高三第一轮复习函数的对称性

函数的对称性

一、有关对称性的常用结论

（一）函数图象自身的对称关系

1、轴对称

(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；

(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；

（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2

b a x +=

对称。 2、中心对称

（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.

（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；

（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-

⇔b x f x a f 2)()2(=+-

（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函

数)(x f y =的图象关于点)2

,2(c b a + 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=

对称。

推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(

c a b -对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。

二、练习题

（一）选择题

1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在）

，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >

2．设函数)(x f y =定义在实数集R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）对称。

A.直线0=y

B.直线0=x

C.直线1=y

D.直线1=x

3.（中山市09年高三统考）偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为（ ）

A ．),4()4,(+∞--∞ ；

B ．)4,1()1,4( --

C ．)0,1()4,(---∞ ；

D ．)4,1()0,1()4,( ---∞

4. 若函数c bx x x f ++=2)(对一切实数都有)2()2(x f x f -=+，则（ ）

A. )4()1()2(f f f <<

B. )4()2()1(f f f <<

C. )1()4()2(f f f <<

D. )1()2()4(f f f <<

5．函数)(x f y =在)20(，上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中正确的是

（ ） A. )27()25()1(f f f << B. )2

5

()1()27(f f f << C. )1()25()27(f f f << D. )1()2

7()25(f f f << 6.设函数3)()(a x x f +=对任意实数x 都有)2()2(x f x f --=+,则=-+)3()3(f f ( )

A.－124

B. 124

C. －56

D.56

7.函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()-12(x f x f =,方程0)(=x f 有n 个实数根，这n 个实数根的和为1992，那么n 为（ ）

A. 996

B. 498

C. 332

D. 116

8.设)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，且满足)()-(x f x f =与)()-4(x f x f =，若当

]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ,则当]4,6[--∈x 时，=)(x f （ ）

A.12+-x

B.1)2(2+--x

C. 1)4(2++-x

D. 1)2(2

++-x 9.(2009全国卷)函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1-(x f 都是奇函数，则( )

A ．)(x f 是偶函数

B ．)(x f 是奇函数

C ．)2()(+=x f x f

D ．)3(+x f 是奇函数

10.(2009·四川高考)已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都

有)()1()1(x f x x xf +=+，则))25((f f 的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52

11.设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)10()-10(x f x f +=与)20()-20(x f x f +-=，则)(x f 是（ ）

A. 偶函数，又是周期函数，

B. 偶函数，但不是周期函数

C. 奇函数，又是周期函数，

D. 奇函数，但不是周期函数

(二)填空题

12. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为

13. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为

14.（09年深圳九校联考）已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，

则满足()0>f x 的x 的取值范围是 ．

15. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且

2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有

0)()(2

121>--x x x f x f .则给出下列命题： ①2)2008(-=f ；

②函数)(x f y =图像的一条对称轴为6-=x ；

③函数)(x f y =在]6,9[--上为减函数；

④方程0)(=x f 在]9,9[-上有4个根． 其中所有正确命题的序号为____ ____．

（三）解答题

16. 设1)(2

+=x x f ,求)1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线方程。