈∂∑二、误差在算术运算中的传播1.加减运算11()()nni i i i x x εε==≈∑∑,****11()()n ni r i r i i i x x x yεε==≈∑∑注:尽量避开相近数的减法运算。
例8计算−。
==,得到解1)取 1.73205083−=×,具有5位有效数字。
2.884410−2)变换计算公式−=+,==,得到取 1.73213−=×也具有5位有效数2.884310−字,而这时所需的有效数字仅5位,远少于1)中的8位。
2.乘法运算*111,()()()nnni j i i i j j ix x x εε===≠≈∑∏∏,**11()()nnri r i i i x x εε==≈∑∏注:乘数的绝对值很大时,尽量避免相乘。
3. 除法运算***11212*2(/)[()()]r r x x x x x x εεε≈−, ***1212(/)()()r r r x x x x εεε≈−注:尽量避免除数的绝对值很小的除法运算 4. 乘方、开方*1()()()p p x p x x εε−≈, **()()p r r x p x εε≈三、例2的误差分析例2计算3x ⎛⎞=。
6617/5)17/12)11)0.00409600.0052327829911/630.005232780.005019954(990.005076140.00504626−−≈≈−−−+序号算式结果结果¾算法1、2比算法3、4要差,原因是1、2中存在两相近数相减;¾算法3又比算法4差一些,原因是乘方的相对误差积累较大。
§6 算法的数值稳定性一、算法数值稳定性的含义凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称为数值稳定的算法。
例9 解方程299(101)100x x −++=。
解 由韦达定理,可得精确解为91210,1x x ==。
但若利用求根公式1,22b x a−±=, 在字长为8,基底为10的计算机上求解,则91010101091010.1100.0000000001100.11010b −=+=×+×=×=位,910=从而91210,0x x ==,2x 与精确解相差很大,原因是大数淹没小数。