平面向量的六大法宝(含习题)
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（3）已知正方形 的边长为1，点 是 边上的动点，则 ； 的最大值为______;
(4)已知非零向量 ;
（5）在 中 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_________;
（6）给定两个长度为1的平面向量 为圆心的圆弧 上运动，若
（7）已知直角梯形 中， 是腰 上的动点，则 的最小值为__________；
（5）在平行四边形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若 ，则 ________；
（6）在 中， 是 的中点， ， 与 交于点 ，且满足 ,则 ______。
四、等和线定理。平面内一组基底 ，若点 在 上或与 平行的直线上，则有 （ 为定值），反之也成立。我们把直线 上或与 平行的直线称为等和线。（如图6）
（8）已知 若点 是 所在平面内一点，且 的最大值为___________。
习题：
（1）在梯形 中，已知 分别为 的中点，若 ，
则 ____________;
（2）在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，若 ,则 ____________;
（3）在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 _____________；
（4）在 中，经过重心 的直线与 交于 两点，设 ,MJ _______;
一、平面向量的定比分点公式
设点 （其中 为起点， 为终点， 为分点），分有向线段 所成的比为 ，则 ，当 时，得到线段 的中点公式 。（如图1）
习题：
（1）若 且 ,则点 的坐标为______________;
（2）已知 ,直线 与线段 交于 ，且 ，则 ；
（3）若 ,且 ,则点 的坐标为_________________。
（2）在 中， 为 上的任意一点， 为 的中点， ，则 __________;
（3）在矩形 中， ，动点 在以 为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为__________。
五、平面向量的极化恒等式。平面向量 满足 ，几何意义：
（1）平行四边形 中，若 ，则 （如图11）
（2）在 中， 是 的中点，则 (如图12)
二、奔驰定理
1、奔驰基本定理。若 为 内一点，且 ；
则 。（如图2）
2、奔驰扩展定理。若 为 外一点，且 点分别位于直线 两侧，
若 百度文库则 （如图3）
习题：
（1）若 为 内一点，且 ；则 ;
(2) 若 为 内一点，且 ；且 , ，则 ;
(3)若点 为 所在平面内一点，且满足 ,
则 。（如图4）
三、三点共线定理。若 三点共线， 为平面内一点， ,则 ，反之也成立。（如图5）
（1）当等和线为 时， ；
（2）当等和线在点 与 之间时， ；（如图7）
（3）当 在等和线与点 之间时， ；（如图8）
（4）等和线的距离相等，则它们对应的 成等差数列；（如图9）
（5）记点 到 的距离为 ，点 到等和线的距离为 ，则 。（如图10）
习题：
（1）给定两个长度为1的平面向量 ，它们的夹角为 ，点 以 为圆心的圆弧 上运动，若 ,其中 ,则 的最大值为_____________；
习题：
（1）在梯形 中，已知 , , 为 中点，则
_____________;
(2) 在 中， 是 的中点，若 ,则 ___________。
六、平面向量坐标化。即，把题中的向量如 化为坐标形式 ，再利用直角坐标系进行求解。
习题：
（1）平面向量 ， ，则 ____________；
（2）已知 ，则 __________；
(4)已知非零向量 ;
（5）在 中 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_________;
（6）给定两个长度为1的平面向量 为圆心的圆弧 上运动，若
（7）已知直角梯形 中， 是腰 上的动点，则 的最小值为__________；
（5）在平行四边形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若 ，则 ________；
（6）在 中， 是 的中点， ， 与 交于点 ，且满足 ,则 ______。
四、等和线定理。平面内一组基底 ，若点 在 上或与 平行的直线上，则有 （ 为定值），反之也成立。我们把直线 上或与 平行的直线称为等和线。（如图6）
（8）已知 若点 是 所在平面内一点，且 的最大值为___________。
习题：
（1）在梯形 中，已知 分别为 的中点，若 ，
则 ____________;
（2）在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，若 ,则 ____________;
（3）在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 _____________；
（4）在 中，经过重心 的直线与 交于 两点，设 ,MJ _______;
一、平面向量的定比分点公式
设点 （其中 为起点， 为终点， 为分点），分有向线段 所成的比为 ，则 ，当 时，得到线段 的中点公式 。（如图1）
习题：
（1）若 且 ,则点 的坐标为______________;
（2）已知 ,直线 与线段 交于 ，且 ，则 ；
（3）若 ,且 ,则点 的坐标为_________________。
（2）在 中， 为 上的任意一点， 为 的中点， ，则 __________;
（3）在矩形 中， ，动点 在以 为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为__________。
五、平面向量的极化恒等式。平面向量 满足 ，几何意义：
（1）平行四边形 中，若 ，则 （如图11）
（2）在 中， 是 的中点，则 (如图12)
二、奔驰定理
1、奔驰基本定理。若 为 内一点，且 ；
则 。（如图2）
2、奔驰扩展定理。若 为 外一点，且 点分别位于直线 两侧，
若 百度文库则 （如图3）
习题：
（1）若 为 内一点，且 ；则 ;
(2) 若 为 内一点，且 ；且 , ，则 ;
(3)若点 为 所在平面内一点，且满足 ,
则 。（如图4）
三、三点共线定理。若 三点共线， 为平面内一点， ,则 ，反之也成立。（如图5）
（1）当等和线为 时， ；
（2）当等和线在点 与 之间时， ；（如图7）
（3）当 在等和线与点 之间时， ；（如图8）
（4）等和线的距离相等，则它们对应的 成等差数列；（如图9）
（5）记点 到 的距离为 ，点 到等和线的距离为 ，则 。（如图10）
习题：
（1）给定两个长度为1的平面向量 ，它们的夹角为 ，点 以 为圆心的圆弧 上运动，若 ,其中 ,则 的最大值为_____________；
习题：
（1）在梯形 中，已知 , , 为 中点，则
_____________;
(2) 在 中， 是 的中点，若 ,则 ___________。
六、平面向量坐标化。即，把题中的向量如 化为坐标形式 ，再利用直角坐标系进行求解。
习题：
（1）平面向量 ， ，则 ____________；
（2）已知 ，则 __________；