复数的几何意义--教案
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
复数的几何意义教案
3.1.3 复数的几何意义1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x 轴叫做实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 复平面内的点 Z(a ，b) ；②复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)平面向量____OZ →＝(a ，b)_____． 2．复数的模复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|＝_a 2＋b 2_____.3．共轭复数当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋bi ，那么z ＝a －bi ，当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时，有__ z ＝z __，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模就是向量OZ →＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|.|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离．例2 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围．解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a<7.小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解 方法一 (1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ →的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z|≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部．方法二 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)．(1)|z|＝2，∴x 2＋y 2＝4，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑． 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋yi(x ，y∈R)，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ＋yi)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x－1)＋(y －2)i ＝1－3i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， (a －c)2＋(b －d)2＝1 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c 2＋b ＋d 2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C.∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3.小结 (1)设出复数z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di)＝____(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ____________.2．复数乘法的运算律3设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(c ＋di≠0)，则z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝__ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i _______________.探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(4)①z·z ＝|z|2＝|z |2；②z 2＝z 2；③z 1·z 2＝z 1·z 2.例2 已知复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则z ＝a －bi 且|z|＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋bi)＝(3a －4b)＋(3b ＋4a)i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a≠0. ② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 小结 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。
2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。
2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。
3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。
4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。
5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。
四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。
2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。
3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。
4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。
5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。
4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。
六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。
2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。
3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。
3.1.2复数的几何意义
【教学设计】3.1.2《复数的几何意义》福建省福清华侨中学王莺教学目标：1.知识与技能：了解复数的几何意义和复数模的几何意义，并能适当应用。
2.过程与方法：通过类比实数的几何意义来学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：复数的几何意义以及复数的模。
教学难点：复数的几何意义及模的综合应用。
教学方法：主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比向量的模探究出复数的模。
教学过程：一、复习引入上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：（1）复数是如何定义的？把形如z=a+bi的数叫做复数，其中a，b都是实数。
a叫实部，b叫虚部，i叫虚部单位。
i又是什么特点？（2）复数z=a+bi (a,b∈R )表示实数的条件是？表示虚数的条件是？表示纯虚数的条件是？（3）两个复数相等的充要条件是什么？我们上节课知道了，对于一般的两个复数是不能比较大小的，那么为什么不能比较大小？复数的本质是什么？又有什么意义呢？这节课我们从形的角度研究复数，学习复数的几何意义。
二、新课讲解1.复数的几何意义（1）师：在几何上，我们可以用什么来表示实数呢？------数轴上的点！师：实数与数轴上的点有着怎样的对应关系？-------一一对应！师：也就是说实数与数轴上的点，在数与形上是一一对应的，因此，在几何上，我们可以用数轴上的点来表示实数。
类比实数的表示，在几何上，我们可以用什么来表示复数呢？师：一个复数是由哪两部分唯一确定的？------由实部a与虚部b共同唯一确定的！师：若将实部a与虚部b构成一个有序实数对(a,b)，那么复数z=a+bi (a,b∈R )与有序实数对(a,b)之间有怎样的对应关系呢？------一一对应！师：而有序实数对(a,b)又与直角坐标系中的点(a,b)是一一对应的。
复数的几何意义(公开课)
复数的几何意义(公开课)一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版数学九年级下册第21章复数的第一节，复数及其几何意义。
这部分内容主要包括复数的概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的运算规则。
二、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示法。
2. 通过实例，让学生了解复数的几何意义，能利用复数的几何意义解决一些实际问题。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：复数的概念，复数的几何意义。
难点：复数的运算规则，复数在几何意义上的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
学具：每人一本数学课本，一本笔记本，一支笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过多媒体展示一些实际问题，如在平面直角坐标系中，如何表示一个点的位置，引导学生思考如何用数学工具来解决这个问题。
2. 知识讲解：教师在黑板上板书复数的概念，解释复数的代数表示法，通过示例让学生理解复数的几何意义。
3. 例题讲解：教师选取一些典型的例题，讲解如何利用复数的几何意义来解决问题，让学生通过实例体会复数的几何意义。
4. 随堂练习：教师给出一些随堂练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，及时巩固所学内容。
5. 作业布置：教师布置一些作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解题能力。
六、板书设计板书设计如下：复数的几何意义1. 复数的概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何意义4. 复数的运算规则七、作业设计（1）在平面直角坐标系中，点P(2,3)对应的复数是多少？（2）在平面直角坐标系中，复数2+3i对应的点P的位置在哪里？已知复数z=1+2i，求复数z的平方。
八、课后反思及拓展延伸课后，教师应反思本节课的教学效果，观察学生对复数及其几何意义的掌握程度，对教学方法进行调整，以提高教学效果。
同时，教师还可以引导学生拓展学习，如研究复数的的其他性质，复数的应用等。
重点和难点解析一、教学内容本节课的教学内容主要涉及复数的概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的运算规则。
中职数学教案：复数的几何意义及三角形式(全2课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容我们把横轴和纵轴分表叫做实轴和虚轴，这样的平面直角坐标系叫做复平面。
用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。
三、例题选讲解：这些复数分别用点坐标Z1=(0,4),Z2=(4,0),Z3=(2,1),Z4=(-2,2),Z5=(2,-3),Z6=(-2,-2)来表示。
教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容例 2 指出如图所示复平面内个点所表示的复数。
练习：P70练习2.复数的模与辐角一般的，复平面内表示复数z=a+bi的点Z （a,b）到原点的距离叫做复数的模，记作z，即：22z a b=+，以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角α叫做复数z的辐角。
复数的辐角不是唯一的，事实上，若α是复数z的辐角，那么2kπ+α也是辐角，所以，我们把复数z在（-π，π】内的辐角叫做辐角的主值，记作arg z，以后所说的辐角一般指的是他的主值。
规定：复数0的辐角是任意值。
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：17.3.1复数的几何意义及三角形式教学目标1.理解掌握复数的三角形式2.会进行复数代数形式和三角形式间的互化重点理解掌握复数的三角形式难点会进行复数代数形式和三角形式间的互化教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一引入有了复数的模和辐角后，可以用另一种方式来表示复数。
二新授若设复数z=a+bi，其模z,rθ=辐角为，如图所示，试用r，θ表示复数z的实部和虚部。
若复数z的模为r，辐角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)一般的，将z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三i+6(cos60sin60)。
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿
人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。
复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。
本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。
三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。
复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。
复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。
我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。
3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。
复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。
复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。
我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。
4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。
例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。
我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。
四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。
3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。
五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。
2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。
复数的概念教案
复数的概念教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生掌握复数的概念、表示方法和基本运算规则，理解复数的几何意义。
2.过程与方法目标：通过引入复数的概念，培养学生抽象思维和逻辑推理能力，通过复数的基本运算，提高学生运算能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，增强学生对数学文化的了解和认识。
二、教学内容1.复数的概念和表示方法。
2.复数的基本运算规则。
3.复数的几何意义。
4.复数在实际问题中的应用举例。
三、教学难点与重点1.难点：学生对复数概念的理解，以及复数几何意义的掌握。
2.重点：复数的基本运算规则和实际应用举例。
四、教具和多媒体资源1.黑板、粉笔等传统教学用具。
2.投影仪、电脑等多媒体教学设备。
3.教学软件或数学工具，如GeoGebra等。
五、教学方法1.激活学生的前知：通过提问和讨论，了解学生对实数、代数等基本概念的掌握程度。
2.教学策略：采用讲解、示范和实践等方法，引导学生了解复数的概念、表示方法和基本运算规则，理解复数的几何意义。
3.学生活动：组织学生进行小组讨论和练习，培养学生主动参与活动的实践能力。
六、教学过程1.导入：通过实际问题或数学典故引入复数的概念，激发学生的学习兴趣和好奇心。
2.讲授新课：介绍复数的概念、表示方法和基本运算规则，引导学生理解复数的几何意义。
通过举例和练习，让学生熟练掌握复数的基本运算规则。
3.巩固练习：组织学生进行小组讨论和练习，提供必要的指导和反馈，帮助学生更好地掌握所学知识。
4.归纳小结：总结本节课所学内容，强调学生对复数概念的理解、基本运算规则的掌握以及实际应用举例的了解。
鼓励学生积极参与讨论和练习，提高学习效果。
七、评价与反馈1.设计评价策略：通过课堂练习和小测验等方式，评估学生对复数概念、表示方法、基本运算规则以及几何意义的掌握程度。
2.为学生提供反馈：根据学生的表现和评估结果，给予具体的指导和建议，帮助学生更好地掌握所学知识。
苏教版选修1《复数的几何意义》教案及教学反思
苏教版选修1《复数的几何意义》教案及教学反思教学背景复数是高中数学中的重要内容，难度较大。
在教学过程中，为了让学生更好地理解复数，需要加强对其几何意义的讲解。
教学目标1.熟练掌握复数的定义、四则运算规则和共轭复数的性质；2.理解复数在平面直角坐标系上的几何表示方法以及它的几何意义；3.熟练掌握复数的模和论。
教学内容复数的定义1.什么是复数？复数是由实数部分和虚数部分组成的数，形如 a+bi （a、b 为实数）2.复数的四则运算（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+((bc-ad)/(c2+d2))i3.共轭复数的性质（1）一个复数与它的共轭复数的乘积是实数。
（2）如果一个复数的虚部为非零实数，那么这个复数与它的共轭复数的积是负的实数。
复数的几何意义1.复数在平面直角坐标系上的几何表示方法对于复平面上任何一个点 P(x,y)，都可以用复数表示为 P=a+bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
2.复数的几何意义在复平面上，复数 a+bi 表示点(x,y)，其实部 a表示点在 x 轴上的坐标，虚部 b 表示点在 y 轴上的坐标。
复数 a+bi 表示的点与原点之间的距离称为该复数的模，记作 |a+bi|，也称为绝对值，模的平方为复数的模的平方，记作 |a+bi|2=a2+b^2。
复数 a+bi 的辐角称为该复数的论，记作Arg(a+bi)，且 -π<Arg(a+bi)≤π。
复数的模和论1.复数的模复数的模是复数与原点之间的距离，记作 |z|。
对于 z=a+bi 来说，它的模等于模长，即|z|=\sqrt{a2+b2}。
复数的模可以用勾股定理来计算，即模长 = （实数部分的平方 + 虚数部分的平方）的平方根。
高中数学_复数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
《复数的几何意义》教案一、教学目标：1.能够类比实数的几何意义说出复数几何意义，2.会利用几何意义求复数的模3.能够说出共轭复数的概念二、教学重、难点：重点：复数的几何意义以及复数的模难点：复数的几何意义及模的综合应用三、教学方法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义和复数的模公式。
四、教具准备：多媒体五、教学过程学情分析所授课的班级是一文科班，学生的理解能力不是很强，在处理时注意节奏。
学生已经学过实数的几何表示，实数的绝对值的意义，通过类比学生容易理解复数的几何意义；学生对于平面上点与坐标的对应关系及平面上的向量的知识，已经具备。
表示相等向量的有向线段可以自由移动，这一点可能对同学们理解复平面上复数与向量的一一对应关系产生影响，这一点要做好预案：复数与复平面上的向量一一对应，这个向量的始点必须是坐标原点；不是的，通过平移移至原点。
效果分析本堂课以“探究-合作-引领”为主题，充分发挥了学生的主观能动性，学生学得很投入，很快乐。
对于基础较好点的学生来说，这节课学的很轻松，加之他们能够给一些稍差点的学生讲解思路方法，所以学得更深，理解更好。
稍差点的学生能够积极听取别人的方法。
也能够学会，跟得上。
最后，老师根据整体存在问题进行引领，拓展，提升，使学生的理解达到了较高的水平。
教材分析本章是在学生所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数代数形式的运算和数系的扩充等内容.本章分两大节。
第一节是“数系的扩充与复数的引入”，第二节是“复数的运算”.第一节，展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解。
就产生了扩充实数集的需要。
从而自然引入虚数单位i，复数由此产生，接着介绍复数的有关概念及几何意义。
后面就是复数的加减乘除运算。
高中学习的复数的基础知识十分必要，它不仅使高中毕业生对于数的概念有一个较为完整的认识，而且也为他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时，也为他们进一步学习高等数学、力学与电学打下一定的基础。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】第一章：复数的概念1.1 引入复数的概念讲解实数和虚数的概念，引入复数的概念。
通过实际例子，让学生理解复数是由实部和虚部组成的数。
1.2 复数的表示方法讲解复数的代数表示法，即a + bi 的形式。
讲解复数的字母表示法，如z = a + bi。
1.3 复数的实部和虚部讲解复数的实部和虚部的定义。
讲解实部和虚部的性质和运算规则。
第二章：复数的几何表示2.1 引入复数的几何表示讲解复数在复平面上的表示方法。
讲解复数的实轴和虚轴的概念。
2.2 复数的几何图形讲解复数的圆和螺旋图形。
讲解复数的四叶草图形。
2.3 复数的几何性质讲解复数的旋转性质。
讲解复数的缩放性质。
第三章：复数的运算3.1 复数的加法和减法讲解复数的加法和减法的运算规则。
通过实际例子，让学生掌握复数的加法和减法的运算方法。
3.2 复数的乘法和除法讲解复数的乘法和除法的运算规则。
通过实际例子，让学生掌握复数的乘法和除法的运算方法。
第四章：复数的三角表示4.1 引入复数的三角表示讲解复数的三角表示方法，即r(cosθ+ isinθ) 的形式。
讲解复数的三角函数的概念。
4.2 复数的三角性质讲解复数的三角性质，如复数的模和辐角的概念。
讲解复数的三角函数的性质和运算规则。
4.3 复数的三角变换讲解复数的三角变换方法，如复数的乘法和除法的三角表示。
通过实际例子，让学生掌握复数的三角变换方法。
第五章：复数的应用5.1 复数在信号处理中的应用讲解复数在信号处理中的应用，如复数表示交流电信号。
讲解复数在通信系统中的应用，如复数表示调制和解调。
5.2 复数在电路分析中的应用讲解复数在电路分析中的应用，如复数表示电阻、电容和电感元件。
讲解复数在交流电路分析中的应用，如复数表示相位和阻抗。
5.3 复数在其他领域的应用讲解复数在数学分析中的应用，如复数表示复平面上的点。
讲解复数在其他科学和工程领域的应用，如复数表示量子力学中的波函数。
3.1.2 复数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案).
课题：3.1.2复数的几何意义学科：数学年级：高二班级：一、教材分析：复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
二、教学目标：1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．三、教学重点重点：复数的几何意义及复数的模．四、教学难点难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电子白板六、教学方法：建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本52—53页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）【问题导思】1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ 【提示】 一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．4．平面直角坐标系中的点Z 与向量→OZ有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．5．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ 【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应―→平面向量→OZ.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量→OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．2、合作探究 （1）分组探究探究点1 复数的几何表示和探究点2 复数的向量表示、探究点3 实数绝对值的几何意义: 1.实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件． 【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)． (1)若P 在虚轴上，则4－m2≠0，2m ＝0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则4－m2＜0，2m ＜0，解得m ＜－2. ∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)． 2.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝， 代入方程得a ＋b i ＋＝2＋8i ， ∴b ＝8，a2＋b2＝2，解得b ＝8.a ＝－15，∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.（2）教师点拨1.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 3、巩固训练1.求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－21－i 的模，并比较它们的模的大小． 【解】 |z 1|＝＝10，|z 2|＝21 ＝ ＋21＝23，|z 1|>|z 2|.2.已知复数z 1＝－＋i ，z 2＝－21－23i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝＝2. |z 2|＝3＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．4、拓展延伸已知向量→OZ与实轴正向的夹角为45°，向量→OZ对应的复数z 的模为1，求z . 【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组． 【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵→OZ与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1， ∴a>0，＝1，或a>0，＝1，∴2或2∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. 5、师生合作总结1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．八、课外作业1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．【答案】 C2．若→OZ＝(0，－3)，则→OZ对应的复数为( )A．0 B．－3C．－3i D．3【解析】由复数的几何意义可知→OZ对应的复数为－3i.【答案】 C3．已知3－4i＝x＋y i(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－y i|，|y＋2i|的大小关系为________．【解析】由3－4i＝x＋y i(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4，而|1－5i|＝＝，|x－y i|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.∵<5<，∴|y＋2i|<|x－y i|<|1－5i|.【答案】|y＋2i|<|x－y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．3【解】由题意知Z1(－1，)，Z(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应2的向量分别为→OZ1，→OZ2，→OZ3，→OZ4.九、板书1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．十、教学反思：根据发现的能力,让最后一个发现的学生最先讲,中途发现的学生中间讲,最先一个发现的学生最后讲,也就是由近及远地请学生一个一个地回答.所以从本节课的教学效果来看还是不错的。
数学教案复数与复数运算的几何意义
数学教案复数与复数运算的几何意义教案主题：数学教案-复数与复数运算的几何意义一、引言复数在数学中起着重要的作用，它不仅扩展了实数的范畴，还能够解决实数范围内无法解决的问题。
本教案将介绍复数的概念、表示方法以及复数运算的几何意义。
二、复数的概念与表示1. 复数的定义与基本概念复数是由实数与虚数相加而成的数，形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数表示及数轴上的位置复数可以用点在复数平面上的位置表示，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数a+bi的坐标表示为(a,b)。
3. 复数的共轭与模复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a-bi。
复数的模表示复数到原点的距离，记作|a+bi|，模的计算公式为√(a²+b²)。
三、复数运算的几何意义1. 复数的加法和减法复数的加法与减法运算可以通过几何意义进行解释。
对于两个复数的加法，可以将其对应的点进行平移和相连，得到和的复数。
减法类似，将两个复数的减法看作一个向量的终点减去起点得到的另一个向量的终点。
2. 复数的乘法复数的乘法可以通过几何意义进行解释。
复数的乘法可以看作一个复数的长度与另一个复数的长度相乘，乘积的幅角为两个复数的幅角之和。
乘法的几何意义可以通过向量的相交和长度计算得到。
3. 复数的除法复数的除法可以通过几何意义进行解释。
复数的除法可以看作一个复数的长度除以另一个复数的长度，商的幅角为两个复数的幅角之差。
除法的几何意义可以通过向量的夹角和长度计算得到。
四、复数运算的应用举例1. 复数在电路中的应用复数在电路中有着广泛的应用，可以用来描述电路中电压、电流的相位差以及阻抗等。
通过运用复数运算，可以解决电路中的复杂计算问题。
2. 复数在几何中的应用复数在几何中也有重要的应用，可以用来描述平面上的点、向量及其变换。
通过复数运算，可以解决几何中的旋转、缩放和平移等问题。
3. 复数在信号处理中的应用复数在信号处理中也有着广泛的应用，可以用来描述信号的频率、相位差以及滤波等。
复数的概念及其几何意义教学设计
复数的概念及其几何意义教学设计
一、课题
复数的概念及其几何意义教学设计
二、学习目标
1. 复习复数的概念；
2. 学习复数的几何意义；
3. 通过图形与实际比较，理解复数的概念及其几何意义。
三、学习内容
1. 复数的概念；
2. 复数的几何意义；
3. 复数图形的构成。
四、教学过程
1. 热身：
（1）复习学生之前学习的实数的概念，让学生们有所回忆，进入状态；
（2）教师利用课堂游戏，激发学生们的学习兴趣。
2. 正式学习：
（1）教师采用多媒体的教学方法，教师先准备相应的形象化的图片，视频，把复数的概念及复数的几何意义教授给学生。
（2）教师利用实物，比如椅子，画板，为学生提供复数的具体概念比较。
（3）利用复数的图像，对学生们进行演示，让学生们更深刻的
理解复数的概念及其几何意义。
3. 检测：
（1）让学生们自己细心观察复数的形象；
（2）教师出一些简单的习题，让学生们完成；
（3）让学生们大声比较复数的概念与几何意义，让学生们更清楚的理解复数的概念及其几何意义。
4. 总结：
教师将复数的概念及其几何意义总结起来，使学生们明白复数的概念，并将其牢记于心。
五、教学反思
本课通过多媒体的方式让学生们深入了解复数的概念及其几何意义，引导学生更好的体会复数的概念，以此提高学生们对复数的熟悉，学习效果良好。
复数的几何意义 教学设计
3. 1.2复数的几何意义教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学过程一、复习准备1.说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
1 + 4z,7 - 21,8 + 3Z, 6, i-2 - Oz, 7z, 0,0-3z, 3.复数z = (% + 4) + (y-3)i,当尤,y取何值时为实数、虚数、纯虚数？2.若(％ + 4) + (y — 3)i = 2 — i,试求尤,y 的值,((% + 4) + (型—3)立2呢?) 二、讲授新课.复数的几何意义①讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？(分析复数的代数形式，因为它是由实部。
和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标)结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点对应。
③例1：在复平面内描出复数l + 4i,7-2i,8 + 3i,6,i,-2-0i,7i,0,0-3i,3分别对应的点。
(先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是人而不是从)观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？一一对应一一对应⑤复数Z = a + bi —复平面内的点(a, b)，复数Z = a + bi —平面向量0Z，对应复平面内的点(a, b)—平面向量OZ注意：人们常将复数z = a + b,•说成点Z或向量0Z,规定相等的向量表示同一复数。
1.应用例2,在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出2 + 3i,4-2i,-l+3i,4.-3-0,•所对应的向量。
复数的几何意义板书设计
复数的几何意义板书设计复数是数学中一个重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
然而，复数的概念比较抽象，不利于学生直观理解。
因此，教师可以利用复数的几何意义，通过板书设计帮助学生更好地理解复数的概念和应用。
一、复数的几何意义复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i2=-1。
复数在复平面上的几何意义是，实部 a 表示复数在实轴上的投影，虚部 b 表示复数在虚轴上的投影，复数对应的点在复平面上形成一个向量。
例如，复数 3+4i 在复平面上对应的点为 (3,4),表示一个向量，其长度为 5，方向为右上方。
同样，复数 -2-3i 在复平面上对应的点为 (-2,-3),表示一个向量，其长度为√(22+32)=√13，方向为左下方。
二、复数几何意义板书设计为了帮助学生更好地理解复数的几何意义，教师可以设计以下板书:1. 复平面教师可以在黑板上画出复平面，实轴和虚轴分别表示实数轴和虚数轴。
在复平面上，教师可以用不同的颜色或符号标记出一些重要的点，例如原点、单位圆、坐标轴等。
2. 复数的几何意义在复平面上，教师可以用向量来表示复数，例如用一个箭头表示复数 3+4i 在复平面上对应的向量。
教师可以标注出向量的起点、终点和长度，并说明其对应的复数。
3. 复数的运算教师可以在复平面上展示复数的运算，例如加法、减法、乘法等。
例如，教师可以用两个向量相加来表示复数的加法，例如(3+4i)+(2+3i)=5+7i，对应的向量为 (5,7)。
4. 复数的应用教师可以介绍复数在物理、工程、计算机科学等领域的应用，例如交流电路、控制系统、图像处理等。
这样可以帮助学生更好地理解复数的概念和应用。
复数的几何意义教案
实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型）
问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？
（学生猜测，讨论，形成一些共识）
二、建构数学
1、复平面的概念
把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
阐明复数与实数的联系和区别，实数能比较大小，虚数不能比较大小，是实数的复数能比较大小，能比较大小的复数只能是实数。复数可看作是向量 ，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，从而引出复数的模（或绝对值）。
通过知识的分层练习，使学生明确复数的模（或绝对值），即点Z到复平面原点的距离，会求复数的模。
3、复数的模（或绝对值）
向量 的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作 或 。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于 （即实数a的绝对值）。
= =
[巩固练习]
（1）、已知复数 =3+4i， =-1+5i，试比较它们模的大小。
（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为。
拓展与延伸：
教
学
过
程
教学进程
设计意图
一、问题情景
问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？
（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）
问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）
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复数的几何意义
教学目标
１. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
２. 了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
教学重点
复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。
教学过程
前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。
一、 问题情境
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？
二、 学生活动
知识回顾：
①形如bi a +的数叫复数，通常用字母z 表示，即bi a z +=),(R b a ∈，其中a 与b 分别叫做复数的实部与虚部。
⎩⎨⎧=≠=+=时为纯虚数）当虚数 （实数 （复数0)(0)
0a b b bi a z 。
②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等
即 ⎩⎨⎧==⇔+=+d
b c a di c bi a 。
问题１ 复数相等的充要条件表明，任何一个复数bi a +都可以由一个有序实数对),(b a 惟一确定，而有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？
问题２ 我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA 是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？
三、 建构数学
师生共同活动：
１. 在平面直角坐标系xOy 中，以复数bi a z +=的实部a 为横坐标、虚部b 为纵坐标就确定了点),(b a Z ，我们可以用点),(b a Z 来表示复数bi a +，这就是复数的几何意义。
２. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。
３. 因为复平面内的点),(b a Z 与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应（实数０与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ 来表示复数bi a +，这也是复数的几何意义。
４. 根据上面的讨论，我们可以得到复数bi a z +=、复平
面内的点),(b a Z 和平面向量OZ 这间的关系（如图）。
今后，
常把复数bi a z +=说成点Z 或向量（并且规定相等的
向量表示同一个复数）
５. 相对于复数的代数形式bi a z +=，我们把点),(b a Z 称为复数z 的几何形式，向量称为复数的向量形式。
四、数学运用
运用１
（１）例１ 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数
4，i +2，i -，i 31+-，i 23-
问题３ 我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴与这个实数对应点到原点的距离，任何一个向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应地，我们可以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？ 向量的模叫做复数bi a z +=的模（或绝对值），记作z 或bi a +。
由模的定义可知22b a bi a z +=+=。
复数的模表示复平面内该点到原点的距离。
运用２
（１）例２ 已知复数i z 431+=，i z 432-=，i z 513+-=试比较它们的模的大小
思考：
①两复数的模能比较大小，两复数能比较大小吗？
②1z 与2z 两复数有什么关系？它们的模有怎样的关系？能推广到一般情形，并找到一些性质吗？
（２）例３ 设C z ∈满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ ①2=z ； ②32<<z
问题４ 既然复数可以用复平面内的向量来表示 ，那么，复数的加法有什么几何意义呢？它能像向量加法一样，用作图的方法得到吗？
学生动手用向量加法的平行四边形法则作图求解（如图３－３－６）。
这就是复数加法的意义。
问题５ 你能发现复数减法的几何意义吗？两个复数的差的模有什么几何意义？
结论：复数可以用平面向量来表示，复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到。
两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。
同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的。
不难验证向量的“数乘”运算与复数中“实数乘以复数”类似，但对于向量的数量积，在复数中找不到类似的运算。
五、回顾反思
１.由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式，这是由一维向二维的联想，同时实现了从“数”到“形”的转化。
类比平面向量的加减法，又得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识。
２.通过复数的几何意义与复数加减法几何意义的学习，体会数形结合的思想。
复数作为一种新数学语言，也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能。
六、课后作业
１.第６９页练习４
２.第７０页习题３.３的１，２。