西南大学线性代数作业答案
西南大学21春[0178]《高数选讲》(上、下、线性代数)作业答案
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西南大学培训与继续教育学院课程代码： 0178 学年学季：20211单项选择题1、设是的一个原函数，则 [ ]....2、设A为3阶方阵，，则. 36. 54. 6. 183、矩阵A与矩阵B相似，则下列论断错误的是 [ ]. A与B有相同的特征向量. A与B有相同的特征值. A与B有相同的特征多项式. A与B的秩相同4、已知，则[ ]....5、设积分区域D是由曲线 y=1, y=0, x=1, x=0 围成的区域，则二重积分[ ]. 1/4. 1/2. 2. 16、设二维随机变量（ξ，η）的联合密度函数和分布函数分别为，则下式不成立的是 [ ] .对任意的，有...对任意的，有7、设A、 B、 C、D表示四个事件，则表示 [ ]. A、B、C、D中有一个不发生. A、B、D都发生，而C不发生. A、B、C、D中有一个发生. A、B、C、D中至多有三个发生8、齐次线性方程组的基础解系的向量个数 [ ]. 4. 2. 5. 39、已知，则[ ]. -1. 1. 0.10、[ ].. 2. 0. 111、[ ]. A....12、微分方程的阶数 [ ]. 1. 3. 2. 013、当时，，均为无穷小量，则 [ ].是的高阶无穷小量.是的低阶无穷小量.和是等价无穷小量.和是同阶但非等价无穷小量14、若，则 [ ]. F....15、有50个产品，其中46个正品，4个次品，现从中抽取5次，每次任取1个（取后不放回）产品，则取到的5个产品都是正品的概率为[ ]. B....16、设函数，则[ ].有2个间断点.有3个间断点.有1个间断点.无间断点17、设函数在点处可导，，则[ ] . -2A. 2A. A. 018、设随机变量的密度函数则常数A= [ ]. 1/2. 1/3. 3. 119、设A、 B、 C均为n阶方阵，下列各式不成立的是A. B.C. D.....20、行列式的值为 [ ]. abcdefg. -acef. aceg. acef判断题21、积分. A.√. B.×22、函数展开的傅里叶余弦级数为. A.√. B.×23、设向量组线性无关，则向量组线性相关。
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
西南交大线性代数习题参考答案
西南交大线性代数习题参考答案第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。
(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。
(4) 在6阶行列式中， 含152332445166aa a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a a a a a a的项的符号为 。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值(1)1122233233000a a a a a解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。
(2)12,121,21,11,12,100000n n n nn n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比nn-2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）21141183---（2）222111a b c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式 (1)()33ax byay bzaz bxxy z D ay bz az bx ax by a b yz x az bx ax by ay bz zxy+++=+++=++++（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2) ()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n nnn n xx x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
西南大学网络教育线性代数作业
1、矩阵的伴随矩阵是（）....2、矩阵A适合条件[ ]时，它的秩为r.. A中任何r+1列线性相关；. A中任何r列线性相关；. A中有r列线性无关；. A中线性无关的列向量最多有r个.3、若齐次线性方程组有非零解，则必须满足[ ] . k=4. k=-1.k≠-1且k≠4. k=-1或k=44、下列n（n＞2）阶行列式的值必为零的是[ ].行列式主对角线上的元素全为零.该行列式为三角行列式.行列式中零元素的个数多于n个.行列式中非零元素的个数少于n个5、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。
....6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。
. A有n个特征值. A有n个线性无关的特征向量. A的行列式不等于零. A的特征多项式没有重根7、A，B是n阶矩阵，则的充分必要条件是[ ] . AB=BA. A=0. B=0. A=B8、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ]。
.惟一存在.共有n－r个.含有n－r个向量.含有无穷多个向量9、设A，B均为n阶可逆矩阵，则[ ]。
. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆. (AB)-1=A-1B-110、行列式D=0的必要条件是[ ]。
. D中有两行（列）元素对应成比例. D中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0. D中存在一行元素全为0. D中任意一行各元素可用行列式的性质化为0.11、的充分必要条件是（）....12、A与B是两个相似的n阶矩阵,则（）.存在非奇异矩阵P,使..存在对角矩阵D,使A与B都相似于D.13、一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是（）.含有零向量；.有一个向量是其余向量的线性组合；.有两个向量的对应分量成比例；.每一个向量是其余向量的线性组合.14、设A ，B均为n阶可逆矩阵，则（）. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆.15、两个n阶初等矩阵的乘积为（）.初等矩阵.单位矩阵.不可逆矩阵.可逆矩阵16、若A=,B=,其中是的代数余子式，则（）。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
西南大学[0044]线性代数大作业答案春季
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0044 20201单项选择题1、....2、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是（）.style="text-indent:32px">A与B有相同的特征值... A = B..R(A) = R(B)3、....4、....5、....6、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关7、.0.1..0或1..8、.2.4..19、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示.必有两列元素对应成比例.任一列向量是其余列向量的线性组合.必有一列元素全为010、. D. A有n个互异特征值.A是实对称阵.A有n个线性无关的特征向量.A的特征向量两两正交判断题11、. A.√. B.×12、. A.√. B.×13、. A.√. B.×14、. A.√. B.×15、. A.√. B.×16、. A.√. B.×17、. A.√. B.×18、. A.√. B.×19、. A.√. B.×20、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×21、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ) . A.√. B.×22、. A.√. B.×23、. A.√. B.×24、. A.√. B.×主观题25、参考答案：26、参考答案：27、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3，则|A + E| = ( ).参考答案：2428、参考答案：29、参考答案：30、参考答案：31、参考答案：k>132、参考答案：333、参考答案：34、参考答案：35、参考答案：36、参考答案：237、参考答案：38、设线性方程组A x =0，A是4×5阶矩阵，如果R(A)=3，则其解空间的维数为( ).参考答案：239、参考答案：40、参考答案：41、参考答案：42、参考答案：43、参考答案：44、参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、2.参考答案：49、参考答案：50、参考答案：51、参考答案：52、1.参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。
西南大学[0343]《线性代数》大作业答案
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3.
A 中有 r 列线性无关；
4.
A 中线性无关的列向量最多有 r 个.
3、若齐次线性方程组
有非零解，则必须满足[ ]
1.
k=4
2.
k=-1
3.
k≠-1 且 k≠4
4.
k=-1 或 k=4
4、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。
1.
2.
3.
4.
5、n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。
___ ___
40、行列式 参考答案：
-11
中元素-2 的代数余子式是_____
41、行列式 参考答案：
8
元素 x 的代数余子式是 ．
42、行列式
=
。
参考答案：
0
43、 参考答案：
相
是 3 维向量组,则
线性 关。
44、矩阵 参考答案：
的伴随矩阵是
。
45、行列式 参考答案： 0
，则 =
46、设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若由
1.
A.√
2.
B.×
24、Ａ是ｎ阶正交矩阵，则
.
1.
A.√
2.
B.×
25、若 A,B 均为 n 阶可逆矩阵，则 AB 可逆。
1.
A.√
2.
B.×
主观题
26、设向量组
线性无关，则向量组
线性__________关。
参考答案： 无
27、已知 4 阶行列式中第 3 列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为 5，3，-7，4，则 D=________ 参考答案：
1.
A.√
2.
B.×
20、齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.。 ( )
西南大学网络与继续教育学院秋季线性代数考试答案
令 X1 = 0， 的特解：
- 14λ + 40 = （λ -4） （λ -10）= 0 = 4 时，齐次线性方程组（A-4E）χ = ，k1 ≠ 0；
χ χ χ χ
=
的基础解系为
，于是对应
于λ = 4 的特征向量为 k1 当λ
= 10 时，齐次线性方程组（A-10E）χ = ，k2 ≠ 0；
=
的基础解系为
，
于是对应于λ = 4 的特征向量为 k2
二、大作业要求：
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：计算机科学与技术 20XX 年 12 月 A卷 满分：100 分
大作业共需要完成三道题： 第 1-2 题选作一题，满分 30 分； 第 3-4 题选作一题，满分 30 分； 第 5 题必作，满分 40 分。
课程名称【编号】 ：线性代数【0044】 大作业
由于
=8 ≠ 0 ，
所以 k1 = k2 = k3= 0， 因此向量组 β1，β2，β3 线性无关
3 －1 3. 已知 A = ，求其特征值与特征向量. 7 11
*
=
对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ
=
， 所以原线性方程组的结构解为：
X=k
2 2 2 4.用正交变换化二次型 f (x1, x2, x3)= 2x1 3x2 3x3 2x2 x3 为标准型，并给出所用的正交变换.
一、 大作业题目：
西南大学线性代数作业答案
第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。
2．排列45312的逆序数为 5 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。
6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。
（精选）线性代数课后作业及参考答案
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
西南大学《线性代数》网上作业题及答案
[0044]《线性代数》网上作业题答案第一次作业[论述题]线性代数模拟试题一参考答案：线性代数模拟试题一参考答案一、填空题1、k >1.2、-4.3、3.4、-1, -2, 1.5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020091. 二、单选题1—5: ACCBA 三、判断题1—5: √√√√×四 Solution 根据1T 1)2(--=-C A B C E ，得1T 1)2(--=-CC A B C E C ，于是E A B C =-T )2(，所以1T )2(--=B C A . 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10002100321043212B C ，因此()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--100021001210012121B C , 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A . 五、Solution 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110321αααP ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1000200021PAP .由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0111110111P，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2443543321221P P A .六、Solution 由于432,,ααα线性无关，3212ααα-=, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量.由3212ααα-=, 即0=+-3212ααα，得0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121),,,(4321αααα，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121是Ax = 0的基础解系.又因为4321ααααb +++=，所以b A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111111),,,(4321, 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111*η是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110121k ,其中k 为任意常数.七、Proof 因为0=2A ，于是,3)()(≤+A A R R 因此223)(<≤A R . 又因为A ≠ 0，所以1)(≥A R ， 所以1)(=A R .八、Solution 2)3(111111111λλλλλ+=+++=A .(1) 当03≠-≠λλ且时，有0||≠A ，方程组有唯一解.(2) 当3-=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211321131210112B . 于是2)()(==B A R R ，方程组有无穷多解，解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021111k x ，(k 为任意常数)(3) 当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111B ，由此可知)()(B A R R ≠，原线性方程组无解.第二次作业 [论述题]线性代数模拟试题二参考答案：线性代数模拟试题二参考答案一、填空题 1. 2.2. y x 23≠.3. s r ≤.4. -4.5. 0. 二、单选题 1—5: DDCBA 三、判断题 1—5: × √ √ √ √四、Solution 显然|A | = 1 ≠ 0，于是A 可逆，因为E AB A =-2，所以AB E A =-2，两边左乘1-A ，得1--=A A B . 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-100100110010211001100100110010101011100100010110001111,211323r r r r r r E A所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001102111A，进而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000200320B .五、Proof 若x Ax λ=，则x x x x A x A x A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+--λλλλ11)(221212，所以λλ12+是12-+A A 的特征值.六、Solution 12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为一个极大无关组，41232133αααα=++，512311033αααα=-++.七、Solution 由于 ()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102A E λλλλλλλλλ---=--=----+=---，于是A 的所有特征值为1, 2.当1=λ时，解线性方程组0=-x E A )(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211k ，其中01≠k 为任意常数.当2=λ时，解线性方程组0=-x E A )2(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002k ，其中02≠k 为任意常数.八、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021021124102102110122121122222 (1) 当2≠k 且3-≠k 时，线性方程组有惟一解.(2) 当2=k 时，有,3)(,2)(==B A R R 原线性方程组无解.(3) 当0)3(=+k k 时, 有),()(B A R R =原线性方程组有解.当0=k 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020002100211001200210211, 这时线性方程组只有零解. 当3-=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000065103211651065103211091293213211, 这时方程组有无穷多解.第三次作业[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案一、填空题 1. 2. 2. 2.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 1211. 4. a = 0, b = 2/1. 5. =a -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√四、Solutiony y y x x y y x xr r --+-+=-+-++-001111111111111111111111111111431yx xy y y x xc c 11011011)1)((00111101*********4-+--=--+=++-22233]1)1)(1[(1111)1()(y x x x y xx y y =--+-=-+--=+.五、Solution 因为04111111111||≠=---=A , 所以A 可逆. 由于E E A AA 4||*==, 根据X A X A 21*+=-，有)2(1*X AA X A A +⋅=⋅-，进而AX E X 24+=. 于是E X A E =-)24(，因而1)24(--=A E X .由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2222222221111111112100010001424A E ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)24(1A E X .六、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=210000321000213121642000210000213121431121636242213121B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→210000101000300121210000321000750121 于是R (A ) = R (B ) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00101,00012.而原线性方程组的特解可取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003，因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100300101000122154321k k x x x x x (21,k k 为任意常数).七、Solution 由于A 与B 相似，于是E B E A λλ-=-，由此可得出x = 2，进而A 的特征值为0, 3, 2.当0=λ时，A 对应的特征向量为0,01111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k k 。
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
西南大学22春[0044]《线性代数》在线作业答案
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0044 20221单项选择题1、（）1.2.3.4.2、（）1.2.3.4.3、（1. 42. 13. 34. 24、（）1.2.3.4.5、（）1.A的列向量组线性无关2.A的列向量组线性相关3.A的行向量组线性无关4.A的行向量组线性相关6、（）1.2.3.4.7、1.2,4,62.1, 2, 33.1/2, 1, 3/24.2, 1, 2/38、（）1.必有一列元素全为02.必有两列元素对应成比例3.必有一列向量可有其余列向量线性表示4.任一列向量是其余列向量的线性组合9、（）1.有无穷多个解2.以上选项都不对3.存在唯一解4.无解10、（1.2.3.4.11、在下列矩阵中，可逆的矩阵是（）1.2.3.4.12、（）1.2.3.4.13、下列关于未知量x,y,z的方程是线性方程的是（）1.2.3.4.14、（）1. A. 0，1，22.1，2，33.1，2，3，44.0，1，2，315、（）1.2.3.4.16、（）1.-22. 13. 24.-117、（）1.162.483.-164.-4818、（）1.-102.103. 54.-519、（）1.2.3.4.20、（）1.2.3.4.21、（）1.162. 23.84. 422、设A为n阶方阵, 且秩R(A) = r< n, 那么A的列向量组的秩（）1. F. 小于r2.等于n3.等于r4.大于r23、（）1.2.3.4.24、（）1.将B矩阵的第二行加到第一行2.将B矩阵的第二列加到第一列3.AB=BA4.r(AB)=225、以123456为标准排列，则排列253146的逆序数是（）1. 42. 33. 54. 226、设A, B均为n阶方阵, E为n阶单位矩阵, 则有（）1.2.3.4.27、（）1. E.2.3.4.28、（）1.存在非零解2.无解3.以上选项都不对4.只有零解29、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为-1，1，-7. 则|B| =（）1.122.1/123.1/74.730、设n阶方阵A秩为n，下式不正确的是（）1.2.3.4.31、（）1.-32.-23. 24. 332、（）1.2.3.4.33、（1.2.3.4.34、（）1.2.3.4.35、（）1.无解2.以上选项都不对3.有无穷多个解4.存在唯一解36、（）1.2.3.4.37、如果n阶矩阵A的一个特征值为3, 那么必有（）1.2.3.4.38、（）1.-22. 33. 24.039、（）1. 32. 23. 14.040、（）1.2.3.4.以上选项都不对41、（）1.(1，1，0)2.(-3，0，2)3.(0，-1，0)4.(2，1，1)42、以123456为标准排列，则排列154236的逆序数是（）1. 52. 33. 24. 443、（）1.2.3.4.44、（）1.2.3.4.45、（）1. 42. 23. 34. 146、（）1. 22. 13.0，14.1，247、（）1. B.2.A3.4.48、（）1.2.3.4.49、（）1. 12. 33. 24. 450、（）1. 32.3.4.判断题51、齐次线性方程组的基础解系是该方程组的所有解向量构成的向量组的极大无关组。
西南【1100】线性代数（一）20年6月机考大作业参考答案
西南【1100】线性代数（一）20年6月机考大作业参考答案西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学教育课程名称【编号】：线性代数(一)【1100】A卷大作业满分：100分要答案：wangjiaofudao一、单选题(每题4分,共32分)1、若，则必须满足（）C、可为任意数D、均可为任意数2、下列选项中不是五阶行列式中的一项的是（）3、设A,B，C均为n阶矩阵,若由能推出,则A应满足（）4、设矩阵，仅有零解的充要条件是（）A、A的列向量组线性无关B、A的列向量组线性相关C、A的行向量组线性无关D、A的行向量组线性相关5、下述结论中，不正确的是（）A、若向量与正交，则对任意实数与也正交;B、若向量与向量都正交，则与的任一组线性组合也正交C、若向量与正交，则与中至少有一个是零向量D、若向量与任意同维向量正交，则是零向量6、设A为n阶实对称矩阵，则（）A、A的n个特征向量两两正交B、A的n个特征向量组成单位正交向量组'C、A的重特征值，有D、A的重特征值，有7、三阶矩阵A的特征值为-2，1，3.则下列矩阵中非奇异矩阵是（）8、设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，则（）B、A与B有相同的特征值和特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数，相似二、判断题(每题4分,共28分)1、两个向量的内积一定大于零（）2、余子式和对应的代数余子式一定不相等（）。
3、任意两个矩阵都可以相加（）。
4、初等矩阵的乘积是初等矩阵（）。
5、单位矩阵是标准型是自己（）。
6、等价的向量组里向量个数一定相同（）。
7、线性方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程组一定有解（）。
三、名词解释(每题5分,共10分)1、非奇异矩阵2、特征向量四、计算题（每题10分，共20分）1、解下列方程组求矩阵P使得P-1AP是对角阵,其中A=.五、证明题(10分)对任意n阶矩阵A，证明+是对称矩阵。
西南交大线性代数习题参考答案
西南交大线性代数习题参考答案第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含324314516625a a a a a a 的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11222332330000a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2) 12,121,21,11,12,1000000n n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------L L MM M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111a bc a b c。
《线性代数》[0044]2020 秋季 大作业答案
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学期：2020年秋季
课程名称【课程编号】： 线性代数 【0044】A卷
考试类别:大作业 满分：100分
）
1、什么是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵？
2、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。
3、求解上述线性方程组
一、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)什么该方程有非零解的等价条件为|a-λe|=0
因此要求a的特征值，即求满足这个行列式的λ值即可；而特征向量就是该线性方程组的非零解。
(b)求解矩阵 的特征值和特征向量。
(b)设4阶方阵A、B、C满足方程 ，试求矩阵A，其中 ， 。
（a）设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵
（b）
二、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)阐述方阵的特征值和特征向量的定义。
对于方阵a,存在一个非零向量x和实数λ，使得ax=λx成立，则称λ为矩阵的特征值，x称为a相对于λ的特征向量。
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西南大学线性代数作业答案第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ija 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。
2．排列45312的逆序数为 5 。
3．行列式25112214---x 中元素x 的代数余子式是8 ．4．行列式102325403--中元素-2的代数余子式是—11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。
6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。
3．设α0是线性方程组A x =b 的一个固定解，设z 是导出方程组的某个解，则线性方程组A x =b 的任意一个解β可表示为β= α0+z.4．若n 元线性方程组A x =b 有解，R （A ）=r ，则当 [r =n 时，有惟一解；当 ,r ＜n 时，有无穷多解。
5．A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组A x =0有非零解的充要条件是 R （A ）＜n .6．n 元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。
7 线性方程组Ax =b 有解的充要条件是r (Ab )=r (A ) 。
8．设1u 是线性方程组A x =b 的一个特解，r n v v v -,,,21Λ是其导出组的基础解系，则线性方程组A x =b 的全部解可以表示为u =r n r n v c v c v c u --++++Λ221111．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-+-=+-22334731243214321421x x x x x x x x x x x 的通解.答案：通解为：x=k 1),(001010110121212R k k k ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 答案：基础解系为v 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1001,00122v3．求非齐次线性方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+-+322212432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+121023123434241x x x x x x ，通解为)(21330101R k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 4 求方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=--+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：化为同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-757975767171432431x x x x x x通解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00757610797101757121k k x 5．已知线性方程组1324321=+++x x x x4324321-=-++x x x x 4234321-=---x x x x 6324321-=--+x x x x（1）求增广矩阵（Ab ）的秩r （Ab ）与系数矩阵A 的秩r （A ）； （2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。
答案：（1）r （Ab ）=r （A ）=4 （2）有唯一解。
x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1 ,b= 3 .2．已知向量1α=（1，2，3），2α=（3，2，1），则31α+22α= （9，10，11） ，1α-2α= （-2，0，2） ．3．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组1α，1α+2α，1α+2α+3α线性 无关 ．4．设向量321,,a a a 线性无关，则3212,,a a a 线性 无关 。
5．设向量321,,a a a 线性无关，则向量0,,,321a a a 线性 相关 ． 6. 4321,,,αααα 是3维向量组,则4321,,,αααα线性 相 关. 7．零向量是线性 相关 的，非零向量α是线性 无关 的.线性关系部分证明题1 证明：如果向量组γβα,,线性无关，则向量组αγγββα+++,,亦线性无关．证明：设有一组数321,,k k k ，使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由于γβα,,线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 因为其系数行列式02110011101≠=，所以方程组只有零解，即0321===k k k ．向量组αγγββα+++,,线性无关得证． 2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr 线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr 与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？答案：等价。
因为β可由α1，α2，…，αr 线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr ，使β=λ1α1+λ2α2+…+λr αr ，λr ≠0 ①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr 线性表示。
由式①有,1112211βλαλλαλλαλλαrr r r r r r +----=--Λ 即α1，α2，…，αr 也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。
3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。
所以以下只证α1+α2，2α1－α2线性无关。
设有一组数λ1，λ2，使得λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，即 （λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0， 因α1，α2线性无关，故⎩⎨⎧=-=+.0,022121λλλλ 而,031121≠-=-所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基础解系。
4．已知)2,5,3(),0,2,2(),1,0,1(321-=-=-=ααα，判定此向量组是线性相关还是线性无关。
答案：线性相关。
5．设1σ=（1，1，2）T ，2σ=（1，2，3）T ，3σ=（1，3，t ）T请问当t 为何值时，1σ，2σ，3σ线性相关？并将3σ用1σ，2σ线性表示．答案：当t =4时，1σ，2σ，3σ线性相关。
3σ＝－1σ＋２2σ．.6 , 设s ααα,,,21Λ线性无关，而βααα,,,,21s Λ线性相关，则β能由s ααα,,,21Λ线性表示，且表示法惟一。
答案：因βααα,,,,21s Λ线性相关，故有k k k k s ,,,,21Λ不全为零，使2211ααk k +.0=++βαk k s s Λ要证β可由s ααα,,,21Λ线性表示，只要证明0≠k ，假设k =0，则s k k k ,,,21Λ不全为零，且有2211ααk k +.0=+s s k αΛ故s ααα,,,21Λ线性相关，矛盾，所以0≠k 。
设有个表示式s s αλαλαλβΛ++=2211s s αμαμαμβΛ++=2211两式相减得0)()()(222111=-++-+-s s s αμλαμλαμλΛ因s ααα,,,21Λ线性无关，所以0=-i i μλ，即).,2,1(s i ii Λ==μλ所以表示法惟一。
第四次特征值部分选择题1. Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［A ］ （Ａ）1±=A （Ｂ）EAA=*（Ｃ）AAT=（Ｄ）AA=-12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵,则[ A ] (A) 存在非奇异矩阵P,使BAP P =-1(B) |A|≠|B|(C) 存在对角矩阵D,使A 与B 都相似于D (D)B I A I -=-λλ3 下列结论中,错误的有( B)(A) 若向量α与β正交,则对任意实数a,b, αa 与βb 也正交(B) 若向量β与向量21,αα都正交,则β与21,αα的任一线性组合也正交(C) 若向量α与β正交,则α与β中至少有一个是零向量(D) 若向量α与任意同维向量正交,则 α是零向量4 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101011A ,则A 的特征值为[ C ](A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2(D) -1,1,15 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是[B](A) A 有n 个特征值(B) A 有n 个线性无关的特征向量(C) A 的行列式不等于零(D) A 的特征多项式没有重根《线性代数》1.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有：B:行列式非零元素的个数小于n 个。