平面向量的六大法宝(含习题)
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧解决初中数学解题困扰的利器——掌握平面向量的运算技巧数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，而初中数学的学习过程中，解题往往是困扰很多学生的难题。
然而，要解决这个问题并不难，只需要掌握好平面向量的运算技巧，就能在解答数学题目时游刃有余。
本文将为大家介绍平面向量的基本概念以及运算规则，希望对解决初中数学解题困扰有所帮助。
一、平面向量的基本概念在解决初中数学问题时，我们常常需要用到平面向量。
平面向量是指能够用有向线段来表示，具有大小和方向的量。
一个平面向量通常用字母加箭头来表示，例如：→AB，其中A、B为平面上的点。
有了这个基本概念，我们就可以更好地理解和应用平面向量来解决数学问题。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法是我们在解决数学问题中常常用到的基本运算。
其规则如下：1. 平面向量的加法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的和记作→AB + →CD。
要求得这两个向量的和，只需要将它们的对应分量分别相加即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的和为→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 平面向量的减法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的差记作→AB - →CD。
要求得这两个向量的差，只需要将它们的对应分量分别相减即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的差为→AB - →CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
通过掌握平面向量的加法和减法规则，我们能够更有效地解决初中数学解题过程中的运算问题。
三、平面向量的数量积和向量积除了加法和减法，平面向量还有两个重要的运算：数量积和向量积。
它们在解决数学问题中具有重要作用。
1. 数量积：数量积又称点积，它是两个向量的乘积。
计算数量积的公式为：→AB · →CD = AB·CD·cosθ，其中AB和CD分别为两个向量的模长，θ为它们之间的夹角。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量知识点+例题+练习+答案.doc
平面向量知识点+例题+练习+答案..五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。
]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量[ 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。
由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
(与共线的单位向量是)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
2020高考数学专项复习《平面向量问题的六大处理方法》
高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统 化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量” 这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在 选择填空的压轴题中，同学们在处理这一部分内 容时，经常感到迷茫，不知道从何处入手.数学是 模式化的学科，遇到问题能寻求到最快捷的解题 方法，是解题能力高低的关键.作为基础教育一线 的教师，笔者对最近几年各个省份的平面向量高 考题和模考题进行了系统的整理，归纳出处理平 面向量问题的六大方法，供同学们学习参考..—、坐标法坐标法应该是处鲤平面向量问题的主要方 法，只要能够建立直角坐标系，把点的坐标表示出 来，则向量的坐标就可以求得出来，从而平面向量 的四大常见问题:平行、垂直、夹角、模长都可以套 相应的公式解决.例1 (2011年天津理14)已知直角梯形 ABCD中，AD//BC ，ZADC =90°,AD = 2, BC =1,P是腰DC±的动点，则I P^ + 3PS I 的最 小值为.' 解 以D 为坐标原 点，DA 所在直线为，轴，所在直线为了轴，建立 如图1所示的直角坐标系. 由题设,A(2,0),设C(0, c) 9P(09y),则 B(1 ,c), PA =(2,~y),P$ = (1, c — y) »FX4-3 P S = (5,3c -4y), \PA + 3P5 I =丿 52 + (3c — 4了)2》5,当 且仅当y=~时，等号成立，于是，当V =苧时, I PX + 3 I 有最小值5.例2 (2013年湖南理8)在等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC = 4,点 F 是边 AB ± 异于 的一点，光线从点P 出发，经BC,以1反射后又回 到点F(如图2).若光线QR 经过八业。
的重心， 则AP 等于(A)2.(C)亭 解 如图3,以A 为原点,AB 所在直线为工 轴,AC 所在直线为〉轴建立直角坐标系，•.•AB= AC =4,>A(0,0),B(4,0),C(0,4),设 P(t,0), 则点P 关于直线BC 的对称点点P 关 于直线AC 的对称点P z(-f,0),AABC 的重心为根据光学性质知P',G,M 三点共线，再=(* + £,号)，俱=(一4—罕一4), •J O .,. F3〃 故,.•.(§ +「(£ —4) 一§(一4-/)=o O 0,解得t = §，故AP =故选(D). 二、几何意义法'.除了代数的坐标法之外，几何意义法、数形结 合法也是处理平面向量的重要方法，向量的加法、 数乘及模长都具有明显的几何意义.例3 已知丨b | = 1,非零向量a 满足Va,b平面向量问题的六大处理方法一a〉= 120°,则| a |的取值范围是________ .解如图4,设苗= Bb,cS = a,则b — a = BA,在△ABC 中，AC = 1, / a/60°\\ ZABC = 60°.Z \ 根据圆的性质：同孤所y/ y 对的圆周角相等，汶作企仙。
(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档
A.（12，5）
B.（-2，9）
C.（3，7）
D. （-4，-1）
4.已知正方形 ABCD 的边长为 1， AB a ， BC b ， AC c ， 则 a b c 等于 ( )
A． 0
Байду номын сангаасB. 3
C. 2
D. 2 2
5.已知 a 3 ， b 4 ，且向量 a ， b 不共线，若向量 a k b 与向量 a k b 互相垂直，
知识网络结构
3. 平 面 向 量
向量的运算 几何方法
坐标方法
运算性质
加 1.平行四边形法则 法 2.三角形法则
减 1.平行四边形法则
法 2.三角形法则
1. a 是一 个向量,
数 乘 向
满足: | a || || a| 2. >0 时, a与a 同向;
量
<0 时, a与a 异向;
=0 时, a 0 .
图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心， S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
（7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长
为 P，外接圆、内切圆的半径为 R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
解决平面向量问题的六个基本策略
解决平面向量问题的六个基本策略高三复习,贵在快捷有效,让所学的知识系统化,网络化,让解题方法形成方法论.“平面向量”这一部分内容作为高考的重要考点,经常出现在在选择填空的压轴题中,同学们在处理这类问题是常常无从下手.我们对多年的高考题进行系统整理、研究,总结出解决平面向量问题的六种基本策略,供大家参考.一、坐标化策略：坐标法应该是处理平面向量问题的主要方法,只要能够建立平面直角坐标系,把点的坐标表示出来,则向量的坐标就可以求出来,从而平面向量的四大常见问题：平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决.如果图形特殊,如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等,有时也会给一个定角和一些线段长度的不规则图形,均可尝试坐标化策略解决问题.例1.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1AB CD ADC AD BC ∠===,P 是腰DC上的动点,则3PA PB +的最小值是分析：以D 为坐标原点,DA 所在的直线为x 轴,DC 所在的直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,由题意可得A2,0P0,yC0,c,则3PA PB +=5≥,于是当y=34c 时取得最小值5. 二、数量化策略：教科书上证明正、余弦定理时重点如何将向量等式AC BA BC +=数量化,而向量数量化的基本方法是平方法2a =或向量等式两边同时乘以一个向量,进行数量积运算.三、算两次策略：平面向量基本定理的重要前提是向量不共线,而结论有两点：一是存在一对实数21λλ和,使得a=1λe 1+2λe 2；二是这对实数是唯一的.这唯一性是说：a=1λe 1+2λe 2=1k e 1+2k e 2 ,则必有1λ=1k ,2λ=2k ,其实质相当于从两点重合推出其坐标相等,或从两个复数相等推出其实部和虚部分别相等,这种由一个等式获取两个等式的法则,又称为算两次的思想,是方程思想的另一种表述,在高中数学中应用广泛,如几何中的等面积法、等体积法等.例2.设向量a 与b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=解析：因为向量λa +b 与a +2b 平行,所以λa +b =μa +2b ,则λa +b =μa +2μb,又因为向量a 与b 不平行,由平面向量基本定理可得λ=μ且1=2μ,因此λ=21四、基底化策略：平面向量基本定理平面向量分解定理是解决向量问题的重要工具,它的作用在于把平面中纷繁复杂的向量都用两个不共线的基向量来表示.其关键是选好一组基底两个向量的模长与夹角应该已知,其他向量都用这一组基底进行线性表示.例 3.在ABC ∆中,已知3π=∠BAC ,AB=2,AC=3,BD DC 2=,ED AE 3=,则|BE |=分析：本题中,若建系,点与点之间的坐标关系很难找到,不是一个明智的选择.换个角度,因为线段AB,AC 的长度和夹角都已知,所以选取向量AC AB 和作为基底,将BE 用这一组基底进行线性表示. 解：AE BA BE +==-AB +43AD , 而BD AB AD +==AB +31BC ,AB AC BC -=,从而BE =21-AB +41AC ,因此,2BE =21-AB +412)AC =412AB +1612AC 41-AB AC ⋅=413 五、巧用回路转化策略：所谓回路,就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路.就是这个直观而又简单的回路,常常关系到问题解决的成败,但你在解题过程中想到了要利用回路,那么问题的解决就会变得简洁.适当选择回路,是向量解题的基本手法,关键之处就在于领会向量几何,其运算不仅仅是数的运算,还包括图形的运算,数学大师张景中称其为 “绕来绕去的向量法”.如果遇到题目中只告诉一条线段的长,则用回路法将其他向量都用该向量表示.例4.在ABC ∆中,M 是BC 边上的中点,|AM |=1,P 是线段AM 上的一个点,且PM AP 2=,则)(PC PB AP +⋅的值是 AA 、94B 、34C 、34-D 、94- 分析:因为PC PB +=PM 2,PM AP 2=,所以)(PC PB AP +⋅=42PM =94 例5.在ABC ∆中,D 是BC 边上的一点,且DC BD 3=,P 是线段AD 上的一个动点,若|AD |=2,则)3(PC PB PA +⋅的最小值是BA 、-8B 、-4C 、-2D 、 0 分析：PC PB 3+=)(3DC PD DB PD +++=DC DB PD 34++=4PD设DA PA λ=,则DA DA DA DP )1(λλ-=-= )3(PC PB PA +⋅=4⋅PA PD =λλ16162-10≤≤λ所以)3(PC PB PA +⋅的最小值为-4六、几何化策略：除了代数的坐标法之外,利用几何意义数形结合也是处理平面向量问题的重要方法,因此要灵活构建平面图形,凸显向量几何本色.1.构建“三角形.例6.若|a |=1,|b |=2,c=a+b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为= 解析：当题目中出现一些特殊角度或特殊的线段关系,比如线段相等或二倍关系等,应该首先考虑构造图形来解决.作直角ABC ∆,2190===∠AB CA C ，， ,设a =CA ,b =AB ,则=CB a +b, 30=∠B ,延长CA 到D,使得AD=CA,可得向量向量a 与b 的夹角为 120=∠BAD2.构建“圆”.如果题目中出现单位向量,共起点的单位向量的终点在同一个圆,因此可以构造一个圆,进行特殊化处理.平面向量是近代数学中重要的基本数学概念之一,它集形数于一身,是数形结合的有效载体,是沟通代数、几何与三角函数工具.如何有效突破平面向量问题,关键是要抓住向量概念的核心,即向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,因此解决向量问题有向量代数与向量几何两个基本解决思路,其中向量几何注重从形的角度分析解决问题,可衍伸为基底化策略、巧用回路转化策略、几何化策略；向量代数注重从坐标运算与布列方程的角度分析解决问题,可衍伸为坐标化策略、数量化策略、算两次策略.因此平面向量问题既可以从“数”的角度来解决,也可以从“形”的角度来思考,一题多法,多题一解.。
平面向量的精讲与习题讲解
平面向量的精讲与习题讲解平面向量:(一),向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则.(二),向量加减运算:(三),实数λ与向量a 的积:a λ1,当0λ>时,a λ与a 同向;2当0λ<时,a λ与a 反向;3当0λ=时,00a =.(四),平面向量的数量积:设两个非0向量1122(,),(,)a x y b x y ==,θ(000180θ≤≤)是a 与b 的夹角,则 cos a b a b θ⋅=⋅⋅=1212x x y y +.(五),有关的公式,定理.1,平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+.2,两个非0向量的平行与垂直的充要条件:①,//a b a b λ⇔=(或12210x y x y -=);②,0a b a b ⊥⇔⋅=(或12120x x y y +=). 3,线段的定比分点坐标公式:设(,)p x y ,111(,)p x y ,222(,)p x y ,且12p p pp λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,中点公式121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 4,平移公式:如果点(,)p x y 按向量(,)a h k =平移至点'''(,)p x y ,即'(,)pp a h k ===''(,)x y (,)x y -,整理可得:''x x h y y k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩. 例题：1．求函数y =解：2)y =构造向量21(,22p x =+,21(,22q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥, 所以原函数的值域是[0,1). 2．222,ABC P AP BP CP ABC ++在内求一点使取得最小值，则该点是的__心。
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
快速解决平面向量题目的技巧
快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。
然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。
本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。
我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。
1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。
即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。
2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。
即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。
二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。
这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。
1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。
计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。
在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。
2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。
计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。
初中数学知识归纳平面向量的运算法则
初中数学知识归纳平面向量的运算法则平面向量是数学中的重要概念，它们具有具有方向和大小的特性。
在初中数学中，我们将学习运算平面向量的法则，包括向量的加法、减法、数乘以及向量的数量积和向量积。
本文将对这些运算法则进行归纳总结。
1. 向量的加法法则向量的加法法则是指将两个向量相加得到一个新的向量。
对于平面上的两个向量a和b，它们的加法可以表示为：a +b = c其中c表示两个向量a和b的和向量。
2. 向量的减法法则向量的减法法则是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
对于平面上的两个向量a和b，它们的减法可以表示为：a -b = d其中d表示将向量b从向量a中减去得到的差向量。
3. 向量的数乘法则向量的数乘法则是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
对于平面上的一个向量a和一个实数k，向量的数乘可以表示为：ka = e其中e表示将向量a与实数k相乘得到的新向量。
4. 向量的数量积法则向量的数量积法则是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。
对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y25. 向量的向量积法则向量的向量积法则是指将两个向量叉乘得到一个新的向量。
对于平面上的两个向量a和b，它们的向量积可以表示为：a ×b = f其中f表示向量a和向量b的叉积向量，其大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
通过学习以上五个运算法则，我们可以更好地理解和运用平面向量的概念。
在实际问题中，平面向量的运算法则往往能帮助我们解决几何、物理等方面的问题。
因此，熟练掌握和运用这些法则对我们的数学学习和问题解决能力都具有重要意义。
总结：- 平面向量运算法则包括向量的加法、减法、数乘、数量积和向量积。
- 向量的加法法则表示两个向量相加得到一个新的向量。
- 向量的减法法则表示将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
平面向量题型归纳与习题含详解
存在唯一的实数 ，使得 OC (1 )OA OB ;
存在 1 ,使得 OC OA OB .
中线向量定理
如图
5-5
所示，在△ABC
中，若点
D
是边
BC
的中点，则中线向量
AD
1
( AB
AC )
,反之
2
亦正确.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
垂直，只有当 e1, e2 是单位向量，且 e1 e2 时，才能按上述方法计算，一 般地，题 目中使用
单位正交 基底（多用 i , j表示 ）表示向量时，才等价于给出坐标.即若 a i 2 j ，则等价
于给出 a (1, 2)
五、向量的平行
设 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) . a / /b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0 .除了坐标表 示
变式 1 给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点和终点相同；②若
a
b
，则 a
b；
③若 AB DC ，则 ABCD 为平行四边形；④在平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC ；
⑤若
a
b
，
b
c
，则
a
c
；⑥若
a
/
/b
，
b
/
/c
，则 a / /c .
其中不正确的命题的个数是（ ）.
,
e2
是夹角为
45
的两个单位向量，且
a
e1
2e2
，b
2e1
e2 ，求
ab
的值.
错 解 因为 a b = e1 2e2 + 2e1 e2 = 3e1 3e2 ，所以 a b = (3,3) ，则
(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用解题技巧总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用解题技巧总结单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a ⃑+b ⃑⃑,c ⃑>=0，(a ⃑+b ⃑⃑)⊗c ⃑=|a ⃑+b ⃑⃑||c ⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a ⃑,c ⃑>=π4,<b ⃑⃑,c ⃑>=π4，(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃑⃑⊗c ⃑)=1×√2×sin π4+1×√2×sin π4=2，(a ⃑+b ⃑⃑)⊗c ⃑≠(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃑⃑⊗c ⃑)，C 错误；D ．若a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，则|a ⃑|=√x 12+y 12，|b ⃑⃑|=√x 22+y 22，cos <a ⃑,b⃑⃑>=1212√x 1+y 1×√x 2+y 2，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b ⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ） A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ， 故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.3、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB=CG−EH+EGCG−EH ×DE=EG×DECG−EH+DE＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√5，c=2，cosA=23，则b等于（）A．√2B．√3C．2D．3答案：D分析：根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，将已知量代入即可解得答案.根据余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即5=b 2+4−2×b ×2×23，亦即b 2−83b −1=0，解得b =3或b =−13（舍去）.故选：D.5、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，则|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑， 所以a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，所以|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2 故选：B6、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D ．7、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C.8、在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．3 答案：D分析：利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 设AB =c,AC =b,BC =a ，结合余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB 可得：19=a 2+4−2×a ×c ×cos120∘， 即：a 2+2a −15=0，解得：a =3（a =−5舍去）， 故BC =3. 故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 9、已知单位向量a ⃗，b ⃑⃗，则下列说法正确的是（ ） A ．a ⃗=b ⃑⃗B ．a ⃗+b ⃑⃗=0⃑⃗C ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|D ．a ⃗//b ⃑⃗ 答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a ⃗，b ⃑⃗为单位向量，向量a ⃗，b ⃑⃗的方向不一定相同，A 错误； 对于B ，向量a ⃗，b ⃑⃗为单位向量，但向量a ⃗， b ⃑⃗不一定为相反向量，B 错误； 对于C ，向量a ⃗，b ⃑⃗为单位向量，则|a ⃗|=|b⃑⃗|=1，C 正确； 对于D ，向量a ⃗，b ⃑⃗为单位向量，向量a ⃗，b ⃑⃗的方向不一定相同或相反，即a ⃗与b ⃑⃗不一定平行，D 错误. 故选：C.10、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(2,4)，若a ⃑与b ⃑⃑共线，则m =（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案. 由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C 填空题11、已知单位向量a →,b →的夹角为45°，ka →−b →与a →垂直，则k =__________. 答案：√22分析：首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 由题意可得：a →⋅b →=1×1×cos45∘=√22， 由向量垂直的充分必要条件可得：(ka →−b →)⋅a →=0，即：k ×a →2−a →⋅b →=k −√22=0，解得：k =√22. 所以答案是：√22．小提示：本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、如图所示，在△BCD中，已知cosB=√63，A为边BD上的一点，且满足AB=AC=53，∠ACD=60∘，则AD=______答案：2√6−3分析：令∠CAD=α，根据AB=AC，结合cosB=√63，由cosα=cos2B，求得α，再由sinD=sin[π−(α+ 60∘)]=sin(α+60∘)，求得角D，然后在△ACD中，利用正弦定理求解.令∠CAD=α，因为AB=AC=53，所以cosα=cos2B=2cos2B−1=13，所以sinα=2√23，sinD=sin[π−(α+60∘)]=sin(α+60∘)，=sinα⋅cos60∘+cosα⋅sin60∘=2√2+√36，在△ACD中，由正弦定理得ACsinD =ADsin60∘，解得AD=ACsinD⋅sin60∘=2√6−3.所以答案是：2√6−313、已知a⃗,b⃑⃗为单位向量，且a⃗⋅b⃑⃗=0，若c⃗=2a⃗−√5b⃑⃗，则cos<a⃗,c⃗>=___________.答案：23.分析：根据|c⃑|2结合向量夹角公式求出|c⃑|，进一步求出结果.因为c⃑=2a⃑−√5b⃑⃑，a⃑⋅b⃑⃑=0，所以a⃑⋅c⃑=2a⃑2−√5a⃑⋅b⃑⃑=2，|c ⃑|2=4|a ⃑|2−4√5a ⃑⋅b ⃑⃑+5|b ⃑⃑|2=9，所以|c ⃑|=3， 所以cos <a ⃗,c ⃗>= a⃑⃑⋅c ⃑|a ⃑⃑|⋅|c ⃑|=21×3=23． 小提示：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．14、已知向量a ⃗,b ⃑⃑满足|a ⃗|=2,|b ⃑⃑|=√2，a ⃗与b ⃑⃑的夹角为45∘，a ⃗⊥(λb ⃑⃑−a ⃗)，则λ=_______． 答案：2分析：由已知条件可得a ⃗⋅b ⃑⃑的值，再由a ⃗⊥(λb ⃑⃑−a ⃗)可得a ⃗⋅(λb ⃑⃑−a ⃗)=0，通过计算即可求出λ的值. 因为a ⃗⊥(λb ⃑⃑−a ⃗)，所以a ⃗⋅(λb ⃑⃑−a ⃗)=0，即a ⃗2=λa ⃗⋅b⃑⃑. 又|a ⃗|=2，|b ⃑⃑|=√2,a ⃗与b ⃑⃑的夹角为45∘，则a ⃗⋅b ⃑⃑=|a ⃗|⋅|b ⃑⃑|cos45∘=2， 所以λ=a⃑⃗2a⃑⃗⋅b ⃑⃑=2．所以答案是：2.15、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)， 故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36. 解答题16、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且sin 2A +sin 2B =1． (1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)当c =1时，求△ABC 面积的最大值． 答案：(1)证明见解析 (2)14分析：（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知a 2+b 2=c 2=1，利用基本不等式可得面积最大值 (1)证明：由sin 2A +sin 2B =1，得sin 2A =1−sin 2B ，即sin 2A =cos 2B ， 又边c 最长，则A 、B 均为锐角，所以sinA =cosB =sin(π2−B )， 解得A =π2−B ，A +B =π2即C =π2，所以△ABC 为直角三角形． (2)因为C =π2，由勾股定理a 2+b 2=c 2,因为c =1，所以a 2+b 2=1.记△ABC 面积为S ,则S =12ab ，由2ab ≤a 2+b 2得S =12ab ≤14(a 2+b 2)=14，当且仅当a=b=√22时等号成立．所以当a=b=√22时，△ABC面积取到最大值14．17、记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC. （1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.答案：（1）证明见解析；（2）cos∠ABC=712.分析：（1）根据正弦定理的边角关系有BD=acb，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC的值. （1）设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC=b2R ,sinC=c2R，因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD⋅b2R =a⋅c2R，即BD⋅b=ac．又因为b2=ac，所以BD=b．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为AD=2DC，如图，在△ABC中，cosC=a 2+b2−c22ab，①在△BCD中，cosC=a2+(b3)2−b22a⋅b3．②由①②得a2+b2−c2=3[a2+(b3)2−b2]，整理得2a2−113b2+c2=0．又因为b2=ac，所以6a2−11ac+3c2=0，解得a=c3或a=3c2，当a=c3,b2=ac=c23时，a+b=c3+√3c3<c（舍去）．当a=3c2,b2=ac=3c22时，cos∠ABC=(3c2)2+c2−3c222⋅3c2⋅c=712．所以cos∠ABC=712．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知AD=2DC，则S△ABD=23S△ABC，即12×23b2sin∠ADB=23×12ac×sin∠ABC，而b2=ac，即sin∠ADB=sin∠ABC，故有∠ADB=∠ABC，从而∠ABD=∠C．由b2=ac，即ba =cb，即CACB=BABD，即△ACB∽△ABD，故ADAB =ABAC，即2b3c=cb，又b2=ac，所以c=23a，则cos∠ABC=c 2+a2−b22ac=712．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD=23b,CD=13b．在△ADB中，由正弦定理得ADsin∠ABD =BDsinA．又∠ABD=∠C，所以2 3 bsinC =bsinA，化简得sinC=23sinA．在△ABC中，由正弦定理知c=23a，又由b2=ac，所以b2=23a2．在△ABC 中，由余弦定理，得cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−23a 22×23a 2=712．故cos∠ABC =712．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC ∽△ABC ．由AD =2DC ，得DE =c 3,EC =a 3,BE =2a 3． 在△BED 中，cos∠BED =(2a 3)2+(c 3)2−b 22⋅2a 3⋅c 3．在△ABC 中cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac ．因为cos∠ABC =−cos∠BED ，所以a 2+c 2−b 22ac =−(2a 3)2+(c 3)2−b 22⋅2a 3⋅c 3，整理得6a 2−11b 2+3c 2=0．又因为b 2=ac ，所以6a 2−11ac +3c 2=0，即a =c 3或a =32c ．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为AD =2DC ，所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DC⃑⃑⃑⃑⃑⃑． 以向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑为基底，有BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑． 所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=49BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+49BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+19BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2，即b 2=49a 2+49accos∠ABC +19c 2， 又因为b 2=ac ，所以9ac =4a 2+4ac ⋅cos∠ABC +c 2．③由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accos∠ABC ，所以ac =a 2+c 2−2accos∠ABC ④联立③④，得6a 2−11ac +3c 2=0．所以a =32c 或a =13c ．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D (0,0),A (−2,0),C (1,0)．由（1）知，BD =b =AC =3，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设B (x,y )(−3<x <3)，则x 2+y 2=9．⑤由b 2=ac 知，|BA |⋅|BC |=|AC |2，即√(x +2)2+y 2⋅√(x −1)2+y 2=9．⑥联立⑤⑥解得x =−74或x =72≥3（舍去），y 2=9516，代入⑥式得a =|BC|=3√62,c =|BA|=√6,b =3，由余弦定理得cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac=712．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.18、已知k∈R，向量a⃑=(1,1+k)，b⃑⃑=(k,2).（1）若向量2a⃑−b⃑⃑与b⃑⃑平行，求k的值；（2）若向量2a⃑−b⃑⃑与b⃑⃑的夹角为钝角，求k的取值范围答案：（1）−2或1；（2）(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞).解析：（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用(2a⃑−b⃑⃑)⋅b⃑⃑<0，且不共线，列式计算即得结果.解：（1）依题意，a⃑=(1,1+k)，b⃑⃑=(k,2)，2a⃑−b⃑⃑=(2−k,2k)又2a⃑−b⃑⃑//b⃑⃑，得2(2−k)=2k2，即k2+k−2=0解得k=−2或1；（2）2a⃑−b⃑⃑与b⃑⃑的夹角为钝角，则(2a⃑−b⃑⃑)⋅b⃑⃑<0，即(2−k)k+4k<0，即k2−6k>0，解得k<0或k>6.由（1）知，当k=−2时，2a⃑−b⃑⃑与b⃑⃑平行，舍去，所以(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞).小提示：思路点睛：两向量a⃑,b⃑⃑夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量a⃑,b⃑⃑夹角为锐角，等价于a⃑⋅b⃑⃑>0，且a⃑,b⃑⃑不共线；（2）两向量a⃑,b⃑⃑夹角为钝角，等价于a⃑⋅b⃑⃑<0，且a⃑,b⃑⃑不共线.19、△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知(2sinA−√3sinB)2=4sin2C−sin2B．（1）求角C的大小；（2）若b=1,c=√7，求cos(B−C)的值．答案：(1) C=π6；(2)5√714．分析：(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；(2)利用正弦定理求出sinB，再根据b<c，可知B<C，进而可根据同角三角函数关系，求出cosB，再利用两角差的余弦公式可求得答案.(1)由(2sinA−√3sinB)2=4sin2C−sin2B化简，得sin2A+sin2B−sin2C=√3sinAsinB，由正弦定理，得a2+b2−c2=√3ab，由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=√32，又C∈(0,π)，所以C=π6.(2)因为b=1，c=√7，所以由正弦定理bsinB =csinC，得sinB=bsinCc=√714，因为b<c，所以B<C，所以cosB=√1−sin2B=3√2114，所以cos(B−C)=cosBcosC+sinBsinC=3√2114×√32+√714×12=5√714．所以cos(B−C)=5√714．小提示：易错点睛：本题在利用同角三角函数求cosB时，需要注意利用大边对大角确定角B的范围.。
人教A版(2019)必修第二册第六章平面向量及其应用知识点与经典例题赏析
第六章平面向量及其应用知识点与经典例题赏析1．向量的有关概念 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与AB 不相等的向量为（ ）A ．OCB ．FOC ．EDD ．FC例2．下列说法错误的是（ ） A ．零向量与任意向量都不平行B ．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量C ．平行向量就是共线向量D ．长度为0的向量叫做零向量2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例3．AB CD DA BC +++=（ ） A ．BDB ．ACC ．0D ．AB 例4．在平行四边形ABCD 中，AB CB DC +-等于（ ） A ．BC B ．AC C ．DAD ．BD例5．若5a =，b 与a 的方向相反，且7b =，则a 等于（ ） A ．57b B ．57b -C ．75b D ．75b -3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .11．如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．4．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 例6．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，则向量,a b 可作为基底的是（ ）A ．1212,a e e b e e =+=--B ．1212112,24a e eb e e =+=+ C ．1212,a e e b e e =+=-D ．12122,24a e e b e e =-=-+例7．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为AB 上靠近B 的三等分点，N 为BC 的中点.若MN AB AD λμ=+(,λμ∈R )，则32λμ+=（ ） A ．0B ．56C ．2D ．136例8．已知向量(3,),(,3),9a m b n a b ==⋅=，则m n +=（ ） A ．0 B ．3 C ．1D ．1-5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例9．已知向量()1,a m =，()2,4b =，若//a b ，则a b +=（ ）A ．3B C ．D 例10．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=，若()a ma b ⊥-，则m =（ ） A ．54B ．54-C ．45D ．45-7．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.例11．向量()()1,,2,1a x b ==-，若a b ⊥，则2a b +=（ ）A ．2B C ．3D ．5例12．已知(0,1),(1,3)A B --，则||AB =（ ）A B ．17C ．5D8．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 9．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 11．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 12．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：例13．已知||4a =，||3b =，,150a b <>=.求（1）()a b b -⋅； （2）求||a b +.例14．已知平面上三点A ，B ，C ．()2,3BC k =-，()2,4AC =-． （1）若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； （2）若ABC 中角C 为钝角，求k 的取值范围．例15．平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =. （1）求满足a mb nc =-的实数m ，n ； （2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k 的值.例16．如图，在ABC 中，AB a =，AC b =，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB =．（1）试用a ，b 表示BP ； （2）若3AB =，4AC =，3BAC π∠=，求BP ED ⋅．10，正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 RC cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆例17．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ､B ､C 的对边，若ABC 2c =，60A =︒，求a ，b 及角C 的值.例18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且()3cos cos cos B a B b A c +=．（1）求cos B ；（2）若2AB =，sin sin A B =，求△ABC 的面积．例19．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos a B b A c +=. （1）求B ；（2）设a =，2b =，求c .11，余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C CC C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例20．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A = （1）求角B 的大小；（2）若cos A =，求sin(2)A B -的值； （3）若2b =，2c a =，求边a 的值.例21．ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设22()b c a bc -=- （1）求角A ；（22b c +=，求sin C ．例22．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3,cos b c b A c ===． （1）求a 的值；（2）若A B >，求AC 边上的高的长．参考答案1．D 【分析】由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解. 【详解】由题意，C B FO ED A O ===，2AB FC =. 故选：D. 2．A 【分析】根据零向量与单位向量及共线向量的定义判断可得； 【详解】解：模为0的向量叫做零向量，规定：零向量与任意向量平行，长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量，故A 错误，BCD 正确． 故选：A 3．C 【分析】根据向量加法的运算法则可得. 【详解】0AB CD DA BC AB BC CD DA +++=+++=，故选：C. 4．C 【分析】直接由向量加减法法则即可得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，,==AB DC CB DA ， 所以()==+--+AB CB DC AB DC C DA B ． 故选：C5．B 【分析】由向量反向可知()0a b λλ=<，即a b λ=-，由此构造方程求得λ，即可得到结果. 【详解】b 与a 的反向，()0a b λλ∴=<，a b λ∴=-，即75λ-=，解得：57λ=-，57a b ∴=-.故选：B. 6．C 【分析】逐项判断向量,a b 是否共线，若,a b 不共线，则可以作为基底 【详解】解：对于A ，因为1212()b e e e e a =--=-+=-，所以,a b 共线，所以,a b 不能作为基底，所以A 不合题意； 对于B ，因为12121111(2)2444b e e e e a =+=+=，所以,a b 共线，所以,a b 不能作为基底，所以B 不合题意；对于C ，若,a b 共线，则存在唯一实数λ，使a b λ=，即121212)(e e e e e e λλλ=+=--，所以1λ=且1λ=-，所以λ不存在，所以,a b 不共线，所以,a b 可以作为基底，所以C 符合题意；对于D ，因为1212242(2)2b e e e e a =-+=--=-，所以,a b 共线，所以,a b 不能作为基底，所以D 不合题意， 故选：C 7．C 【分析】以,AB AD 为基底表示出MN ，由此求得,λμ，进而求得32λμ+. 【详解】1132MN MB BN AB AD =+=+，所以3211211,,32λμλμ==+=+=. 故选：C8．B【分析】利用平面向量数量积运算求解即可.【详解】339a b n m ⋅=+=，所以3m n +=．故选：B.9．C【分析】由//a b ，可得1420m ⨯-=，求出m 的值，从而可求出a b +的坐标，进而可求出a b +【详解】因为//a b ，所以1420m ⨯-=，解得2m =，所以()3,6a b +=， 所以223635a b +=+=故选：C.10．C【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(1,2),(2,3)a b =-=，可得25,4a a b =⋅=-因为()a ma b ⊥-，可得2()540ma a b b ma m a =+-⋅-=⋅=，解得45m =. 故选：C.11．D【分析】 由a b ⊥，得0a b ⋅=，解出x 的值，进而可求得2a b +的坐标，根据向量模长公式即可求解.【详解】解：因为向量()1,a x =，()2,1b =-，a b ⊥，所以()1210a b x ⋅=⨯-+⨯=，解得2x =， 所以()()()1,22,102,52a b +-+==，所以2205a b +=+=， 故选：D.12．A【分析】首先求出AB 的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为(0,1),(1,3)A B --，所以()()()1,30,11,4AB =---=-，所以(AB =-=故选：A13．（1）9-；（2.【分析】 （1）由已知求a b ⋅，结合向量数量积的运算律，即可求()a b b -⋅； （2）由2()a b a b +=+，利用向量数量积的运算律求值即可. 【详解】（1）4,3,,150a b a b ==<>=cos ,43(6a b a b a b ∴⋅=<>=⨯⨯=-，∴2()639a b b a b b -⋅=⋅-=--=-.（2）2()a b a b +=+222a a b b =+⋅+==14．（1）72k =；（2）,4,7722⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+∞⎝⎭⎝⎭． 【分析】 （1）由题意可得向量BC 与AC 平行，根据平行的坐标表示即可求出答案；（2）由题意0AC BC ⋅<，且向量BC 与AC 不平行，根据数量积的坐标运算即可求出结论．【详解】解：（1）由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上，即向量BC 与AC 平行，∴()42230k ---⨯=，解得72k =； （2）当角C 是钝角时，0AC BC ⋅<， ∴()()22340k ⨯-+⨯-<，解得4k >-，又向量BC 与AC 不平行，则72k ≠， 综上：k 的取值范围是,4,7722⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+∞⎝⎭⎝⎭． 15．（1）59m =，89n =-；（2）1613k =-. 【分析】（1）依题意求出mb nc -的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出a kc +与2b a -的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，且a mb nc =- (3，2)(1a mb nc m ==-=-，2)(4n -，1)(4m n =--，2)m n -.∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩，解得59m =，89n =-. （2）(3a kc +=，2)(4k +，1)(34k =+，2)k +.22(1b a -=-，2)(3-，2)(5=-，2).5(2)2(34)0k k ∴-+-+=，解得1613k =-. 16．（1）2133BP a b =-+；（2）43BP ED ⋅=. 【分析】 （1）依题意首先表示出BF ，再根据重心的性质得到23BP BF =，即可得解； （2）首先根据平面向量数量积的定义求出a b ⋅，再表示出ED ，最后根据向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：（1）因为12BF AF AB a b =-=-+． 因为点P 为ABC 的重心，所以2212133233BP BF a b a b ⎛⎫==-+=-+⎪ ⎭⎝． （2）因为3AB =，4AC =，3BAC π∠=，所以cos 63a b a b π⋅=⋅=．又因为2AE EB =，所以)(11113262ED EB BD a b a a b =+=+-=-+． 2221111174336296183BP ED a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎫⋅=-+⋅-+=+-⋅=⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝．17．a ；b =1；2C π=【分析】由正弦定理的面积公式可先求出b ，再结合余弦定理可求出a ，再由正弦定理求出角C .【详解】 1sin 2ABC S bc A =，所以12sin 6022b =⨯，所以b =1ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA =3，所以a ，由正弦定理sin sin a c A C =2sin C =，解得sin 1C =， 所以2C π=.18．（1）1cos 3B =；（2）【分析】 （1）由正弦定理边角互化及两角和正弦公式可得3cos sin()sin B A B C +=，而A B C π++=且sin 0C ≠，即可求cos B .（2）由（1）易得tan B =A B =即可求AB 上的高，进而求△ABC 的面积．【详解】（1）由题设，()3cos sin cos cos sin sin B A B A B C +=，∴3cos sin()3cos sin sin B A B B C C +==，又sin 0C ≠， ∴1cos 3B =.（2）由（1）知：sin 3B =，则tan B = ∵sin sin A B =，又0A B π<+<，∴A B =，故△ABC 在AB 上的高1||tan 2h AB B ==∴1||2ABC S h AB ==19．（1）4π；（2）2. 【分析】（1）由题设，根据正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=，结合三角形内角的性质得tan 1B =，即可求B ；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c .【详解】（1）由正弦定理得：sin sin sin cos sin A B B A C +=，而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴sin sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，cos 0B ≠，∴tan 1B =，又0B π<<，即4B π=.（2）由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，即a =，∴222422c c =+-⨯，解得2c =.20．（1）3B π=；（2（3. 【分析】（1sin B B =，结合三角形内角性质即可求角B . （2）由两角差、倍角公式展开sin(2)A B -，根据已知条件及（1）的结论即可求值. （3）根据余弦定理列方程即可求a 的值.【详解】（1cos sin sin A B B A =，而A 为ABC 的内角，sin B B =，即tan B =0B π<<，可得3B π=，（2）2sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos (2cos 1)sin A B A B A B A A B A B -=-=--，∵cos 3A =，0A π<<，可得sin 3A =，而1cos ,sin 22B B ==，∴sin(2)91818A B -=+=， （3）由余弦定理知：2222cos a c ac B b +-=，又2b =，2c a =，1cos 2B =，∴234a =，可得3a =21．（1）3A π=；（2）sin C =【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再利用和差角的正弦公式计算可得；【详解】解：（1）2222()2b c b c bc a bc -=+-=-，∴2222cos b c a bc bc A +-==， 所以1cos 2A =，因为()0,A π∈，∴3A π=．（22b c +=，sin 2sin A B C +=，sin 2sin 33c C ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 2sin 23C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin cos cos sin 2sin 33C C C ππ++=，3sin 2C C =，∴1cos sin 226C C C π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴64C ππ-=，∴512C π=，sin sin sin cos cos sin 6464644C ππππππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．22．（1）3a =或6；（2）【分析】（1）利用余弦定理将cos b A c =-化为2222b c a b c bc +-⋅=，化简后再利用余弦定理可求出6B π=，由222c a b +-=结合已知条件可求出a 的值；（2）由于A B >，所以a b >，可得6a =，然后利用三角形的面积公式可求出面积，再利用面积法可求出AC 边上的高的长【详解】解：因为cos 2b A c a =-，所以22222b c a b c a bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=．由余弦定理可得222cos 2c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=．（1）因为222,3,c a b b c +-=== 所以29180a a -+=，解得3a =或6． （2）因为A B >，所以6a =，1sin 2ABC S ac B ==△，所以AC 边上的高的长为2ABC S b =△。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（6）在 中， 是 的中点， ， 与 交于点 ，且满足 ,则 ______。
四、等和线定理。平面内一组基底 ，若点 在 上或与 平行的直线上，则有 （ 为定值），反之也成立。我们把直线 上或与 平行的直线称为等和线。（如图6）
（1）当等和线为 时， ；
（2）当等和线在点 与 之间时， ；（如图7）
（3）当 在等和线与点 之间时， ；（如图8）
（4）等和线的距离相等，则它们对应的 成等差数列；（如图9）
（5）记点 到 的距离为 ，点 到等和线的距离为 ，则 。（如图10）
习题：
（1）给定两个长度为1的平面向量 ，它们的夹角为 ，点 以 为圆心的圆弧 上运动，若 ,其中 ,则 的最大值为_____________；
一、平面向量的定比分点公式
设点 （其中 为起点， 为终点， 为分点），分有向线段 所成的比为 ，则 ，当 时，得到线段 的中点公式 。（如图1）
习题：
（1）若 且 ,则点 的坐标为______________;
（2）已知 ,直线 与线段 交于 ，且 ，则 ；
（3）若 ,且 ,则点 的坐标为_________________。
（2）在 中， 为 上的任意一点， 为 的中点， ，则 __________;
（3）在矩形 中， ，动点 在以 为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为__________。
五、平面向量的极化恒等式。平面向量 满足 ，几何意义：
（1）平行四边形 中，若 ，则 （如图11）
（2）在 中， 是 的中点，则 (如图12)
二、奔驰定理
1、奔驰基本定理。若 扩展定理。若 为 外一点，且 点分别位于直线 两侧，
若 ，则 （如图3）
习题：
（1）若 为 内一点，且 ；则 ;
(2) 若 为 内一点，且 ；且 , ，则 ;
(3)若点 为 所在平面内一点，且满足 ,
则 。（如图4）
三、三点共线定理。若 三点共线， 为平面内一点， ,则 ，反之也成立。（如图5）
习题：
（1）在梯形 中，已知 分别为 的中点，若 ，
则 ____________;
（2）在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，若 ,则 ____________;
（3）在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 _____________；
（4）在 中，经过重心 的直线与 交于 两点，设 ,MJ _______;
（8）已知 若点 是 所在平面内一点，且 的最大值为___________。
（3）已知正方形 的边长为1，点 是 边上的动点，则 ； 的最大值为______;
(4)已知非零向量 ;
（5）在 中 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_________;
（6）给定两个长度为1的平面向量 为圆心的圆弧 上运动，若
（7）已知直角梯形 中， 是腰 上的动点，则 的最小值为__________；
习题：
（1）在梯形 中，已知 , , 为 中点，则
_____________;
(2) 在 中， 是 的中点，若 ,则 ___________。
六、平面向量坐标化。即，把题中的向量如 化为坐标形式 ，再利用直角坐标系进行求解。
习题：
（1）平面向量 ， ，则 ____________；
（2）已知 ，则 __________；