高三第一轮复习函数的对称性

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函数的对称性与周期性(归纳总结)

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案

≤ 0,
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )

2023年高考数学一轮复习讲义——函数的奇偶性、周期性与对称性

§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理 1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3)f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.( × )(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．( × ) (3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．( √ ) (4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．( √ ) 教材改编题1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案 B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2－x ，则f (2 023)＝________. 答案 12解析 ∵f (x )的周期为2， ∴f (2 023)＝f (1)＝2－1＝12.3. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数， ∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x ＜－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性命题点1 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝log 2[－x ＋(－x )2＋1] ＝log 2(x 2＋1－x ) ＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f (x )＝x (e x ＋e －x )＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M ＋N 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 答案 C解析依题意，令g (x )＝x (e x ＋e －x )，显然函数g (x )的定义域为R ，则g (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－g (x )，即函数g (x )是奇函数，因此，函数g (x )在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f (x )＝g (x )＋1，则有M ＝g (x )max ＋1，N ＝g (x )min ＋1，于是得M ＋N ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以M ＋N 的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案 1解析方法一 (定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝⎛⎭⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 方法三 (转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案 C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x ，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________.答案－1解析 ∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1， ∴g (－1)＝1， ∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝________. 答案－1 －2－x －2x ＋1解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1＋a ＝0， ∴a ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x －2x －1，设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝2－x －2(－x )－1＝2－x ＋2x －1，又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋2x －1， ∴f (x )＝－2－x －2x ＋1. 题型二函数的周期性例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( ) A ．－94B ．－14C.14D.94答案 A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32 ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________. 答案132解析 ∵f (x )f (x ＋2)＝13， ∴f (x ＋2)＝13f (x )，∵f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 023)＝f (3)＝13f (1)＝132.教师备选若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________.答案－1 解析当x >0时， f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ① ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)＝－f (x －2)， ∴f (x )的周期为6，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1) ＝f (0)－f (－1)＝20－21＝－1.思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于() A．336 B．338C．337 D．339答案 B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称 B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称 C ．f (x )的周期为4 D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数答案 ACD解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故A 正确，B 错误； ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (－x )＝f (x ＋4)，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4，故C 正确；∵T ＝4且f (x )为偶函数，故y ＝f (x ＋4)为偶函数，故D 正确．(2)已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x ，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________. 答案 12解析 ∵函数y ＝f (x )－2为奇函数， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,2)对称，又g (x )＝2x ＋1x ＝1x ＋2，其图象也关于(0,2)对称，∴两函数图象交点关于(0,2)对称，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×4＝12.延伸探究在本例(2)中，把函数“y ＝f (x )－2”改为“y ＝f (x ＋1)－2”，把“g (x )＝2x ＋1x ”改为“g (x )＝2x －1x －1”，其他不变，求x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6的值．解 ∵y ＝f (x ＋1)－2为奇函数， ∴函数f (x )的图象关于点(1,2)对称，又g (x )＝2x －1x －1＝1x －1＋2，∴g (x )的图象也关于点(1,2)对称，则x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×2＋3×4＝18. 教师备选1．函数f (x )＝lg|2x －1|图象的对称轴方程为________．答案 x ＝12解析内层函数t ＝|2x －1|的对称轴是x ＝12，所以函数f (x )＝lg |2x －1|图象的对称轴方程是x＝12. 2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．跟踪训练3 (1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则 f (2 025)＝________. 答案 1解析 ∵f (x )的周期为6，则f (2 025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2 025)＝1.(2)(多选)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是( )A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．f (x )的图象关于点(π，0)对称答案 BCD解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故A 错误，B 正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故C 正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故D 正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( ) A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5 答案 C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5. 2．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 f (x )＝32x ＋13x ＝3x ＋3－x ，f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 A解析依题意，函数f (x )的图象关于原点对称，则函数f (x )是奇函数，又f (x )的周期为4，且f (3)＝－2，则有f (2 021)＝f (－3＋506×4)＝f (－3)＝－f (3)＝2，所以f (2 021)＝2.4．(2022·宁德模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．2 答案 C解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，所以f (0)＝b ＝0，f (－x )＝－f (x )，又对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以函数图象关于直线x ＝1对称，所以－a＝1，解得a＝－2，2所以a＋b＝－2.5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案BD解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．6．(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则()A．f(x)的图象关于点(2,0)对称B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．f(x)的周期为4D．f(x)的周期为8答案AD解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案 13解析因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则有(a －1)＋2a ＝3a －1＝0，则a ＝13，同时f (－x )＝f (x )，即ax 2＋bx ＋1＝a (－x )2＋b (－x )＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0. 则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______. 答案 12解析由f (1－x )＝f (1＋x )， f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4， ∴f ⎝⎛⎭⎫352＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12， ∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2) 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2 ＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于( ) A ．－7 B ．－3 C ．3 D ．7 答案 B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1， f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1，因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.13．(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( ) A ．f (x )是周期函数且周期为4 B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称 C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称 D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点答案 ACD解析对于A 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )] ＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，故A 项正确；对于B 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故B 项错误；对于C 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －2)，又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x －2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，故C 项正确；对于D 选项，因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，因为T ＝4，所以f (4)＝f (－4)＝0，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (0＋2)＝－f (0)＝0，所以f (2)＝0，因为T ＝4，所以f (－2)＝0，故D 项正确．14．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝________. 答案 1 1 011解析因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x44x＋2 ＝4x4x ＋2＋44x4＋2·4x4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝m ， ① 则f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫12 023＝m ，②①＋②得2 022＝2m ，即m ＝1 011，故f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝1 011.15．(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( ) A ．f (－1.1)＝0.9 B ．函数f (x )为奇函数 C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1 D ．函数f (x )的值域为[0,1) 答案 AD解析对于A ，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1] ＝－1.1＋2＝0.9，故A 正确．对于B ，取x ＝－1.1，则f (－1.1)＝0.9，而f (1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，故f (－1.1)≠－f (1.1)，所以函数f (x )不为奇函数，故B 错误．对于C ，f (x ＋1)＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－[x ]－1＝f (x )，故C 错误．对于D ，由C 的判断可知，f (x )为周期函数，且周期为1，当0≤x ≤1时，则当x ＝0时，f (0)＝0－[0]＝0，当0<x <1时，f (x )＝x －[x ]＝x －0＝x ，当x ＝1时，f (x )＝1－[1]＝1－1＝0，故当0≤x ≤1时，则有0≤f (x )<1，故函数f (x )的值域为[0,1)，故D 正确．16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P . (1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解 (1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P . (2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)，所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)，得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－π2＝12.。

函数的对称性(一)：高考数学一轮复习基础必刷题

函数的对称性（一）：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．42．已知函数()y f x =是定义在R 上的函数，那么函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间（）A ．关于点()10，对称B ．关于直线1x =对称C ．关于点()50，对称D ．关于直线5x =对称3．已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（）A ．[-1，+∞)B ．(-∞，-1]C ．[-2，+∞)D ．(-∞，-2]4．已知函数()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π（）A ．2B ．C ．12D ．12-5．函数()22x xf x e e --=-的图象关于（）A ．点()2,0-对称B ．直线2x =-对称C ．点()2,0对称D ．直线2x =对称6．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-7．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①当10x -≤≤时，()12e ex x f x x =-+；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-.则23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．2115332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．5211233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．5112233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．已知定义在R 上的函数()1y f x =+是偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，则满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．()(),02,-∞+∞C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知,m n R ∈，函数||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，则m n +的值是______________.10．已知函数()f x 满足：①()00f =；②()()4f x f x -=；③在()2,3上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数()f x =_________．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________.三、解答题12．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.13．作出函数y =－x 2+｜x ｜+1的图象，并求出函数的值域.14．设,a b ∈R ，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=.已知函数41()1x g x x -=+.(1)证明：函数()g x 的图象关于点(1,4)-对称；(2)已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0,1]x ∈时，2()1h x x mx m =-++.若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值.【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，221x a x a +=⇒=-，422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=.故选：B 2．A 【解析】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，由此能推出点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，根据,P P '的对称性可得两函数的对称性.【详解】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，作等量变换()62n f m =---⎡⎤⎣⎦，即()62n f m -=--⎡⎤⎣⎦，则点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，(),P m n ，()2,P m n '--关于点()10，对称，∴函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间关于点()10，对称，故选：A 3．D 【解析】函数()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称,得到()=()g x f x x m -=+，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减，则22m m -³\£-，，故选：D ．【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.4．D 【解析】【分析】图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，求出直线56x π=关于2x π=的对称直线，纵坐标互为相反数.【详解】因为函数()f x 的图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则直线56x π=关于2x π=的对称直线为52266x πππ=⨯-=，所以51=sin 6662f f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 5．C 【解析】计算得出()()220f x f x ++-=，即可得出结论.【详解】()22x x f x e e --=-Q ，()()22222x x x x f x e e e e -++--∴+=-=-，()()22222x x x x f x e e e e ------=-=-，所以，()()220f x f x ++-=，因此，函数()f x 的图象关于点()2,0对称.故选：C.6．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A7．A 【解析】推导出函数()f x 为偶函数，结合已知条件可得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可知函数()f x 在[]1,0-上为减函数，由此可得出23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，则()()11f x f x +=-，故()()()()()21111f x f x f x f x -=--=-+=，()()()()()()21111f x f x f x f x +=++=-+=-，又因为R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-，所以，()()f x f x =-，所以，5331112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11551223333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当10x -≤≤时，()12e e xx f x x =-+，()12e 20e x x f x ⎛⎫'=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当0x =时，等号成立，且()f x '不恒为零，故函数()f x 在[]1,0-上为减函数，因为21110323-<-<-<-<，则112323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.8．B 【解析】【分析】根据()1y f x =+的奇偶性和单调性可得()f x 的对称轴和单调性，结合函数值的大小关系可得到自变量满足的不等式，解不等式求得结果.【详解】()1y f x =+Q 为定义在R 上的偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，()f x ∴关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减，由()()22f x f x >+得：2121x x ->+-，解得：0x <或2x >，即满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为()(),02,-∞+∞ .故选：B.9．5-【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可.【详解】由已知||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，故2450m m +-=，即1m =，或5m =-，且函数图象关于y 轴对称，又245m m <-，故5m =-，因为||2y x n =-+关于直线x n =对称，故0n =，5m n +=-，故答案为：5-.10．24x x -+（答案不唯一）【解析】【分析】根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数()f x 的解析式.【详解】由题意可知，()f x 的图象关于直线2x =对称，且在()2,3上单调递减，且()00f =，可取()24f x x x =-+满足条件.故答案为：24x x -+（答案不唯一）.11．0【解析】【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解.【详解】()()60f x f x ++=Q ，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数，()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知，函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f =故答案为：012．(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞ 【解析】【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--，该函数的对称轴为：42m x -=-，当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得2m ≤；当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥，综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞ .13．作图见解析，值域为（－∞，5]4．【解析】【分析】可先判断函数的奇偶性，若函数具备奇偶性，则只需作出其一半的图象即可，另一半利用奇偶函数的对称性可作出,由图象可得结果．【详解】y =221,0,1,0.x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩因为函数为偶函数，先画出当x ≥0时的图象，然后再利用对称性作出当x ＜0时的图象．由图象可知：函数的值域为（－∞，5]4．【点睛】本题考查函数的图象和性质，利用偶函数性质根据对称画出函数图象是解题的关键，属于基础题.14．(1)证明见解析(2)[0,2]【解析】【分析】（1）根据题意可知对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，()(2)8g x g x +--=，根据对称中心的定义即可证明结果；（2）由题意，对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤，根据函数()g x 的单调性可知max ()3g x =，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数()h x 的最大值，进而求出结果.(1)解：41()1x g x x -=+ ，49(2)1x g x x +∴--=+.4149()(2)811x x g x g x x x -+∴+--=+=++.即对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，都有()(2)8g x g x +--=成立.∴函数()g x 的图像关于点(1,4)-对称.(2)解：若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤.415()411x g x x x -==-++ ，易知()g x 在[2,4]上单调递增.max ()(4)3g x g ∴==.[0,1]x ∈ 时，2()1h x x mx m =-++，(1)2h ∴=，即函数()h x 的图象过对称中心(1,2).当02m≤，即0m ≤时，函数()h x 在(0,1)上单调递增.由对称性知，()h x 在(1,2)上单调递增.∴函数()h x 在(0,2)上单调递增.max ()(2)4(0)33h x h h m ∴==-=-≤，0m ∴≥，即0m =.当012m <<，即02m <<时，函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.由对称性，知()h x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.∴函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,222m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.max ()(0)h x h ∴=或22m h ⎛⎫- ⎪⎝⎭.02m << ，(0)13h m ∴=+<，易知22433224m m mh h m ⎛⎫⎛⎫-=-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即02m <<时符合条件.当12m≥，即2m ≥时，函数()h x 在(0,1)上单调递减.由对称性，知()h x 在(1,2)上单调递减.∴函数()h x 在(0,2)上单调递减.max ()(0)13h x h m ∴==+≤，2m ∴≤，即2m =.综上，实数m 的取值范围为[0,2].。

函数的对称性课件高三数学一轮复习

(2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点
+

，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+

− ，

.
第4课时函数的对称性
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典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2

෍

+

所以

＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时函数的对称性
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课时分层作业
名师点评中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f

知识点：函数的对称性总结

知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)

专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的对称性课件-2025届高三数学一轮复习

3
A.2 024
1
B.2 024
1
C.1 012
D.0
√
跟踪训练2
(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上
单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实
数x的取值范围是
A.(－1,2)
B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C.(－2,1)
比较系数可得 = 3, = 3，
因此函数图象的对称中心为 3,3 ，又 = −12， = 18，
且 + = 6，
则点 m, 和点 n, 关于 3,3 对称，
所以 + = 2 × 3 = 6．
故答案为：6
函数对称性的应用
【变式12-2】若函数 = ( − 1) 的图象与函数 = ln + 1 的图象关于直线 = 对称，
2024
而 σ = 253 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
=1
故D错误．故选：BC．
= 0，
对称性与周期性的综合应用
【典例14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R， + 1 − 3为奇
函数， + 2 为偶函数，当 ∈ 1,2 时， = 2 + ．若 −1 + 0 = 1，则
⇔
⇔g(x)=f(2a-x)
求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数g(x)。
解：设g(x)图像上任一点为B(x,y),
y g x
则其关于直线x=a对称的点A( 2a-x, y )在f(x)图像上,

高考数学一轮总复习教学课件第二章函数第3节函数的奇偶性、周期性与对称性

5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数

f(x)的解析式为
+ -, > 0,
f(x)= , = ,
- + + , < 0
.
解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,
因为f(x)是R上的奇函数,
√
D.1
)
-

f(-x).若 f(- )= ,则 f( )等于(

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

A.

B.

C.

√

D.

)
解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).
又 f(1+x)=f(-x),
所以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.
+ -, > 0,
综上所述,f(x)= , = ,
- + + , < 0.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
函数奇偶性的判断
[例1] (多选题)(2024·山东临沂统考一模)已知f(x)=x3g(x)为
==-f(x),

-
所以函数 f(x)为奇函数.
③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为当x<0时,-x>0,

函数对称性的总结

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

函数的对称性总结

函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。

（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。

）证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。

高考数学一轮复习专题2.4函数的周期性、对称性练习(含解析)

第四讲函数的周期性与对称性一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

高三复习课“函数的对称性”的教学设计与反思

高三复习课“函数的对称性”的教学设计与反思作者：张征来源：《新课程·中旬》2015年第04期高三复习课不仅要复习旧知识，还要提升学生的认知水平和能力。

本节课重在引导学生对知识自主归纳、总结和探究，提升学生数学思维能力和对数学本质的理解。

下面从教学内容、学情分析、教学过程、教学反思几个方面进行说明。

一、教学内容函数的奇偶性、周期性和对称性是函数的重要性质，是研究函数的重要工具，也是高考热点。

本节课是在复习了奇偶性、单调性、周期性及基本初等函数后的一节内容，也是函数性质的综合应用。

二、学情分析学生对函数对称性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思维能力弱，对问题隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用，原因是不能将符号化的语言向描述性语言或图形语言转化。

基于以上分析制订了本节课的重点和难点。

重点：函数对称性等性质综合应用和符号化语言的转化。

难点：掌握描述性的语言和符号语言之间的转化。

三、教学过程1.师生共同探究例.函数f（x）=x2+bx+c对于任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），则f（1），f（2），f （4）大小关系是。

（1）设计意图从学生熟悉的二次函数对称引导其关注自变量，掌握符号化语言和描述性语言之间的转化，正确理解f（1+t）=f（1-t），从“关注函数自变量具有什么关系时函数值才能相等”的代数角度分析对称。

（2）问题启发①现在的问题是什么？②一般的，如何比较几个数的大小？③这几个数是二次函数的函数值，如何比较大小？④如何判断二次函数的单调性？⑤如何理解f（1+t）=f（1-t）这个数学表达式？它反映了函数的什么性质？（3）反思学生一般先画图，教师可追问上面的问题，帮助学生转化符号语言：在x轴上，自变量所取的两个值在轴上所对应的点是以1为中点，其对应的函数值相等。

对任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），图象又有什么特征？显然图象关于x=1对称。

故函数在（1，+∞）上单调递增，则f（1）由上例可知：若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），则图象关于直线对称。

2021年新高考一轮复习函数的奇偶性、对称性、周期性

微专题函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x =a+b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1(2019·江苏启东联考)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【解析】因因因因f (x 因1)因因因因因因因f (因x 因1)因因f (x 因1)因因因因f ⎝⎛⎭⎫12因x 因 f ⎝⎛⎭⎫12因x 因因因f (1因x )因f (x )因因因f (x 因1)因因f (x )因因f (x 因2)因因f (x 因1)因f (x )因因因因因f(x )因因因因2因因因因因因因因x 因12因因因因因因因f (x )因因因因因因因因由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例2 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8)＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.例3已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( ) A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=， f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确；故选：ABD ．【巩固训练】1．已知函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4x g x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（）A ．0B ．1 C．2) D．2)4.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则 85. （多选题）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(2)f x +为偶函数，下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于直线1x =对称B ．f （4）0=C ．(8)()f x f x +=D ．若(5)1f -=-，则(2019)1f =-6．（多选题）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x -与(2)f x -都为偶函数，则( )A ．()f x 为偶函数B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数 7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断： ①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________.)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=【答案或提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8 【解析】()lg 4x g x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(2f f ∴==+ .4.【答案】－85.【答案】BCD6．【答案】ABD7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.。

高三一轮复习函数的性质周期性和对称性复习练习题

函数周期性和对称性（知识点，练习题）f(x T)f(x)恒成立为非零常数，对于定义域内的任一x，使一．定义：若T则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论xfy T aaxffx为周期的周期函数；是以1、，则2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

xfa fa xfx T2a为周期的周期函数是以若函数，则3、1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1 是它的一个周期。

f(x)为周期函数且2a5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则xf1f(x)xf T2a为周期的周期函数.6、是以，则a)f(x1f(x)1f(x)xf T4a为周期的周期函数7、是以，则.f(x a)1f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。

ba yB,ba,xRyA f(x))(xy f是以、9、函数都对称，则函数的图象关于两点00ab2为周期的周期函数；b ayaR,A x f(x))(xy f bx的图象关于和直线是以都对称，则函数10、函数0a4b 为周期的周期函数；a是它的一个周期。

2的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且11、若偶函数y=f(x)a 是它的一个周期。

x=a对称，则f(x)为周期函数且412、若奇函数y=f(x)的图像关于直线13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

T)f(=0. ，T≠0), 则(x14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)∈R2函数的轴对称：三a b xfa x fb xfyy fx x对的图象关于直线定理1：如果函数满足，则函数2.称x y fxffa x fa xy ax. 的图象关于直线1推论：如果函数对称，则函数满足xffy xfx xfy0x轴）对称y（的图象关于直线，则函数满足：如果函数2推论四函数的点对称：b,axf a xfy f x2fba xy对称. 如果函数的图象关于点满足，则函数定理2：,0axf a xfy f x0fya x对称：如果函数的图象关于点. 满足，则函数推论30,0xf fy xy f xf x0对称.的图象关于原点4：如果函数特满足，则函数推论别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.五函数周期性的性质：xfxb)f x f(b f(a x)fxaa b）（其中R在上满足，则函数定理3：若函数，且bxa2y f为周期.以xfxb f f(b xf(a x)f)a x a b）（其中，在R上满足，定理4：若函数且则函ba2y f x为周期数以.xfxf bb x)x)f a x f(f(aa b）（其中定理5：若函数上满足，则函，且在R b4f xay为周期数.以以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.xxff x4f2,xf上单调递，且函数满足在区间例1．已知定义为R的函数xfxf4x2xx x的值（）如果，且.，则增.221121A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.44ff xfx x fx不过我们可以取特殊值代分析：，形似周期函数但事实上不是，4f fx x x2x变形，使入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替xf02,2,f2xfx2上单对称 3.因此图象关于点.为在区间.它的特征就是推论2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位调递增，在区间.（如图）x,2?2x4上单调递增，所以，且函数在124x x f x f4xff，，又由12xf f x444f()x f x402，有1111x0fxfxfxf4xfxf A.选.111121．当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为 A.[1,2])(x x)fx)f(x)f(2f(上是减函数，则若上定义的函数是偶函数，且在区间.练1：在R f(x)( ) [2,1][3,4]上是减函数上是增函数，在区间 A.在区间[2,1][3,4]上是减函数 B. 在区间上是增函数，在区间4][3,1]2,[上是增函数上是减函数，在区间 C. 在区间4][3,1]2,[上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间1))f(xx)f(2xf(对称，即分析：由可知图象关于x)(xf0x可得到为偶函数图象关于的应用.又因为对称，推论12][1,)f(xf(x)上是，结合在区间为周期函数且最小正周期为2)(xf B.减函数，可得如右故选草图)(xf0)f(xT若将方程练 2.定义在R上的函数是它的一个正周期既是奇函数，又是周期函数，.nn T,T）可能为（上的根的个数记为在闭区间，则 D.5 C.3A.0B.1TTTT)(f)f(T)f()f(0T)f()f(T，，分析：2222TT n0f())f(？∴可能为，则 5 22xfy xxf1x2x40x.都对称，且当时，．已知函数例2和的图象关于直线 5.f19.的值求xy f x ff2x22x分析：由推论1对称，即的图象关于直线，可知，xy f xfx ff4x4.为周期的函数43同样，知是以，现由上述的定理满足xf50 f. 5.0f443.5.f3.55f4f19是偶函数，所以，同时还知50.5.0.5f0f.2fff01999f x3214ffx f398x f2158x中．例3，，…，，则，. ）个不同的值最多有（D.199B.177C.183 A.1651056f f2158xf x3214xxffx398分析：由已知352704f fx1760x fx.1056xf2158x fffx3214f398xx又有x46x ff1102x1056f1102x1056f2158，351,ff0,,ff11,0,ff999,)f(x. 有周期352于是，于是中找到能在,ff,f2335124,23x)xf(对称，故这些值可以在又又的图像关于直线中找到.19924,f23,,ff199x)xf(.故这些值可以在个.对称，共有的图像关于直线177中找到 B.选x1fxxffxf ffxxx fffx f，3：已知，，，…，练n111n2x31f2.）则（20041xx11x xfx f x xff xx ff. ）知，，，可令分析：由x=f（x2131x313x3x11xf xxffx f2ff2)(xf，，为迭代周期函数，故20042004n37带进原函数中即将x=-21xf0f2005g x)(xff(x)是奇函数，是偶函数，且练4：函数上有定义，且满足在R，2005f .则的值为11ff x x f1x1gxx f x g1y x则，，令，解：0a ff y2ffxxy fx220050aa a，，即有，令，则，其中0n n2n200520052005n2005n f2005a0a i i i a i，，1n2005222005ff2003ffx f x22001f19990，得. 或有01f.21x的奇偶性判断函数练习：1、 f ( x ) =2|2|x解：由题0)1)(x1(x1x1201x24x2x0x且0||2x2( 0 , 1 ] 函数的定义域为∴[∪1 , 0 ) －2222x1)x(1x1x1又f(x)xx f ( x )22x()故是奇函数x六、抽象函数奇偶性的判定与证明f(x)x,y Rf(x y)f(x)f(y)，，都有对一切例 4.已知函数a)xf(f(12)af(3)表示）若，用是奇函数；（1）求证：（2f(x)f(x y)f(x)f(y)R中，，它关于原点对称．在的定义域是解：（1）显然y x f(0)f(x)f(x)x y0f(0)f(0)f(0)f(0)0，，得，令，得，∴令f(x))(x f(x)ff(x)f(x)0是奇函数．∴∴，即，f(x))(y f(x)ff(3)af(x y)是奇函数，）由（2及，f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a．得七、利用函数奇偶性求函数解析式或求值3x)x(1f(x))(xf)x(0,R，时，练习：已知是上的奇函数，且当30x),xx(1f(x))xf(则的解析式为30x),xx(11x1111f()f()f()ff(x)x log()的值+已知函数例7+，求+21x20052004200420051x0(1,1)得函数的定义域是解：由1x1x1xf(x)f(x)log log log10又2221x1x f(x)f(x)函数是奇函数成立，1111)f()f()f()f(=0 =0 ++20042005200520041111)()f(ff()()f=0∴+++2005200420052004设函数为奇函数，则－例81－∴f (－x∵解析:f(x)=)= ,又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).22a1(a)x)(x a1xax1.－.∴=∴=∴ a12bax)x3bxa(fa1a,2a，练习：，则偶函数，定义域为是已知b=03．1aa12ab0，？解：31f(x3)23x,)f(x)(113.5(fx)2xf Rx都有，3、,则，且当设偶函数时，对任意)xf(的值为(D)1221 D. C.A. B.575711f(x6)f[(x3)3]f(x)?f(x3)解：)(x3f(x)f f(x)是以T6为周期的周期函数f（113.5）f（1865.5）f(5.5)f(60.5)f(0.5)111f(30.5)f( 2.5)53,2x)xf(f(x)xf(6.5),f( 1.5)f(5.5)是周期为4、已知的偶函数，当，时，，求例13f(x)f(x)f(x4)f(x)f(6.5)f(4 2.5)f(2.5) 2.5解：，f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5f(5.5)f(5.54f(1.5)f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 DA．2 B．3 C．4 D．5解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为 5.练习：1、已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则Df(10)＞D.f(7)f(9) ＞C.f(7)f(9) ＞B.f(6)f(7) ＞A.f(6)．解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为 B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2∵（）（）∴（）（）（）（）（）. f46=-f=f=f解析：f4+2x+22=-f=-fx2.（）（）∴（）=0.2 -f又=0 x6为R上的奇函数，∴ff，则使得的是定义在R上是减函数，且上的偶函数，在 3、x若函数的取值范围是（D）．D．（－2，．B2．C） A解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5x4、设函数f（x）（∈R）为奇函数，f（1））等于（C）C. D.5B.1 A.0=1）R）为奇函数，f（）且f（x）（x∈）（解：fx+2）=f（x+f（2f(1)f(12)f(1)f(2)f(1)f(2) 111)2f(2)2f(25f(5)f(32)f(3)f(2)f(12)f(2)2f(2)f(1)2。

高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点关于_y_轴__对称

高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

函数专题1、函数的根本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域〔特别是抽象函数的定义域问题〕3、如何求一个函数的解析式。

〔常见方法有哪些〕4、如何求函数的值域。

〔常见题型对应的常见方法〕5、函数单调性的判断，证明和应用〔单调性的应用中参数问题〕6、函数的对称性〔包括奇偶性〕、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法那么f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ；〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=1212++n n x ，g 〔x 〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2；〔5〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1.二、函数的定义域〔请牢记：但凡说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围〕 1、求以下函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax 〔ａ为常数〕2、〔1〕f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域；〔2〕f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、假设函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

函数的周期性与对称性

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点函数的周期性与对称性一．最新考试说明：1. 理解函数的周期性，会判断函数的周期性．【例】(2018 全国卷Ⅱ)已知 f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数，满足 f (1- x ) = f (1+x ) ．若 f (1) = 2，则 f (1) + f (2) + f (3) +…+ f (50) = A ．-50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】解法一 ∵ f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数， f (-x ) = - f (x ) ．且 f (0) = 0 ．∵ f (1- x ) = f (1+ x ) ，∴ f (x ) = f (2 - x )， f (-x ) = f (2 + x )，∴ f (2 + x ) = - f (x )，∴ f (4 + x ) = - f (2 + x ) = f (x ) ， ∴ f (x ) 是周期函数，且一个周期为 4 ，∴ f ( 4 )= f( 0=) ，f (2) = f (1+1) = f (1-1) = f (0) = 0 ， f (3) = f (1+ 2) = f (1- 2) = - f (1) = -2，∴ f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) =12⨯0 + f (49) + f (50) = f (1) + f (2) = 2 ，故选C ．π解法二由题意可设 f (x ) = 2sin( 2x ) ，作出 f (x ) 的部分图象如图所示．由图可知， f (x ) 的一个周期为 4，所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) ，所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) = 12⨯ 0 + f (1) + f (2) = 2，故选 C ．【例】(2016 山东)已知函数 f (x )的定义域为 R ．当 x <0 时， f (x ) = x 3 -1 ；当-1 ≤ x ≤ 1 时，f (-x ) = - f (x ) ；当 x > 1 2 时， f (x + 1) = f (x - 1) ，则 f (6)=2 2A ．−2B ．−1C ．0D ．2【答案】D 【解析】当-1剟x1 时， f (x ) 为奇函数，且当 x > 1时， f (x +1) = f (x )，2y23xO-241 2m所以 f (6) = f (5⨯1+1) = f (1) ．而 f (1) = - f (-1) = -[(-1)3 -1] = 2 ，所以 f (6) = 2 ，故选D ．2. 理解函数的对称性，会判断函数的对称性．【例】【2020 年高考天津卷 3】函数 y = 4xx 2 +1的图象大致为（）A.B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得： f (-x ) =-4x x 2 +1= - f ( x ) ，则函数 f ( x ) 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 CD 错误；当 x = 1时， y = 41+1= 2 > 0 ，选项 B 错误．故选 A ．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想，考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【例】(2016 全国 II) 已知函数 f ( x )( x ∈ R )满足 f (-x ) = 2 - f ( x ) ，若函数 y = x + 1 与 y = f ( x ) 图像的交点 x为( x 1 ，y 1 ) ， ( x 2 ，y 2 ) ，…， ( x m ，y m ) ，则∑( x i+ y i) =i =1A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B33 22【解析】由 f (-x ) = 2 - f ( x ) 得 f (-x ) + f (x ) = 2 ，可知 f ( x ) 关于(0 ，1) 对称，而 y =x +1 = 1+ 1 也关 xx于(0 ，1) 对称，∴对于每一组对称点 x i + x i ' = 0 y i + y i '=2 ，∴ mmmm． ∑( x i + y i ) = ∑ x i + ∑ y i = 0 + 2 ⋅ 2= mi =1i =1i =13. 利用函数周期性、对称性求函数值及求参数值．【例】(2014 新课标Ⅱ)偶函数 f (x ) 的图像关于直线x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = ．【答案】3【解析】∵函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称，所以 f (x ) = f (4 - x )，f (-x ) = f (4 + x )，又 f (-x ) = f (x ) ，所以 f (x ) = f (4 + x ) ，则 f (-1) = f (4 -1) = f (3) = 3 ．⎧-4x 2 + 2, 【例】(2014 四川)设 f (x ) 是定义在R 上的周期为 2 的函数，当 x ∈[-1,1) 时，f (x ) = ⎨ -1 ≤ x < 0,，则 f ( ) = ． 2【答案】1⎩x ,0 ≤ x < 1, 【解析】 f ( ) = f (- 1 ) = -4 ⨯(- 1 )2 + 2 = 1．2 2 2二．命题方向预测：1. 利用函数的周期性、对称性求函数的值、求函数的零点、求方程的根、研究函数的图象是历年高考考查的热点．2. 题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1. 若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称，则 f ( x ) 可以表示为 f ( x ) = 1 ⎡⎣ f ( x ) + f (-x )⎤⎦ + 1 ⎡⎣ f ( x ) - f (-x )⎤⎦ ，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．2. 函数 y = f (x )与函数 y = f (- x )的图像关于直线 x = 0（ y 轴）对称．3. 函数 y =f (x )与函数 y = - f (x )的图像关于直线 y = 0 （ x 轴）对称．4. 函数 y = f (x )与函数 y = - f (-x ) 的图像关于坐标原点中心对称．5. 函数 y = a x 与函数 y = logax (a > 0, a ≠ 1) 的图像关于直线 y = x 对称．6. 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a＝－b|.7. 若在定义域内满足 f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a ) 1 ，f (x ＋a )＝－ 1(a >0)．则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．8. 对称性与周期的关系：f (x ) f (x ) (1) 若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．四、名师二级结论：一条规律若 T 是函数的周期，则kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．两个应用1. 已知函数的周期性求函数的值．2. 已知函数的对称性研究函数的图象．三种方法求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法．五、课本经典习题：(1)新课标人教 A 版必修四第 46 页习题 1.4A 组第 10 题设函数 f (x )(x ∈ R ) 是以 2 为最小正周期的周期函数，且 x ∈[0, 2]时， f (x )=(x -1)2 ，求 f (3)，f ( 7 ) 的2值。