导数的概念PPT优秀课件
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第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
(完整版)导数的定义
设运动规律 s s(t )（例如自由落体 : s 1 gt 2 ) ,
2
求在t t0时刻的瞬时速度v ( t0 ).
设从时刻 t0 到 t0 t 的运动位移为 s
s s ( t0 t ) s ( t0 )
s s( t0 t ) s( t0 )
t
t
Δt 很小，速度近乎均匀，则
平均速度
s(t0 )
s(t0 t)
s
s t v(t0 )
令 t t) 1 gt 2 2
s s(t0 t) s(t0 )
t
t
1 2
g(t0
t)2
1 2
gt
2 0
t
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
★ 函数f(x)在点x0的导数 f (x0 ) ，
正是该函数的导数 f (x) 在该点x0的值 ，
即
f (x0 ) f (x) |xx0
例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2 。
解 先求导函数
y
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
A,称 A为
f ( x)在 x0 的左导数，记作
f' ( x0 ),
f '( x0 0)。
若 lim x x0
《导数概念》课件
《导数概念》PPT课件
欢迎来到《导数概念》PPT课件！本课程将介绍导数的基本概念和应用，帮助 你深入理解这一重要数学概念。
什么是导数
导数是描述函数变化率的概念。它表示函数在特定点的切线斜率，是研究曲线变化的关键工具。
导数表示方式
导数可以表示为函数的微分形式或极限形式。微分写作dy/dx，而极限写作 lim[f(x+h)-f(x)]/h。
函数的导数
通过对函数求导数，我们可以得到函数的导函数，即函数的每个点的切线斜率函数。
常见函数的导数
常见函数如多项式、三角函数和指数函数都有特定的导数规律，了解这些规 律可以简化求导过程。
导数的几何意义
导数在几何中表示曲线的切线斜率。它可以帮助我们理解曲线的变化率和曲 线在特定点的性质。
导数定义的两种方法
导数可以通过函数的微分或极限定义。微分定义使用导数运算符，而极限定义使用导数的极限表达式。
左பைடு நூலகம்数和右导数
在某些函数不连续的情况下，左导数和右导数可以帮助我们确定导数的存在 性和特定点的切线斜率。
欢迎来到《导数概念》PPT课件！本课程将介绍导数的基本概念和应用，帮助 你深入理解这一重要数学概念。
什么是导数
导数是描述函数变化率的概念。它表示函数在特定点的切线斜率，是研究曲线变化的关键工具。
导数表示方式
导数可以表示为函数的微分形式或极限形式。微分写作dy/dx，而极限写作 lim[f(x+h)-f(x)]/h。
函数的导数
通过对函数求导数，我们可以得到函数的导函数，即函数的每个点的切线斜率函数。
常见函数的导数
常见函数如多项式、三角函数和指数函数都有特定的导数规律，了解这些规 律可以简化求导过程。
导数的几何意义
导数在几何中表示曲线的切线斜率。它可以帮助我们理解曲线的变化率和曲 线在特定点的性质。
导数定义的两种方法
导数可以通过函数的微分或极限定义。微分定义使用导数运算符，而极限定义使用导数的极限表达式。
左பைடு நூலகம்数和右导数
在某些函数不连续的情况下，左导数和右导数可以帮助我们确定导数的存在 性和特定点的切线斜率。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
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备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念-课件-曲线的切线和瞬时速度
速度定义
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线 上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时 间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以 使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义： 导数的计算： 曲线的切线： 切线与瞬时速度： 导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即 函数在某一点的导数等于该 点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函 数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。 例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通 过幂规则计算。
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线 上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时 间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以 使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义： 导数的计算： 曲线的切线： 切线与瞬时速度： 导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即 函数在某一点的导数等于该 点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函 数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。 例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通 过幂规则计算。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
导数概念ppt
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
下页 18
（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
ppt课件
下页 23
例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
下页 22
（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
导数的概念课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
导数的概念2(PPT)2-2
一.导数的概念
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变
量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，若
极限 lim y lim f (x0 x) f (x存0) 在，则此极限称为f(x)在
x x0
x0
x
点x=x0处的导数，记为f '(x0)，或y|
的尘埃颗粒。散失的大气不断地被一些机制所替换，如被行星引力场俘获的火山蒸汽以及两极的冰冠的除气作用。[]水星之铁水星所含有的铁的百分率超过任何其他已知的星系行星。这里有数个的理论被提出来说明水星的高金属性。一个理论说本来水星有一
个和普通球粒状陨石相似的金属—硅酸盐比率。那时它的质量是目前质
•
即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝
f ’(x0)．所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方
程为
yy0=f ’(x0)·(x－x0)．
(3).边际成本 设C为成本,q为产量,成本与产量的函
数关系式为C=C(q),当产量为q0时的边际成本为
C(q)在q=q0处的导数
来的冰。在太阳的强烈辐射轰击下，水星大气被向后压缩延伸开去，在背阳处形成一个“尾巴”，就像一颗巨大的彗星。然而更诡异的一点是，水星事实上还在不断的损失其大气气体成分。组成水星大气的原子不断的被遗失到太空之中，由于钾或钠原子在一 个水星日（一个水星日——在其近日点一日时间的一半）上大约有小时的平均“寿命”。因此，正如所罗门博士指出的那样“你需要不断的进行补充方能维持大气层的存在。”科学家们认为水星的补充方式是捕获太阳辐射的粒子，以及被微型陨石撞击后溅起
又大的铁镍内核直径超过水星直径的/，有整个月球那么大。水星磁场强度只有地球的%，磁力线的分布图形简直就是地球磁场按比例的缩影。大气层水星上有极稀薄的大气，大气压小于×百帕大气中含有氦、氢、氧、碳、氩、氖、氙等元素。由于大气非常稀 薄，水星的表面白天和夜晚的温度相差很大，实际上水星大气中的气体分子与水星表面相撞的频密程度比它们之间互相相撞要高。出于这些原因，水星应被视为是没有大气的。水星的大气非常少，主要成份为氦（%）、钠（气体）（%）和氧（%），而且在白天
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变
量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，若
极限 lim y lim f (x0 x) f (x存0) 在，则此极限称为f(x)在
x x0
x0
x
点x=x0处的导数，记为f '(x0)，或y|
的尘埃颗粒。散失的大气不断地被一些机制所替换，如被行星引力场俘获的火山蒸汽以及两极的冰冠的除气作用。[]水星之铁水星所含有的铁的百分率超过任何其他已知的星系行星。这里有数个的理论被提出来说明水星的高金属性。一个理论说本来水星有一
个和普通球粒状陨石相似的金属—硅酸盐比率。那时它的质量是目前质
•
即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝
f ’(x0)．所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方
程为
yy0=f ’(x0)·(x－x0)．
(3).边际成本 设C为成本,q为产量,成本与产量的函
数关系式为C=C(q),当产量为q0时的边际成本为
C(q)在q=q0处的导数
来的冰。在太阳的强烈辐射轰击下，水星大气被向后压缩延伸开去，在背阳处形成一个“尾巴”，就像一颗巨大的彗星。然而更诡异的一点是，水星事实上还在不断的损失其大气气体成分。组成水星大气的原子不断的被遗失到太空之中，由于钾或钠原子在一 个水星日（一个水星日——在其近日点一日时间的一半）上大约有小时的平均“寿命”。因此，正如所罗门博士指出的那样“你需要不断的进行补充方能维持大气层的存在。”科学家们认为水星的补充方式是捕获太阳辐射的粒子，以及被微型陨石撞击后溅起
又大的铁镍内核直径超过水星直径的/，有整个月球那么大。水星磁场强度只有地球的%，磁力线的分布图形简直就是地球磁场按比例的缩影。大气层水星上有极稀薄的大气，大气压小于×百帕大气中含有氦、氢、氧、碳、氩、氖、氙等元素。由于大气非常稀 薄，水星的表面白天和夜晚的温度相差很大，实际上水星大气中的气体分子与水星表面相撞的频密程度比它们之间互相相撞要高。出于这些原因，水星应被视为是没有大气的。水星的大气非常少，主要成份为氦（%）、钠（气体）（%）和氧（%），而且在白天
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作业与思考
复习思考题 P49 4
作业题 P49:3, 5 (1)(2)(4) (6)(7)(10).
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0
的导数不存在). 特别
若 lx i0m f(x0 xx )f(x0) (不可 )，导
也f称 (x)在 x0的导 为数 无. 穷大
注2.导数定义还有其他等价形式,
f(x0)lh i0m f(x0h h )f(x0);
x22x x( x)2x2
(2) y 2xx x
2xx(x)2
(3) f(x)limy2x. x0x
三、导数的几何意义
函数y=f (x)在x0处的导数 f '(x0)就是曲线y = f (x) 在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f '(x0).
一般, 若f '(x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处 切线方程为
y f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
法线方程为 yf(x0)f(1 x0)(xx0), (f(x0)0 ).
特别，(i)当f '(x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于 x轴. 因此，法线垂直于x轴. 如图
记 f (x 0 ) lx i 0 m f(x 0 x x ) f(x 0 ),称为 f (x)在x0的右导数. 记 f (x 0 ) lx i 0 m f(x 0 x x ) f(x 0 ), 称为 f (x)在x0的左导数.
定理： f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右 导数存在且相等.
用定义求导数一般可分三步进行. 设y = f (x)在点x处可导
(1) 求y=f (x+x) f (x) (2) 求比值 y xf(x xx)f(x) (3) 求极限 lx i 0 m y x lx i 0fm (x x x ) f(x ) f(x ).
数的表达式. 而f '(x0)就是f '(x)在x= x0处的函数值，即
f(x 0 ) lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 ) f(x )x x 0
另外，求 lx i0 m f(x xx)f(x)时x， 是不变
看作常量，变的是x.
二、求导举例
例1. 求 y = C (常数)的导数.
解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0 (2) y 0 x (3) lim y 0. x0 x 故(C )' = 0, 即常数的导数为0.
例2. 设 y = f (x) = x2，求f '(x).
解：(1) y = f (x+x) f (x) = (x+x)2 x2
处的导数，记作f ' (x0), 即
f(x0) lx i0m f(x0 xx )f(x0) 也可 y x x 0 ,d d y x 记 x x 0 或 d 为 fd ( x x )x x 0 .
注1. 若 limf(x0x)f(x0)存在，则称
x 0
x
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在).
曲线的切线的斜率、运动物体在某时刻的 速度，其实质是对应函数中函数相对于自变量 的变化率，即导数．以下介绍导数的定义 .
一、导数的定义
定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.
如果当x0时，yf(x0x)f(x0)
x
x
的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0
注4.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在 (a, b)内可导.称为y = f (x)的导函数.
此时，x(a, b)都有唯一确定的值f '(x)与之 对应，所以导数是x的函数.
记f作 (x),y', dy, df(x). dx dx
按定义，f(x ) lx i 0fm (x x x ) f(x )， x ( a ,b ). f ' (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函
若记x=x0+x, 当x0时, x x0,
f(x0)xl ix0 m f(xx) xf0(x0);
特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有
f (0)limf(x). x0 x
注3.由于 f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 )
2.1导数的概念
大纲要求
（1）了解导数、微分的几何意义；隐函数的求导方 法；二阶导数；
（2）理解导数、微分、极值、最值的概念；
（3）掌握导数的运算法则；复合函数的求导法则； 导数的基本公式;洛必达法则；
（4）会求未定式的极限;会求函数的极值与最大（小） 值；会判断函数的单调性；
微分学是微积分的重要组成部分，它的基 本概念是导数与微分，而求导数是微分学中的 基本运算.在本章中，我们主要讨论导数与微 分的概念、它们的计算方法及其应用.
y
y=f (x)
切线方程：y = f (x0).
M
f (x0)
法线方程：x = x0.
0
x0
x
(2) 当f '(x0)=(不存在). 即k = tg =. 故
2
从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.
切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).
如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1. 法线方程: y = 0.
yБайду номын сангаас
–1 0
1x
例3. 求曲线y=x 2在 x2 处的切线方程.
解：把x0 2代入 y x2，得到y0 =4. 又因为f ‘(x0)=
2x0=4,故直接用公式 y f (x0) = f ’(x0)(x x0) 即可得到：.
点(2,4)处切线方程为: y44(x2).
即y4x4.