金融工程-第11章-期权定价的BS公式

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bs定价公式 excel

bs定价公式 excel【实用版】目录1.引言：介绍 BS 定价公式及其在金融领域的重要性2.BS 定价公式的原理和计算方法3.BS 定价公式在 Excel 中的应用4.结论：总结 BS 定价公式在金融领域的作用和意义正文1.引言在金融领域，BS 定价公式（Black-Scholes-Merton 定价公式）是一种广泛应用的衍生品定价方法，尤其在股票期权、债券期权等金融产品的定价中具有重要作用。

该公式是由 Fisher Black、Myron Scholes 和Robert Merton 三位金融学家于 1973 年首次提出，它是基于无风险利率、标的资产价格、行权价格、剩余到期时间以及波动率这五个因素来计算期权价格的。

2.BS 定价公式的原理和计算方法BS 定价公式的原理是，将期权的内在价值和时间价值分开计算，然后相加得到期权的总价格。

其中，内在价值是指期权立即行权所获得的收益，而时间价值是指期权持有者因等待行权而获得的收益。

BS 定价公式的计算方法分为以下几个步骤：a.计算标的资产价格的对数收益率b.计算波动率c.根据期权类型（看涨期权或看跌期权）和行权价格，确定期权的内在价值d.计算期权的时间价值e.将内在价值和时间价值相加，得到期权的总价格3.BS 定价公式在 Excel 中的应用在 Excel 中，可以通过内置的函数（如 NORM.INV、LOG、SQRT 等）来计算 BS 定价公式所需的各个参数，从而得到期权的价格。

下面是一个简单的示例：a.输入标的资产价格、行权价格、无风险利率、剩余到期时间和波动率等参数b.使用 NORM.INV 函数计算对数收益率c.使用 LOG 函数计算对数收益率的平方d.使用 SQRT 函数计算波动率的平方根e.根据期权类型和行权价格，计算内在价值f.计算时间价值，并将其与内在价值相加，得到期权价格4.结论BS 定价公式在金融领域具有重要的作用和意义，它为投资者提供了一种有效的衍生品定价方法。

B-S期权定价公式的简单推导

2
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232

其中
d1

ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T

t)
d2

ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t

1 2
2 f S 2

2S 2 )dt

f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t

1 2
2 f S 2

2S 2 )t

Nt

T

t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t

1 2
2 f S 2

2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：

期权定价的连续模型及BS公式

调整。
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68

金融工程学BS公式

N (3.759,0.141)
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
d2
ln
S0
X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明

B-S期权定价模型、公式与数值方法

P124的例子
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中，代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd

BS期权定价模型课件详解精讲

Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立起衍生品价格的随机微分方程——构建该证券与其衍生品的适当组合消除随机过程，且该组合要满足瞬时无套利，得到满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该比无风险利率下的时间价值大或者小。应该与存放银行取得的收益是一致的，必须至少获得无风险利率。既然已经不包含随机过程，则结果是无风险确定的， 2 应该不存在瞬时无风险套利。
（6.16）将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变设t代表一个小的时间间隔长度，量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）：特征1： z t （6.1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。

郑振龙《金融工程》笔记和课后习题详解-布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型【圣才出品】

第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型11.1复习笔记一、布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路以下对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳：要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。

通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变化过程是一个随机过程——几何布朗运动，其具体形式如下：（11．1）当股票价格服从式（11．1）时，作为股票衍生产品的期权价格，将服从（11．2）将式（11．1）和（11．2）联立方程组，就可以解出一个期权价格所满足的微分方程，求解这一方程，就得到了期权价格的最终公式。

二、股票价格的变化过程通常用形如的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，几何布朗运动中最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素，通常称之为标准布朗运动或维纳过程。

1．标准布朗运动设△￡代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在△t时间内的变化，如果变量z遵循标准布朗运动，则Δz具有以下两种特征：特征l：Δz和△t的关系满足（11．3）其中，ε～φ[0，1]。

特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。

用z（T）-z（t）表示变量z在T-t中的变化量，它可被看做是在N个长度为△t的小时间间隔中z的变化总量，其中N=（T—t）／Δt，因此，其中εi（i=1，2，…，N）是标准正态分布的随机抽样值。

由此可见：①在任意长度的时间间隔T-t中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0、标准差为根号下T-t的正态分布；②在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可加性，总是等于时间长度，不受△t如何划分的影响，但标准差就不具有可加性。

当△t→0时，就可以得到极限的或者说连续的标准布朗运动（11．4）下面直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股价建模中应用的原因：首先，维纳过程中用ε即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。

其次，数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。

B-S期权定价公式

Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。

S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。

其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。

μ和σ都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。

bs期权公式课件

这个随机过程的特征2 ：
普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。
在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分布，均值为 (2/2)(Tt) ，方差为 2 (T t) 。标准差仍然可以表示为 T－ t ，和时间长度平方根成正比。
G ~ [( 2 2)(T t),T t]
从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个结论:
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
12.01.2021
11
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征 S S ~(t, t) S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
12.01.2021
12
几何布朗运动的深入分析（2）
S
但态是分，布在的一性个质较：长的时间T后，S 不再具有正
b-s期权公式课件
Black-Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
12.01.2021

《金融工程》第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

3.72 ln ST 4.27
41.09 ST 71.41
因此， 6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率
为 95% 。
30
半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为 60.46 或
7.78 。
E ST 50e0.180.5 54.71
2

dGt d ln St dt dz t
2

服从期望值
d ln St

说明连续复利收益率
正态分布
注意：
d ln St

dt
2
2
方差为
2
dt 的
dSt
St
21
应用2 ： F 所遵循的随机过程
假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数
dSt Stdt Stdz t
几何布朗运动：扩散过程的特例
= +
其中 µ 和 σ 均为常数
一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程
可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题
几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较
为吻合。
14
伊藤引理
若变量 x 遵循伊藤过程，
= +

F

S
e
由于 t t
r T t
，则
F rT t 2 F
F
e
, 2 0,
rFt
S
S
t
运用伊藤引理可得
dFt r Fdt
Fdz
t
t
t

期权定价B-S期权定价公式

2. 离散形式
13
BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头，份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
14
BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
6
Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
8
得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程

B-S期权定价公式

B-S期权定价公式Black-Schole期权定价模型一、Black-Schole期权定价模型的假设条件Black-Schole期权定价模型的七个假设条件如下：1.风险资产（Black-Schole期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。

S遵循几何布朗运动，即dSSdtdz。

dt其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。

和都是已知的。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5.在期权有效期内，无风险利率r保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Schole期权定价模型在上述假设条件的基础上，Black和Schole得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole微分方程：ftrSfS122S22f2rfS其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black和Schole得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：c其中，d1ln(S/某)(r2SN(d1)某er(Tt)N(d2)/2)(Tt)Tt2/2)(Tt)d1Ttd2ln(S/某)(rTtc为无收益资产欧式看涨期权价格；N（某）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于某的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有N(某)1N(某)。

（二）Black-Schole期权定价公式的理解1.SN(d1)可看作证券或无价值看涨期权的多头；Ker(Tt)N(d2)可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。

金融工程11 B-S期权风险中性定价

金融工程
第十一章 B-S期权风险中性定价
主讲：陆贵斌
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black&Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。 B-S期权定价模型需要较深的数学基础，相对难懂；所以，这部分集中介绍风险中性定价。
12
无收益资产的欧式看跌期权的定价公式
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
p Xer (T t ) N (d 2 ) SN(d1 )
13Biblioteka B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。
2
股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，
期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
3
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
16
T t ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 N ( x) 1 N ( x) 。这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。

BS期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。

他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。

与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。

结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。

所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。

默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。

瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。

bs model公式(一)

bs model公式(一)BS Model公式及其解释在金融衍生品定价中，Black-Scholes (BS)模型是一个重要的数学模型，用于计算欧式期权的理论价格。

这个模型是由Fisher Black 和Myron Scholes在20世纪70年代提出的，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

BS模型基于一些假设，包括股票价格的对数正态分布和市场的无套利机会。

以下是BS模型的相关公式及其解释：1. 股票价格模型•Geometric Brownian Motion(GBM)模型表示股票价格的演化：dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)–其中，S(t)代表股票价格在时间t的值。

–μ是股票价格的年化平均收益率。

–σ是股票价格的年化标准差。

–dW(t)是Wiener过程，代表随机波动项。

2. 期权定价公式•BS模型的期权定价公式基于Black-Scholes假设和股票价格模型：C=S(t)N(d1)−Xe−r(T−t)N(d2)P=Xe−r(T−t)N(−d2)−S(t)N(−d1)–其中，C和P分别表示欧式看涨期权和欧式看跌期权的理论价格。

–S(t)是期权到期日当天的标的资产价格。

–X是期权的行权价格。

–r是无风险利率。

–T是期权的到期时间。

–t是当前时间。

–N(x)是标准正态分布的累积分布函数。

–d1=ln(S(t)X)+(r+σ22)(T−t)σ√T−t和d2=d1−σ√T−t。

3. 解释示例假设有一只股票的当前价格为100元，行权价格为120元，无风险利率为5%，期权的到期时间为1年，标的资产的年化平均收益率为10%，股票价格的年化标准差为20%。

根据以上数据，我们可以应用BS模型来计算看涨期权和看跌期权的理论价格。

•计算d1和d2：d1=ln(100120)+(+22)(1−0)√1−0≈−d2=−−√1−0≈−•计算看涨期权价格：C=100N(−)−120e−(1−0)N(−)≈•计算看跌期权价格：P=120e−(1−0)N()−100N()≈因此，根据BS模型，该看涨期权的理论价格约为元，而该看跌期权的理论价格约为元。