矩阵与变换

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高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念

矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：
初赛复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经）
四、词类活用 1.面山而居名词作动词，向着。 2.聚室而谋使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段：故事背景，介绍两座山。第二段：开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。第三段：高潮，愚公驳斥智叟的观点。第四段：结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么内容，有何作用。

矩阵的变换和应用

矩阵的变换和应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它具有广泛的应用范围。

在数学、工程、科学等领域，矩阵用于描述和处理各种数据和问题。

本文将重点介绍矩阵的变换和应用，包括线性变换、旋转变换、缩放变换和平移变换等。

一、线性变换矩阵的线性变换是矩阵在向量空间中的应用之一。

线性变换是指将一个向量或一个向量组通过矩阵的相乘操作进行转换的过程。

在二维空间中，线性变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，矩阵的第一行表示了原始向量在x轴上的线性变换，第二行表示了原始向量在y轴上的线性变换。

通过对矩阵进行相乘运算，可以得到经过线性变换后的新向量坐标。

二、旋转变换旋转变换是矩阵在几何学中的重要应用之一。

通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量绕着原点进行旋转。

在二维空间中，旋转变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，θ表示旋转的角度。

通过对原始向量和旋转矩阵进行相乘运算，可以得到经过旋转变换后的新向量坐标。

三、缩放变换缩放变换是矩阵在图形学和几何学中的常见应用之一。

通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量在x轴和y轴上进行不同比例的缩放。

在二维空间中，缩放变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=s_x & 0 \\0 & s_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，s_x表示x轴的缩放比例，s_y表示y轴的缩放比例。

矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵

矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。

本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。

一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。

在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。

矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。

具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。

矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。

在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。

二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。

逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。

判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。

若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。

逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。

例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。

三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。

高中数学矩阵与变换

14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上，所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤132 4.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程．解析设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点，设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应变换作用下新曲线上的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′，即⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)．由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎨⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解析设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y 2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解析由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解析由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解析由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0，所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。

矩阵的基本性质与变换

矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。

本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。

一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。

矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。

矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。

以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。

加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。

减法运算的定义与加法类似。

2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。

C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。

即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

只有方阵才存在逆矩阵。

二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。

1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。

矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。

2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。

仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。

矩阵与变换

对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记（为 T： , y ) x, y )， (x （或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。

线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。

线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。

线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。

本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。

一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。

如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。

其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。

线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。

这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。

二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。

我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。

矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。

我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。

三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。

每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。

矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。

我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。

这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。

矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。

在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。

矩阵及其初等变换

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (3) 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 .
16
理学院数学科学系
20 17 12 A 30 20 10 4 80 68 48 B 4 A 120 80 40

17
理学院数学科学系
数与矩阵的乘法运算规则
( ) A ( A) ( ) A A A
4
理学院数学科学系
a11 a21 A a m1
a12 aLeabharlann 2 am 2 a1n a2n amn
这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a ij 位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 a ij 为(i,j)元的矩阵可简记作 ( a ij ) 或 ( a ij ) m n . m n 矩阵A也记作 Am n . 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵. 矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念. 矩阵的行数和列数不一定相等.
22
理学院数学科学系
特别注意-乘积不可交换
AB乘积一般不可以交换， (1) A21 , B13 , AB为 2 3矩阵，但BA无意义； (2) A23 , B3 2 , AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.
若 AB BA, 则称矩阵 A、B 乘积可交换. 由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
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例1.3 n个变量 x1 , x2 ,, xn 与m个变量之间的 y1 , y2 ,, ym 关系式

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换，当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

初等矩阵与初等变换的关系

初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。

初等变换指的是对矩阵进行三种基本操作：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。

这篇文章将以生动的方式介绍初等矩阵与初等变换之间的关系，并解释它们在数学和实际中的重要性。

让我们从一个简单的例子开始，考虑一个3x3的单位矩阵：I = [1 0 0][0 1 0][0 0 1]现在，我们进行一次交换第一行和第二行的初等变换，得到矩阵：E1 = [0 1 0][1 0 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E1是通过单位矩阵在第一行和第二行进行交换得到的。

这就是初等矩阵与初等变换之间的关系：初等变换通过对单位矩阵的某些行（列）进行操作，得到对应的初等矩阵。

接下来，让我们考虑另外两种初等变换：第一行乘以一个非零常数和第一行的倍数加到第二行上。

首先，我们将第一行乘以2，得到矩阵：E2 = [2 0 0][0 1 0][0 0 1]再将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵：E3 = [1 0 0][2 1 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E2和E3分别由单位矩阵通过第一行乘以2和第一行的2倍加到第二行上得到。

这再次验证了初等矩阵与初等变换之间的关系。

初等矩阵与初等变换在数学中扮演着重要角色。

它们可以用于求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。

通过将初等变换应用于矩阵，我们可以通过初等矩阵的乘积来实现这些操作，简化计算过程。

在实际应用中，初等矩阵与初等变换也非常有用。

它们可以用于图像处理、数据压缩、机器学习等领域。

例如，在图像处理中，我们可以通过初等变换来调整图像的亮度、对比度或色彩饱和度。

在数据压缩中，我们可以使用初等矩阵表示矩阵的近似，从而减少存储空间和计算复杂度。

总结起来，初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。

初等变换是对矩阵进行交换行（列）、乘以一个非零常数或行（列）的倍数加到另一行（列）上的基本操作。

线性变换与矩阵的相似性

线性变换与矩阵的相似性在数学中，线性变换和矩阵是两个非常重要的概念。

线性变换是指一个向量空间内的元素进行的一种操作，而矩阵则是线性变换在选择基准下的具体表示。

本文将讨论线性变换和矩阵之间的相似性。

一、线性变换简介线性变换可以将一个向量空间的元素映射为同一向量空间中的另一个元素，保持向量空间的线性结构。

具体而言，设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和标量a，b∈F（其中F是一个指定的域），满足以下两个条件：1. T(x+y) = T(x) + T(y) （线性性）2. T(ax) = aT(x) （齐次性）则称T:V→W为一个线性变换。

二、矩阵简介矩阵是线性变换在选定的基下的具体表达。

设V和W是两个有限维向量空间，分别选定它们的基v1, v2, ..., vn和w1, w2, ..., wm。

对于线性变换T:V→W，我们可以将T在这两个基下的表达表示为一个矩阵。

具体而言，设x∈V是一个向量，T(x)∈W是T对应的向量，若T(x)在基w1, w2, ..., wm下的坐标是(y1, y2, ..., ym)，则称(y1, y2, ..., ym)为x在基v1, v2, ..., vn下的坐标。

我们可以将所有x在这两个基下的坐标组成一个矩阵，这就是线性变换T在选定基下的矩阵表示。

三、线性变换与矩阵之间存在着一种特殊的关系，即相似性。

对于同一个线性变换T，在不同的基下，其对应的矩阵表示可能是不同的。

然而，这些矩阵之间存在一种特殊的关系，即相似矩阵。

定义：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是n×n矩阵，那么我们称A与B相似。

换句话说，一对相似的矩阵表示的是同一个线性变换在不同基下的具体表达。

相似矩阵之间具有如下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。

设A和B是相似矩阵，且v是A的一个特征向量，那么有Av = λv, 其中λ是A的一个特征值。

此时，对于B，也有B(Pv) = P(Av) = λ(Pv)，即Pv是B的特征向量，λ是B的特征值。

矩阵与变换小结

第一课二阶矩阵与平面向量【考点扫描】1．了解矩阵的相关知识在数学中，把形如，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡31⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4 2332m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡85659080这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素所在的行和列。

同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.平面上向量),(y x =α的坐标和平面上的点P （x,y ）都可以看做是行矩阵，也可以看做是列矩阵.因此我们又称为行向量，称[y x ]]⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x [y x⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y ）的坐标写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.当两个矩阵Ａ、Ｂ，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有Ａ＝Ｂ.2．掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则行矩阵[与列矩阵的乘法规则：=[]]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b []1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 21121111b a b a ×+×二阶矩阵与列向量的乘法规则：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡×+××+×022021012011y a x a y a x a 一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 3．理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P （x,y ）,那么列向量左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 对于平面上的任意一个点（向量）（x,y ）,若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个点（向量），则称T 为一个变换，简记为：T ：),(y x ′′),(),(y x y x ′′→或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形. 【基础训练】 1、写出方程组变量x,y 的系数矩阵.⎩⎨⎧−=+=−2312my x y x 2、已知,，若A=B ，求a ，b ，c ，d.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b da A 23⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 2453、某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是100万吨、140万吨、160万吨；从乙矿区向城市A 、B 、C 送煤的量分别是300万吨、260万吨、540万吨；把上述结果分别用2×3矩阵和3×2矩阵表示. 4、分别计算下列乘法运算的结果（1）（2）（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡423221⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡421001⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡420110（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100⎥⎦⎤⎢⎣⎡425、求点A （3，6）在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−21011对应的变换作用下得到的点. 6、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，试将它写成坐标变换的形式. 【解题指导】例1、计算：（1）（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡120110 解：（1）原式= （2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡×+××+×1311201121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−×+×−×+×21)1(021)1(120点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键例2、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.解：正方形ABCD 的四个顶点的坐标依次为A （0，0）、B （a,c ）、C(0,4)、D(b,d),从而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=22，正方形ABCD 的面积为8.点评: 根据顶点矩阵写出正方形的顶点的坐标,再利用正方形中的边长相等,对角线相等互相垂直平分等有关数量关系求出a,b,c,d 的值和正方形的面积. 例3、已知200,0202x y xA B y x y +⎡⎤⎡==⎢⎥⎢−−−⎣⎦⎣⎤⎥⎦，若A=B ，求x ，y.解：由矩阵相等的定义得：,2x y x =+且y 2x y 2−=−−解之得：x=y=-1点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.例4、已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252解：根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2152点评：一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式. 例5、已知矩阵，[])(x f A =[]x x B −=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数在[1,2] 上的最小值. )x (f 解: ∵BC=[]x 1x −⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2x =[])x 1(a 2x 2−+, 又∵ A=BC [)(x f A =]2222)(22)(a a a x a ax x x f −+−=+−=，∵x ∈[1,2]当x ≥２时，函数在[1,2]上的最小值为)x (f a 24)2(f −=. 当1≤x ＜2时，函数在[1,2]上的最小值为. )x (f 2a a 2)a (f −=当x ＜1时，函数在[1,2]上的最小值为)x (f 1)1(f =∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤−≥−=)1( 1)21( 2)2( 24)(2x x a a x a x f 点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论. 【本课小结】1. 基础知识：掌握矩阵的相关知识与二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义2. 基本技能：正确地进行二阶矩阵与平面列向量的乘法运算3. 基本思想：灵活运用等价转化、分类讨论、函数与方程的思想解决矩阵问题【能力测试】 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组其中正确的是（）⎩⎨⎧−=−=+1y 2x 2y 3x 2A 、 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122132y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122312y xC 、D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−122132y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−121223y x3、计算:=__________ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡3211104、点A （1，2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是___________⎥⎦⎤⎢⎣⎡−10225、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 20006、已知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=1sin cos sin cos 1ββααA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=1221B 若A=B ，求α，β. 7、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=−，试求A. 8、若点A )22,22(在矩阵对应的变换作用下得到的点为（1，0），求α. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos 9、若点A 在矩阵对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.1222−⎡⎢−⎣⎦⎤⎥⎥x x x B sin 2cos sin 10、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.1111⎡⎤⎢−⎣⎦11、已知矩阵，[])(x f A =[]−=⎥⎦⎤⎢，⎣⎡=x x C sin cos ，若A=BC ，求函数在)x (f ]3,0[π上的最小值.第二课几种常见的平面变换【考点扫描】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（１）一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换．（２）由矩阵M=确定的变换T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=或M=伸压变换矩阵．⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001当M=时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 1k >时伸长,当时压缩.变换T 1k 0<<M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．1k 0<<当M=时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 0011k >时伸长,当时压缩．1k 0<<在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．（４）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点．反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有：由矩阵M １=确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001确定的变换是关于y轴的轴反射变换,由矩阵M ３=确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−1001４=确定的变换是关于直线y=x 的轴反射变换．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（５）将一个平面图形绕一个定点旋转角α得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为．旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转的变换相当于关于定点作中心反射变换．⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos o 180（６）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M １=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，M ２=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 ，M ３=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．（７）由矩阵M=或确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以为例，矩阵把平面上的点沿x 轴方向平移｜ky|个单位，当ky ＞０时沿x 轴正方向移动，当ky ＜０时沿x 轴负方向移动，当ky ＝０时原地不动，⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k )y ,x (切变变换有如下性质：（１）x 轴上的点是不动点；（２）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可．3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了)Z k ()1k 2(∈π+角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x 轴的反射再作关于y 轴的反射的复合; 绕原点作了β+α角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了α角度的旋转变换再绕原点作了β角度的旋转变换等等. 【基础训练】１、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵变换作用下变成正方形，则＝（）.⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a a Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、312、已知矩阵M 1=，M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10012=，M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−10013=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（） A 、恒等变换、反射变换、投影变换 B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵对应的变换作用下得到的图形是（） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100A 、直线x+y=5 B 、直线y=5 C 、直线x=5 D 、点（0，54、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b r ，则向量b r 的坐标为=______________.5、图中正方形ABCD 在由矩阵所确定变换的作用后的图形的面积为_____________.⎥⎦⎤⎢⎣⎡10116、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.【解题指导】⎥⎥例1、求圆C ：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型. 224x y +=2001A ⎡⎤=⎢⎣⎦解：设P(x,y)是圆C ：上的任一点, 224x y +=P 1)y ,x (′′是P(x,y) 在矩阵对应的伸压变换下的曲线上的对应点 , 2001A ⎡⎤=⎢⎣⎦则即 ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′y x y x y x 21002⎩⎨⎧=′=′y y x x 2⎪⎩⎪⎨⎧′=′=y y x x 2 代入得 224x y +=22''44x y +=方程221164x y +=表示的曲线为椭圆点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键．例２、若曲线y=x 2（x ≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x 2（x ≤0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M 对应的反射变换是以y 轴为轴的反射变换，所以M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001 点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换．如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵．例３、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为α)20(πα≤≤，则旋转变换矩阵为Ｍ＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ∴＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20⎥⎦⎤⎢⎣⎡−13 ∴⎩⎨⎧=−=−1cos 23sin 2αα∴ 故而3πα= ∴Ｍ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21232321设B ′（x,y ）,则＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21232321⎦⎤⎢⎣⎡31＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡−31 ∴)3,1(B −′点评：逆时针旋转角为α时的旋转矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−ααααcos sin sin cos ，若顺时针旋转角为α时，则将上述矩阵中的α换为－α即可．例４、已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A ′（11，5），点B （3，-1）变成了点B ′（5，1），点C （x ，0）变成了点C ′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. 解：（1）设矩阵M=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡51121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1513 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−=+=+135352112d c b a d c b a ，解之得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2143d c b a ∴M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143（2）由得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2143⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡20y x ⎩⎨⎧==23x y x ∴⎩⎨⎧==62y x 点评：求变换矩阵通常用待定系数法．例５、给定二阶矩阵M ，对任意向量，证明：αβu r u r和()M M M αβαβ+=+u r u r u r u r证明：设，a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ur ，22x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r 121212121212()(()()())x x a x x b y y a b M y y c x x d y y c d αβ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦u r u r121121211222x x ax by ax by a b a b M M y y cx dy cx dy c d c d αβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤+=+=+⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣u r u r⎦))⎤⎥⎦1212121212121212()(()(ax ax by by a x x b y y cx cx dy dy c x x d y y ++++++⎡⎤⎡==⎢⎥⎢++++++⎣⎦⎣得证点评：更一般地，可以证明：βλαλβλαλM M M 2121)(+=+，其中21,λλ为任意实数。

(二)矩阵与变换

(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．解因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝12x －y ，y 0＝y .②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3 y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3 y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 2. 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 2.。

矩阵与变换

矩阵与变换五年高考真题分类汇编：矩阵与变换一、填空题1. （2014·湖北高考理科·Ｔ16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(.答案：)1,3(【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 中的参数t 时出现错误。

二、解答题2.（2014·福建高考理科·Ｔ21）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A.（1）求矩阵A ；（2）求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【解析】(1)∵矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵，且1221130A -=⨯-⨯=≠，…2分∴21211331212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭；………………………………………………3分 (2)矩阵1A -的特征多项式为2()43(1)(3)f 2λ--1λ==λ-λ+=λ-λ--1λ-2，令()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或32λ=，……………………5分∴111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，………………6分211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值31λ=的一个特征向量.…………………7分3．（2013•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －20 3. 4．（2013•福建高考理）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． ①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 'y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎨⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.②由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎨⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 5．（2012•江苏高考）已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 6．（2012•福建高考理）设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫a 0b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 01 1，A 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1 01 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 02 1，所以|A2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1 0－2 1. 7．（2011•福建高考理）设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 00b (其中a ＞0，b ＞0)． (Ⅰ)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (Ⅱ)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM－1＝⎝⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ⎝⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1，所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 00 13.(Ⅱ)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎝⎛⎭⎪⎫a 00 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.8．（2011•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎨⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2.。

矩阵与变换

专题讲义：矩阵与变换一、知识要点 1．矩阵的概念（1）矩阵：由mn 个数()n j m i a ij ≤≤≤≤1,1，排成m 个横行n 个竖列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵或m ×n 矩阵，简称矩阵，数ij a 称为矩阵的元素，其中i ，j 分别表示元素ij a 所在的行与列.一般地，用黑体大写拉丁字母A ，B ，…或者()m nija ，()ij a 来表示矩阵，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列.（2）方阵：n ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211也称为n 阶方阵. 注：在n 阶方阵中，一条从左上角到右下角的由元素a 11，a 12，…，a nn 构成的对角线称为主对角线，一条从左下角到右上角的由元素a n 1，a (n -1)2，…，a 1n 构成的对角线称为副对角线，（3）零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵，记为0.（4）单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 称为n 阶单位矩阵，记为E n ，或简记为E（5）行矩阵与列矩阵：像[a 11 ，a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵.，像⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111a a 这样只有一列的矩阵称为列矩阵. 并用希腊字母α，β，…来表示.注：平面上向量),(y x =和平面上的点),(y x P 都可以看做是行矩阵[]y x，也可以看做是列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .因此，我们常将[]y x 称为行向量，而将⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 称为列向量.习惯上，我们把平面向量),(y x 的坐标写成列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.又因为OP y x P 平面向量一一对应−−−→←),(，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 既可以表示点),(y x ，也可以表示以)0,0(O 为起点、以),(y x P 为终点的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别.（6）：矩阵相等：对于两个矩阵A 和B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B . 2．矩阵的乘法（1）行矩阵与列矩阵的乘法：[]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b []21121111b a b a +=.（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02202101201100y a x a y a x a y x . （3）二阶矩阵的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222122121221121221212112112111122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b . （4）矩阵乘法的简单性质：①矩阵的乘法满足结合律：(AB )C ＝A (BC )②矩阵的乘法不满足交换律：一般地，AB ≠BA③矩阵的乘法不满足消去律：一般地，AB ＝AC 时，不一定有B ＝C注：矩阵乘法的MN 的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换（先T N 后T M ）的复合变换.当连续对向量实施),1(*∈>N n n n 且次变换T M 时，对应的记.Mn nM M M M 个⋅⋅⋅= 3．变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点（向量）),(y x ，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为T ：),(),(y x y x ''→ ，或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x .注：对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x ，那么，根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a y x y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然),,,(R d c b a ∈. 4．几种常见的平面变换（1）恒等变换①恒等变换定义：把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换称为恒等变换. ②恒等变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 （2）伸压变换①伸压变换定义：把沿竖直方向或水平方向伸长或压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换.②伸压变换矩阵：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k y kx 001100轴垂直伸压变换矩阵沿轴垂直伸压变换矩阵沿（当10<<k 时，压缩；当1>k 时，伸长；）（3）反射变换①反射变换定义：将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F '的变换称为反射变换. 关于定直线对称的变换称为轴反射变换；关于定点对称的变换称为中心反射变换；其中，定直线称为反射轴，定点称为反射点.②反射变换矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110100110011001对称的反射变换矩阵关于换矩阵关于原点对称的反射变轴对称的反射变换矩阵关于轴对称的反射变换矩阵关于x y y x（4）旋转变换①旋转变换定义：把将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F '的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角. ②旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 注：⑴旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.⑵旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定. ⑶绕定点作旋转︒180的变换相当于关于定点作中心反射变换. （5）投影变换①投影变换定义：把将平面图形投影到某条直线（或点）的变换称为投影变换.②投影变换矩阵：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01010*******轴上的投影变换矩阵轴方向投影到直线沿垂直于轴上的投影变换矩阵轴方向投影到直线沿垂直于轴上的投影变换矩阵轴方向投影到沿垂直于x y x x y x x x注：投影变换虽是映射，但不是一一映射.以⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001为例，它将平面中的所有点垂直投影到x 轴上，当y 取R 中不同值时，)0,(),(x y x →.（6）切变变换①切变变换定义：把保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换称为切变变换.②切变变换矩阵：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=<>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧=<>⎥⎦⎤⎢⎣⎡时，位置不变当轴负方向移动时，沿当轴正方向移动时，沿当个单位轴方向平移沿点时，位置不变当轴负方向移动时，沿当轴正方向移动时，沿当个单位轴方向平移沿点000101:),(000101:),(kx y kx y kx k kx y y x P ky x ky x ky k ky x y x P5．逆变换与逆矩阵（1）逆变换：有的变换能够“找到回家的路”，我们称它为原变换的逆变换.（2）逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝Ｅ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作B ＝A －1. 注：逆矩阵对应逆变换，并非所有矩阵都存在逆矩阵，但若存在，则是惟一的.（3）逆矩阵存在条件：对于二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当0≠-bc ad 时，矩阵A 存在逆矩阵.注：当一个矩阵表示的是平面上点（向量）到点（向量）的一一映射时，它才是可逆的.此时，逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的矩阵.特殊地，零矩阵对应的变换不是一一映射，故不存在逆矩阵. （4）逆矩阵计算公式：二阶可逆矩阵)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc ad d c b a A ，它的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bcad c bc ad b bc ad d A 1. （5）矩阵乘积的逆矩阵：若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且111)(---=A B AB .（6）矩阵乘法满足消去律的条件：已知A ，B ， C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵Ａ存在逆矩阵，则B ＝C .6．二元一次方程组（1）二阶行列式：将dc b a 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为bc ad dc ba A -==)det(. （2）二元一次方程组解的行列式表示：关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx mby ax 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪⎨⎧--=--=D D dcb a nc ma y D D dc b ad n bm x bc ad cm an y bc ad bn m d x yx（3）二元一次方程组解的逆矩阵表示：对于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，若将⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x X 看成是原向量，而将⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m B 看成是经过系数矩阵)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc ad d c b a A 对应的变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程B AX =，故B A X 1-=.7．特征值与特征向量（1）特征值与特征向量：设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零．．向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.注：从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）；特别地，当λ=0时，特征向量就被变换成了O 向量.（2）特征多项式：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b aA 是一个二阶矩阵，R ∈λ，我们把行列式bc ad d a dcbaf -++-=----=λλλλλ)()(2称为A 的特征多项式. 注：①如果λ是二阶矩阵A 的特征值，那么λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)=0.此时，将λ代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=--0)(0)(y d cx by x a λλ，就可以得到一组非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x .于是，非零向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 即为A 的属于λ的一个特征向量.②一个特征值对应多个特征向量，只有有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量.二、基础检测1．已知点P 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3213对应的变换作用下得到点)5,2(-'P ，则点P 的坐标为 . 【解析】由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-321352⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=y x y x 323，得⎩⎨⎧-=-=+53223y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1119111y x 【答案】)1119,111(2．已知一个图形先作⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1012M 对应的变换，再作⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001N 对应的变换，则表示这两次变换的一个矩阵是 .【解析】⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201210122001NM【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡2012 3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A ，则=3A . 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθ3cos 3sin 3sin 3cos 4．设R b a ∈,，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=b a A 10把直线072:=-+y x l 变换为另一直线0919:=-+'y x l ，则=+b a .【解析】任取l 上两点)3,2(),7,0(.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡237203720b b a ，∵点)23,2(),7,0(-b a b 在直线l '上，∴⎩⎨⎧=+⇒==⇒⎩⎨⎧=--+=-16133091)23(180917b a b a b a b .【答案】165．矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3715A 的逆矩阵为 . 【解析】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-858781831bc ad a bc ad c bc ad b bc ad dA . 【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--85878183 6．矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0312A 的特征值为 .【解析】31032312)(212=-=⇒=--=---=λλλλλλλ和f【答案】－1和3三、探究典例题型1 矩阵运算与变换例1．求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．解法1：设m n M p q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦221001m n p q ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪-=⎩1235m n p q =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=-⎩，即1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.解法2：.532110015321100153421002110015342100211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--M例2．若点A (2，2)在矩阵M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos 对应变换的作用下得到的点为B (－2，2)，求矩阵M 的逆矩阵. 解法1： 010110≠=-=M ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10011M M ，得.01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-M 解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒=011090cos 90sin 90sin 90cos M ，.01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-M例3．已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转︒45后，求得到的曲线C '的方程；（2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.解：（1）由题设条件，000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，':'2222M y x x x T y y y x y ⎤⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即有''x y y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=.所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转︒45后，得到的曲线是222y x -=.（2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转︒45后，即可得到曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，变换矩阵0000cos(45)sin(45)sin(45)cos(45)22N ⎡⎢⎡⎤---⎢==⎢⎥⎢--⎣⎦-⎢⎣⎦02⎡⎢⎡⎡⎤⎢⋅=⎢⎢⎥-⎢⎣⎦⎢⎣⎢⎣，02⎡⎢⎡⎤⎢⋅=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣，即曲线C的焦点坐标是(.而把直线0x y ±=要原点顺时针旋转︒45恰为y 轴与x 轴，因此曲线C 的渐近线方程为0x =和0y =.例4．已知变换A ：平面上的点P (2，－1)、Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0，5) （1）求变换矩阵A ；（2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由．解：（1）假设所求的变换矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，依题意，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--54032112 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-=-52024232d c b a d c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===2112d c b a 所以所求的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A 。

选修4-2矩阵与变换知识点讲解

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：

矩阵与变换

矩阵知识点归纳一、二阶矩阵：了解二阶矩阵的概念1. 线性变换在平面直角坐标系xOy 中，形如⎩⎨⎧x′＝ax ＋by ，y′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)的几何变换2. 二阶矩阵由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 称为，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵常用大写字母A ，B ，C 表示 3、变换、矩阵的相等练习：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 二、二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换1. 了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法（1）向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式（2）二阶矩阵A=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵a →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为A a →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . （3）变换的矩阵表示练习：1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 2. 理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即1212()A A A λαλβλαλβ+=+ （1）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy（2）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2y2，规定向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1＋x2y1＋y2 （3）设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①A(λα)＝λA α，② A(α＋β)＝A α＋A β 等价于1212()A A A λαλβλαλβ+=+ （4）二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)练习：1. 在切变变换ρ：1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下，直线y=2x-1变为2. 在A ＝0.5121-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 3.在1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的线性边变换作用下，椭圆22124x y +=变为 4.曲线C 在1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到圆(x+1)2+(y+1)2=1，则C 方程为 3. 了解几种常见的平面变换：恒等变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．(1)恒等变换：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)旋转变换：逆时针旋转θ角，Rθ对应的矩阵是A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换：点变换成它关于直线l 的对称点关于x 轴对称：A1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 关于y 轴对称：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 (4)伸缩变换：将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数，对应的二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1 00 k 2 (5)投影变换：将点变换成它在直线l 上的投影（过点作直线的垂线，垂足就是点在直线上的投影）关于x 轴的投影变换矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 (6)切变变换：每个点沿与x 轴（y 轴）平行的方向平移|ky|(|kx|)个单位，其中k为非零常数，则对应矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1（A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1）三、变换的复合——二阶方阵的乘法（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义设矩阵A ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 与B 的乘积AB ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝练习：1.计算⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤101324⎛⎫ ⎪⎝⎭1104-⎛⎫⎪⎝⎭2.求13α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过σ：A=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，及ρ：B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦两次变换后的像β→ （2）理解矩阵乘法不满足交换律Ａ＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ AB ≠BA （3）会验证二阶方阵乘法满足结合律：(AB)C=A(BC)Ａ＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ＝0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦（4）理解矩阵乘法不满足消去律:AB=AC 不等价于B=C ，零矩阵四、逆矩阵与二阶行列式（1）理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在（投影变换）①设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换②设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵（2）理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等性质，了解其在变换中的意义 ①设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，记为A －1 ②设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)－1＝B －1A －1 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵①矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 等价于ad －bc ≠0 ②把ad －bc 称为二阶行列式，记为det A=|A|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ③二.阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc练习：1.A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ＝2142⎛⎫⎪⎝⎭是否可逆？若可逆，求其逆矩阵2.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为3.ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫⎪⎝⎭，求点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标五、二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义①方程组ax by ecx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为②设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组ax by ecx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成线性变换形式为ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫⎪⎝⎭（3）理解线性方程组解的存在性、唯一性①如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫⎪⎝⎭②二元一次方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d 不全为0），有非零解⇔a b c d ＝0练习：1.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝2.用逆矩阵的方法解方程组：①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240x y x y -=⎧⎨-=⎩ 六、变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量 ②几何意义：变成与自身共线的向量③如果ξ 是属于特征值λ的一个特征向量，则k ξ也是λ的特征向量，其中k ≠0 ④属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）①特征多项式：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，把行列式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 称为A 的特征多项式设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) ②如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量练习：求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：① 0140⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②1011-⎛⎫ ⎪⎝⎭七、矩阵的应用利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题①设矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭， α 是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则n n A αλα=（*n N ∈）②设1λ、2λ是二阶矩阵A 的两个不同特征值，1ξ 、2ξ是矩阵A 的分别属于特征值1λ、2λ的特征向量，对于平面上任意一个非零向量α ，设1122t t αξξ=+ ，则nA α ＝111222n nt t λξλξ+练习：已知矩阵Ａ＝12532-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量ξ ＝416⎛⎫ ⎪⎝⎭，求3A ξ选修4-2 矩阵与变换1. 设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

矩阵与变换

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念

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(二)矩阵与变换

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