极限与连续的62个典型习题
函数极限与连续性知识点及典例
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
巧用极限法解答高中物理试题
巧用极限法解答高中物理试题极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用。
由有限小到无限小，由有限多到无限多，由有限的差别到无限地接近，就达到事物的本真。
下面是小编为大家整理的关于巧用极限法解答高中物理试题，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!使用极限法解答高中物理1直线运动问题题型概述：直线运动问题是高考的热点，可以单独考查，也可以与其他知识综合考查.单独考查若出现在选择题中，则重在考查基本概念，且常与图像结合;在计算题中常出现在第一个小题，难度为中等，常见形式为单体多过程问题和追及相遇问题.思维模板：解图像类问题关键在于将图像与物理过程对应起来，通过图像的坐标轴、关键点、斜率、面积等信息，对运动过程进行分析，从而解决问题;对单体多过程问题和追及相遇问题应按顺序逐步分析，再根据前后过程之间、两个物体之间的联系列出相应的方程，从而分析求解，前后过程的联系主要是速度关系，两个物体间的联系主要是位移关系.2物体的动态平衡问题题型概述：物体的动态平衡问题是指物体始终处于平衡状态，但受力不断发生变化的问题.物体的动态平衡问题一般是三个力作用下的平衡问题，但有时也可将分析三力平衡的方法推广到四个力作用下的动态平衡问题.思维模板：常用的思维方法有两种：(1)解析法：解决此类问题可以根据平衡条件列出方程，由所列方程分析受力变化;(2)图解法：根据平衡条件画出力的合成或分解图，根据图像分析力的变化.3运动的合成与分解问题题型概述：运动的合成与分解问题常见的模型有两类：一是绳(杆)末端速度分解的问题;二是小船过河的问题，两类问题的关键都在于速度的合成与分解.思维模板：(1)在绳(杆)末端速度分解问题中，要注意物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度的方向应取绳(杆)的方向和垂直绳(杆)的方向;如果有两个物体通过绳(杆)相连，则两个物体沿绳(杆)方向速度相等.(2)小船过河时，同时参与两个运动，一是小船相对于水的运动，二是小船随着水一起运动，分析时可以用平行四边形定则，也可以用正交分解法，有些问题可以用解析法分析，有些问题则需要用图解法分析.4抛体运动问题题型概述：抛体运动包括平抛运动和斜抛运动，不管是平抛运动还是斜抛运动，研究方法都是采用正交分解法，一般是将速度分解到水平和竖直两个方向上.思维模板：(1)平抛运动物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，其位移满足x=v0t，y=gt2/2，速度满足vx=v0，vy=gt;(2)斜抛运动物体在竖直方向上做上抛(或下抛)运动，在水平方向做匀速直线运动，在两个方向上分别列相应的运动方程求解5圆周运动问题题型概述：圆周运动问题按照受力情况可分为水平面内的圆周运动和竖直面内的圆周运动，按其运动性质可分为匀速圆周运动和变速圆周运动.水平面内的圆周运动多为匀速圆周运动，竖直面内的圆周运动一般为变速圆周运动.对水平面内的圆周运动重在考查向心力的供求关系及临界问题，而竖直面内的圆周运动则重在考查最高点的受力情况.思维模板：(1)对圆周运动，应先分析物体是否做匀速圆周运动，若是，则物体所受的合外力等于向心力，由F合=mv2/r=mrω2列方程求解即可;若物体的运动不是匀速圆周运动，则应将物体所受的力进行正交分解，物体在指向圆心方向上的合力等于向心力.(2)竖直面内的圆周运动可以分为三个模型：①绳模型：只能对物体提供指向圆心的弹力，能通过最高点的临界态为重力等于向心力;②杆模型：可以提供指向圆心或背离圆心的力，能通过最高点的临界态是速度为零;6牛顿运动定律的综合应用问题题型概述：牛顿运动定律是高考重点考查的内容，每年在高考中都会出现，牛顿运动定律可将力学与运动学结合起来，与直线运动的综合应用问题常见的模型有连接体、传送带等，一般为多过程问题，也可以考查临界问题、周期性问题等内容，综合性较强.天体运动类题目是牛顿运动定律与万有引力定律及圆周运动的综合性题目，近几年来考查频率极高.思维模板：以牛顿第二定律为桥梁，将力和运动联系起来，可以根据力来分析运动情况，也可以根据运动情况来分析力.对于多过程问题一般应根据物体的受力一步一步分析物体的运动情况，直到求出结果或找出规律.①。
经济数学(极限与连续习题及答案)——习题集资料文档
第二章 函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解 （1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().k n ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10k n ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就 恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解 因为0.999,lim 1, 0.0001,nn n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证 因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解 由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明 ：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有232εx x +-<故由极限定义知 23lim2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20xx ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2 →4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解 因为当x →-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式| x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解 因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可 即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故 不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解 因为--2020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证 因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim limx xx x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k k k ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2)lim 2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x nx x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim=.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=22200022200()2lim lim(2)2.(1 (7) lim1(1) lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h x x →→→→→→→→+-+==+==-+=-+=-=4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-=解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则11201122210109102910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim 11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++291011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线：3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21xx x y y x x x x x y y x --==+---==-解 332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为 所以是铅垂渐近线 因为 所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为 且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2(lim lim (2)(1)222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-+==∞-+----==∞----=-===∞因为 所以是水平渐近线 又因为 且所以是铅垂渐近线因为 且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为 所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且 所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠-求的值解 2200012000limx x x x b x a →+++-=-由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111(1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n nn n n n n ≤++++≤+++因为 222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin1,n n n nn n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤≤且 所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim.2tan 22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：2123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x xx x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim () lim (1) .x x x x x x x x x x x e x e x x ---→→→→∞→∞=-=-=+=+=2223113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解 （1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时,xy e -=是无穷大量. 又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,x y e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0limln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解 因为01lim2x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e xx x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解 （1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且 所以311()242f x x =-+. 4．证明： 当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解 （1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解 （1）因为当0x →时，sin 33,sin ,tan 5522x xx x x x所以 00sin 336limlim 5sin tan 5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时 所以sin 201sin 1limlim22xx x ex xx →→-==.（3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+--时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x →时所以x x →→=20021)1)lim lim 41x x x x x x →→===++.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x →时 所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x →时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==.（7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当3433,2n n n n n →∞--limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解 因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x xx +-+∞→解 0x →(1)x→=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x xx x x x →-+当时所以2201sin cos limlim ln(1tan )2x x x x xx x →→+-=+2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xx a a b bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x xx ++111sin ln(1)ln(1)x xx ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 xy +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解 因为()()y f x x fx ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆== 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆=-==+=且所以 在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在 时且所以 不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以 在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义() 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =.又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x xf x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且 所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点. 4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩（函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解 因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a bf x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解 因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上(),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0， 即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++<, 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证 因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C nξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证 设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0. 即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若31169x x→=--,则f (x) = ( ) .①x+1 ②x+5③(5) 方程x4–x– 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .①(0,1/2) ②(1/2, 1)③(2, 3) ④(1, 2)(6)函数10()lnxf xx-=+的连续区间是( ) .①(0, 5) ②(0, 1)③(1, 5) ④(0, 1)∪(1,5)解（1）①;（2）③;（3）④;（4）③; （5）②;（6）④.2.计算题：3sin()3(1) lim (2)lim12cos sin(3) 12(1)](4) lim0)x xxxnxaxe ex xn naαβππ+→→→∞→---++-+++->2300cot222tan sin(5)lim (6)limsin11(7)lim(cos) (8) lim(1)4(9)lim1x xx n x nxxx xxxn nxx→→→→∞→∞-++⎛⎫-⎪⎪-⎝⎭(10)lim[ln ln(2)]nn n n→∞-+解333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim112cos2(cos)2(cos cos)23x x xx x xx x xπππππππ→→→---=---33001112sin()cos()cos()1232323lim lim11124sin()sin()sin()232323(1)(1)(2) lim limsin sin0,1,1,sinx xx x x xx xx xx x xx x xe e e ex xx e x e x x xππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→--因为当时所00lim lim.sinx xx xe e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3) 12(1)]1lim2limnn nnn n→∞→∞++-+++-====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x axax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以 即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解 由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解 因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3tan 3lim 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证 由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-< 故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解 依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1） （1） 一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2） （2） 一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3） （3） 一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4） 连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50nn n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证 设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。
典型例题 极限与连续的62个典型习题
习题14求 .
解原式
.
习题15求 .
解 ∵ ， ，原式 = 0.
习题16证明 （ 为常数）。
证 （令 ）
.
习题17求 .
解原式 .
习题18求 .解(连续性法)
原式
.
习题19试证方程 （其中 ）至少有一个正根，并且它不大于 .
证设 ，此初等函数在数轴上连续， 在 上必连续。∵ 而
若 ，则 就是方程 的一个正根。
极限与连续的62个典型习题
习题1设 ，求 .
解记 ，则有
， .另一方面
.
因为 ，故 .利用两边夹定理，知
，其中 .
例如 .
习题2求 .
解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
.
习题3求 .
解
习题4求 .
解（变量替换法）令 ，则当 时， 于是,
原式 .
习题5求 .
解（变量替换法）令 ，
原式
.
习题6求 ( 型)。
为了利用重要极限，对原式变形
习题26设数列 由下式给出 求
解 不是单调的，但 单增，并以3为上界，故有极限。设 单减，并以2为下界，设 在等式 两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出 由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此 的极限存在，记 于是 故有 解出 （舍去负值 ）
习题27设 试证 收敛，并求极限。
证 显然 假设 则由 ，可解出 （舍去 ）。下面证明 收敛于 由于
，
递推可得
由两边夹可得 故
习题28设 试证
（1） 存在；（2）当 时， 当 时，
证 显然有 又
单减有下界。 收敛。令 在原式两边取极限得 由此可解出 或 当 时， 归纳假设 则 而 ，有 因此 时 即 时）。
微积分经济数学吴传生
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9. 极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
定义② 设函数 f ( x) 在点 x0 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么
极限计算方法总结
极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim 0=→xx x ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
高等数学第一章-习题
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
解
原式
lim[1
tan
x
sin
x
1
]x3
x0
1 sin x
lim x0
tan x sin 1 sin x
x
1 x3
sin x(1 cos x) lim x0 (1 sin x)cos x
1 x3
lim
x0
sin x
x
1
cos x2
x
1
(1 sin x)cos
x
1 2
1
原式 e2 .
例3
(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定
义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.
第
y
y
一
可去型
跳跃型
类
间
断
点
0 x0
9、闭区间上连续函数的性质
考研数学必做课后习题(同济)
高等数学课后习题解读总习题一：1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。
而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。
所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。
2是无穷小的阶的比较3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题总习题二：1填空题，不多说了，重点2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。
而对(A)项来说只能保证右导数存在。
只有(D)项是能确实的推出可导的3物理应用现在基本不要求了4按定义求导数，不难，应该掌握5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容8求二阶导数，同上题9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可10求隐函数的导数，重要，常考题型11求参数方程的导数，同样是常考题型12导数的几何应用，重要题型13、14、15不作要求综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路总习题三1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法9非常见题型，了解即可10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握11不等式，一般可用导数推征，典型题12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些14、15、16不作要求17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……积分的题目是做不完的。
(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
数学分析习题集
数学分析习题集 武汉科技学院理学院目 录第一章 实数集与函数 3 第二章 数列极限 5 第三章 函数极限 8 第四章 函数的连续性 10 第五章 导数与微分 12 第六章 微分中值定理及其应用 14 第七章 实数的完备性 18 第八章 不定积分 20 第九章 定积分 22 第十章 定积分的应用 25 第十一章 反常积分 26第一章 实数集与函数一：典型习题.1. 设a 为有理数，为无理数. 证明：x xa 为无理数.2. 证明: 对任何有R x ∈4|3||2||1|||≥−+−+−+x x x x .3. 设集合},21|{+∈==N n x x S n . 求的上、下确界，并用确界的定义加以证明.S 4. 证明：若数集E 的上(下)确界存在，则它必唯一存在. 5. 设是非空数集，证明： R B A ⊂, ⑴ B A B B A sup inf inf ≤≤⇒⊂； ⑵ 如果ε<−∈∀∈∀||,,b a B b A a ，则 ε≤−|sup sup |B A ，ε≤−|inf inf |B A . 6. 设在区间f I 上有界. 记)(sup x f M Ix ∈=，)(inf x f m Ix ∈=.证明： m M x f x f Ix x −=′′−′∈′′′|)()(|sup,.7．证明伯努利不等式，nx x n +≥+1)1(1−>x . 8. 设为n 个正实数，证明：n x x x ,,,21")(1111212121n n n nx x x nx x x x x x n+++≤≤+++""".二：考研荟萃.1. (中国人民大学) 设249)3lg(1)(x x x f −+−=，求的定义域和.)(x f )]7([−f f 2.(南京邮电大学，兰州铁道学院) 已知21)(xx x f +=，设=)(x f n(个)，求.]}))(([{""x f f f n f )(x f n 3.(清华大学) 设函数在)(x f ),(+∞−∞上是奇函数，且对任何值均有a f =)1(x )2()()2(f x f x f =−+.⑴试用a 表示与；)2(f )5(f ⑵问a 取何值时，是以2为周期的周期函数. )(x f 4.(北京科技大学) 叙述数集A 的上确界的定义.并证明：对任意有界数列，总有}{},{n n y x }sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+.第二章 数列极限一：典型习题.1. 利用数列极限的定义证明0)sin(lim2=∞→nn n π. 2. 证明：02lim =∞→n n n，02lim 2=∞→n n n ，02lim 3=∞→n n n . 3. 设对于数列，有}{n x a x nn =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，证明.a x n n =∞→lim 4．求下列极限：⑴32221limn n n +++∞→"；⑵)211()211)(211(lim 242nn +++∞→"； ⑶)2122321(lim 2nn n −+++∞→"； ⑷)2(42)12(31lim n n n ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∞→""； ⑸)cos 1(cos limn n n −+∞→.5. 证明下列各题：⑴若，则0,0>>b a ),max(lim b a b a nn n n =+∞→；⑵若是正实数数列，}{n x 0lim >=∞→a x nn ，则有a x x x nx x x n n n nn ==+++∞→∞→""2121lim lim； ⑶数列不存在极限.}{sin n6. 利用单调有界性证明：⑴若101<<x ，且",2,1),1(1=−=+n x x x n n n ，则；1lim =∞→nn nx ⑵设，且0,011≥=≥=b y a x ",2,1),(21,11=+==++n y x y y x x n n n n n n ， 则n n nn y x ∞→∞→=lim lim .二：考研荟萃.1.(北京大学) 求⑴；⑵2)!(lim −∞→n n n ,1lim n n n a +∞→a 为正实数； ⑶n n n n n n)12()1(1lim −+∞→"". 2.(武汉大学，华中师范大学) 设22,2,10211nn a c a c a c +==<<+，证明：数列收敛，并求其极限.}{n a 3.(北京师范大学) 设}|)(sup{b x a x f ≤≤=α.证明：存在 b x a n ≤≤ 使成立. a x f n n =∞→)(lim 4.(华中师范大学) 求∑=∞→++nk n kn n k12lim .5.(北京航空航天大学) 叙述数列收敛的柯西原理，并证明： 数列∑==nk k n k x 12sin ，为收敛数列.),2,1("+n 6.(华中科技大学)(有界变差数列收敛定理) 若数列满足条件：}{n x M x x x x x x n n n n ≤−++−+−−−−||||||12211"，)3,2("=n ，则称为有界变差数列.试证明：有界变差数列一定收敛.}{n x 7.(四川大学)(压缩变差数列收敛定理) 若数列满足条件：，}{n x ||||211−−−−≤−n n n n x x r x x )10;,4,3(<<=r n "，则称为压缩}{n x变差数列(简称为压缩数列).试证明：任意压缩数列一定收敛.8.(浙江大学) 求)(sin lim 22n n n +∞→π.9.(清华大学) 设R 中数列满足}{},{n n b a ",2,1,1=−=+n qa b a n n n ， 其中.证明：⑴若有界，则有界； 10<<q }{n b }{n a ⑵若收敛，则收敛. }{n b }{n a第三章 函数极限一：典型习题.1. 用定义证明：⑴19167lim21=−→x x ；⑵2312lim 22=−+∞→x x x . 2. 求极限：⑴)211(lim 23x x x x x −−+++∞→；⑵xx x x n n x ∆−∆++∞→)(lim ；⑶2tan )1(lim 1x x x π−→； ⑷⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0； ⑸1,0,111lim1≠>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+∞→a a a a x xxx . 3. 讨论下列函数的极限是否存在，若存在，则求出其极限： ⑴||sin 12)(41x xee xf xx+++=，当时；0→x ⑵axx x g cos 1)(−=，π<<||0a ，当时.0→x 4. 若0)(6sin lim 30=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xx xf x x ，求3)(6lim xx f x +→. 5. 求xx xx x x sin cos sin 1lim−+→.6. 设,sin 2sin sin )(21nx a x a x a x f n +++="其中是常数，且 n a a a ,,,21" ，有，证明：R x ∈∀|sin ||)(|x x f ≤1|2|21≤+++n na a a ".7. 求xxn xxx n a a a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→".8. 已知51lim231=−++→x bax x x ，求的值. b a ,9. 设当时，0→x 1)1(312−+ax 与1cos −x 是等价无穷小，求常数. a二：考研荟萃.1.(武汉大学) 求极限20)1ln(limx x xe x x +−→. 2.(厦门大学) 求极限1tan 1tan 1lim 0−−−+→x x e xx .3.(中国科技大学) 求极限22116sin 41limxxx −−→π.4.(湖北大学，天津大学) 设函数在)(x f ),0(+∞上满足)()2(x f x f =，且.证明：A x f x =+∞→)(lim ),0(,)(+∞∈≡x A x f .5.(复旦大学) ⑴求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−→xx x x e x x x csc 22023sin sin lim ； ⑵当时，求是多少阶无穷小量(0→x )1ln()cos(sin 12x x ++−αα为参数).第四章 函数的连续性一：典型习题.1. 设函数对一切)(x f I x x ∈21,，满足等式)()()(2121x f x f x x f +=+，且)(x f 在连续，证明：在任意0=x )(x f I x ∈连续.2. 设函数在连续，且)(x f 0=x 0)0(=f ，已知|)(||)(|x f x g ≤，证明：函数在也连续．)(x g 0=x 3. 证明：若在内连续，且 存在，则 在内必有界.)(x f ),(+∞−∞)(lim x f x ∞→)(x f ),(+∞−∞4. 设对任意，有，且在和连续，证明：在)(x f ),(+∞−∞∈x )()(2x f x f =)(x f 0=x 1=x )(x f ),(+∞−∞为常数.5. 确定的值，使b a ,)1)(()(−−−=x a x be xf x 有无穷间断点0=x 和可去间断点.1=x 6. 设函数在上连续，且)(x f ]2,0[a )2()0(a f f =，证明：在上至少存在一点],0[a ξ，使)()(a x f f +=ξ.7. 证明：若函数在上连续，)(x f ],[b a b x x x a n <<<<<"21，则在上必有一点],[1n x x ξ，使nx f x f x f f n )()()()(21+++="ξ .8. 设函数在内一致连续，证明：)(x f ),(b a ⑴0>∃δ，使，当0x ∀),(),(00δδ+−∩∈x x b a x 时，； 1|)(||)(|0+≤x f x f ⑵在内有界. )(x f ),(b a9. 函数在区间)(x f I 上一致连续的充要条件是：I y x n n ⊂∀}{},{，当 0)(lim =−∞→n n n y x 时，有0)]()([lim =−∞→n n n y f x f .10. 证明：若函数在)(x f R 上连续，R y x ∈∀,，有10|,||)()(|<<−≤−k y x k y f x f ，则在)(x f R 上有唯一的不动点，即a a a f =)(.二：考研荟萃.1.(南开大学) ⑴叙述函数在区间)(x f I 上一致连续的定义； ⑵设，都在区间)(x f )(x g I 上一致连续且有界，证明：也在区间)()()(x g x f x F =I 上一致连续.2.(长沙铁道学院) 函数在上连续且恒大于零，按)(x f ],[b a δε−定义证明：)(1x f 也在上连续. ],[b a 3.(武汉大学) 证明：x y sin =在),0(+∞上一致连续.4.(吉林大学)(利普希次条件) 若函数在区间)(x f I 上满足利普希次条件：I x x x x L x f x f ∈∀−≤−212121,|,||)()(|，则在f I 上一致连续. 5.(北京大学) 设在)(x f ]2,[b a a +上连续，证明：存在，使得],[b a a x +∈)]()2([21)()(a f b a f x f b x f −+=−+.第五章 导数与微分一：典型习题.1. 证明：偶函数的导数是奇函数；奇函数的导数是偶函数.2. 设)(x ϕ在a x =连续，问：下列函数在a x =是否可导？ ⑴);()()(x a x x f ϕ−= )(||)(x a x x g ϕ−=.3. 设在上有定义，且f ),0(+∞),0(,+∞∈∀y x ，都有，已知存在，求.)()()(y f x f xy f +=)1(f ′)(x f ′4. 已知存在，且)(a f ′0)(≠a f ，求极限nn n a f a f ⎦⎤⎢⎣⎡+∞→)((lim 1\，. +∈N n 5. 求下列函数的导数： ⑴；⑵xx x y =3)2)(1(32+++=x x x y ； ⑶x e x x y −=1sin . 6. 设满足)(x f xx f x f 312)(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，求)(x f ′.7. 设)1()1(31lim )(−−∞→+++=x p x p x e b ax e x x f (为不等于零的常数)，问为何值时，连续且可导.p b a ,)(x f 8. 设周期的函数在4=T ),(+∞−∞内可导，且12)1()1(lim−=−−→xx f f x .求曲线在点处的切线方程和法线方程. )(x f y =))5(,5(f 9. 设函数由方程确定，求)(x f y =4ln 22=+x y x y dxdy . 10. 设t y t x −=+=1,1确定函数)(x f y =，证明：3222,ydx yd y x dx dy −=−=.11. 求对数螺线在点ϕρe =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2,),(2πϕρπe 处的切线的直角坐标方程.12. 设，可微，求.)]()(sin[22x v x u y +=)(),(x v x u dy 13. 设函数的反函数及，都存在，且)(y f )(1x f −)]([1x f f −′)]([1x f f −′′0)]([1≠′−x ff ，证明：311212)]}([{)]([)(x f f x f f dx x f d −−−′′′−=.二：考研荟萃.1.(中国人民大学) 设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +−++=−，求. )1(f ′2.(湖北大学) 设为可导函数，证明：若)(x f 1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =. 3.(四川大学) 函数xe y −=，在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？4.(武汉大学) 对于函数3sin )(x x f =，)1,1(−∈x . ⑴证明：)(x f ′′不存在；⑵说明点0=x 是不是)(x f ′′′的可去间断点.5.(厦门大学) 已知，k 为常数，求的反函数二阶导数. x ke x f =′)()(x f6.(浙江大学) 求，其中(当时). )0()(n f 2)(,0)0(,,2,1−−===x e x f f n "0≠x第六章 微分中值定理及其应用一：典型习题.1. 设在内有二阶可导函数，且)(x f )1,0(0)1(=f ，又，证明：在内至少存在一点)()(2x f x x F =)1,0(ξ，使0)(=′′ξF .2. 设在内二阶可微，)(x f )1,0()1()0(),1()0(f f f f ′=′=，证明：存在)1,0(∈ξ使得2)(=′′ξf .3. 设，证明：0,>b a ),(b a ∈∃ξ，使. )()1(a b e be ae a b −−=−ξξ4. 设函数在点的某一邻域内可导，且其导数在处连续，而)(x f 0x x =)(x f ′0x ),2,1(0"=<<n x n n βα，当∞→n 时，00,x x n n →→βα.证明：)()()(lim0x f f f nn n n n ′=−−∞→αβαβ.5. 设函数在的某一邻域内阶可导，且)(x f 0=x n 0)0()0()0()1(===′=−n f f f "，证明：)1,0(,!)()()(∈=θθnn x n x f x f .6. 设函数在内连续且可导，有)(x f )1,0(0)(lim 0=′+→x f x x ，证明：f 在内一致连续. ]1,0(7. 求下列极限：⑴x arc x x cot )1ln(lim 1−+∞→+； ⑵15sin )(lim 2sin 22−−→x x e x x ππ； ⑶a x xa a x a x a x −−→lim ； ⑷xe x e x x x +−+∞→πarctan 2lim ；⑸⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x ； (6)23arctan 2lim x x x ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑺； ⑻10lim −→+xx x x xx x 1arctan 2lim ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑼()xx x x x 13lim++∞→； ⑽. )1ln(0tan lim x x x −→+⑾xx nx xx n aa a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→",其中.0,,0,021>>>n a a a "8. 设41)1ln(lim2=+++∞→cxce x x ，确定c .9. 利用泰勒公式求下列极限：⑴22220sin 112lim x x x x x +−+→； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11)2(tan lim 430x x e x x x . 10. 设有二阶导数，且)(x f )]()([21)(h x f h x f x f −++≤，试证：. 0)(≥′′x f 11. 设在)(x f R 上二阶可微，且有N x f M x f ≤′′≤)(,)(0.⑴写出)(),(h x f h x f −+关于的有拉格朗日余项的泰勒公式； h ⑵证明：0>∀h ，有2)(hNh M x f +≤； ⑶证明：MN x f 2)(≤′.12. 设在上连续，在)(x f ),[+∞a ),[+∞a 内可导，且0)(>>′k x f (为常数)，又.证明：k 0)(<a f 0)(=x f 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛−k a f a a )(,内有唯一的实根. 13. 设在)(x f ),(+∞−∞内恒满足方程：x e x f x x f x −−=′−+′′−131)]()[1(2)()1(.⑴若在处取得极值，则必为极小值； )(x f )1(≠=a a x ⑵若在处取得极值，是否为极小值？)(x f 1=x14. (詹森不等式)证明；若为上凸函数，f ],[b a 0],,[>∈∀i i b a x λ，),2,1("=i ，且，则：.∑==ni i 11λ∑∑==≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11)(λλ15. 利用函数的凸性，证明：y x ee e y x y x ≠>++,)(212.二：考研荟萃.1.(华中师范大学) 设在上二阶可导，过点与点)(x f ],[b a ))(,(a f a A ))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相交于，其中.))(,(c f c C b c a <<证明：在中至少存在一点),(b a ξ，使0)(=′′ξf .2.(中国科学院) 设10<<<y x 或y x <<1，则y xxy x y >.3.(厦门大学) 设在)(x f ),0[+∞上具有连续二阶导数，又设， 0)0(>f .则在区间),0[,0)(,0)0(+∞∈<′′<′x x f f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−)0()0(,0f f 内至少存在一个ξ， 使0)(=ξf .4.(中山大学) 证明：)20(,2tan sin π<<>+x x x x .5.(北京大学) 设在)(x f ),0[+∞上可微，且满足不等式：),0(,112ln)(02+∞∈∀+++≤≤x xx x x f ．试证明：存在一点),0(+∞∈ξ，使得211122)(ξξξ+−+=′f ． ６.(东北师范大学) 若在)(x f ),(+∞a 内可导，且A x f x =′+∞→)(lim ，则A xx f x =+∞→)(lim.7.(华中科技大学) 设在上连续，在内可微，，)(x f ]1,0[)1,0(0)(>′x f 0)0(),10(=<<f x .证明：存在)1,0(,∈µλ，使得µµλλµλ)()(,1f f ′=′=+.8.(浙江大学) 设在上连续，在内可微，且 )(),(x g x f ],[b a )(x g ),(b a 0)(=a g ，若有实数0≠λ，使得),(,)()()()(b a x x g x g x f x g ∈≤′+λ成立， 证明：.0)(≡x g 9.(复旦大学) 设定义在)(x f )(],,0[x f c ′存在且单调下降，.请 0)0(=f 用拉格朗日定理证明：对于c b a b a ≤+≤≤≤0，恒有)()()(b f a f b a f +≤+．10.(北京科技大学) 设在上连续，在内可微.证明：存在)(x f ]2,1[)2,1()2,1(∈ξ，使得)(21)1()2(2ξξf f f ′=−.第七章 实数的完备性一：典型习题.1. 证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.}{n x }{n x 2. 设在内连续，且f ),(b a 0)(lim )(lim ==−+→→x f x f b x a x .证明：在内有最大值或最小值.f ),(b a 3. 设在内连续，又有，使f ],[b a ],[}{b a x n ⊂A x f n n =∞→)(lim .证明：存在，使得.],[0b a x ∈A x f =)(04. 设函数和都在区间f g I 上一致连续.⑴若I 为有限区间，证明g f ⋅在I 上一致连续；⑵若I 为无限区间，举例说明g f ⋅在I 上不一定一致连续. 5. 设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限f ),(b a ),(b a }{n x )(lim n n x f ∞→都存在，则在上一致连续.f ),(b a 6. 设函数在上连续，且有斜渐近线，即有数和，使得：f ),[+∞a b c 0])([lim =−−+∞→c bx x f x .证明：在上一致连续. f ),[+∞a二：考研荟萃.1.(哈尔滨工业大学) 设在上有定义，且在每一点处极限存在.证明：在上有界.)(x f ],[b a )(x f ],[b a 2.(北京科技大学) 证明：若一组开区间覆盖区间，则存在一正数]1,0[δ，使得中任何两点]1,0[x x ′′′,，满足 δ<′′−′x x 时，必属于某一区间.n I 3.(华中师范大学) 设函数定义在区间)(x f I 上，如果对任何， I x x ∈21, 及)1,0(∈λ，恒有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ−+≤−+. 证明：在区间I 上的任何闭子区间上有界．)(x f ４.(武汉大学) 设函数在区间上无界，试证：在上至少存在一点，使得在此点的邻域无界. )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f第八章 不定积分一：典型习题.1. 一曲线通过点，且在曲线上任一点处切线的斜率都等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.)3,(2e 2. 证明：[]c x f x f dx x f x f x f x f x f +⎦⎤⎢⎣⎡′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′−′∫222)()(21)()()()()(. 3. 设的原函数,且)(x f 0)(>x F 1)0(=F .当时,有 0≥x x x F x f 2sin )()(2= 求.)(x f 4. 已知的一个原函数为)(x f xx xsin 1sin +，计算∫′dx x f x f )()(.5. 已知，计算c x dx x f +=∫2)(dx x xf )1(2∫−.6. 计算下列积分： ⑴dx x∫2sin 12； ⑵dx x x ∫+)cos (sin 44；⑶dx x ea e xx x ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−21； ⑷∫++dx e e x x 113； ⑸∫−+−−+dx x x x x x 221232； (6)dx x x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−211； ⑺； ⑻dx x a x )sin(sin +∫∫dx x x x )ln(ln ln 1；⑼dx xxx2211tan ++∫； ⑽∫+−dx x x n n 112； ⑾∫+dx x x xcos sin sin ； ⑿∫+++dx x x x x e x 1)1(ln 22arctan ； ⒀dx xa x ∫−222； ⒁dx xa x ∫+221；⒂dx a x x∫−2221； ⒃dx x ∫++111；⒄dx ee xx ∫−++111； ⒅dx xx x ∫+ln 1ln ；⒆dx x x ∫+)1(128； ⒇∫xdx x arcsin 2. 7. 计算不定积分：[][]∫′′+′′+dx x f x f x f x f x f )()()()(ln )(ln 2. 8. 建立下列不定积分的递推公式：⑴； ⑵xdx x I n n cos ∫=dx x I n n ∫=arcsin . 9. 计算下列不定积分： ⑴()dx x xx ∫+−22223； ⑵()dx xx ∫+2311；⑶()dx x x x∫−+43sin cos 1sin ； ⑷∫++dx x x 1222.二：考研荟萃.1.(北京大学) 试求不定积分()∫−dx x x 44sin cos 与()∫+dx x x 44sin cos ，进而求出不定积分与∫xdx 4cos ∫xdx 4sin .2.(华东师范大学) 计算：dx xxx ∫+23cos 1sin cos ．3.(复旦大学) 求不定积分dx xxx ∫−+11ln. 4.(山东大学) 求积分. dx x ∫4tan 5.(清华大学) 计算∫>−)1(2x dx e xe xx .6.(上海交通大学) 求⑴dx x x x ∫++2211； ⑵∫++dx xxx cos 1sin .第九章 定积分一：典型习题.1. 证明：若函数在上无界，则在上不可积. )(x f ],[b a )(x f ],[b a2. 证明：若函数在上黎曼可积，且，则∃区间 )(x f ],[b a ∫>ba dx x f 0)( ],[],[b a ⊂βα，在[]βα,上.0)(>x f 3. 设函数在上可积，证明：在上可积. )(x f ],[b a )(x f e ],[b a 4. 利用定积分求下列极限：⑴⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++∞→2222212111lim n n n nn "； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++∞→nn n n n n 4)1(tan 42tan 4tan 1lim πππ"； ⑶n n n n f n f n f n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→"211lim，其中在上连续，且； )(x f ]1,0[0)(>x f ⑷∑=∞→+ni n n i n 1)cos(21sinlim ππ. 5. 比较下列定积分的大小：⑴∫+101dx xx和； ∫+10)1ln(dx x ⑵∫和.−π02cos 2xdx ex ∫−π202cos 2xdx e x 6. 设，证明：存在0>x 10<<θ，使，且∫=xx t xe dt e 0θ1lim =+∞→θx .7. 设函数在上非负连续，证明：)(x f ],[b a )(max )(lim x f dx x f bx a nban n ≤≤∞→=∫.8. 设函数在上连续，且单调递增，证明：)(x f ],[b a ∫∫+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)(.9. 证明：若函数和在上有相同的单调性，则：)(x f )(x g ]1,0[∫∫∫≤1101)()()()(dx x g x f dx x g dx x f ．10.(赫尔德积分不等式)证明：若函数和在上非负连续，且)(x f )(x g ],[b a 1111,,1=+>>qpq p ，则有不等式： [][]b a q pbab a p dx x g dx x f dx x g x f 11)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫． 11.(施瓦茨积分不等式)设函数和在上证明：)(x f )(x g ],[b a [][]21212)()(|)()(|⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫b a bab a dx x g dx x f dx x g x f . 12.(闵可夫斯基积分不等式)证明：若函数和在上非负)(x f )(x g ],[b a 连续，且，则有不等式：1>p [][][]pb a p pb a p pb a p dx x g dx x f dx x g x f 111)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∫∫∫.13.求下列极限:⑴dt e t xe xt xx ∫−∞→0222lim； ⑵dx x nnn ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∞→111ln 1lim； ⑶∫∫−→x x x dtt t t dtt 0230)sin (lim2.14.确定，使得：c b a ,,()[])0(/1ln sin lim20≠=+−∫→c c tdtt xax xbx .15.求下列函数的导数: ⑴；()d t t xx ∫cos sin 2cos π ⑵，，求du u x t ∫=202sin 4cos t y =dxdy .第十章 定积分的应用1. 求内摆线所围成的图形的面积.)0(sin ,cos 33>==a t a y t a x 2. 求两椭圆12222=+b y a x 与)0,0(12222>>=+b a ay b x 所围公共部分的面积.3. 导出曲边梯形b x a x f y ≤≤≤≤),(0绕轴旋转所得立体的体积公式为 .y ∫=ba dx x xf V )(2π4. 求由平面曲线π20),0)(cos 1(),sin (≤≤>−=−=t a t a y t t a x ，绕轴旋转所围成立体的体积.x 5. 求平面曲线πθθ30),0(3sin 3≤≤>=a a r 的弧长.6. 求的值，使椭圆b a ,t b y t a x sin ,cos ==的周长等于正弦函数在xy sin =π20≤≤x 上一段的长.7. 求平面曲线，绕轴旋转所得旋转曲面的面积.)()(222a r r a y x <≤−+x 8. 设平面光滑曲线由试求方程)0)(],,0[],([),(≥⊂≤≤=θπβαβθαθr r r给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 9. 试求试求曲线(双纽线) 绕极轴旋转所得旋转曲面的面积. )0(2cos 222>=a a r θ第十一章 定积分的应用1. 计算下列非正常积分： ⑴∫+∞++021xx dx； ⑵； ∫+∞∞−−−dx e x x x ||)|(| ⑶∫20sin ln πxdx ； ⑷∫−−101)2(xx dx ；⑸∫−312lndx xπ.2. 证明：∫+∞+01cos dx xx收敛，且11cos 0≤+∫∞+dx xx. 3.讨论下列非正常积分的收敛性： ⑴)0(sin 1>∫+∞p dx x xp ； ⑵)0(112≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∫∞+p dx x p p x x ； ⑶∫； ⑷+∞−>0)0(cos k xdx ekxdx x xm∫∞+02sin . 4. 设在)(x f ),1[+∞上连续，),1[+∞∈∀x ，有，且0)(>x f λ−=+∞→x x f x ln )(ln lim. 证明：若1>λ，则收敛.∫+∞1)(dx x f 5. 设且单调减少，证明：与的敛散性相同.0)(>x f ∫+∞a dx x f )(∫+∞a xdx x f 2sin )(6. 设dt tx f x∫=01cos )(，求)0(f ′.7. 设)(x φ为有界的周期函数，周期为T ，且∫=Tc dx x T)(1φ.证明：c dt t t n nn =∫+∞+∞→2)(lim φ.。
极限与连续的习题
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
1. 求 f (x) (1 x) sin x 的间断点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
解: lim (1 x) sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2
x = –1 为第一类可去间断点
lim f (x)
x1
x = 1 为第二类无穷间断点
设计、制作：韩淑霞
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P12 9（1） 讨论x=0时的函数极限
f
(x)
1
x
1
1 2x
f (0 ) 0, f (0) 1,
设计、制作：韩淑霞
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P12 9（2） 求
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
.
lim
x0
2 1
提示: f (0 ) lim a (1 cos x) a
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0 a 1 ln b 2
设计、制作：韩淑霞
1 cos x ~ 1 x2 2
四. 函数的连续性 2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P19 题10. 证明: 若 f (x) 在[a , )内连续, lim f (x) A x
lim ex b x0 (x a)(x 1)
lim
x0
(
x
a)(x ex b
1)
a 1b
0
a 0,b1
x
1
为可去间断点
,
lim
x1
ex b x (x 1)
应用数学基础下册（第二版）习题解答
第十三章 函数、极限与连续典型习题解答与提示习题13-11．（1）不同，定义域不同； （2）不同，对应关系不同；（3）不同，定义域不同； （4）不相同，定义域和对应关系都不相同； （5）相同，定义域和对应关系都相同； （6）相同，定义域和对应关系都相同。
2．（1）()()(),22,11,-∞----+∞ ； （2）[4,4]-； （3）()1,1-； （4）()()1,00,-+∞ ； （5）[0,1]； （6）()()1,Z 22n n n ππ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
3．()()((530,1,,,23464f f ff f πππππ=====。
4．()112310,,,2023342f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
5．（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶；（5）奇函数；（6）非奇非偶。
6．设()1212,1,0,x x x x ∈->，则()()21121212110x x y x y x x x x x --=-=<，所以()y x 在()1,0-内单减。
7．设()1212,0,,x x x x ∈+∞>，则()()112122lg lg lg 0x y x y x x x x -=-=>，所以()y x 在 ()0,+∞内单增。
8．（1）有界； （2）无界。
9．（1）()21sin 1cos 22x x =-，周期为π； （2）sin cos sin sin 2sin cos 244x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，周期为2π；（3）π。
10．（1）2y u a x ==-； （2）3,sin uy u x ==； （3）2,sin ,21y u u x υυ===+； （4）ln ,sin ,xy u u e υυ===；（5）2arccos ,1y u u x ==-； （6）21,arctan ,uy e u x υυ===。
高数第一章习题
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
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例8 设 ( x)在 区 [0,1]上 续 且 (0) = f (1), f 闭 间 连 , f
1 证 必 一 ξ ∈[0,1]使 f (ξ + ) = f (ξ ). 明 有 点 得 2
证明 令 F ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ),
sin( x 2 − 1) ( 4 ) lim ; x→1 x−1
2arcsin 2 x (5) lim ; x→0 3x
(6)下 列 极 限 正 确 的 是 （ ） x x lim （ a） = 0 ( b ) lim =1 x → 0 sin x x → 0 sin x x sin x ( c ) lim = 1 ( d ) lim =1 x → ∞ sin x x→0 x
lim ex −b) = 0 (
x→ 1
b = limex = e
x→ 1
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例6. 设 f (x) 定义在区间
上 , 且对任意实数 , 若 f (x) 在 连续, 连续
证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 提示: 提示
∆x→ 0
lim f (x + ∆x) = lim [ f (x) + f (∆x)]
有无穷间断点 试确定常数 a 及 b .
为无穷间断点, 为无穷间断点 所以
ex −b lim =∞ x→ (x − a)(x −1 0 )
(x − a)(x −1 ) a lim =0 = x x→ 0 1−b e −b a = 0 , b ≠1
函数、极限和连续试题及答案-写写帮文库
••••••••••现在位置: > > 正文函数、极限和连续试题及答案时间：2019-05-14 作者：会员上传简介：写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《函数、极限和连续试题及答案》，但愿对你工作学习有帮助，当然你在写写帮文库还可以找到更多《函数、极限和连续试题及答案》。
极限和连续试题（A卷）1.选择题（正确答案可能不止一个）。
（1）下列数列收敛的是（）。
A.xnn-1n=(-1)nB.xn1n=(-1)nC.xnπn=sinD.xn=2n（2）下列极限存在的有（）。
A.lim1x→∞sinxB.xlim→∞xsinxC.lim11x→02x-D.limn→∞2n2+1（3）下列极限不正确的是（）。
A.lim(x+1)=2B.lim1x→1-x→0x+1=1 12C.lim4x-2xx→2=∞D.xlim→0+e=+∞（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。
A.2-x-1(x→0)B.sinxx(x→0)2C.e-x(x→+∞)D.xx+1(2-sin1x)(x→0)⎧⎪1（5）如果函数f(x)=xsinx,⎪x<0;⎨a,x=0;在x=0处连续，则a、b的值为（⎪⎪⎩xsin1x+b,x>0.A.a=0,b=0B.a=1,b=1C.a=1,b=0D.a=0,b=1 2.求下列极限：（1）lim(x322x→1-3x+1)；（2）xlim→-2(3x+2x-5)；（3）lim1x(1+x-3)；（4）limx-3→0x→2x2+x；x2-8x2（5）limx→3x-3；（6）lim-16x→4x-4；（7）limx2-1x-2x→12x2-x-1；（8）lim；x→2x-2。
）（9）limx→0cosx1+x-1；（10）lim；x→∞xxx3+3x-1x4+3x-1（11）lim；（12）lim；x→∞3x3-xx→∞5x4-x3x3+3x-19x3+3x-1（13）lim；（14）lim；42x→∞x→∞x-xx-1x3.（15）limx→03xsin⎧2-x，x<0⎪23.设f(x)=⎨2x+1，0≤x<1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
高等数学应用题.
第一章 函数 极限 连续问题1. 上岸点的问题有一个士兵P ，在一个半径为R 的圆形游泳池（图1—1）222x y R +≤内游泳，当他位于点（,02R-）时，听到紧急集 合号，于是得马上赶回位于A=（2R ，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v ，陆地上跑步的速度为2v ，求赶回营房 所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。
图1-1解：这里需要求的是时间t 与上岸点M 位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M 的位置数字化，根据本题特点可设(cos ,sin )M R R θθ=其中θ为M 的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。
由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。
该士兵在水中游泳所花的时间为111PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：① 当03πθ≤≤时，有222M A t v '== ② 当3πθπ≤≤时，要先跑一段圆弧MB ，再跑一段且线段BA ，所以2221()(3R t MB BA v v πθ=+=-。
综上所述，可得121203(33t R v πθππθθπ≤≤=-≤≤问题2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。
把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。
解：设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数，2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数，则1()12% 1.12,0f t x x x x =+⋅=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-⋅=≥而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =⨯=<故1()f t ，2()f t 不互为反函数。
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极限与连续的62个典型习题习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 nn m nnn a a a 121)(lim +++∞→ . 解 记},,,m ax {21m a a a a =，则有a a a a a nn n nm n n =≥+++1121)()( ，a a n =∞→lim .另一方面nn nn nm n n m a ma a a a 11121)()()(⋅=≤+++ .因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a nn =⋅∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a nnm nnn =+++∞→121)(lim ，其中 },,m ax {21m a a a a =.例如 9)9531(lim 1=+++∞→nnnnn . 习题2 求 )2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→ .解n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1212+++++<n n n, 即n n n n n n n n n n n n +++++++++<++22222211)2(2)1( )1(2)1(2+++<n n n n214211lim 421lim )2(2)1(lim 2=++=++=++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . 2122211lim )1(2)1(lim 22=+++=+++∞→∞→nn n n n n n n n . 利用两边夹定理知21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n .习题3 求n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ . 解 n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ nn n n ))111()3121()211((lim +-++-+-=∞→ 1)1()111(lim )111(lim -+∞→∞→+-=+-=n n n n n n 11)111()111(lim -+∞→+-⋅+-=n n n n 11)1()111(lim ]))1(11([lim -∞→-+-∞→+-⋅+-+=n n n n n 111--=⋅=e e 习题4 求 ),(11lim 1N n m xxm nx ∈--→.解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是,原式nm t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim121211 . 习题5 求xx x x )1(lim -+∞→.解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,，原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim22+⋅-=-=∞→∞→t t tt ])11()11[(lim 11--∞→-⋅+= t t t t t --∞→-⋅+=)11()11(lim 101==⋅=-e e e . 习题6 求 xx x xe sin 10)23(lim+-→ (∞1型)。
为了利用重要极限，对原式变形xx x e e x xxox xx o x x x o x x xxe x x e x x x e sin 12112sin 1sin 1])211[(lim )212(lim )23(lim ⋅+----+→→→+--+=+--++=+-122sin 1212])211[(lim --⋅+----+→==+--+=e exe x xx x x e x xx o x x习题7 求 2211lim x x x x --++→. 解 原式)211()211)(211(lim2+-+++-++--++=→x x x x x x x x)211(41211lim220+-++--+-++=→x x x x x x x)11)(211()11(2lim2220+-+-++--=→x x x x x x)11)(211(2lim20+-+-++-=→x x x x 41242-=⋅-=. 习题8 求 23564lim2-++∞→x x x x . 解 由于3223564lim 23564lim22=-++=-+++∞→+∞→xxx x x x x x . 而)23()564(lim 23564lim222xx x x x x x x x x -++=-++-∞→∞-→ 32)23()564(lim )23()564(||lim22-=-++-=-++=-∞→-∞→xxx x x x x x x x 23564lim 23564lim22-++≠-++-∞→+∞→x x x x x x x x .故 23564lim 2-++∞→x x x x 不存在。
习题9 研究下列极限 （1）xxx sin lim∞→. ∵ 原式x x x sin 1lim ⋅=∞→，其中01lim =∞→x x ，1|sin |≤x . ∴ 上式极限等于0，即0sin lim=∞→x x x .（2）xx x 1sin lim 0⋅→.因为 1|1sin |≤x，0lim 0=→x x , 所以 01sin lim 0=⋅→xx x . （3）x x x 1sin lim ⋅∞→. 原式111sinlim 11sin lim01===→∞→xx x x xx . 习题10 计算)1,0(,)(lim 10≠>+→a a a x xx x . 解 原式x x x xa a 10)1(lim -→+=xxa xa x x xa a --⋅-→+=10)1(limxx xa xa xx xa a -→--→+⋅=0lim 1])1(lim [ae e a =⋅=1.习题11 1ln ln 1lim 11lim 11lim ln 1ln 11-⋅-=--=--→→→x xx e x e x x x x x x x ααααα αααααα=⨯⨯=--+⋅-=→-→111)]1(1ln[lim ln 1lim 0)1(ln 0ln x x x e x x x . 习题12 已知 51lim 21=-++→xcbx x x ，求c b ,的值。
解 首先01lim 21=++=++→c b c bx x x ，∴c b --=1 原式51)]([lim )1())(1(lim 11=-=--=----=→→c c x x c x x x x， ∴ 6=c ，而 7)61()1(-=+-=+-=c b . 习题13 下列演算是否正确？01sin sin 1lim sin 1sinlim202201=⋅⋅=↓↓→→有界x xx x x x x x x .习题14 求)sin 1(sin lim x x x -++∞→. 解 原式21cos 21sin 2lim xx x x x ++⋅-+=+∞→21cos )1(21sinlim 2xx x x x ++⋅++=+∞→0=.习题15 求 1sin lim232+⋅∞→x x x x .解 ∵0111lim 1lim332=+=+∞→∞→xx x xx x ，1|sin |2≤x ，原式 = 0. 习题16 证明 )()(lim n m k bx k x e nx m x -+∞→=++（b k n m ,,,为常数）。
证 bx k x b x k x nx n m n x n x m x +∞→+∞→+-++=++))((lim )(lim （令y n x 11=+） bn y k y b kx y yn m n x m x +-∞→+∞→-+=++=)()1(lim )(lim bn k n m yn m k y yn m +--⋅-∞→-+=)()1(lim b n k y n m k n m yy yn m y n m +-∞→--∞→-+⋅-+=)1(lim ])1[(lim )()()(1n m k n m k e e --=⋅=.习题17 求 xx x 30)sin 1(lim-→. 解 原式3sin 3sin 10))sin (1(lim -⋅-⋅-→=-+=e x x xx x .习题18 求 ax ax ax --→ln ln lim. 解 (连续性法) 原式a x a x a x axa x a x -→→=-=1)ln(lim ln 1lima a x aa x a a x aa x a a x a a x 11])1(lim ln[]1ln[lim -→⋅-→-+=-+= ae a e a 1ln 1ln 1===.习题19 试证方程 b x a x +=sin （其中0,0>>b a ）至少有一个正根，并且它不大于b a +.证 设x b x a x f -+=sin )(，此初等函数在数轴上连续，∴)(x f 在],0[b a +上必连续。
∵,0)0(>=b f 而0]1)[sin()()sin()(≤-+=++-+=+b a a b b a b a a b a f 若0)(=+b a f ，则b a +就是方程b x a x +=sin 的一个正根。
若0)(<+b a f ，则由零点存在定理可知在),0(b a +内至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf .即.sin b a +=ξξ故方程 b x a x +=sin 至少有一正根，且不大于b a +. 习题21 求xx x cos 110)(cos lim -→.解 原式111cos 1})]1(cos 1{[lim ---→=-+=e x x x .习题20 设}{n x 满足0>n x 且 .1lim 1<=-∞→r x x n nn试证.0lim =∞→n n x证 ,1lim 1<=-∞→r x x n n n 取,,021N r ∃>-=ε使得当N n >时有 ,211r r x x n n -=<--ε即,212101+=-+<<-r r r x x n n 亦即,1210-+<<n n x r x 于是递推得 N Nn n n n x r x r x r x -<<--++<+<<)21()21(210...221 ,0)21(lim ,121=+∴<+-∞→N Nn n x r r从而由两边夹准则有 .0lim =∞→n n x 习题22 用定义研究函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0011)(x x xx x f 的连续性。