理论力学第十二章 动量矩定理 教学PPT
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理论力学—动量矩定理ppt课件
W g
R)v
dLO M (e)
P
M (e) WR
( JO W R) dv WR R g dt
dt
a
WR 2
(JO
W g
R2 )
v W
例7 一绳跨过定滑轮,其一端吊有质量为 m 的重物A,另一端 有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r, 质量不计,并且开始时系统静止,求人的速度。
重力和轴承处的反力,这些力对转轴之矩都等于零。 所以系统对转轴的动量矩守恒,即
Lz1 Lz2
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
aa
A 0 B
l
l
C
D
Lz2 2m(a l sin )2
z
2ma20 2m(a l sin )2
(a
a2
l sin )2
23mr2
(b)r
A
A
(c)r
例16 均质圆柱体A和B质量均为m,半径均为r。圆柱A可绕固
定轴O转动。一绳绕在圆柱A上,绳的另一端绕在圆柱B上。求
B下落时,质心C点的加速度。摩擦不计。
解:取A分析,受力如图。A作定
轴转动,应用定轴转动的微分方程
A
有
J A A FT r
的角速度为、求下列三种情况下系统
(b)r
对轴O的动量矩: (a) 圆盘与杆固结;(b)
圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆 时针 O
A
方向转动; (c) 圆盘绕轴A相对杆OA以角
速度 顺 时针方向转动。
(c)r
解:(a)
JO
1 ml2 3
理论力学——第12章 动量矩定理
一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程,有
28
maC mg sinq FS
0 mg cosq FN
JC FSR
[1] [2] [3] [4]
由[2]式得 FN mg cosq
[1] ,[3]两式中含有三个未知数aC 、FS、 ,需补充附加条件。
讨论 1.设接触面绝对光滑,即f = f´‘ =0
均为 v 。 2
17
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
如图示一定轴转动刚体,由质点系对z轴动量矩定理
d
dt
(J z)
n i 1
M z (Fi )
或
d n
Jz
dt
M z (Fi )
i 1
也可为
J z M(z F )
或
d2 n
Jz
dt 2
M z (F )
i 1
以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程
dt
rg(PA PB ) r 2PA r 2PB gJO
16
[例4] 已知:猴子A重=猴子B重,猴B以相对绳速度 v
上爬,猴A不动,问当猴B向上爬时,猴A将如何动? 动的速度多大?(轮重不计)
解:因
MO(F(e)) 0 ,
故系统的动量矩守恒。
0mAvArmB (vvA)r
vA
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,
R22
1 2
R11
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
m2
m3 )R2v3
8
§12-2 动量矩定理
1.质点的动量矩定理
对质点动量矩求一次导数,得
d dt
MO
(mv)
d dt
28
maC mg sinq FS
0 mg cosq FN
JC FSR
[1] [2] [3] [4]
由[2]式得 FN mg cosq
[1] ,[3]两式中含有三个未知数aC 、FS、 ,需补充附加条件。
讨论 1.设接触面绝对光滑,即f = f´‘ =0
均为 v 。 2
17
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
如图示一定轴转动刚体,由质点系对z轴动量矩定理
d
dt
(J z)
n i 1
M z (Fi )
或
d n
Jz
dt
M z (Fi )
i 1
也可为
J z M(z F )
或
d2 n
Jz
dt 2
M z (F )
i 1
以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程
dt
rg(PA PB ) r 2PA r 2PB gJO
16
[例4] 已知:猴子A重=猴子B重,猴B以相对绳速度 v
上爬,猴A不动,问当猴B向上爬时,猴A将如何动? 动的速度多大?(轮重不计)
解:因
MO(F(e)) 0 ,
故系统的动量矩守恒。
0mAvArmB (vvA)r
vA
v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,
R22
1 2
R11
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
m2
m3 )R2v3
8
§12-2 动量矩定理
1.质点的动量矩定理
对质点动量矩求一次导数,得
d dt
MO
(mv)
d dt
理论力学课件-动量矩定理
注意到
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如,对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五.计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时,可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆,均质直杆:m1、l ; 均质圆盘:m2 、R 。求 JO 。
解:JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ,质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ;
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解:J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板,如图所示。其质量为m,半径为R,求 它对中心轴的转动惯量。 解:在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质,故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ,定滑轮重 P ,半径为r,求 。
解: 取整个系统为研究对象,受力如图示。
运动分析: v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如,对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五.计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时,可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆,均质直杆:m1、l ; 均质圆盘:m2 、R 。求 JO 。
解:JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ,质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ;
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解:J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板,如图所示。其质量为m,半径为R,求 它对中心轴的转动惯量。 解:在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质,故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ,定滑轮重 P ,半径为r,求 。
解: 取整个系统为研究对象,受力如图示。
运动分析: v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
动量矩定理ppt课件
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩,等于刚体随同质心
作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
15
三.质点系的动量矩定理
⒈ 质点系对固定点的动量矩定理
对质点Mi :
d dt
mO
(mi
vi
)
mO
(
Fi
(
i
)
)
mO
(
Fi
(e
)
)
(i 1,2,3,,n)
对质点系,有 ddt mO (mivi )mO (Fi(i) )mO (Fi(e) ) (i1,2,3,,n)
运动分析 v l, OM mO (mv ) 微ddt由微幅(m动分摆l 2量方动dd矩程t时)定的, 理解sinm为gdd:ltsminO,(mA sv并,in)(令dd2tmg2 Otn(2Fgl)s)ingl
mld d
dt
0
,则d 2
dt 2
l n2
ml 2 0
d
dt
代入初始条件 (t 0, 0,l0 0)
它的动量恒等于零。--
-不能用动量描述,正是
为了解决这类问题才提出 了动量矩的概念。
5
?谁最先到 达顶点
动量矩的实例一
6
?没有尾桨 的直升飞 机是怎么 飞起来的
动量矩的实例二
7
?为什么二者
转动方向相反
动量矩的实例三
8
动量矩的实例四
航天器是 怎样实现姿 态控制的
9
§12-1 质点的动量矩定理 1. 质点的动量矩
m aC FRe FRe 0,FRex 0,或 FRey 0,或 FRez 0
vCx = C2x,或 vCx = C2y,或 vCx = C2z
理力12动力学动量矩定理.ppt
拉断后,求各杆与铅垂线
ω0
ω
成θ角时系统的角速度ω 。
27
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-4
28
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-4
z aa
z aa
解: 此系统所受的重力和轴承的约束
力对于转轴的矩都等于零,因此系统
对于转轴的动量矩守恒。
当θ=0时,动量矩
l
θ
θl
Lz1 2 ma0 a 2ma20
两个鼓轮固连在一起,其总质量是 m,对水平转轴 O的转
动惯量是 JO;鼓轮的半径是 r1和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质 量分别是 m1 和 m2 (图a),且 m1> m2。试求鼓轮的角加速度。
r1 r2
A
B
(a)
13
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-2
14
例题
第十二章 动量矩定理
(b)
MOz (m1r1 m2r2 )g
(c)
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a),即得
(JO
m1r12
m2r22 )
d
dt
(m1r1
m2r2 )g从而求出鼓轮的角加速度 Nhomakorabea
d
dt
JO
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
g
方向为逆钟向。
例 题 12-2
)
MO (Fi(i) )
MO (Fi(e) )
n
i 1
d dt
MO (mivi )
n i 1
MO (Fi(i) )
理论力学_12.动量矩定理
理论力学
动量定理: 质心运动定理:
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力(外力系主矢)
质心的运动—外力(外力系主矢) 若当质心为固定轴上一点时,vC=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点(固轴) 的动量矩的改变与外力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系, 由速度合成定理,有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即:质点系对质心的绝对运动动量矩,等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论:在计算质点系对于质心的动量矩时,用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi,或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`,所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理:
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理:内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心(轴)转动的问题。
二.质点系的动量矩定理 对质点Mi :dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
动量定理: 质心运动定理:
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力(外力系主矢)
质心的运动—外力(外力系主矢) 若当质心为固定轴上一点时,vC=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点(固轴) 的动量矩的改变与外力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系, 由速度合成定理,有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即:质点系对质心的绝对运动动量矩,等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论:在计算质点系对于质心的动量矩时,用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi,或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`,所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理:
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理:内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心(轴)转动的问题。
二.质点系的动量矩定理 对质点Mi :dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
理论力学第十二章 动量矩定理 教学PPT解析
平面内力对点的矩:
z
B
Mz(F) = xFy yFx
MO (mv)
mv
和平面内力对点的矩相似,可
以得到质点动量mv在Oxy平面内 的投影(mv)xy对点O(z轴)的矩
rA
y
O
B
Mz(mv) = (xmvy ymvx) x
(mv)xy A
Mz(mv) = m (xvy yvx)
质点的动量矩
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影,等于质点 对z轴的动量矩,即:
[Mo (mv)]z M z (mv)
Mo F z Mz F
质点对轴的动量矩是代数量。
质点对点O的动量矩与对z轴的动量矩二者的关系, 同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。
在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N • m • s
质点系的动量矩
z
Iz M
回转半径:设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为z 处,则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J z J Z M d2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理,可以 快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的 转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量)
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
Lz = ∑mz(mv) = ∑m量矩,等于这刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积。
例题
理论力学第12章 动量矩定理.
1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时,无论圆轮转动的 快慢如何,无论转动状态有什么变化,它的动量恒等于零, 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系,但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。
因此,我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴,对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理:质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数,等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上,并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影,就等于动量及力对该轴的矩,
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影,即质点系对过 O点的轴的动量矩:
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
因此,我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴,对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理:质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数,等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上,并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影,就等于动量及力对该轴的矩,
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影,即质点系对过 O点的轴的动量矩:
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
质点动量矩定理.pptx
z
A
vir
r r i
C
---(1)
i
ri rC C
i
v ve vc i
v v v i
C ir ---(2) o
y
v C
x
第18页/共38页
z
A
v
ir
1、质点系相对固定 点运动的动量矩
ri rC C
i
v ve vc i
o
y
v C
x
LO MO mivi ri mivi ---(3)
4m1
3m2
2m3 R2v3
第35页/共38页
由动量矩定理得:
dLO
dt
e
MO Fi
a3
2M
4m1
m2 m3 gR2
3m2 2m3 R2
取分离体C:
m3a3 T3 m3 g
R F 1 Oy
1
M A FOx
m1 g
v2
T3 v3
2
B
m2 g R2
v3
C
m3 g
C
m3 g
第36页/共38页
对点的:
L M (mv )
O
O
ii
m i
r
i
vC
MO
mvC
对轴的:
L z
M z
mvC
第4页/共38页
(2)定轴转动刚体对转动轴的动量矩:
v r
i
i
Lz Mz mivi miri2 Jz
J z 定轴转动刚体对z轴的转动惯量
(3)平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为:
动量矩定理:
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z
LO
A
C
D
o
B
例题
解: 取整体系统为研究对象。
z
L0 D NAy
ω
A
C
y
(1). 系统对O点的动量矩 角速度向量 两小球的矢径 它们的速度
ω (cos j sin k )
rC lj, rD lj
vC ω rC l sin i
B
o
NBy NBz
mg
质点系冲量定理
质点的动量在一段时间内的变化量 ,等于作用在 质点上的力在同一段时间内的冲量。
质心运动定理
质点系的总质量与其质心加速度的乘积 , 等于作 用在该质点系上所有外力的矢量和(主矢)。
动量矩定理
动量定理
建立了作用力与动量变化之间的关系,揭示了
质点系机械运动规律的一个侧面(平动效应),
而不是全貌。例如,圆轮绕质心转动时,无论
从而求得结合后的共同角速度
显然 的转向与 0 相同。
J1 0 J1 J 2
例题
O
均质圆轮半径为R、质
量为m。圆轮在重物P
带动下绕固定轴O转动,
已知重物重量为W。
P
W
求重物下落的加速度
例题
O
解:设圆轮的角速度和角加速度 分别为 和 ,重物的加速度为 aP。 圆轮对O轴的动量矩
复习
动量
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质点 的动量。质点系内各质点的动量的矢量和称为该 质点系的动量主矢简称为质点系的动量。
冲量
若作用力F为为常力,则力 F与其作用时间 t的乘 积称为t时间内力F的冲量。
动量定理
质点的动量对时间的导数,等于作用于它的力.
复习
质点系动量守恒定理
在运动过程中 ,如作用于质点系的所有外力的矢 量和始终等于零,则质点系的动量保持不变。
转动惯量
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示: 式中 为质量为 dm 的微元到该轴的距离 M 表示积分范围遍及刚体全部质量.
J dm
2 M
说明
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅 与其质量分布有关的特征量
转动惯量
回转半径
Iz M
2 z
Iz z M
回转半径:设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为 z 处,则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
质点的动量矩定理
d d dr r (mv ) [ M O (mv )] mv dt dt dt
当矩心 O 固定时, dr/dt = v,因而上式右端第二项恒等于 零。于是得到
d [ M O (mv )] M O ( F ) dt
取上式的投影式,由对点的动量矩和对轴的动量矩的关系 式得 d
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J J Md
z Z
2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理,可 以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴 的转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量)
mg
vD ω rD l sin i
由质点系的动量矩的定义可得
LO rC mvC rD mvD 2ml 2 sin k
例题
(2). 求A、B轴承的约束力
dLO ω LO = ml 2 2 sin 2 i dt 由质系的质心运动定理得
NAy=NBy, NBz=2mg 外力对O点的主矩为
质点系的动量矩守恒定理
开普勒第二定律
质点系的动量矩守恒定理
谁最先到达顶点?
质点系的动量矩守恒定理
直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象
?
质点系的动量矩守恒定理
质点系的动量矩守恒定理
例题
摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前,已知 主动轴 1 以角速度 0转动,而从动轴 2 处于静止(图a)。一经 结合,轴 1 的转速迅速减慢。轴 2 的转速迅速加快,两轴最后 以共同角速度 转动(图b)。已知轴 1 和轴 2 连同各自的附件 对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ,试求接合后的共同角速度 ,轴承的摩擦不计。
LO1 LO rO1O mvO
r O vo
rO1O
y
LO J O ω
vO r i rO1O mvO mr 2ω LO1 3 mr 2 ω 2
x
O1
动量矩定理
质点的动量矩定理
已知质点的动量定理 d (mv ) F dt 将其两端各用质点的矢径 r 作矢乘,得 d r (mv ) r F dt 右端是力 F 对点 O 的矩 MO(F) ,左端可改写成 d d dr r (mv ) (r mv ) mv dt dt dt d dr [ M O (mv )] mv dt dt
Mz(F) = xFy yFx
B
和平面内力对点的矩相似,可 以得到质点动量 mv 在 Oxy 平面 内的投影(mv)xy对点 O(z轴)的
M O (mv )
mv
r
O
A y
B
矩
Mz(mv) = (xmvy ymvx) Mz(mv) = m (xvy yvx)
x
A
(mv ) xy
质点的动量矩
(e) MO N Ayhi
NAy
ω
A
C
y
z
L0 D
B
o
NBy NBz
mg
mg
质系对定点的动量矩定理:
N Ay N By ml 2 2 sin 2 h
如何计算系统对转动轴AB的动量矩?
例题
两个鼓轮固连在一起,其总质量是 M ,对水平转轴 O的 转动惯量是 JO ;鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A 和 B 质量分别是 M1 和 M2 且 M1 > M2 试求鼓轮的角加速度。
dLO (e) MO dt
1 W 2 mR a P R WR 2 g
P W 其中 aP=R
aP
W m W 2 g
例题
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆 连接,并以其中点固定在铅垂轴AB上,杆与AB轴 之间的夹角为 ,轴AB以匀角速度 转动。A、B 轴承间的距离为h。求(1). 系统对O点的动量矩; ω (2). A、B轴承的约束反力。 y
0
(a)
(b)
例题
解: 取轴1和轴2组成的系统作为研究对象。接合时作用在 两轴的外力对公共转轴的矩都等于零,故系统对转轴的总 动量矩不变。接合前系统的动量矩是 (J1 0+ J2 0) 。 离合器接合后,系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩 守恒定理得
J10 ( J1 J 2 )
LO1=J O 1 mR 2 2
重物对O的轴动量矩 P aP W
W LO 2=mvR vR g
系统对O的轴总动量矩
LO=LO1+LO 2 1 W 2 mR + vR 2 g
例题
LO=LO1+LO 2 1 W mR 2+ vR 2 g
O
应用动量矩定理
d 1 W 2 ( mR vR) WR dt 2 g
它怎样转动,圆轮的动量都是零,动量定理不 能说明这种运动规律。
动量矩定理
从另一个侧面,揭示出质点系相对于某一定点
或质心的运动规律(转动效应)。
动量矩定理
主要内容
动量矩 动量矩定理 刚体的定轴转动微分方程 相对质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
动量矩
质点的动量矩
对点的动量矩 质点A的动量 mv 对点O的矩,定义为质点A 对点O的动量矩。
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影,等于质点 对z轴的动量矩,即:
[ Mo (mv)]z M z (mv)
质点对轴的动量矩是代数量。
M o F z Mz F
质点对点O的动量矩与对 z轴的动量矩二者的关系,
同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。 在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N m s
d [ M O (mv )] M O ( F (e) ) M O ( F (i) ) dt
由于内力总是成对的作用于质点系 ,因而全部内力之矩的总
和也恒等于零。设以 MO = ΣMO(F(e)) 代表全部外力对固定 点 O 的矩的矢量和(即主矢),并注意到上式左端可改写成 dLO d d [ M O (mv )] [ M O (mv )] dt dt dt
可见,质点系对某固定点(或某固定轴)的动量矩随时间的 变化率,等于作用于质点系的全部外力对同一点(和同一轴) 的矩的矢量和(或代数和)。这就是质点系的动量矩定理。
质点系的动量矩守恒定理
1. 如果∑MO(F) 0,则由右式可知 MO (mv)= 常矢量 2. 如果∑Mz(F) 0,则由右式可知 Mz (mv)=常量
绕定轴转动刚体的动量矩
设刚体以角速度 (代数值)绕固定轴 z 转动,刚 体内任一点 A 的转动半径是 rz 。
该点的速度大小是 v = rz ,方 向同时垂直于轴 z 和转动半径 rz , 且指向转动前进的一方。
若用 m 表示该质点 A的质量 ,则 其动量对转轴 z 的动量矩为
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
LO
A
C
D
o
B
例题
解: 取整体系统为研究对象。
z
L0 D NAy
ω
A
C
y
(1). 系统对O点的动量矩 角速度向量 两小球的矢径 它们的速度
ω (cos j sin k )
rC lj, rD lj
vC ω rC l sin i
B
o
NBy NBz
mg
质点系冲量定理
质点的动量在一段时间内的变化量 ,等于作用在 质点上的力在同一段时间内的冲量。
质心运动定理
质点系的总质量与其质心加速度的乘积 , 等于作 用在该质点系上所有外力的矢量和(主矢)。
动量矩定理
动量定理
建立了作用力与动量变化之间的关系,揭示了
质点系机械运动规律的一个侧面(平动效应),
而不是全貌。例如,圆轮绕质心转动时,无论
从而求得结合后的共同角速度
显然 的转向与 0 相同。
J1 0 J1 J 2
例题
O
均质圆轮半径为R、质
量为m。圆轮在重物P
带动下绕固定轴O转动,
已知重物重量为W。
P
W
求重物下落的加速度
例题
O
解:设圆轮的角速度和角加速度 分别为 和 ,重物的加速度为 aP。 圆轮对O轴的动量矩
复习
动量
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质点 的动量。质点系内各质点的动量的矢量和称为该 质点系的动量主矢简称为质点系的动量。
冲量
若作用力F为为常力,则力 F与其作用时间 t的乘 积称为t时间内力F的冲量。
动量定理
质点的动量对时间的导数,等于作用于它的力.
复习
质点系动量守恒定理
在运动过程中 ,如作用于质点系的所有外力的矢 量和始终等于零,则质点系的动量保持不变。
转动惯量
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示: 式中 为质量为 dm 的微元到该轴的距离 M 表示积分范围遍及刚体全部质量.
J dm
2 M
说明
刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅 与其质量分布有关的特征量
转动惯量
回转半径
Iz M
2 z
Iz z M
回转半径:设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为 z 处,则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
质点的动量矩定理
d d dr r (mv ) [ M O (mv )] mv dt dt dt
当矩心 O 固定时, dr/dt = v,因而上式右端第二项恒等于 零。于是得到
d [ M O (mv )] M O ( F ) dt
取上式的投影式,由对点的动量矩和对轴的动量矩的关系 式得 d
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J J Md
z Z
2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理,可 以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴 的转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量)
mg
vD ω rD l sin i
由质点系的动量矩的定义可得
LO rC mvC rD mvD 2ml 2 sin k
例题
(2). 求A、B轴承的约束力
dLO ω LO = ml 2 2 sin 2 i dt 由质系的质心运动定理得
NAy=NBy, NBz=2mg 外力对O点的主矩为
质点系的动量矩守恒定理
开普勒第二定律
质点系的动量矩守恒定理
谁最先到达顶点?
质点系的动量矩守恒定理
直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象
?
质点系的动量矩守恒定理
质点系的动量矩守恒定理
例题
摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前,已知 主动轴 1 以角速度 0转动,而从动轴 2 处于静止(图a)。一经 结合,轴 1 的转速迅速减慢。轴 2 的转速迅速加快,两轴最后 以共同角速度 转动(图b)。已知轴 1 和轴 2 连同各自的附件 对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ,试求接合后的共同角速度 ,轴承的摩擦不计。
LO1 LO rO1O mvO
r O vo
rO1O
y
LO J O ω
vO r i rO1O mvO mr 2ω LO1 3 mr 2 ω 2
x
O1
动量矩定理
质点的动量矩定理
已知质点的动量定理 d (mv ) F dt 将其两端各用质点的矢径 r 作矢乘,得 d r (mv ) r F dt 右端是力 F 对点 O 的矩 MO(F) ,左端可改写成 d d dr r (mv ) (r mv ) mv dt dt dt d dr [ M O (mv )] mv dt dt
Mz(F) = xFy yFx
B
和平面内力对点的矩相似,可 以得到质点动量 mv 在 Oxy 平面 内的投影(mv)xy对点 O(z轴)的
M O (mv )
mv
r
O
A y
B
矩
Mz(mv) = (xmvy ymvx) Mz(mv) = m (xvy yvx)
x
A
(mv ) xy
质点的动量矩
(e) MO N Ayhi
NAy
ω
A
C
y
z
L0 D
B
o
NBy NBz
mg
mg
质系对定点的动量矩定理:
N Ay N By ml 2 2 sin 2 h
如何计算系统对转动轴AB的动量矩?
例题
两个鼓轮固连在一起,其总质量是 M ,对水平转轴 O的 转动惯量是 JO ;鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A 和 B 质量分别是 M1 和 M2 且 M1 > M2 试求鼓轮的角加速度。
dLO (e) MO dt
1 W 2 mR a P R WR 2 g
P W 其中 aP=R
aP
W m W 2 g
例题
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆 连接,并以其中点固定在铅垂轴AB上,杆与AB轴 之间的夹角为 ,轴AB以匀角速度 转动。A、B 轴承间的距离为h。求(1). 系统对O点的动量矩; ω (2). A、B轴承的约束反力。 y
0
(a)
(b)
例题
解: 取轴1和轴2组成的系统作为研究对象。接合时作用在 两轴的外力对公共转轴的矩都等于零,故系统对转轴的总 动量矩不变。接合前系统的动量矩是 (J1 0+ J2 0) 。 离合器接合后,系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩 守恒定理得
J10 ( J1 J 2 )
LO1=J O 1 mR 2 2
重物对O的轴动量矩 P aP W
W LO 2=mvR vR g
系统对O的轴总动量矩
LO=LO1+LO 2 1 W 2 mR + vR 2 g
例题
LO=LO1+LO 2 1 W mR 2+ vR 2 g
O
应用动量矩定理
d 1 W 2 ( mR vR) WR dt 2 g
它怎样转动,圆轮的动量都是零,动量定理不 能说明这种运动规律。
动量矩定理
从另一个侧面,揭示出质点系相对于某一定点
或质心的运动规律(转动效应)。
动量矩定理
主要内容
动量矩 动量矩定理 刚体的定轴转动微分方程 相对质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
动量矩
质点的动量矩
对点的动量矩 质点A的动量 mv 对点O的矩,定义为质点A 对点O的动量矩。
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影,等于质点 对z轴的动量矩,即:
[ Mo (mv)]z M z (mv)
质点对轴的动量矩是代数量。
M o F z Mz F
质点对点O的动量矩与对 z轴的动量矩二者的关系,
同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。 在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N m s
d [ M O (mv )] M O ( F (e) ) M O ( F (i) ) dt
由于内力总是成对的作用于质点系 ,因而全部内力之矩的总
和也恒等于零。设以 MO = ΣMO(F(e)) 代表全部外力对固定 点 O 的矩的矢量和(即主矢),并注意到上式左端可改写成 dLO d d [ M O (mv )] [ M O (mv )] dt dt dt
可见,质点系对某固定点(或某固定轴)的动量矩随时间的 变化率,等于作用于质点系的全部外力对同一点(和同一轴) 的矩的矢量和(或代数和)。这就是质点系的动量矩定理。
质点系的动量矩守恒定理
1. 如果∑MO(F) 0,则由右式可知 MO (mv)= 常矢量 2. 如果∑Mz(F) 0,则由右式可知 Mz (mv)=常量
绕定轴转动刚体的动量矩
设刚体以角速度 (代数值)绕固定轴 z 转动,刚 体内任一点 A 的转动半径是 rz 。
该点的速度大小是 v = rz ,方 向同时垂直于轴 z 和转动半径 rz , 且指向转动前进的一方。
若用 m 表示该质点 A的质量 ,则 其动量对转轴 z 的动量矩为
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2