矩阵与变换

建构数学
• 若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在
逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?
• 已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A
存在逆矩阵,则
B=C
建构数学
我们把 a c b d 称为二阶行列式，它的运算结果
是一个数值（或多项式），记为 det(A)= a c b d ad bc
两种形式形异而质同
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
x 当 表示某个平面图形F 上的任意点时， y 这些点就组成了图形F，它在TM 的作用下，将得到 一个新的图形F — —原象集F的象集.
2.2 几种常见的平面变换
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
(即形如
x ' ax + by ' 的几何变换叫做线性变换) y cx + dy
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表 示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变 换。
旋转变换
cos sin 矩阵cos sin
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换. 其中的角做旋转角. 点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会改 变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
1 80 90 2 3 形如 , , 3 60 85 3 2
m 4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体 的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做 矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或 字母）叫做矩阵的列.
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
-b ad bc a ad bc
2.5 特征值与特征向量
设矩阵A＝
a b c d ，如果对于实数l，存在一个
非零向量，使得A= l，则称l是矩阵A的一个特 征值。 是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。
从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵 A的作用后，保持在同一条直线上。 这时，特征向量或者方向不变(l>0)， 或者方向相反(l<0). 特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
b11 a11 a12 ＝ a11 b11 + a12 b21 , b21 x0 a11 a12 二阶矩阵 与列向量 y 的乘法规则为 b21 b22 0 a11 a12 x0 a11 x0 + a12 y0 b b y ＝ b x + b y . 21 22 0 21 0 22 0
2.6 矩阵的简单应用
A 5 1 1 5 N B C 2 2
二级路矩阵
A B C
2 2 2
A 0 2 M B C 1
A B C
2 0 1
A
1 1 0
一级路矩阵 网ຫໍສະໝຸດ Baidu图
NM
2
B
结点
C
建构数学
矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实 施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时，记 作：Mn=M· · · M·· M ·
n个M
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换 的一次或多次复合，而伸压、反射、旋转、 切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵 叫做初等变换矩阵。
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换
2.2.4 旋转变换
2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换
恒等变换矩阵(单位矩阵): 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩 1 0 阵 0 对应的变换,都把自己变成自己。这种 1 特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩阵). 恒等变换: 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒 等变换。
用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。
ax + by m cx + dy n
x 记：X ，B y m n,A
-1
a c
b 则 d
AX B
其中A 1

左乘A
得到X A 1B
d ad bc -c ad bc
如果是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 【定理1】
，则对任意的非零常数t，t也是矩阵A的属于特征 值l的特征向量。 属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.
【定理2】 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。
建构数学
【性质】 设 l1 、 l2 是二阶矩阵 M 的两个不同特征值， 1 、 2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1 、 l2 的特征向 量，对于平面上任意一个非零向量 b ，设 n n n b t11 + t2 2 ，则 M b ＝ t1l1 1 + t2 l2 2
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：
伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变 换,简称伸压变换.
投影变换
1 0 1 0 像 0 0 1 0 这类将平面内图形投影到某条直线
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
2.4 逆变换与逆矩阵
2.4.1 逆矩阵的概念 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性： 若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则 逆矩阵是唯一的.
1 3
2 1矩阵
80 90 60 85
2 2矩阵
2 3 3 2
2 3矩阵
m 4
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵.
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
规定： 行矩阵 a11 b11 a12 与列矩阵 的乘法法则为 b21